第02讲 相似三角形的判定（6知识点+5大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第02讲 相似三角形的判定 （6知识点+5大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”． D A B C E 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 知识点02.判定三角形相似的预备定理（重点） 平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． 知识点03.三角形相似的判定定理1（重点） 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． A B C A1 B1 C1 要点诠释： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.常见模型如下： 知识点04.三角形相似的判定定理2（重点）（难点） 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 要点诠释： 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 知识点05.三角形相似的判定定理3（重点） 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． A B C A1 B1 C1 知识点06判定两个直角三角形相似定理（重点） 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 如图，在和中，如果，，那么∽． 【题型1 利用平行判定相似】 【例1】如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【变式1】如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求证：△BDE∽△EFC． 【变式1-2】如图，在梯形中，//，且，点、分别是、的 中点，与相交于点． （1）求证：； （2）若，求． A B C D E F M 【题型2 利用两角对应相等判定相似】 【例2】如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【变式2-1】如图，在矩形中，为边上一点，将点沿翻折恰好落到边上的点处．求证：； 【变式2-2】如图，是等边三角形，，求证． A B C D E 【变式2-3】正方形中，是中点，于点，厘米，求的长． 【变式2-4】如图，在中，，，是内一点，且． 求证：． A B C P 【变式2-5】如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 【变式2-6】如图，在中，，//，点在边上，与相交于点 ， 且． （1）求证：； （2）． A B C D E F G 【题型3 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例3】已知：D、E是的边、上的点，，，，，求证：． 【变式3-1】如图，在与中，，．求证：． A B C D E 【变式3-2】如图，是内一点，是外一点，，， 求证：． A B C D E 【变式3-3】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【变式3-4】如图，在中，，是边上的高，点在线段上，， ，垂足分别为、． 求证：（1）；（2）． A B C D E F G 【题型4 利用三边对应成比例判定相似】 【例4】如图，在中，，，，求证：．    【变式4-1】如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：∽． A B C D E F 【变式4-2】如图，D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点．求证：∽． A B C D E F 【变式4-3】如图，点D为内一点，点E为外一点，且满足． 求证：∽． A B C D E 【变式4-4】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【变式4-5】已知：如图，在中，，，，点D 在BC边上，且． （1）求AD的长； （2）取AD、AB的中点E、F，联结CE、CF、EF．求证：∽． A B C D E F 【题型5 判定两个直角三角形相似】 【例5】如图，在和中，，，垂足为D和，且 ． 求证：∽． A B C D A1 B1 D C1 【变式5-1】如图，四边形ABCD中，，，，． 求证：． A B C D 【变式5-2】如图，，，且．求证：． A B C D 【变式5-3】如图，在中，于D，于F，于G．求证：． A B C D F G 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知的三边都不相等，如果与相似，且，那么下列等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海金山·期中）中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，将绕点B顺时针旋转，使得点A落在边上，点A、C的对应点分别为D、E，边交于点F，连接．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　）    A． P是边的中点 B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 8．（22-23九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，点在边上，如果，那么图中一定相似的三角形是 ． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 10．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，中，，，点D是边上的中点，图中与相似三角形是 ． 11．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 三、解答题 12．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）已知：如图，在和中，． 求证：．（友情提醒：不能用一个定理本身去证明这个定理） 13．（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE＝DF，点P是EF的中点． (1)在边AB上找一点M，使得BM＝BE，求证：△BEM与△PFA相似； (2)若∠AEB＝75°，AB＝2，求△DFP的面积． 14．（22-23九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知：如图，梯形中，AD//BC，是对角线上一点， (1)求证： (2)求证： 15．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 16．（2024·上海金山·二模）如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 相似三角形的判定 （6知识点+5大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”． D A B C E 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 知识点02.判定三角形相似的预备定理（重点） 平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． 知识点03.三角形相似的判定定理1（重点） 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． A B C A1 B1 C1 要点诠释： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.常见模型如下： 知识点04.三角形相似的判定定理2（重点）（难点） 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 要点诠释： 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 知识点05.三角形相似的判定定理3（重点） 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． A B C A1 B1 C1 知识点06判定两个直角三角形相似定理（重点） 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 如图，在和中，如果，，那么∽． 【题型1 利用平行判定相似】 【例1】如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用平行判定相似 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 【变式1】如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求证：△BDE∽△EFC． 【分析】根据，得出，根据可判断，可证． 【详解】证明， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线性质，三角形相似判定，掌握平行线性质，三角形相似判定是解题关键． 【变式1-2】如图，在梯形中，//，且，点、分别是、的 中点，与相交于点． （1）求证：； （2）若，求． A B C D E F M 【解析】（1）证明：，是的中点， ，又//， 四边形是平行四边形． ， ． （2）解：，为中点， ，． 代入可得：． 【总结】考查相似三角形的预备定理，同时与三角形一边平行线性质定理结合运用． 【题型2 利用两角对应相等判定相似】 【例2】如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【分析】题考查了相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，在矩形中，为边上一点，将点沿翻折恰好落到边上的点处．求证：； 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质及相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：在矩形中，， 根据翻折可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-2】如图，是等边三角形，，求证． A B C D E 【解析】证明：是等边三角形， ． ，． 又，． ，，， 即． 【总结】考查相似三角形的性质和相关相似三角形判定定理1，先判定再应用． 【变式2-3】正方形中，是中点，于点，厘米，求的长． 【答案】． 【解析】四边形是正方形， ． ， 又， ， ， ∵是中点，∴． 由勾股定理可得：， 代入可得：． 【总结】考查正方形背景下的直角三角形相似，实际上由直角和平行很容易得到相等的角，根据相似三角形判定定理1可证相似． 【变式2-4】如图，在中，，，是内一点，且． 求证：． A B C P 【解析】证明：，， ． 即． ， ． ． ， ． 【总结】考查相似三角形的判定定理1，需要根据三角形内角和进行等角转化． 【变式2-5】如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）证明，即可； （2）根据平行得到，再根据，即可得证． 掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴． 【变式2-6】如图，在中，，//，点在边上，与相交于点 ， 且． （1）求证：； （2）． A B C D E F G 【解析】证明：（1）//，． ，，， ，，． （2），，，即． ，，，即． ． 【总结】考查相似三角形判定定理1，根据题目所求进行相应比例线段的转化． 【题型3 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例3】已知：D、E是的边、上的点，，，，，求证：． 【分析】本题主要考查用两边对应成比例且夹角相等来证明两三角形相似．根据已知条件得出，且，即可证明． 【详解】证明：在和中， ∵， ∴ 又∵ ∴． 【变式3-1】如图，在与中，，．求证：． A B C D E 【解析】证明：， ， 即． ，． 【总结】有公共角的两角，加上或减去公共部分，仍相等，根据判定定理2，可判定相似． 【变式3-2】如图，是内一点，是外一点，，， 求证：． A B C D E 【解析】证明：，， ，． ， 即， ，． 【总结】考查相似三角形判定定理2，先判定相似再应用性质得出相关结论证明相似，进行性质和判定的相互转化． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ， ． 【变式3-4】如图，在中，，是边上的高，点在线段上，， ，垂足分别为、． 求证：（1）；（2）． A B C D E F G 【解析】证明： （1），是边上的高， ． ， ， ． （2），，， 四边形是矩形， ． ， ． ，是边上的高， 即有， ， ， ， ， 即， ． 【总结】考查相似三角形判定定理1与定理2和相似三角形性质综合题，需要根据题目需求进行变形，找准题目所求结论，然后根据性质和判定进行灵活转换． 【题型4 利用三边对应成比例判定相似】 【例4】如图，在中，，，，求证：．    【分析】本题考查三角形相似的判定，根据得到，从而得到，结合，得到，即可得到证明； 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：∽． A B C D E F 【解析】由图知：，，， ，，． ， ． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3． 【变式4-2】如图，D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点．求证：∽． A B C D E F 【解析】、、分别是边、、的中点， ，，． ，∽． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和三角形中位线的性质． 【变式4-3】如图，点D为内一点，点E为外一点，且满足． 求证：∽． A B C D E 【解析】 ． ， 即． ． ∽． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识． 【变式4-4】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 【变式4-5】已知：如图，在中，，，，点D 在BC边上，且． （1）求AD的长； （2）取AD、AB的中点E、F，联结CE、CF、EF．求证：∽． A B C D E F 【解析】（1），， ． ． 在中，． （2）点分别是AD、AB的中点， ． 在、中，，． ， ∽． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3、直角三角形的性质和三角形中位线等知识． 【题型5 判定两个直角三角形相似】 【例5】如图，在和中，，，垂足为D和，且 ． 求证：∽． A B C D A1 B1 D C1 【解析】证明：，， ． 又， ，． 同理可得：， ∽． 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法． 【变式5-1】如图，四边形ABCD中，，，，． 求证：． A B C D 【解析】证明：，，， ． ． 又， ． ． 又， ． ． 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识． 【变式5-2】如图，，，且．求证：． A B C D 【解析】证明：，， ． ， ． ． ． 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识． 【变式5-3】如图，在中，于D，于F，于G．求证：． A B C D F G 【解析】证明：，， ． 又， ． ，即． 同理可得：， ． 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知的三边都不相等，如果与相似，且，那么下列等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定条件：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）夹角相等，对应边成比例，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似，（4）斜边和直角边对应成比例的两直角三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．本题中结合题意根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：如图， A、，，故，不符合题意； B、，，故，，不符合题意； C、，夹角不对应相等，故不能证明相似，符合题意； D、，若，则，不符合题意， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海金山·期中）中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由图可知，是与的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹的两边成比例即可判断． 【详解】解：如图所示， A．， ， ， ， 故A不符合题意； B．， ， ， 不能判定与相似， 故B符合题意； C．， ， 故C不符合题意； D．，， ， 故D不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 4．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，将绕点B顺时针旋转，使得点A落在边上，点A、C的对应点分别为D、E，边交于点F，连接．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】根据等边对等角证明、相似三角形的判定综合、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的判定、旋转性质、等腰三角形的性质，根据旋转的性质和相似三角形的判定逐项判断即可．熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 【详解】解：如图， 由旋转性质得，，，， ∴， ∴，故选项A不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，又， ∴，故选项B不符合题意； ∵，又， ∴，故选项C不符合题意； 根据题意，无法证明与相似，故选项D符合题意， 故选：D． 5．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． 由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得①与②正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得④正确，据此即可解答． 【详解】解：如图： ∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故①与②正确； 当，即时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故④正确； 当，即时，不是夹角，故不能判定与相似，故③错误； 综上，①②④正确． 故选：B． 6．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　）    A．P是边的中点 B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质证明、选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用正方形的性质和相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A．∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是正方形的边的中点， ∴ 当P是中点时， ∴， ∴， ∴不能推出与相似，故A符合题意； B．∵， ∴，故选项B不符合题意； C．∵，， ∴，故选项C不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意； 故选：A． 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 8．（22-23九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，点在边上，如果，那么图中一定相似的三角形是 ． 【答案】和 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，以此为依据判定即可； 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：和 【点睛】本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 【答案】不一定 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分类思想的运用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．如图，分两种情况讨论，当一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4，再利用两边对应成比例，且夹角相等可得两个三角形相似，当一个直角三角形的斜边长为6，直角边长为3时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4，先利用勾股定理求解另一直角边，可得夹直角的两边不成比例，从而可判断两个三角形不相似，从而可得答案． 【详解】解：这两个直角三角形不一定相似． 理由如下： 如图，当一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4， 由于而夹角为直角，所以这两个直角三角形相似； 如图，当一个直角三角形的斜边长为6，直角边长为3时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4， 根据勾股定理得另一直角边长则所以这两个直角三角形不相似． 综上：这两个直角三角形不一定相似； 故答案为：不一定． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，中，，，点D是边上的中点，图中与相似三角形是 ． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定综合、直角三角形的两个锐角互余、根据等边对等角证明 【分析】此题 考查相似三角形的判定、直角三角形的性质、等边对等角等知识，，点D是边上的中点，则，，得到再证明，则，即可证明． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴， 故答案为： 11．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 【答案】5 【知识点】相似三角形的判定综合、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理与网格．欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】解：则，，． 连接， ，，． ， ． 同理可找到，，，和相似，共5个． 故答案为：5． 三、解答题 12．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）已知：如图，在和中，． 求证：．（友情提醒：不能用一个定理本身去证明这个定理） 【答案】见解析 【知识点】相似三角形的判定综合、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定，在射线上截取，过点作的平行线交射线于点，先证明得到，进而推出，，再证明，即可证明. 【详解】证明：如图所示，在射线上截取，过点作的平行线交射线于点， ， ， ， ，且， ，， ，， ， . 13．（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE＝DF，点P是EF的中点． (1)在边AB上找一点M，使得BM＝BE，求证：△BEM与△PFA相似； (2)若∠AEB＝75°，AB＝2，求△DFP的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据正方形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、相似三角形的判定综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形得AB＝AD，ADBC，∠B＝∠C＝90°，则∠ADF＝∠C，即可证明△ABE≌△ADF，得AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，可推导出∠EAF＝90°，因为点P是EF的中点，所以∠APF＝90°，PA＝PF＝PE＝EF，而BM＝BE，则，即可证明△BEM∽△PFA； （2）作PG⊥CD于点G，由∠AFE＝∠AEF＝45°，∠AFD＝∠AEB＝75°得∠CFE＝30°，则CF＝CE，设BE＝DF＝m，则CE＝2﹣m，CF＝2+m，于是有，得DF＝m＝，再求出PG的长，即可求出△DFP的面积． 【详解】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，ADBC，∠B＝∠C＝90°， ∴∠ADF＝∠C＝90°， ∴∠B＝∠ADF， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF， ∴∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°， ∵点P是EF的中点， ∴， ∴∠APF＝90°， ∴∠B＝∠APF，   ∵BM＝BE， ∴， ∴△BEM∽△PFA． （2）解：如图2，作PG⊥CD于点G，则∠PGF＝90°， ∵PE＝PF，∠EAF＝90°， ∴∠AFE＝∠AEF＝45°， ∵∠AFD＝∠AEB＝75°， ∴∠CFE＝30°， ∴FE＝2CE， ∴， 设，则， ∴，   解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴△DFP的面积是． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、相似三角形的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 14．（22-23九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知：如图，梯形中，AD//BC，是对角线上一点， (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】等腰梯形的性质定理、相似三角形的判定综合 【分析】（1）先由得到，然后由得证； （2）先由得到，再由得到，从而得到，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴． （2）∵梯形中，， ∴   又∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了梯形的性质、等腰梯形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练应用等量代换得证． 15．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定．熟知相似三角形的判定定理和性质是正确解题的关键． （1）由已知条件先证∽，再得出对应成比例的线段即可； （2）先证≌，得出，再证∽，得出成比例的线段即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． 又∵， ∴∽， ∴，即． （2）证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴∽， ∴，即， ∴． 16．（2024·上海金山·二模）如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得到，根据“角边角”推得，即可证得答案； （2）先证明，得到，再证明，得到，所以，由此即得答案． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$