暑假作业04 平行四边形的判定与性质（要点梳理+8大题型+巩固强化）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 平行四边形的判定与性质 要点一、平行四边形 （1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. （2）符号表示：平行四边形用符号“▱”表示.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. （3）基本元素：邻边 AD和AB，BC和DC，AD和DC，AB和BC. 对边 AB和DC，AD和BC. 邻角 ∠BAD和∠ADC，∠BAD和∠ABC，∠ABC和∠BCD，∠ADC和∠BCD. 对角 ∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC. 对角线 AC和BD. 【注意】平行四边形的表示一般按一定的方向（顺时针或逆时针）依次书写各顶点. 要点二、平行四边形的性质 （1）平行四边形的性质： 边：平行四边形的对边相等. 角：平行四边形的对角相等. 对角线：平行四边形的对角线互相平分. （2）平行四边形的面积： 平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积. 同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等. 要点三、平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 要点四、平行四边形的对称性 平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点. 要点五、反证法 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：命题的结论是否定型的；命题的结论是无限型的；命题的结论是“至多”或“至少”型的. （2）反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、添一个条件成为平行四边形 1．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 2．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 3．四边形中，，对角线、交于点，增加下列条件不能使四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 4．在四边形中，，下列选项不能说明四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 题型二、利用平行四边形的性质求角度 5．在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，E是边上一点，，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，中，AE平分，，则等于 ． 8．如图，在中，，，垂足分别是E、F．若，则 ． 9．如图，在中，，，于，则 ． 题型三、利用平行四边形的性质求线段长度 10．如图，在中，对角线相交于点．若，，，则的长为（   ）    A．10 B．8 C．6 D．4 11．如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 12．如图，在平行四边形中，，，，分别平分，，那么的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 13．如图，在平行四边形中，平分交于点，平分交于点，若，，则为 ． 14．如图，平行四边形的周长是，对角线相交于点，交于点，则的周长为 ．    题型四、利用平行四边形的性质求面积 15．如图，在中，对角线，相交于点，，，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 16．如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．3 B． C．4 D． 17．如图，平行四边形中，P是边上一点，若面积是8，则平行四边形面积是 ． 18．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是 ． 19．如图，点O是平行四边形的对称中心，点E、F分别为边上任意一点，且O、E、F三点在一条直线上，连接．若，则图中阴影部分的面积是 ． 题型五、平行四边形的折叠问题 20．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 21．如图，将一张纸片沿着折叠，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则图中阴影部分（）的面积是（    ） A． B． C． D． 22．如图，在平行四边形中，点分别为边的中点，将平行四边形沿着折叠，点分别落在处，若，则的度数为 ． 23．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为 . 题型六、平行四边形的存在性问题 24．如图，在四边形中，，，，点G是的中点．点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从点G出发，沿向点B运动．当点M停止运动时，点N也随之停止运动．设运动时间为t秒，当四边形是平行四边形时，t的值为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 25．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 26．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当 时，四边形是平行四边形． 27．如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发，沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线以的速度运动．设它们运动的时间为，则当 时，以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 28．如图所示，在四边形中，，，，点从向终点以的速度运动．点从点向终点以的速度运动．，两点同时出发，有一点到达终点停止后另一点也停止运动，直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)当运动秒时，线段______cm，______cm（用含有的代数式表示）； (2)直线运动多少秒后将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形？ (3)直线运动多少秒后将四边形截得两个面积相等的四边形？ 题型七、平行四边形判定与性质的综合（解答题专练） 29．如图，在中，E，F分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形． 30．如图，已知，分别延长至点，使得． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 31．如图，在中，为的中点，延长交的延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 32．如图，在中，是它的一条对角线，过，两点分别作，，，为垂足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 33．已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）连接，求证：． 题型八、反证法 34．用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 35．用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 36．用反证法证明：“已知：在中，，求证：．”则第一步应先假设 ． 37．用反证法证明“菱形的对角线互相垂直”是真命题时，第一步应先假设 ． 1．在中，平分，交边于E，，，则的长为（   ） A．12 B．7 C．2 D．24 2．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，点E、F分别是上一点，连接，连接交于点P，连接分别交于点G、H，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形的面积为（　　） A．17 B．19 C．18.5 D．23 5．如图所示，在平行四边形中，，，平分交于点E，则 ． 6．如图，在中，，，，为的中点，为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则此平行四边形的面积为 ． 7．在四边形中，，，M是上一点，且，点E从A出发以1的速度向D运动，点F从点B出发以2的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．    8．如图，在平行四边形的边上分别截取，使得，点是线段上两点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 9．如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，且，求两点之间的距离． 10．已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点． (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系并且证明． 1．【模型建立】如图1，在中，点E为边上一动点，连接．设，，的面积分别为，，．写出，，之间的数量关系，并用两种不同的方法证明； 【模型应用】 如图2，在中，，，，点E为边上的一动点，连接．过点B作．求的值； 【模型拓展】 如图3，点P为内一点（点P不在上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），写出的面积，并说明理由．（用含，的代数式表示） 2．如图1，在中，对角线相交于点O，且，，点E为线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，当点F落在的外面，交于点M，且能构成四边形时，四边形的面积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由． 3．点P是平行四边形的对角线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线作垂线，垂足分别为点E、F．点O为的中点． (1)如图1，当点P与点O重合时，线段和的关系是______； (2)当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立请说明理由． (3)当点P在线段上运动，且时，请在备用图中画出图形并直接写出线段，，之间的关系，不需说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 平行四边形的判定与性质 要点一、平行四边形 （1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. （2）符号表示：平行四边形用符号“▱”表示.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. （3）基本元素：邻边 AD和AB，BC和DC，AD和DC，AB和BC. 对边 AB和DC，AD和BC. 邻角 ∠BAD和∠ADC，∠BAD和∠ABC，∠ABC和∠BCD，∠ADC和∠BCD. 对角 ∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC. 对角线 AC和BD. 【注意】平行四边形的表示一般按一定的方向（顺时针或逆时针）依次书写各顶点. 要点二、平行四边形的性质 （1）平行四边形的性质： 边：平行四边形的对边相等. 角：平行四边形的对角相等. 对角线：平行四边形的对角线互相平分. （2）平行四边形的面积： 平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积. 同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等. 要点三、平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 要点四、平行四边形的对称性 平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点. 要点五、反证法 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：命题的结论是否定型的；命题的结论是无限型的；命题的结论是“至多”或“至少”型的. （2）反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、添一个条件成为平行四边形 1．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、，可以判定四边形是平行四边形，故不符合要求； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，可以判定四边形是平行四边形，故不符合要求； C、，，不可以判定四边形是平行四边形，故符合要求； D、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，可以判定四边形是平行四边形，故不符合要求； 故选：C． 2．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、错误．四边形是等腰梯形时，也满足条件． B、错误．∵， ∴， ∴条件重复无法判断四边形是平行四边形． C、错误．四边形是等腰梯形时，也满足条件． D、正确．∵， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故选：D． 3．四边形中，，对角线、交于点，增加下列条件不能使四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质．根据平行四边的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、由，，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．在四边形中，，下列选项不能说明四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，利用平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形；故该选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形；故该选项不符合题意； C、，不能说明四边形是平行四边形；故该选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形；故该选项不符合题意； 故选C． 题型二、利用平行四边形的性质求角度 5．在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质 由四边形是平行四边形，可得，又由，即可求得的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 故选A． 6．如图，在中，E是边上一点，，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键．由四边形是平行四边形，得，，则有，，根据等腰三角形的性质得出，从而有． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，中，AE平分，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟记平行四边形的性质，角平分线的定义是解题的关键．根据平行四边形的性质结合角平分线的定义即可推出结果． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 又平分， ， ， 故答案为：． 8．如图，在中，，，垂足分别是E、F．若，则 ． 【答案】135/135度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，四边形的内角和，先根据四边形的内角和为求出的度数，然后根据平行四边形的对角相等求解即可． 【详解】解∶ ∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为∶135． 9．如图，在中，，，于，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形性质，平行四边形性质，三角形内角和定理，利用等腰三角形性质得到，进而利用平行四边形性质得到，最后结合三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】解：，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 于， ， ， 故答案为：． 题型三、利用平行四边形的性质求线段长度 10．如图，在中，对角线相交于点．若，，，则的长为（   ）    A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形对角线互相平分，再根据勾股定理即可求出，进而可得的长．解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， ， ， ， 故选：A． 11．如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理的运用，理解并掌握平行四边形的性质，勾股勾股定理的计算是解题的关键． 根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到,，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，, ∴, ∴, ∵的平分线和的平分线交于上一点， ∴, ∴, ∴， ∴, ∴, ∴, ∵, ∴， 故选：A． 12．如图，在平行四边形中，，，，分别平分，，那么的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等角对等边，结合平行四边形的性质求得是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 故选：B． 13．如图，在平行四边形中，平分交于点，平分交于点，若，，则为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 由平分，平分，得，，由，得，，则，，可证明，进而求解，于是得到问题的答案． 【详解】解：平分交于点，平分交于点， ，， ∵四边形是平行四边形，， ，，， ，， ，， ，， ， ， ， ； 故答案为： 14．如图，平行四边形的周长是，对角线相交于点，交于点，则的周长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、线段的中垂线的性质以及三角形周长等知识，熟练掌握平行四边形的性质解题的关键． 由四边形是平行四边形，则，，，故有，又，则垂直平分，所以，再根据周长公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平行四边形的周长是， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长 ， 故答案为：． 题型四、利用平行四边形的性质求面积 15．如图，在中，对角线，相交于点，，，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由平行四边形的性质可得，，可得，从而是直角三角形，且，根据计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选C． 16．如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的面积公式和平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可得到答案． 【详解】解：设两个阴影部分三角形的高为， 则为平行四边形的高， ． 故选D． 17．如图，平行四边形中，P是边上一点，若面积是8，则平行四边形面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的面积，三角形的面积，过点作于点，由面积是8，得到，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵面积是8， ∴， ∴， ∴平行四边形面积是， 故答案为：． 18．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，利用三角形全等，把阴影面积转化为的面积计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 19．如图，点O是平行四边形的对称中心，点E、F分别为边上任意一点，且O、E、F三点在一条直线上，连接．若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】连接，过A作于H，由含角直角三角形的性质解得，再由勾股定理解得，从而求出，根据平行四边形中心对称的性质得到，再证明，最后由全等三角形面积相等解答． 【详解】解：如图所示，连接，过A作于H， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵点O是平行四边形的对称中心， ∴O是的中点， ∴， ∵平行四边形， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、含角直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 题型五、平行四边形的折叠问题 20．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理等知识，由平行四边形的性质得到，，进而得到，再根据折叠的性质得到，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠可知，， ∴， 故选：A． 21．如图，将一张纸片沿着折叠，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则图中阴影部分（）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形面积，由平行四边形的性质可得，，，再由折叠性质可得，，即有，从而可证明是等边三角形，过作于点，然后由勾股定理和面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 过作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 22．如图，在平行四边形中，点分别为边的中点，将平行四边形沿着折叠，点分别落在处，若，则的度数为 ． 【答案】/57度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，由折叠的性质，，得出，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ∵点分别是的中点， ， 由折叠可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 23．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为 . 【答案】/36度 【分析】由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得：，，由三角形的外角性质求出，与三角形内角和定理求出，即可得出的大小． 本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ， 在中，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 题型六、平行四边形的存在性问题 24．如图，在四边形中，，，，点G是的中点．点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从点G出发，沿向点B运动．当点M停止运动时，点N也随之停止运动．设运动时间为t秒，当四边形是平行四边形时，t的值为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】此题考查动点及平行四边形的性质，解题关键是由已知明确两条线段之间的数量关系． 由已知表示出,,根据平行四边形的判定，由，所以当时为平行四边形．根据此列出关于t的方程求解． 【详解】解：在四边形中，， , ,， 时，四边形是平行四边形， ， ； 故答案为：B． 25．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 26．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当 时，四边形是平行四边形． 【答案】3或5 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，四边形是平行四边形， ∵P在上运动， 根据题意，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， 分为以下情况：①点Q的运动在上时，方程为， 解得， ②点Q的运动在上时，方程为， 解得：； 故答案为：3或5． 27．如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发，沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线以的速度运动．设它们运动的时间为，则当 时，以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或4 【分析】考查了平行四边形的判定以及一元一次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．分两种情况，①当点在的左侧时，②当点在的右侧时，分别由当时，以、、、为顶点四边形是平行四边形，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得： ， ， 分两种情况： ①当点在的左侧时，， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点在的右侧时，， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 综上所述，当或4时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：或4． 28．如图所示，在四边形中，，，，点从向终点以的速度运动．点从点向终点以的速度运动．，两点同时出发，有一点到达终点停止后另一点也停止运动，直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)当运动秒时，线段______cm，______cm（用含有的代数式表示）； (2)直线运动多少秒后将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形？ (3)直线运动多少秒后将四边形截得两个面积相等的四边形？ 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，利用分类讨论是解题的关键． （1）用含t的代数式分别表示和的长； （2）分两种情况，①若四边形是平行四边形，则,进而求出t的值；②若四边形是平行四边形，则，进而求出t的值； （3）根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：运动t秒时，， 故答案为：t；． （2）由（1）可得：，， 当四边形为平行四边形时， ∵， ∴， 即， 解得； 当四边形为平行四边形时， ∵， ∴， 即， 解得； 综上所述：为12或9时，所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形， 故答案为：12或9． （3）解：由（1）可得：，，， 设边上的高为，依题意得， ∴ 解得： 答：直线运动秒后将四边形截得两个面积相等的四边形． 题型七、平行四边形判定与性质的综合（解答题专练） 29．如图，在中，E，F分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．根据平行四边形的性质得出，，根据中点定义得出，，证明，即可证明结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，分别是，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 30．如图，已知，分别延长至点，使得． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等边对等角，掌握平行四边形的判定和性质是关键． （1）根据题意得到四边形是平行四边形，再证明，由平行四边形的判定即可求解； （2）根据平行线的性质得到，，根据等边对等角得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点三点共线，共线，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．如图，在中，为的中点，延长交的延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的判定和性质是关键． （1）根据中点得到，根据平行四边形的性质得到，，运用角边角即可求证； （2）根据三线合一得到，由勾股定理得到，再证明四边形为平行四边形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由得，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 32．如图，在中，是它的一条对角线，过，两点分别作，，，为垂足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质求出，根据垂直可得，，证得，得，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得，，根据勾股定理求出，即可根据平行四边形的面积公式得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． 33．已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析 【分析】（1）由平行四边形性质证明，那么，再根据对边平行即可求证； （2）（i）延长，交于点T，由平行得到，再根据折叠的性质以及平行四边形的性质证明，即可证明； （ii）过点作，交于点， 证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， 又∵， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：（i）由（1）得， 延长，交于点T， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠知：， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （ii）过点作，交于点，如图所示： ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是把握折叠的不变性． 题型八、反证法 34．用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：反证法证明，若，则时，应假设， 故选：C． 35．用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反证法，根据反证法先假设结论的反面成立，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应先假设； 故选D． 36．用反证法证明：“已知：在中，，求证：．”则第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】本题考查了反证法的定义，理解定义是解题的关键．根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法；据此即可求解． 【详解】解：假设结论：不成立， 假设； 故答案：． 37．用反证法证明“菱形的对角线互相垂直”是真命题时，第一步应先假设 ． 【答案】菱形的对角线不互相垂直 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【详解】解：反证法证明“菱形的对角线互相垂直”是真命题时，第一步应先假设菱形的对角线不互相垂直， 故答案为：菱形的对角线不互相垂直． 1．在中，平分，交边于E，，，则的长为（   ） A．12 B．7 C．2 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，首先求出，再根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故C符合题意， 但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意， 故选：C． 3．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件后可证明，得到，进而可得结论，A不符合题意；添加条件，可证明，进而得到，从而证明结论，B不符合题意；添加条件，可证，进而证明结论，C不符合题意；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，D符合题意． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； 故选：D． 4．如图，中，点E、F分别是上一点，连接，连接交于点P，连接分别交于点G、H，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形的面积为（　　） A．17 B．19 C．18.5 D．23 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形性质，利用平行四边形的性质可得，进而求得答案． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ∴ 设，，，则，，， ∴， ， 即阴影部分四边形的面积为23； 故选：D． 5．如图所示，在平行四边形中，，，平分交于点E，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、角平分线的概念，根据平行四边形的性质及角平分线的性质得，进而可得，根据即可求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 6．如图，在中，，，，为的中点，为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则此平行四边形的面积为 ． 【答案】8或 【分析】本题考查含度角的直角三角形的性质，勾股定理、平行四边形性质、折叠性质,直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半等知识，分两种情况：①当点在下方时；②当点在上方时；在各自情况下，先由勾股定理求出长，再由平行四边形及折叠性质，数形结合表示出要求的线段，根据题意分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， 为的中点， ， 当点在下方时，如图所示，过点作于点， 四边形是平行四边形， ， 将沿折叠得到， ， ∴ ∵ ∴ ∴； 当点在上方时，如图所示： 同上理，可得，，而，则重合， ∴； 综上所述，平行四边形的面积为8或， 故答案为：8或． 7．在四边形中，，，M是上一点，且，点E从A出发以1的速度向D运动，点F从点B出发以2的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．    【答案】或4 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用．分情况求解是解题的关键． 由题意知，，，运动时间，当时，；当时，；由以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且，可得，分情况求解即可． 【详解】解：由题意知，，，运动时间， 当时，； 当时，； ∵以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且， ∴， ∴当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，当t的值为或4时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或4． 8．如图，在平行四边形的边上分别截取，使得，点是线段上两点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行四边形的性质可得，从而证得，即可得出结论； （）由（）可得，从而可得，利用三角形外角的性质求得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，且，求两点之间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记平行四边形的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）连接交于点，如图所示，由平行四边形的性质及题中已知条件得到，从而结合对角线相互平分的四边形是平行四边形即可得证； （2）在中，由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，最后由勾股定理即可得到两点之间的距离． 【详解】（1）证明：连接交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，两点之间的距离为． 10．已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点． (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系并且证明． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析． 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，平行四边形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据折叠的性质可得，再根据平行的性质可得，即有，进一步解答即可得解； （）结合平行四边形的性质以及（）的结论可得，即有，再根据，，结合三角形内角和定理可得，进而得到． 【详解】（1）证明：把平行四边形纸片沿折叠，点落在处， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：； 证明：连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1．【模型建立】如图1，在中，点E为边上一动点，连接．设，，的面积分别为，，．写出，，之间的数量关系，并用两种不同的方法证明； 【模型应用】 如图2，在中，，，，点E为边上的一动点，连接．过点B作．求的值； 【模型拓展】 如图3，点P为内一点（点P不在上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），写出的面积，并说明理由．（用含，的代数式表示） 【答案】[模型建立]详见解析 [模型应用] [模型拓展] 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和应用，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． [模型建立]方法一，利用平行线间的距离相等，结合平行四边形面积公式和三角形的面积公式即可得解；方法二，如图1，过点作交于点，利用平行四边形对角线将平行四边形分为面积相等的两个三角形的性质，进行等量代换即可得解； [模型应用]如图2，过作交的延长线于点，连，由[模型建立]的结论可得出，再利用三角形面积公式即可得解； [模型拓展]如图3中，连接，利用前面的结论进行恒等变形即可得解． 【详解】[模型建立] 解：方法一，设平行四边形的高为（与之间的距离）， ∵平行四边形， ∴， ∴以为底，高就是平行四边形的高， ∴根据三角形面积公式可得， 同理可得，， ∵， ∴； 方法二，如图1，过点作交于点， ∵， ， ∴四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∵， ∴； [模型应用] 解：如图2，过作交的延长线于点，连， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得，， ∵， ∴， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴； [模型拓展] 如图3中，连接， 在中，点是的中点， 可设， 同理，， ， ， ， ∵， ∴． 2．如图1，在中，对角线相交于点O，且，，点E为线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，当点F落在的外面，交于点M，且能构成四边形时，四边形的面积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不变；4 【分析】（1）可证得，进而证得，从而； （2）由（1）得，从而，因为，从而，从而得出； （3）连接，作，交于，作于，可证得，从而，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图1， 设直线交于， 由（1）得，， ， ， ， ； （3）解：如图2．四边形的面积不变，理由如下， 连接，作，交于，作于， ∴， ∴， 由（2）可知，， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 由得： ， ， ， ∴四边形的面积为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 3．点P是平行四边形的对角线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线作垂线，垂足分别为点E、F．点O为的中点． (1)如图1，当点P与点O重合时，线段和的关系是______； (2)当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立请说明理由． (3)当点P在线段上运动，且时，请在备用图中画出图形并直接写出线段，，之间的关系，不需说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）作辅助线，构建全等三角形，证明，得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论； （3）作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得：，，再利用，得是等腰直角三角形，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ， ∵， ∴ ∴； （2）解：如图2，（1）中的结论仍然成立，理由是： 延长交于G， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，； （3）解：，理由是： 如图3，延长、交于G， 同理得： ∴，， 在中，， ， ∴是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， 即． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定以及等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$