专题06 一次函数的实际应用（6大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题07 一次函数的实际应用 题型概览 题型01 由实际问题抽象函数解析式 题型02一次函数的应用---选择填空题 题型03 一次函数与行程问题 题型04一次函数与商品销售问题 题型05 一次函数的方案选择问题 题型06一次函数与其它学科的综合应用 由实际问题抽象函数解析式题型01 1．（23-24八年级下·山西朔州·期末）购买一些圆珠笔，单价为3元，总价y（元）与购买圆珠笔的支数x（支）的函数关系式可以表示为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图(单位)，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x个，盘子摞在一起的厚度为，则y与x满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的周长为，与之间的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山西运城·期末）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 6．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）某水果店以元千克的价格批发回千克苹果，以元千克的价格出售，已知在销售的过程中会有%的损耗，则将这批苹果全部售完后的总利润（元）与的函数关系式为 . 7．（23-24八年级上·山西太原·期末）有若干张如图①所示的拼图卡，用3张这样的拼图卡按图②的方式无缝隙拼接在一起，拼成的图案总长为；如图③，用8张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为；若用x张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为，则与之间的函数关系式为 （为正整数）．    8．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）某水果店以2.5元的价格批发了苹果，以4元的价格销售，销售这苹果的总利润为（元），则与的函数关系式为 4．（23-24八年级下·山西临汾·期末）小红和小华两位同学各给出某一次函数图象的一个特征，小红：“函数图象与轴的正半轴相交于一点”；小华：“函数图象与轴的正半轴相交于一点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式 ． 一次函数的应用---选择填空题题型02 9．（23-24八年级上·山西晋中·期末）学习了《植物生长》后，实践小组观察记录了一段时间娃娃菜幼苗的成长，将娃娃菜幼苗的高度与观察时间(天)的函数关系用下图表示，那么娃娃菜幼苗的高度最高是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·山西太原·期末）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．在葡萄成熟之际，葡萄园推出采摘活动，不仅让人们吃到放心的葡萄，更能让孩子了解葡萄的相关知识，采摘园推出的方案是：采摘的数量超过后，超过的部分给予优惠，葡萄的购买数量与所付金额（元）存在如图所示的函数关系，王师傅用100元购买葡萄，他所购买的数量是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图是1个纸杯和6个纸杯叠放在一起的示意图．小红想探究叠放在一起的杯子的总高度随杯子数量的变化关系．她将50个同样的纸杯叠放在一起，则这50个纸杯的总高度约为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·山西晋城·期末）小青乘飞机去旅游，从放置在座位后背的一份杂志上看到这样的一张表格，此时飞机舱外部的温度显示为，请你帮小青算算：她所乘的飞机此时距地面 千米． 飞机距离地面高度（千米） 0 1 2 3 飞机舱外面的温度 8 2 13．（23-24八年级下·山西朔州·期末）某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”．该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据： 沉沙时间（小时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 本次实验开始记录的时间是上午，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为72克时的时间是 ． 14．（23-24八年级下·山西晋中·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 15． （22-23八年级上·山东青岛·期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元． 一次函数与行程问题题型03 16．（23-24八年级下·山西大同·期末）小强骑自行车去郊游，下图表示他离家的距离（千米）与所用的时间（小时）之间关系的函数图象，小强9点离开家，15点回到家，根据这个图象，请你回答下列问题： (1)小强到离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息时间多长． (3)除，外，问何时他离家？ 17．（23-24八年级下·山西临汾·期末）甲、乙两人驾车都从地出发，沿一条笔直的公路匀速前往地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人到达地后均停止前行．已知，两地相距，设乙行驶的时间为，甲、乙两人之间的距离为，表示与的函数关系图象如图所示．根据图象，请解决以下问题： (1)由图象可知，甲比乙晚出发______，图中线段所在直线的函数解析式为______； (2)分别求出甲、乙的速度； (3)当甲、乙两人相距时，求的值． 18．（23-24八年级下·山西大同·期末）项目化学习 项目背景：小明家最近购入一辆电动汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及电动汽车充满电的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了以下两组实验． 实验一：探究电池充电时电动汽车仪表盘显示的电量与充电时间之间的关系，数据记录如下表： 充电时间 0 30 60 90 … 显示的电量 0 25 50 75 … 实验二：探究电动汽车充满电后行驶过程中仪表盘显示的电量与行驶里程之间的关系，数据记录如下图： 建立模型：观察可知表中数据是正比例函数模型，图中数据是一次函数模型． 解决问题： (1)直接写出e关于t的函数解析式； (2)求e关于s的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； (3)当汽车充满电行驶时，求仪表盘显示的电量． 19．（24-25八年级上·山西运城·期末）学科实践 问题情境：体育课上，老师组织同学们进行往返障碍跑比赛.甲、乙二人在相邻两条直跑道上比赛（注：跑道长50米），他们从跑道同一起点出发，到达对面终点后，转身沿原路回到起点. 数学思考：同学们根据两人比赛信息画出了如图所示的部分图象（跑步的过程均视为匀速）.图中的折线是甲离起点的距离（米）与比赛时间（秒）的函数图象；线段是乙去程中离起点的距离（米）与比赛时间（秒）的函数图象.已知线段对应的函数表达式为. 问题解决： (1)求点的坐标及线段对应的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)乙在对面终点处转身过程中因故耽误了2秒，结果仍比甲提前3秒回到起点.请在坐标系中画出表示乙转身及返程途中，离起点的距离（米）与比赛时间（秒）之间的函数图象，并标明表示乙返程图象的两个端点的坐标； (3)请直接写出比赛过程中，当乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半时，比赛时间的值. 一次函数与商品销售问题题型04 20．（23-24八年级下·山西大同·期末）清徐葡萄产于山西省太原市清徐县，其特点是皮薄、粒大、糖分高，色彩鲜艳．某水果店销售，两种盒装清徐葡萄，其进价和售价如下表： 种 种 进价/（元/盒） 45 60 售价/（元/盒） 70 90 该店计划购进这两种清徐葡萄共盒，且计划购进种葡萄的盒数不多于种葡萄的倍，假设所购进的葡萄全部售完（损耗忽略不计），如何安排进货，才能使销售葡萄的总利润最大？最大总利润为多少元？ 21．（23-24八年级下·山西大同·期末）为庆祝中华人民共和国成立周年，某平台店计划购进，两种纪念币，进价和售价如下表所示： 品名 进价（元/枚） 售价（元/收） (1)第一次购进种纪念币枚，种纪念币枚，全部售完后获利元，求种纪念币的售价是多少元？ (2)第二次计划购进两种纪念币共枚，且种纪念币的进货数量不少于种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？ 22．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）为迎接月日的世界读书日，某书店制定了活动计划，下表是活动计划的部分信息： 书本类别 类 类 进价（元） 备注 ．用不超过元购进两类图书共本； ．类图书不少于本． (1)杨经理查看计划时发现：类图书的标价是类图书标价的倍．若顾客用元购买图书，能单独购买类图书的数量恰好比单独购买类图书的数量少本，请求出两类图书的标价； (2)经市场调查后，杨经理发现他们高估了“读书日”对图书销售的影响，便调整了销售方案：类图书每本按标价降低元()销售，类图书价格不变．那么书店应如何进货才能获得最大利润． 23．（23-24八年级下·山西临汾·期末）学校综合实践活动小组针对货物销售量最大化开展项目化学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：在保证获利的前提下，怎样使得销售量最大化 驱动问题：数学来源于生活，也服务于生活．请你运用所学数学知识帮助玩具店王老板的玩具销售量最大化 分步探究： 任务一：市场调查 某玩具店王老板以元/个的价格新购进一种新益智玩具，项目组同学帮王老板调查了附近五家玩具店近期该种益智玩具的售价与日销售量情况，记录如下： 玩具店 售价（元/个） 日销售量（个） B 61 280 E 60 300 A 59 320 D 58 340 C 56 380 任务二：模型建立 (1)根据调查记录表中的信息可知，该益智玩具的日销售量（个）是销售定价（元）的______函数（选填“一次”“正比例”“反比例”），与的函数关系式是_______； 任务三：问题解决 (2)玩具店王老板考虑房租、运费、人工费等方面开支，销售这种益智玩具的利润率不得低于，当这种益智玩具每个销售定价为多少元时，每天的销售量最大？最大销售量为多少个？ 一次函数与方案选择问题题型05 24．（23-24八年级下·山西临汾·期末）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价8.5折出售； 乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示. (1)分别求，关于的函数关系式； (2)两图象交于点，求点坐标； (3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算． 25．（23-24八年级下·山西长治·期末）综合与实践 某街道办事处积极落实国家垃圾分类政策，预在所辖小区内安装垃圾分类宣传版面及分类垃圾箱，旨在提升居民垃圾分类意识与参与度．为评估这一举措的有效性，并进一步优化方案，现邀请友谊班同学作为小小环保员，运用数学知识与方法，研究如何购买这批物资性价比更高．同学们首先走访调查了居民对垃圾分类的了解程度、日常分类行为及对现有宣传版面、垃圾箱的满意程度，同时实地记录各商场和垃圾生产厂家对垃圾箱的定价，得到如下方案： 方案一：从垃圾箱加工厂直接购买，购买所需的费用与垃圾箱个数(个)满足如图①所示的函数关系； 方案二：租赁机器自己加工，所需费用(包括租赁机器的费用和生产垃圾箱的费用)与垃圾箱个数(个)满足如图②所示的函数关系． 问题解决： 根据图象回答下列问题： (1)①方案一中每个垃圾箱的价格是______元； ②方案二中租赁机器的费用是______元，生产一个垃圾箱的费用是______元； (2)请分别求出，关于的函数关系式； (3)试说明该街道办事处购买垃圾箱时，选择哪种方案更优惠？ (4)若该街道办事处购买垃圾分类宣传版面和垃圾箱共个，购买个垃圾分类宣传版面的单价是元，个垃圾箱的单价是元，且购买垃圾箱的个数不多于垃圾分类宣传版面个数的倍，问：该街道购买多少个垃圾分类宣传版面时，所需总费用最少？ 最少是多少元？ 26．（23-24八年级下·山西朔州·期末）项目化学习 项目主题：哪一款手机资费套餐更合适． 项目背景：做一件事情、有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的．手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用．某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究“哪一款手机资费套餐更合适”． 研究步骤： （1）实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐； （2）查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐； （3）数据分析，形成结论． 收集数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 通话 流量 通话 A 60元 30GB 500分钟 5元/GB 0.1元/分钟 B 180元 60GB 1000分钟 3元/GB 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费+通话超时费）；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． (1)建立模型：据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究流量与手机资费的关系： ①小明妈妈5月份的通话时长为480分钟，使用流量，若使用A套餐，这个月她的手机资费是______元； ②设小明妈妈每月手机资费为y（元），每月使用流量为，通过分析数据，完成下面的填空． A套餐：当时，______；B套餐：当时，______． (2)图象表示：为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出A套餐和B套餐每月手机资费y（元）关于每月使用流量的函数图象．下面已给出部分图象，请你补充完整． (3)应用模型：结合上面信息，请你为小明妈妈提出一条套餐使用建议． 27．（23-24八年级下·山西临汾·期末）某小组开展了《哪一款手机资费套餐更合适》项目学习．以下是该小组某位同学活动报告的部分内容． 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 语音 流量 语音 A 90元 30GB 300分钟 3元/GB 0.1元/分钟 B 150元 60GB 500分钟 套餐说明： （1）月资费=月费+超出套餐资费；（流量超出费+语音超时费） （2）套餐内，流量和语音均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 访谈内容 收集并整理妈妈近六个月的话费账单，发现她语音通话很少，每月最多不超过200分钟 建立模型 （1）语音通话没有超出套餐内容，所以只需研究流量与手机资费的关系．设妈妈每月手机资费y（元），每月使用流量． A套餐：当时，； B套餐：当时，_________． （2）为了直观比较，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象 如图 根据以上报告内容，解决下列问题： (1)当时，求B套餐每月手机资费（元）与每月使用流量之间的关系式； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出B套餐的大致图象； (3)根据图象可知：当x______时，选择A套餐更合适；当x_______时，选择B套餐更合适． 一次函数与其它学科的综合应用题型06 28．（22-23八年级下·山西晋城·期末）小南在阅读物理课外书时，了解到在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间满足一次函数关系．他通过实验验证了这个事实，他的测量结果如下表所示： 所挂物体质量 0 1 2 3 弹簧的长度 3 4 5 6 (1)根据所测量的数据，求该弹簧的长度y（）与所挂物体质量x（）之间的函数关系式 (2)小南妈妈在市场买了水果，小南将该水果放在袋中（袋子的质量忽略不计）挂到该弹簧下（在弹性限度内），并测得弹簧的长度为．请你通过计算帮助小南确定该市场老板的称是否足称． 29．（23-24八年级下·山西朔州·期末）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图像分别为图2中的线段，． 根据以上信息，回答下列问题．    (1)求线段对应的函数解析式． (2)先用普通充电器充电ah，电量达到后，感觉充电较慢，再改为快速充电器充电，电量充满时充电总时长为bh．通过计算求出a，b所对应的值，并在图2中画出电量y与充电时间x的函数图像． 30．（23-24八年级下·山西临汾·期末）下面是物理课得到的一些信息，请你仔细阅读并完成相应任务． 在物理实验课上，八（一）班同学以组为单位进行弹簧测力计实验，勤奋好学组发现，在弹簧的弹性范围内弹簧秤的长度（厘米）与弹簧所挂物体的质量（千克）之间有特殊的函数关系． 实验步骤如下： 第一步，实验测量．根据物理知识，改变物体质量的大小，通过测量，观察弹簧秤的刻度变化． 第二步，整理数据．根据砝码的质量测量弹簧的长度，并把结果记录整理得到下表对应的数据． … 1 2 3 4 5 … … 6.3 6.6 6.8 7.2 7.5 … 第三步，描点连线．为了确定这是什么函数，勤奋好学组以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点，并用光滑的曲线把这些点连起来． 第四步，数据分析．在分析数据时，她们观察图象发现一个数据有误，重新测量后，发现猜想正确，并修改了错误的数据． 任务： (1)表格中错误的数据是 ，修改后正确的是 ． (2)请你确定与之间的函数关系式． (3)请直接写出时的取值范围． 31．（23-24八年级下·山西忻州·期末）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成．箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组以此为学习项目，仿制了一套浮箭漏并从函数角度进行了如下实验探究． 项目课题 从函数角度探究浮箭漏 项目研究过程 方案及图示    相关数据及说明 记录实验数据，得知箭尺读数和供水时间近似满足一次函数的关系，当时，；当时，． 研究任务 （1）在上述平面直角坐标系中，画出的函数图象． （2）求读数与供水时间之间的函数关系式． （3）如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么到下午15：00时，箭尺读数增加了______cm． 32．（23-24七年级下·山西临汾·期末）【项目化学习】“浮力与浸水深度之间的关系” 如图是小马同学做物体浮力实验的示意图，下方为盛水的烧杯，上方是由弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，已知该圆柱体的重力为，高度为小马将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下： 圆柱体浸入水中的深度 0 1 2 3 4 弹簧测力计示数 12 10.4 8.8 7.2 5.6    (1)请你观察表中数据，利用合适的函数模型求出弹簧测力计示数与圆柱体浸人水中的深度之间的函数表达式 (2)请你计算出当圆柱体完全浸入水中时，该圆柱体所受浮力的大小；（温馨提示：当圆柱体入水后，） (3)已知当圆柱体完全浸入水中之后，浮力大小不变，请你在平面直角坐标系中画出圆柱体浸入水中的深度为的函数图像． 33．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）跨学科学习：研究光的折射现象 学科背景：光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射. 学习目标1：光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关系； 学习过程1：如图1，当光从空气斜射入水中，折射光线向法线偏折，折射角小于入射角.改变入射角的大小，记录折射角的大小. 数据记录：     入射角（度） 折射角（度） 学习目标2：为什么池水看起来比实际浅. 学习过程2：如图2，因为池底点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，逆着折线光看去，就会感觉这一点升高了. 如图3，以水面所在直线为轴，所在直线为轴，它们的交点为原点，建立平面直角坐标系.已知眼睛的坐标为，点的坐标为，点的坐标为.（1个单位长度表示1米） 解决问题： （1）光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关系？___________（填“是”或“否”）； （2）求人眼睛看到池底处的点比实际的点处高多少？（即的长度） 1．（23-24八年级下·山西忻州·期末）暑假来临，某校计划安排两位老师带领部分学生外出游学参与社会实践，他们联系了报价均为每人200元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生按六折收费；乙旅行社的优惠条件是：老师与学生都按照七折收费． (1)设总人数为x人，选择甲旅行社时，所需费用为元，选择乙旅行社时，所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式． (2)当学生人数在什么范围时，选择甲旅行社所需费用较少？并说明理由． 2．（24-25八年级上·山西太原·期末）北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功!神舟十八号航天员乘组将进行多次出舱活动，开展微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域实（试）验与应用等各项任务．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元． (1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？ 3．（23-24八年级上·山西晋中·期末）在“制作计时器”项目式学习中，小明利用古代漏壶原理制作如下计时器模型：是一个高为的圆柱形玻璃容器是塑料制作的底托为轻质塑料标尺，将水龙头调至匀速滴水，经过2小时标尺显示底托高度由上升到其中标尺显示底托的高度是滴水时间(小时)的正比例函数． (1)求与的函数关系式． (2)该装置最多可计时多长时间？ 4．（23-24八年级下·山西大同·期末）在“一带一路”战略的影响下，某茶叶经销商准备把“茶路”融入“丝路”，经计算，他销售每千克A级茶，B级茶的利润分别为100元，150元．若该经销商决定购进A，B两种级别的茶叶共200千克用于出口，设购进A级茶x千克，销售总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，请你帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值． 5．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）为发展我市旅游经济，丹东天桥沟景区对门票采用动态的售票方法吸引游客，规定：门票定价为100元/人，非节假日打折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即10人以下（含10人）的团队按原价售票；超过10人的团队，其中10人仍按原价售票，超过10人部分的游客打折售票。设某旅游团人数为人，非节假日购票款为（元），节假日购票款为（元），、与之间的函数图象如图所示. （1）观察图象可知：_______，__________； （2）直接写出和的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）导游小王10月1日带团，10月20日（非节假日）带团都到天桥沟景区旅游，共付门票款4600元，、两个团队合计60人，求、两个团队各有多少人？ 6．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）2024年4月24日是第九个“中国航天日”，八年级某班组织40名同学到航天展览馆参观，已知展览馆分为，，三个场馆，场馆门票的价格是每张50元，场馆门票的价格是每张40元．由于场地原因，要求每位同学只能选择一个场馆参观，参观当天刚好有优惠活动：每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票，且购买场馆的门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用．设到场馆参观的人数为人，此次购买门票所需总金额为元． (1)求关于的函数解析式． (2)若到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，求此次购买门票所需总金额的最小值． 7．（22-23八年级下·山西朔州·期末）【阅读材料】在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：已知小明家、文具店、体育场依次在同一条直线上，体育场离小明家，文具店离小明家，小明从家跑步到体育场；在那里锻炼了后，又匀速步行了到文具店买圆规；在文具店停留了后，匀速步行返回家，给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离km与小明离开家的时间min之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题：    (1)填表： 离开家的时间/min 5 12 30 50 65 离开家的距离/km 1 2.6 (2)填空： ①体育场到文具店的距离为________km； ②小明从文具店返回家的速度为________km/min； ③当小明离家的距离为2km时，他离开家的时间为___________． (3)当时，请直接写出关于的函数解析式． 8．（23-24八年级下·山西运城·期末）在某中学团支部爱心义卖活动中，准备了无人机模型和玩具车模型共100台，若售出3台无人机模型和2台玩具车模型收入130元，售出4台无人机模型和3台玩具车模型收入180元． (1)问两种模型的售价各是多少元？ (2)已知无人机模型的数量不超过66，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台时总收入最多？并求出总收入的最大值． 9． （22-23八年级下·山西忻州·期末）今年暑假，学校计划组织八年级的同学参观大学城，经调查得八年级共有670名同学，计划租用12辆客车，现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表： 租金/（元/辆） 载客量/（座/辆） 甲种客车 3500 50 乙种客车 4000 60 (1)如果恰好一次性将670名学生送往大学城且客车全部坐满，那么应租用甲、乙两种客车各多少辆？ (2)设租用甲种客车x辆，租车费用y元． ①求y与x的函数关系式．（要求写出x的取值范围） ②在保证所有同学均能送达大学城的情况下，怎样租车费用最低，最低费用是多少元？ 10．（22-23八年级下·山西临汾·期末）为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）． 方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品． 方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折． 设校学生会计划购买个A种奖品，且是5的倍数，选择方案一的总费用为元，选择方案二的总费用为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式． (2)校学生会选择哪种方案支付的费用较少？ 11．（23-24八年级下·山西临汾·期末）项目式学习 项目主题：重视水龙头滴水的浪费现象． 项目背景：日常生活中，经常存在由于水龙头阀门损坏，从而出现水龙头不断向外滴水的情况，造成水资源浪费．某校学习小组以“重视水龙头滴水的浪费现象”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系． 研究步骤： （1）准备好量筒和计时器． （2）确定因损坏而滴水的水龙头． （3）在控制影响水龙头滴水量的其他变量（如刮风等）的情况下，将量筒放在所选水龙头正下方接水，每隔一分钟记录量筒中的总水量．但由于操作延误，开始计时时量筒中已经接了少量的水，因而得到如下表所示的一组数据． （4）分析数据，形成结论． 试验数据： 时间 1 2 3 4 5 … 总水量 7 12 17 22 27 … 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）①根据上表中的数据，判断量筒中的总水量与时间是______（填“正比例”“一次”或“反比例”）函数关系； ②求与之间的函数关系式． （2）已知所用量筒的量程是，求当计时多少分钟时，量筒内的水刚好到达量程的最大刻度处． （3）若一个人一天大约饮用的水，求这个水龙头10天的滴水量可供一个人饮用多少天． 12．（23-24八年级下·山西临汾·期末）某校八年级开展了《哪一款手机资费套餐更合适》项目学习．以下是小明同学活动报告的部分内容． 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 语音 流量 语音 A 90元 30GB 500分钟 3元/GB 0.1元/分钟 B 150元 60GB 1000分钟 套餐说明： 1．月资费=月费+超出套餐资费（流量超出费+语音超时费）． 2．套餐内，流量和语音均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 访谈内容 收集并整理妈妈近六个月的话费账单，发现她语音通话很少，每月最多不超过300分钟． 建立模型 1．语音通话没有超出套餐内容，所以只需研究流量与手机资费的关系．设妈妈每月手机资费（元），每月使用流量（GB）． A套餐：当时，； B套餐：当时，__________； 2．为了直观比较，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象（如下图）． 根据以上报告内容，解决下列问题： (1)当时，求B套餐每月手机资费（元）与每月使用流量（GB）之间的关系式； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出B套餐的大致图象； (3)根据图象可知：当__________时，选择A套餐更合适；当__________时，选择B套餐更合适． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数的实际应用 题型概览 题型01 由实际问题抽象函数解析式 题型02一次函数的应用---选择填空题 题型03 一次函数与行程问题 题型04一次函数与商品销售问题 题型05 一次函数的方案选择问题 题型06一次函数与其它学科的综合应用 由实际问题抽象函数解析式题型01 1．（23-24八年级下·山西朔州·期末）购买一些圆珠笔，单价为3元，总价y（元）与购买圆珠笔的支数x（支）的函数关系式可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据总价单价数量列出函数关系式是解题关键，本题较简单．根据总价单价数量即可求解． 【详解】解：根据总价单价数量，得，正确的选项只有A选项． 故选：A 2．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图(单位)，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x个，盘子摞在一起的厚度为，则y与x满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用以及求一次函数表达式，解答本题的关键是读懂题意，根据图示找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】解∶设解析式为 由题意得∶ 解得∶ ∴解析式为 故选：C 3．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的周长为，与之间的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是求函数的解析式，根据正方形的周长公式：正方形的周长边长即可解决此题． 【详解】解：根据正方形的周长公式，得： 故选：C． 5．（24-25八年级下·山西运城·期末）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 【答案】A 【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 6．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）某水果店以元千克的价格批发回千克苹果，以元千克的价格出售，已知在销售的过程中会有%的损耗，则将这批苹果全部售完后的总利润（元）与的函数关系式为 . 【答案】 【分析】本题考查了求函数的表达式，根据题意列式即可． 【详解】解：与的函数关系式为， 即， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·山西太原·期末）有若干张如图①所示的拼图卡，用3张这样的拼图卡按图②的方式无缝隙拼接在一起，拼成的图案总长为；如图③，用8张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为；若用x张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为，则与之间的函数关系式为 （为正整数）．    【答案】 【分析】本题考查利用解二元一次方程组求图形规律，涉及二元一次方程组解实际应用题、图形中的数字规律等知识，根据拼图，设每一个拼图卡长度为，重合部分长度为，由等量关系列方程组求解后，按规律列式表示即可得到答案，利用二元一次方程组求解是解决问题的关键． 【详解】解：设每一个拼图卡长度为，重合部分长度为，则 ，解得， 若用x张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为，则与之间的函数关系式为， 故答案为：． 8．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）某水果店以2.5元的价格批发了苹果，以4元的价格销售，销售这苹果的总利润为（元），则与的函数关系式为 【答案】 【分析】根据题意列式即可． 【详解】解：与的函数关系式为， 整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求函数的表达式，解题的关键是明确总利润＝单件利润×数量． 4．（23-24八年级下·山西临汾·期末）小红和小华两位同学各给出某一次函数图象的一个特征，小红：“函数图象与轴的正半轴相交于一点”；小华：“函数图象与轴的正半轴相交于一点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数图象与轴的正半轴相交于一点，得出当；当函数图象与轴的正半轴相交于一点，即，进行作答． 【详解】解：∵一次函数图象的特征：函数图象与轴的正半轴相交于一点；函数图象与轴的正半轴相交于一点 ∴且 ∴（答案不唯一） 故答案为： 一次函数的应用---选择填空题题型02 9．（23-24八年级上·山西晋中·期末）学习了《植物生长》后，实践小组观察记录了一段时间娃娃菜幼苗的成长，将娃娃菜幼苗的高度与观察时间(天)的函数关系用下图表示，那么娃娃菜幼苗的高度最高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数应用，一次函数解析式．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 由题意知，，待定系数法求线段的解析式为，将代入，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 设线段的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴线段的解析式为， 将代入， ∴， ∴娃娃菜幼苗的高度最高为， 故选：C． 10．（24-25八年级上·山西太原·期末）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．在葡萄成熟之际，葡萄园推出采摘活动，不仅让人们吃到放心的葡萄，更能让孩子了解葡萄的相关知识，采摘园推出的方案是：采摘的数量超过后，超过的部分给予优惠，葡萄的购买数量与所付金额（元）存在如图所示的函数关系，王师傅用100元购买葡萄，他所购买的数量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 根据图示，可得王师傅用100元购买葡萄，数量应超过，根据点，利用待定系数法求出函数解析式，再令求得x即可解答． 【详解】解：根据图示，当时，， ∵王师傅用100元购买葡萄， ∴王师傅购买的葡萄数量应超过， 已知点， ∴设由此函数解析式为：， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∵王师傅用100元购买葡萄， ∴，解得：， ∴王师傅购买的数量为． 故选：B ． 11．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图是1个纸杯和6个纸杯叠放在一起的示意图．小红想探究叠放在一起的杯子的总高度随杯子数量的变化关系．她将50个同样的纸杯叠放在一起，则这50个纸杯的总高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设总高度与纸杯的个数n之间的关系式为，用待定系数法可得解析式，代入计算即可．本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法列出函数关系式． 【详解】设总高度与纸杯的个数n之间的关系式为， 根据题意，得， 解得， ， 当时， ， 故纸杯的高度约为， 故选C． 12．（23-24八年级下·山西晋城·期末）小青乘飞机去旅游，从放置在座位后背的一份杂志上看到这样的一张表格，此时飞机舱外部的温度显示为，请你帮小青算算：她所乘的飞机此时距地面 千米． 飞机距离地面高度（千米） 0 1 2 3 飞机舱外面的温度 8 2 【答案】5 【分析】本题考查函数问题，根据表格得出函数解析式，进而代入解答即可． 【详解】解：由表格中的数据可得，飞机距离地面高度每升高1千米，飞机舱外面的温度下降6度，可得与成一次函数关系， 故设函数解析式为：， 把代入解析式可得： ， 解得：， 把代入解析式可得：，解得：， 故答案为：5． 13．（23-24八年级下·山西朔州·期末）某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”．该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据： 沉沙时间（小时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 本次实验开始记录的时间是上午，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为72克时的时间是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解析式等知识，正确求得函数解析式，求出函数自变量或函数值是解决本题的关键．先求出一次函数 ，然后令时，解得的值，然后结合起始时间是上午即可获得答案． 【详解】解：根据表格中的数据可知，当沉沙时间每增加2小时，电子秤读数增加12， ∴电子秤读数为沉沙时间的一次函数， 设电子秤读数为y（克），沉沙时间为x（小时），一次函数表达式为：，将点代入解析式中， 可得， 解得， ∴函数表达式为：； 把代入得：， 解得：， ∵起始时间是上午， ∴经过11小时的漏沙时间为． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·山西晋中·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．解题的关键：（1）熟练运用待定系数法求解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义． 【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得：当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴； 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得：当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 联立， 解得：， ∴经过分钟时，当两仓库快递件数相同． 故答案为：． 15．（22-23八年级上·山东青岛·期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元． 【答案】6000 【分析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，该公司获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，依题意得：， 设该公司获得利润为y元，依题意得： ， 即， ∵，y随着m的增大而增大， ∴当时，y取最大值，此时（元）， 答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元． 故答案为：6000． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键． 一次函数与行程问题题型03 16．（23-24八年级下·山西大同·期末）小强骑自行车去郊游，下图表示他离家的距离（千米）与所用的时间（小时）之间关系的函数图象，小强9点离开家，15点回到家，根据这个图象，请你回答下列问题： (1)小强到离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息时间多长． (3)除，外，问何时他离家？ 【答案】(1)小强到离家最远的地方需3小时，此时离家30千米 (2)10点30分开始第一次休息，休息时间为30分钟 (3)除，外，14点他离家 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题关键． （1）根据函数图象的纵轴的最大距离与横轴的时间分别解答即可； （2）根据休息时离家的距离不发生变化解答即可； （3）利用待定系数法求出直线的解析式，再求出当时，的值即可得． 【详解】（1）解：由函数图象可知，小强12点到达离家最远的地方， 所以小强到离家最远的地方需3小时，此时离家30千米． （2）解：由函数图象可知，10点30分开始第一次休息，休息时间为30分钟． （3）解：由函数图象可知，， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，，解得， 答：除，外，14点他离家． 17．（23-24八年级下·山西临汾·期末）甲、乙两人驾车都从地出发，沿一条笔直的公路匀速前往地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人到达地后均停止前行．已知，两地相距，设乙行驶的时间为，甲、乙两人之间的距离为，表示与的函数关系图象如图所示．根据图象，请解决以下问题： (1)由图象可知，甲比乙晚出发______，图中线段所在直线的函数解析式为______； (2)分别求出甲、乙的速度； (3)当甲、乙两人相距时，求的值． 【答案】(1)； (2)甲的速度为，乙的速度为 (3)时或时 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用 （1）根据函数图像中的数据可以求得线段所在直线的函数表达式； （2）根据题意和函数图像中的数据列出二元一次方程组可求得甲、乙的速度； （3）分两种情况：甲到达地前，令，代入线段所在直线的函数解析式求解；甲到达地后，确定线段所在直线的函数解析式，然后令，代入解析式求解即可； 解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【详解】（1）解：由图像可知，甲比乙迟出发， 设线段所在直线的函数解析式为， 由图像可知：点、在线段上， ∴， 解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为， 故答案为：；； （2）设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：， 解得：， 答：甲的速度为，乙的速度为； （3）甲到达地前， 由（1）知：线段所在直线的函数解析式为， 当时，得：， 解得：； 设线段所在直线的函数解析式为， 由图像可知：点、在线段上， ∴， 解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为， 当时，得：， 解得：； 综上所述，当为秒或小时时，甲、乙两人相距． 18．（23-24八年级下·山西大同·期末）项目化学习 项目背景：小明家最近购入一辆电动汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及电动汽车充满电的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了以下两组实验． 实验一：探究电池充电时电动汽车仪表盘显示的电量与充电时间之间的关系，数据记录如下表： 充电时间 0 30 60 90 … 显示的电量 0 25 50 75 … 实验二：探究电动汽车充满电后行驶过程中仪表盘显示的电量与行驶里程之间的关系，数据记录如下图： 建立模型：观察可知表中数据是正比例函数模型，图中数据是一次函数模型． 解决问题： (1)直接写出e关于t的函数解析式； (2)求e关于s的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； (3)当汽车充满电行驶时，求仪表盘显示的电量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，掌握待定系数法及求函数值是解题的关键． （1）设，将，代入，利用待定系数法求解即可； （2）设e关于s的函数解析式为,将，代入，利用待定系数法求解即可； （3）把代入，由此列方程求解． 【详解】（1）设，将，代入，得 ， 解得， e关于t的函数解析式为； （2）设e关于s的函数解析式为． 将，代入， 得． 解得 关于s的函数解析式为． （3）把代入，得． 答：仪表盘显示的电量为． 19．（24-25八年级上·山西运城·期末）学科实践 问题情境：体育课上，老师组织同学们进行往返障碍跑比赛.甲、乙二人在相邻两条直跑道上比赛（注：跑道长50米），他们从跑道同一起点出发，到达对面终点后，转身沿原路回到起点. 数学思考：同学们根据两人比赛信息画出了如图所示的部分图象（跑步的过程均视为匀速）.图中的折线是甲离起点的距离（米）与比赛时间（秒）的函数图象；线段是乙去程中离起点的距离（米）与比赛时间（秒）的函数图象.已知线段对应的函数表达式为. 问题解决： (1)求点的坐标及线段对应的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)乙在对面终点处转身过程中因故耽误了2秒，结果仍比甲提前3秒回到起点.请在坐标系中画出表示乙转身及返程途中，离起点的距离（米）与比赛时间（秒）之间的函数图象，并标明表示乙返程图象的两个端点的坐标； (3)请直接写出比赛过程中，当乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半时，比赛时间的值. 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查一次函数图像和性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函数图像和性质是解题的关键． （1）将点代入，即可得到点坐标，设，将代入，即可得到答案； （2）根据题意补全图形即可； （3）分到达点前，和到达点后两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：将代入， 解得， ， 设， 将代入， ， ， ； （2）解：根据题意补全图形， （3）解：到达点前，乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半， 即， 解得； 到达点后，乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半， 设， 将代入， 解得 ， 设， 将代入， 解得 ， 乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半， 即， 解得； 综上所述，乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半，比赛时间的值为或． 一次函数与商品销售问题题型04 20．（23-24八年级下·山西大同·期末）清徐葡萄产于山西省太原市清徐县，其特点是皮薄、粒大、糖分高，色彩鲜艳．某水果店销售，两种盒装清徐葡萄，其进价和售价如下表： 种 种 进价/（元/盒） 45 60 售价/（元/盒） 70 90 该店计划购进这两种清徐葡萄共盒，且计划购进种葡萄的盒数不多于种葡萄的倍，假设所购进的葡萄全部售完（损耗忽略不计），如何安排进货，才能使销售葡萄的总利润最大？最大总利润为多少元？ 【答案】当购进种清徐葡萄盒，种清徐葡萄盒时，才能使销售葡萄的总利润最大，最大总利润为元 【分析】根据题意可以列出相应的不等式，求出的取值范围，再根据题意可以写出利润与清徐葡萄的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 【详解】解：设购进种清徐葡萄盒，销售葡萄的总利润为元． 由题意，得 ， 随的增大而减小 购进种葡萄的盒数不多于种葡萄的倍， ，解得 当时，有最大值，为 种清徐葡萄为：（盒） 答：当购进种清徐葡萄盒，种清徐葡萄盒时，才能使销售葡萄的总利润最大，最大总利润为元． 【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质进行解答． 21．（23-24八年级下·山西大同·期末）为庆祝中华人民共和国成立周年，某平台店计划购进，两种纪念币，进价和售价如下表所示： 品名 进价（元/枚） 售价（元/收） (1)第一次购进种纪念币枚，种纪念币枚，全部售完后获利元，求种纪念币的售价是多少元？ (2)第二次计划购进两种纪念币共枚，且种纪念币的进货数量不少于种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)第二次购进种纪念币枚，购进种纪念币枚，利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了一元一次方程、一次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设种纪念币的售价是元，由题意得，即可求解； （2）设第二次计划购进种纪念币枚，则购进种纪念币枚，设利润为，由题意得，结合即可求解. 【详解】（1）解：设种纪念币的售价是元， 由题意得：， 解得： ∴种纪念币的售价是元 （2）解：设第二次计划购进种纪念币枚，则购进种纪念币枚，设利润为 由题意得： ∵， ∴随的增大而减小． ∵， ∴ ∴当时，利润最大，最大利润为 此时 故：第二次购进种纪念币枚，购进种纪念币枚，利润最大，最大利润为元 22．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）为迎接月日的世界读书日，某书店制定了活动计划，下表是活动计划的部分信息： 书本类别 类 类 进价（元） 备注 ．用不超过元购进两类图书共本； ．类图书不少于本． (1)杨经理查看计划时发现：类图书的标价是类图书标价的倍．若顾客用元购买图书，能单独购买类图书的数量恰好比单独购买类图书的数量少本，请求出两类图书的标价； (2)经市场调查后，杨经理发现他们高估了“读书日”对图书销售的影响，便调整了销售方案：类图书每本按标价降低元()销售，类图书价格不变．那么书店应如何进货才能获得最大利润． 【答案】(1)两类图书的标价分别是元、元； (2)当书店进类本，类本时，书店获最大利润． 【分析】（）设类图书的标价为元，则类图书的标价为元，根据题意，列出分式方程即可求解； （）设类进货本，则类进货本，利润为元，根据题意，列出不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数关系，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设类图书的标价为元，则类图书的标价为元， ， 解得， 经检验是原分式方程的解， ∴， 答：两类图书的标价分别是元、元； （2）解：设类进货本，则类进货本，利润为元， 由题意得， 解得， 又由题意得，， ∵， ∴， ∴随的增大而增大， ∴当时，取最大值， ∴， 答：当书店进类本，类本时，书店获最大利润． 23．（23-24八年级下·山西临汾·期末）学校综合实践活动小组针对货物销售量最大化开展项目化学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：在保证获利的前提下，怎样使得销售量最大化 驱动问题：数学来源于生活，也服务于生活．请你运用所学数学知识帮助玩具店王老板的玩具销售量最大化 分步探究： 任务一：市场调查 某玩具店王老板以元/个的价格新购进一种新益智玩具，项目组同学帮王老板调查了附近五家玩具店近期该种益智玩具的售价与日销售量情况，记录如下： 玩具店 售价（元/个） 日销售量（个） B 61 280 E 60 300 A 59 320 D 58 340 C 56 380 任务二：模型建立 (1)根据调查记录表中的信息可知，该益智玩具的日销售量（个）是销售定价（元）的______函数（选填“一次”“正比例”“反比例”），与的函数关系式是_______； 任务三：问题解决 (2)玩具店王老板考虑房租、运费、人工费等方面开支，销售这种益智玩具的利润率不得低于，当这种益智玩具每个销售定价为多少元时，每天的销售量最大？最大销售量为多少个？ 【答案】(1)一次， (2)当这种益智玩具每个销售定价为元时，每天的销售量最大，最大销售量为个 【分析】本题主要考查一次函数，不等式与销售问题的综合运用，利润率的计算方法， （1）根据表格信息可得是一次函数，运用待定系数法即可求解函数解析式； （2）根据利润率利润成本，再根据不等式，函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息可得，日销售量（个）是销售定价（元）的一次函数， 设该一次函数解析式为，把代入得， ， 解得，， ∴与的函数关系式是：， 故答案为：一次，； （2）解：根据题意，这种益智玩具每个销售定价为元，日销售量为， ∴，整理得，， ∵，即随的增大而减小，且， ∴， 解得，， ∴当这种益智玩具每个销售定价为元时，每天的销售量最大，最大销售量为个． 一次函数与方案选择问题题型05 24．（23-24八年级下·山西临汾·期末）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价8.5折出售； 乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示. (1)分别求，关于的函数关系式； (2)两图象交于点，求点坐标； (3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算． 【答案】(1)y甲=0.85x；y乙与x的函数关系式为y乙= (2)（600，510） (3)当x＜600时，选择甲商店更合算；当x=600时，两家商店所需费用相同；当x＞600时，选择乙商店更合算． 【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式； （2）根据（1）的结论列方程组解答即可； （3）由点A的意义并结合图象解答即可． 【详解】（1）由题意可得，y甲=0.85x； 乙商店：当0≤x≤300时，y乙与x的函数关系式为y乙=x； 当x＞300时，y乙=300+（x-300）×0.7=0.7x+90， 由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙= （2）由，解得， 点A的坐标为（600，510）； （3）由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元， 结合图象可知， 当x＜600时，选择甲商店更合算； 当x=600时，两家商店所需费用相同； 当x＞600时，选择乙商店更合算． 【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 25．（23-24八年级下·山西长治·期末）综合与实践 某街道办事处积极落实国家垃圾分类政策，预在所辖小区内安装垃圾分类宣传版面及分类垃圾箱，旨在提升居民垃圾分类意识与参与度．为评估这一举措的有效性，并进一步优化方案，现邀请友谊班同学作为小小环保员，运用数学知识与方法，研究如何购买这批物资性价比更高．同学们首先走访调查了居民对垃圾分类的了解程度、日常分类行为及对现有宣传版面、垃圾箱的满意程度，同时实地记录各商场和垃圾生产厂家对垃圾箱的定价，得到如下方案： 方案一：从垃圾箱加工厂直接购买，购买所需的费用与垃圾箱个数(个)满足如图①所示的函数关系； 方案二：租赁机器自己加工，所需费用(包括租赁机器的费用和生产垃圾箱的费用)与垃圾箱个数(个)满足如图②所示的函数关系． 问题解决： 根据图象回答下列问题： (1)①方案一中每个垃圾箱的价格是______元； ②方案二中租赁机器的费用是______元，生产一个垃圾箱的费用是______元； (2)请分别求出，关于的函数关系式； (3)试说明该街道办事处购买垃圾箱时，选择哪种方案更优惠？ (4)若该街道办事处购买垃圾分类宣传版面和垃圾箱共个，购买个垃圾分类宣传版面的单价是元，个垃圾箱的单价是元，且购买垃圾箱的个数不多于垃圾分类宣传版面个数的倍，问：该街道购买多少个垃圾分类宣传版面时，所需总费用最少？ 最少是多少元？ 【答案】(1)①；②，； (2)，； (3)当时，选择方案一更优惠；当时，两种方案一样；当时，方案二优惠； (4)购买个垃圾分类宣传版面时，所需总费用最少，最少费用为元． 【分析】（）根据函数图象即可求解； （）利用待定系数法解答即可求解； （）分三种情况：，和解答即可求解； （）设购买垃圾分类宣传版面，则购买垃圾箱个，所需总费用为元，列出不等式求出的取值范围，再求出与的一次函数解析式，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题查考查了一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：①由函数图象可得，方案一中每个垃圾箱的价格是元， 故答案为：； ②由函数图象可得，方案二中租赁机器的费用是元，生产一个垃圾箱的费用是元， 故答案为：，； （2）解：设，把代入得，， ∴， ∴， 设，把和代入得， ， 解得， ∴； （3）解：当，即时， 解得； 当，即时， 解得； 当，即时， 解得； ∴当时，选择方案一更优惠；当时，两种方案一样；当时，方案二优惠； （4）解：设购买垃圾分类宣传版面个，则购买垃圾箱个，所需总费用为元， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ∵， ∴当时，的值最小，， 即购买个垃圾分类宣传版面时，所需总费用最少，最少费用为元． 26．（23-24八年级下·山西朔州·期末）项目化学习 项目主题：哪一款手机资费套餐更合适． 项目背景：做一件事情、有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的．手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用．某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究“哪一款手机资费套餐更合适”． 研究步骤： （1）实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐； （2）查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐； （3）数据分析，形成结论． 收集数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 通话 流量 通话 A 60元 30GB 500分钟 5元/GB 0.1元/分钟 B 180元 60GB 1000分钟 3元/GB 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费+通话超时费）；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． (1)建立模型：据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究流量与手机资费的关系： ①小明妈妈5月份的通话时长为480分钟，使用流量，若使用A套餐，这个月她的手机资费是______元； ②设小明妈妈每月手机资费为y（元），每月使用流量为，通过分析数据，完成下面的填空． A套餐：当时，______；B套餐：当时，______． (2)图象表示：为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出A套餐和B套餐每月手机资费y（元）关于每月使用流量的函数图象．下面已给出部分图象，请你补充完整． (3)应用模型：结合上面信息，请你为小明妈妈提出一条套餐使用建议． 【答案】(1)①110；②； (2)见解析 (3)当每月使用流量不足时，使用A套餐，当每月使用流量等腰时，使用A套餐和B套餐均可以，当每月使用流量超过时，使用B套餐．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一次函数应用和不等式的应用，解题的关键是理解题意，求出一次函数解析． （1）①根据题干提供的信息列式计算即可； ②根据题干提供的信息，列出函数解析式即可； （2）根据解析（1）②得出的函数解析式，画出函数图象即可； （3）分别求出，，时，x的取值范围，然后再提出建议即可． 【详解】（1）解：①（元）， 这个月她的手机资费是110元； ②当时，， 即； 当时，， 即； （2）解：函数图象，如图所示： （3）解：令， 解得：， 令， 解得：， 令， 解得：， 建议：当每月使用流量不足时，使用A套餐，当每月使用流量等于时，使用A套餐和B套餐均可以，当每月使用流量超过时，使用B套餐． 27．（23-24八年级下·山西临汾·期末）某小组开展了《哪一款手机资费套餐更合适》项目学习．以下是该小组某位同学活动报告的部分内容． 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 语音 流量 语音 A 90元 30GB 300分钟 3元/GB 0.1元/分钟 B 150元 60GB 500分钟 套餐说明： （1）月资费=月费+超出套餐资费；（流量超出费+语音超时费） （2）套餐内，流量和语音均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 访谈内容 收集并整理妈妈近六个月的话费账单，发现她语音通话很少，每月最多不超过200分钟 建立模型 （1）语音通话没有超出套餐内容，所以只需研究流量与手机资费的关系．设妈妈每月手机资费y（元），每月使用流量． A套餐：当时，； B套餐：当时，_________． （2）为了直观比较，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象 如图 根据以上报告内容，解决下列问题： (1)当时，求B套餐每月手机资费（元）与每月使用流量之间的关系式； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出B套餐的大致图象； (3)根据图象可知：当x______时，选择A套餐更合适；当x_______时，选择B套餐更合适． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)， 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用． （1）根据题意列出与x之间的关系式即可； （2）分别确定直线上两点即可画出的图象； （3）由的图象交点的横坐标，数形结合求解即可． 【详解】（1）解：由题意得当时，； （2）解：当时，； 当时，； B套餐的大致图象如图； ； （3）解：观察图象知当时，选择A套餐更合适； 当时，选择B套餐更合适． 故答案为：，． 一次函数与其它学科的综合应用题型06 28．（22-23八年级下·山西晋城·期末）小南在阅读物理课外书时，了解到在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间满足一次函数关系．他通过实验验证了这个事实，他的测量结果如下表所示： 所挂物体质量 0 1 2 3 弹簧的长度 3 4 5 6 (1)根据所测量的数据，求该弹簧的长度y（）与所挂物体质量x（）之间的函数关系式 (2)小南妈妈在市场买了水果，小南将该水果放在袋中（袋子的质量忽略不计）挂到该弹簧下（在弹性限度内），并测得弹簧的长度为．请你通过计算帮助小南确定该市场老板的称是否足称． 【答案】(1)； (2)该市场老板的称足称． 【分析】（1）设与的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的关系式，求出的值，即可得解． 【详解】（1）设弹簧的长度与所挂物体质量之间的函数关系式为，将，代入得， ， 解得， ∴； （2）将代入得， ， 解得， ∵， ∴该市场老板的称足称． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式． 29．（23-24八年级下·山西朔州·期末）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图像分别为图2中的线段，． 根据以上信息，回答下列问题．    (1)求线段对应的函数解析式． (2)先用普通充电器充电ah，电量达到后，感觉充电较慢，再改为快速充电器充电，电量充满时充电总时长为bh．通过计算求出a，b所对应的值，并在图2中画出电量y与充电时间x的函数图像． 【答案】(1)线段对应的函数解析式为 (2)a的值为3，的值为，图像见详解 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入求出a的值，根据图像可得知快速充每小时充电，由此可求得用快速充电器充电还需1小时，即可得b的值． 本题主要考查了用待定系数法求一次函数的表达式，以及利用一次函数解决实际问题．能够理解题意，并能从图像中获取信息是解题的关键． 【详解】（1）解：设线段对应的函数解析式为． 将，代入，得， 解得， 线段对应的函数解析式为． （2）解：将代入，得， 解得，即a的值为3，即普通充电器充电时间为3小时． 由图知快速充电器2小时充电，因此每小时充电， 因此用快速充电器还需小时， ∴． 函数图像(图中粗实线)如下：    30．（23-24八年级下·山西临汾·期末）下面是物理课得到的一些信息，请你仔细阅读并完成相应任务． 在物理实验课上，八（一）班同学以组为单位进行弹簧测力计实验，勤奋好学组发现，在弹簧的弹性范围内弹簧秤的长度（厘米）与弹簧所挂物体的质量（千克）之间有特殊的函数关系． 实验步骤如下： 第一步，实验测量．根据物理知识，改变物体质量的大小，通过测量，观察弹簧秤的刻度变化． 第二步，整理数据．根据砝码的质量测量弹簧的长度，并把结果记录整理得到下表对应的数据． … 1 2 3 4 5 … … 6.3 6.6 6.8 7.2 7.5 … 第三步，描点连线．为了确定这是什么函数，勤奋好学组以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点，并用光滑的曲线把这些点连起来． 第四步，数据分析．在分析数据时，她们观察图象发现一个数据有误，重新测量后，发现猜想正确，并修改了错误的数据． 任务： (1)表格中错误的数据是 ，修改后正确的是 ． (2)请你确定与之间的函数关系式． (3)请直接写出时的取值范围． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）通过表格发现，质量每增加1千克，弹簧秤的长度增加厘米，即可求解； （2）利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式； （3）根据图表数据与函数关系式的增减性，即可求解． 【详解】（1）解：通过表格发现，质量每增加1千克，弹簧秤的长度增加厘米， 即表格中错误的数据是修改后正确的是， 故答案为：；； （2）解：设与之间的函数关系式为， 则，解得：， 即与之间的函数关系式为； （3）解：由表格可知，时，，且随的增大而增大， 时的取值范围为． 31．（23-24八年级下·山西忻州·期末）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成．箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组以此为学习项目，仿制了一套浮箭漏并从函数角度进行了如下实验探究． 项目课题 从函数角度探究浮箭漏 项目研究过程 方案及图示    相关数据及说明 记录实验数据，得知箭尺读数和供水时间近似满足一次函数的关系，当时，；当时，． 研究任务 （1）在上述平面直角坐标系中，画出的函数图象． （2）求读数与供水时间之间的函数关系式． （3）如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么到下午15：00时，箭尺读数增加了______cm． 【答案】（1）画图见解析；（2）；（3）36 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，画一次函数的图象； （1）先描点，再根据一次函数的图象是直线画图即可； （2）设函数为，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）先分析得到，再计算函数值，从而可得答案； 【详解】解：（1）如图，描点，，画线段如下：    （2）设函数为， ∴， 解得：， ∴函数为：； （3）上午9：00，到下午15：00时，此时， 当时，； ∴； ∴箭尺读数增加了； 32．（23-24七年级下·山西临汾·期末）【项目化学习】“浮力与浸水深度之间的关系” 如图是小马同学做物体浮力实验的示意图，下方为盛水的烧杯，上方是由弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，已知该圆柱体的重力为，高度为小马将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下： 圆柱体浸入水中的深度 0 1 2 3 4 弹簧测力计示数 12 10.4 8.8 7.2 5.6    (1)请你观察表中数据，利用合适的函数模型求出弹簧测力计示数与圆柱体浸人水中的深度之间的函数表达式 (2)请你计算出当圆柱体完全浸入水中时，该圆柱体所受浮力的大小；（温馨提示：当圆柱体入水后，） (3)已知当圆柱体完全浸入水中之后，浮力大小不变，请你在平面直角坐标系中画出圆柱体浸入水中的深度为的函数图像． 【答案】(1) (2)当圆柱体完全浸入水中时，圆柱体所受浮力的大小为9.6N (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）方法一：观察表格发现弹簧测力计的初始示数为12，h每增加1，F减少1.6，由此可得F与h的关系式为； 方法二：设F与h之间的函数表达式为，把,与,代入表达式中，利用待定系数法求解即可； （2）先根据求出时F的值，再代入中，即可求出的值． （3）根据题意可知当，F与h是一次函数关系；当，浮力大小不变，图像是一条平行于x轴的线段，由此即可作出图像． 【详解】（1）解：由题意，得． 方法二：由题意，F与h满足一次函数关系， 设F与h之间的函数表达式为， 把,与,代入，得 ，   ∴， ． （2）解：由题意，得 当时，， ∵，， ． 答：当圆柱体完全浸入水中时，圆柱体所受浮力的大小为． （3）解：根据题意可知当，F与h是一次函数关系；当，浮力大小不变为，图像是一条平行于x轴的线段，因此的函数图像如图所示 ．    33．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）跨学科学习：研究光的折射现象 学科背景：光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射. 学习目标1：光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关系； 学习过程1：如图1，当光从空气斜射入水中，折射光线向法线偏折，折射角小于入射角.改变入射角的大小，记录折射角的大小. 数据记录：     入射角（度） 折射角（度） 学习目标2：为什么池水看起来比实际浅. 学习过程2：如图2，因为池底点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，逆着折线光看去，就会感觉这一点升高了. 如图3，以水面所在直线为轴，所在直线为轴，它们的交点为原点，建立平面直角坐标系.已知眼睛的坐标为，点的坐标为，点的坐标为.（1个单位长度表示1米） 解决问题： （1）光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关系？___________（填“是”或“否”）； （2）求人眼睛看到池底处的点比实际的点处高多少？（即的长度） 【答案】（1）否；（2） 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据表格数据当入射角度增加相同的度数，而折射角增加的度数不相等，据此，即可求解； （2）根据题意求得直线的解析式，进而求得点，即可求解． 【详解】解：（1） ， ∴入射角和折射角不存在一次函数关系， 故答案为：否． （2）设直线的解析式为，的坐标为，点的坐标为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时，，即 ∵点的坐标为. ∴ 答：人眼睛看到池底处的点比实际的点处高米． 1．（23-24八年级下·山西忻州·期末）暑假来临，某校计划安排两位老师带领部分学生外出游学参与社会实践，他们联系了报价均为每人200元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生按六折收费；乙旅行社的优惠条件是：老师与学生都按照七折收费． (1)设总人数为x人，选择甲旅行社时，所需费用为元，选择乙旅行社时，所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式． (2)当学生人数在什么范围时，选择甲旅行社所需费用较少？并说明理由． 【答案】(1)， (2)当总人数少于8人，选择乙旅行社花销较少；总人数为8人，两个旅行社花销相同；总人数超过8人时，甲旅行社花销较少． 【分析】本题主要考查一次函数的应用．分类探讨选择花销较少的旅行社是解题的关键． （1）根据“甲旅行社所需费用=两位老师的费用+学生人数”和“乙旅行社所需费用=总人数”以及相关数值即可解答； （2）分别算出、、三种情况求得对应的x的值，即可根据人数判断出花销较少的旅行社． 【详解】（1）解：由题意可得：；． （2）解：①当时，，解得：， 所以，当人数小于8人时，乙旅行社的费用较少； ②当时，，解得：； 所以，当人数为8人时，两旅行社的费用相同； ③当时，，解得：， 所以，当人数大于8人时，甲旅行社的费用较少． 答：当总人数少于8人，选择乙旅行社花销较少；总人数为8人，两个旅行社花销相同；总人数超过8人时，甲旅行社花销较少． 2．（24-25八年级上·山西太原·期末）北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功!神舟十八号航天员乘组将进行多次出舱活动，开展微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域实（试）验与应用等各项任务．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元． (1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元； (2)当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是1700元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元，根据“2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元；6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则购进件乙种航天载人飞船模型，利用总利润=每个甲种航天载人飞船模型的销售利润×购进甲种航天载人飞船模型的数量+每个乙种航天载人飞船模型的销售利润×购进乙种航天载人飞船模型，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元； （2）解：设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则购进件乙种航天载人飞船模型， 根据题意得：， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， 又∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 此时． 答：当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是1700元． 3．（23-24八年级上·山西晋中·期末）在“制作计时器”项目式学习中，小明利用古代漏壶原理制作如下计时器模型：是一个高为的圆柱形玻璃容器是塑料制作的底托为轻质塑料标尺，将水龙头调至匀速滴水，经过2小时标尺显示底托高度由上升到其中标尺显示底托的高度是滴水时间(小时)的正比例函数． (1)求与的函数关系式． (2)该装置最多可计时多长时间？ 【答案】(1) (2)小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，正比例函数解析式．熟练掌握一次函数的应用，正比例函数解析式是解题的关键． （1）设与的函数关系式为，将，代入可求，进而可得与的函数关系式； （2）将代入，计算求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将，代入得，， 解得，， ∴与的函数关系式为； （2）解：将代入得，， 解得，， ∴该装置最多可计时小时． 4．（23-24八年级下·山西大同·期末）在“一带一路”战略的影响下，某茶叶经销商准备把“茶路”融入“丝路”，经计算，他销售每千克A级茶，B级茶的利润分别为100元，150元．若该经销商决定购进A，B两种级别的茶叶共200千克用于出口，设购进A级茶x千克，销售总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，请你帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值． 【答案】(1) (2)当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160千克时，总利润的最大值是28000元 【分析】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式； （2）根据其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，可以得到x的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到该经销商如何进货，使销售总利润最大，并求出总利润的最大值． 【详解】（1）由题意可得， ， 即y与x的函数关系式为； （2）∵其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍， ∴， 解得，， ∵， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值为， ， 即当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160千克时，总利润的最大值是28000元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 5．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）为发展我市旅游经济，丹东天桥沟景区对门票采用动态的售票方法吸引游客，规定：门票定价为100元/人，非节假日打折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即10人以下（含10人）的团队按原价售票；超过10人的团队，其中10人仍按原价售票，超过10人部分的游客打折售票。设某旅游团人数为人，非节假日购票款为（元），节假日购票款为（元），、与之间的函数图象如图所示. （1）观察图象可知：_______，__________； （2）直接写出和的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）导游小王10月1日带团，10月20日（非节假日）带团都到天桥沟景区旅游，共付门票款4600元，、两个团队合计60人，求、两个团队各有多少人？ 【答案】（1），；（2），；（3），两个团队各有40人和20人。 【分析】（1）根据函数图像，用购票款数除以定价的款数，计算即可求出a的值；用第11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可求出b的值； （2）利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1；分x≤10与x>10，利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与x的函数关系式即可； （3）设A团有n人，则B团的人数为（60-n），然后分0≤n≤10与n>10两种情况，根据（2）的函数关系式列出方程求解解即可. 【详解】解：（1）    （2） （3）设团有人，团有人， 当时， 解得：（不合题意，故舍去） 当时， 解得： （人） 答：，两个团队各有40人和20人. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式和从图表获取必要的信息是解答本题的关键. 6．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）2024年4月24日是第九个“中国航天日”，八年级某班组织40名同学到航天展览馆参观，已知展览馆分为，，三个场馆，场馆门票的价格是每张50元，场馆门票的价格是每张40元．由于场地原因，要求每位同学只能选择一个场馆参观，参观当天刚好有优惠活动：每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票，且购买场馆的门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用．设到场馆参观的人数为人，此次购买门票所需总金额为元． (1)求关于的函数解析式． (2)若到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，求此次购买门票所需总金额的最小值． 【答案】(1) (2)此次购买门票所需总金额的最小值为1210元 【分析】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键是求出函数解析式． （1）购买场馆门票张，则购买场馆门票张，根据此次购买门票所需总金额等于购买，两个场馆门票之和，列出函数解析式； （2）根据“到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数”求出的取值范围，再用函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设购买场馆门票张，则购买场馆门票张， 依题意得：， ∴关于的函数解析式为； （2）依题意得：， 解得：，且为整数， 在中， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值． 答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元． 7．（22-23八年级下·山西朔州·期末）【阅读材料】在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：已知小明家、文具店、体育场依次在同一条直线上，体育场离小明家，文具店离小明家，小明从家跑步到体育场；在那里锻炼了后，又匀速步行了到文具店买圆规；在文具店停留了后，匀速步行返回家，给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离km与小明离开家的时间min之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题：    (1)填表： 离开家的时间/min 5 12 30 50 65 离开家的距离/km 1 2.6 (2)填空： ①体育场到文具店的距离为________km； ②小明从文具店返回家的速度为________km/min； ③当小明离家的距离为2km时，他离开家的时间为___________． (3)当时，请直接写出关于的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2)①0.8；②0.1；③10min或67min (3) 【分析】（1）根据图象中线段的含义作答即可； （2）①根据图象作答即可；②根据图象作答即可；③根据离开和回家时离家 ，两种情况进行求解； （3）利用待定系数法以及函数图象写函数关系式即可． 【详解】（1）解：由题意知，前15，小明匀速运动，速度为 ， ∴在第12时，离家的距离为 ， 由图象可知，30时，离家的距离为 ；65时，离家的距离为 ； 填表如下： 离开家的时间/min 5 12 30 50 65 离开家的距离/km 1 2.4 3 2.6 2.2 （2）①解：由题意知， ， 故答案为：； ②解：小明从文具店回家用了 ， ∵， ∴小明从文具店走回家的速度为 ， 故答案为：； ③解：由题意知，出发去体育场，离家距离为2时，离家的时间为 ， 从文具店回家，离家距离为2时，还需要时间为 ， ∴离家时间为 ， ∴当小明离家的距离为2时；他离开家的时间为10或67， 故答案为：10或67； （3）解：设45到55之间的函数解析式为， 将，，代入得，， 解得， ∴ 【点睛】本题考查了一次函数的应用，函数图象．解题的关键在于从图象中获取正确的信息并理解图象的含义． 8．（23-24八年级下·山西运城·期末）在某中学团支部爱心义卖活动中，准备了无人机模型和玩具车模型共100台，若售出3台无人机模型和2台玩具车模型收入130元，售出4台无人机模型和3台玩具车模型收入180元． (1)问两种模型的售价各是多少元？ (2)已知无人机模型的数量不超过66，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台时总收入最多？并求出总收入的最大值． 【答案】(1)无人机模型的售价是30元，玩具车模型的售价是20元 (2)准备无人机模型66台，玩具车模型34台时总收入最多，总收入的最大值为2660元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）设无人机模型的售价是元，玩具车模型的售价是元，根据售出3台无人机模型和2台玩具车模型收入130元，售出4台无人机模型和3台玩具车模型收人180元，可以列出相应的方程组，然后求解即可； （2）设准备无人机模型台，总收入为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的性质求得结果． 【详解】（1）设无人机模型的售价是元，玩具车模型的售价是元． 根据题意得，解得 答：无人机模型的售价是30元，玩具车模型的售价是20元． （2）设准备无人机模型台，总收入为元， 则根据题意得． ∵，， ∴的值随值的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为． 此时，， 所以准备无人机模型66台，玩具车模型34台时总收入最多，总收入的最大值为2660元． 9． （22-23八年级下·山西忻州·期末）今年暑假，学校计划组织八年级的同学参观大学城，经调查得八年级共有670名同学，计划租用12辆客车，现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表： 租金/（元/辆） 载客量/（座/辆） 甲种客车 3500 50 乙种客车 4000 60 (1)如果恰好一次性将670名学生送往大学城且客车全部坐满，那么应租用甲、乙两种客车各多少辆？ (2)设租用甲种客车x辆，租车费用y元． ①求y与x的函数关系式．（要求写出x的取值范围） ②在保证所有同学均能送达大学城的情况下，怎样租车费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)应租用甲种客车辆，乙种客车辆． (2)①      ②应租用甲种客车辆，乙种客车辆，最低费用为元． 【分析】（1）设应租用甲种客车辆，乙种客车辆，根据车辆数量和学生数量的等量关系，可列关于和的二元一次方程组，求解可得答案． （2）根据两种车辆的载客量总数应大于等于学生总数，可列关于的一元一次不等式，求解可得的取值范围；根据与的函数解析式的特点，可确定当取何值时取得最小值． 【详解】（1）解：设应租用甲种客车辆，乙种客车辆． 根据题意，得 解得 经检验，方程组的解符合题意． 答：应租用甲种客车辆，乙种客车辆． （2）①租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆． 根据题意，得 ． 解得： ． 根据题意，得： ． 化简，得： ． ②根据可知随的增大而减小，所以当时，租车费用有最小值，即 (元) ． 所以，应租用甲种客车辆，乙种客车辆，最低费用为元． 【点睛】本题主要考查列二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数解决实际问题，能用含有未知数的代数式表示出等量关系（或不等关系）得到二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数解析式是解题的关键． 10．（22-23八年级下·山西临汾·期末）为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）． 方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品． 方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折． 设校学生会计划购买个A种奖品，且是5的倍数，选择方案一的总费用为元，选择方案二的总费用为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式． (2)校学生会选择哪种方案支付的费用较少？ 【答案】(1)， (2)当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少 【分析】（1）根据总费用，两种奖品费用之和列出、关于的函数解析式； （2）根据（1）中解析式分三种情况讨论：，，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，． （2）解：由，得． 解得； 由，得． 解得； 由，得． 解得． 答：当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少． 【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出函数解析式． 11．（23-24八年级下·山西临汾·期末）项目式学习 项目主题：重视水龙头滴水的浪费现象． 项目背景：日常生活中，经常存在由于水龙头阀门损坏，从而出现水龙头不断向外滴水的情况，造成水资源浪费．某校学习小组以“重视水龙头滴水的浪费现象”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系． 研究步骤： （1）准备好量筒和计时器． （2）确定因损坏而滴水的水龙头． （3）在控制影响水龙头滴水量的其他变量（如刮风等）的情况下，将量筒放在所选水龙头正下方接水，每隔一分钟记录量筒中的总水量．但由于操作延误，开始计时时量筒中已经接了少量的水，因而得到如下表所示的一组数据． （4）分析数据，形成结论． 试验数据： 时间 1 2 3 4 5 … 总水量 7 12 17 22 27 … 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）①根据上表中的数据，判断量筒中的总水量与时间是______（填“正比例”“一次”或“反比例”）函数关系； ②求与之间的函数关系式． （2）已知所用量筒的量程是，求当计时多少分钟时，量筒内的水刚好到达量程的最大刻度处． （3）若一个人一天大约饮用的水，求这个水龙头10天的滴水量可供一个人饮用多少天． 【答案】（1）①一次；②；（2）19.6分钟；（3）可供一个人饮用48天 【分析】本题考查一次函数的应用，求一次函数代数式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）观察表格可知，与t符合一次函数关系，用待定系数法可得函数解析式； （2）当时，可求出此时的时间； （3）列式计算可得这个水龙头10天的漏水量可供一人饮用48天． 【详解】解：（1）①观察表格可知，与是一次函数关系， 故答案为：一次； ②设函数关系式为：，把代入得： ，解得：， ； （2）当时，， ， 当计时19.6分钟时，量筒内的水刚好到达量程的最大刻度处； （3）由（1）可知，这个水龙头每分钟漏水， 天漏水， 天， 这个水龙头10天的滴水量可供一个人饮用48天． 12．（23-24八年级下·山西临汾·期末）某校八年级开展了《哪一款手机资费套餐更合适》项目学习．以下是小明同学活动报告的部分内容． 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 语音 流量 语音 A 90元 30GB 500分钟 3元/GB 0.1元/分钟 B 150元 60GB 1000分钟 套餐说明： 1．月资费=月费+超出套餐资费（流量超出费+语音超时费）． 2．套餐内，流量和语音均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 访谈内容 收集并整理妈妈近六个月的话费账单，发现她语音通话很少，每月最多不超过300分钟． 建立模型 1．语音通话没有超出套餐内容，所以只需研究流量与手机资费的关系．设妈妈每月手机资费（元），每月使用流量（GB）． A套餐：当时，； B套餐：当时，__________； 2．为了直观比较，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象（如下图）． 根据以上报告内容，解决下列问题： (1)当时，求B套餐每月手机资费（元）与每月使用流量（GB）之间的关系式； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出B套餐的大致图象； (3)根据图象可知：当__________时，选择A套餐更合适；当__________时，选择B套餐更合适． 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了一次函数的应用： （1）依据题意，当时，由题意代入计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）进行分析即可作图； （3）依据题意，由（2）的图象进行判断可以得解． 【详解】（1）由题意得，． （2）由题意，结合（1）当时，；当时，，进而作图如下． （3）由题意，当时，选择A套餐更合适；当时，选择B套餐更合适． 故答案为：，． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$