17.2勾股定理逆定理教学设计　2024--2025学年人教版八年级数学下册

教学内容 （章节） 人教版八年级下册17.2.1 勾股定理的逆定理 课程类型 新授课 课时安排 1课时 班级 八年级中等班级 教学目标： 1.知道什么是勾股定理的逆定理，能用准确的语言表述该定理 2.会认识并判断勾股数、由特殊到一般的规律 3.理解勾股定理的逆定理的证明方法，感悟数形结合思想的应用 4.能够运用勾股定理解决实际问题 教学重点、难点： 教学重点：勾股定理的逆定理的理解及其应用 难点：探究勾股定理的逆定理 教 具：多媒体演示、黑板 教学方法：创设情境法、问题驱动法、小组合作教学法 教学进程： 1、 温故知新 勾股定理的内容是什么? 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2. 思考：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？ 师生活动： 学生代表回答，如出现错误请其他学生修正和补充，教师点评。 2、 情景导入 据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你知道为什么吗？ 设计意图：通过对旧知识的回顾提出能否通过边来确定直角三角形的问题，引发学生进一步探究，培养逆向思维，引导学生从定理的逆向来思考直角三角形的判定，为后续学习勾股定理的逆定理做铺垫  设计意图：借助数学史制造悬念，设置疑问，体会文明古国人民的智慧，激发学生对数学的学习兴趣 3、 新知探究 环节1 这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，满足关系：32+42=52，那么围成的三角形是直角三角形 环节1： 画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试. 由上面的几个例子，我们猜想：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 教师活动： 组织学生分组进行动手操作，体验观察，引导学生猜想如果三角形三边长a,b,c满足 a2+b2=c2的三角形类型，教师巡堂参与到小组活动中，帮助指导部分学生完成任务 学生活动： 根据教师给出的边长数据绘制图像，并参与关于满足 a2+b2=c2的三角形类型的猜想 环节2： 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2. 命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 命题1、命题2的题设、结论分别是什么？ 我们看到，命题2与命题1的题设、结论正好相反.我们把像这样的两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.例如，如果把命题1当成原命题，那么命题2是原命题1的逆命题. 【针对练习】说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确. 1.原命题：同位角相等，两直线平行.( ) 逆命题：两直线平行，同位角相等.( ) 2.原命题：对顶角相等.( ) 逆命题：相等的角是对顶角.( ) 3.原命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.( ) 逆命题：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.( ) 4.原命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等.( ) 逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.( ) 教师活动： 抛出命题1和命题2，让学生分析二者题设和结论。讲解互逆命题概念，明确原命题与逆命题关系。 并给出针对练习，让学生写出逆命题并判断正误，过程中观察学生表现，适时答疑指导。 学生活动： 思考命题1和命题2，梳理出各自题设与结论，理解互逆命题概念并完成练习 环节3： 在图(1)中，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，要证△ABC一定是直角三角形.我们可以先画一个两条直角边长分别为a，b的Rt△A′B′C′如图(2)，如果△ABC与Rt△A′B′C′全等，那么△ABC就是一个直角三角形. 已知△ABC，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：作Rt△A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°. 根据勾股定理，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2=c2 ∴ A′B′=c 在△ABC和△A′B′C′中， BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′ ∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS) ∴ ∠C=∠C′=90° 即△ABC是直角三角形. 【归纳】勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理. 教师活动： 进行思路引导，引导学生构造一个两直角边分为为a,b的，利用全等三角形来证明。组织前后四人为一个小组对证明过程进行讨论并书写，教师参与到小组活动中，适当给予点拨。讨论结束后对小组代表的分享进行纠正或完善，并带领学生归纳勾股定理和勾股定理的逆定理，明确其内容 学生活动： 跟随教师点拨对构造全等直角三角形证明△ABC是直角三角形进行小组合作交流，并主动分享小组讨论结果，认真学习教师完善的证明步骤，理解证明逻辑。 四、典例解析 例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a=15，b=8，c=17；(2) a=13，b=14，c=15. 解：(1)∵ 152+82=225+64=289，172=289 ∴ 152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. (2)∵ 132+142=169+196=365，152=225 ∴ 132+142≠152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形. 【点睛】根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 【归纳】像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 师生活动：学生说出问题（1）的判断思路，教师板书问题（1）的详细解答过程，及时纠错或补充完善，问题(2）单独提问学生，而后组织全体学生一起更正或评价，最后引导全体学生总结运用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形的三步骤：找、算、判 找：找出最长边 算：计算两条短边的平方和，最长边的平方 判：判断等量关系（即较小两边的平方和是否等于长边的平方） 例2: 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上。“远航号”、“海天号”轮船同时离开港口，各自固定沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16n mile,“海天号”每小时航行12n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于Q,R处，且相距30n mile，如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？ 分析： 在图17.2-3中可以看到，由于“远航号”的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天号”的航向了。 解：根据题意得 PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30 因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2，所以∠QPR=90° 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°，因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行 师生活动： 教师呈现轮船航行问题，引导分析条件，组织思考讨论并点评总结；学生阅读题目提取信息，尝试分析三边关系，参与讨论分享思路，在引导下掌握解题方法。 五、课堂小结 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 2. 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 3. 互逆命题：命题2与命题1的题设、结论正好相反.我们把像这样的两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 4. 互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理. 环节1设计意图：通过具体边长数值让学生画图，直观感受三边关系与三角形形状联系，积累感性认识。引导学生归纳猜想，培养观察、归纳能力，渗透从特殊到一般思想，铺垫勾股定理逆定理探究。 环节2设计意图：帮助学生清晰分辨命题题设和结论，掌握互逆命题概念，深化对命题结构的认识。通过写逆命题和判断正误，锻炼思维与推理能力，提升对数学命题的应用和辨析水平。 环节3设计意图：通过以上的铺垫，在本命题证明中，对构造“直角三角形”这一思路进行点拨，证明过程尽量让学生自主思考完成，让学生在不断地尝试于探究的过程中，亲身体验参与发现的过程，体会数学的逻辑美学，有效突破本节难点。 例1设计意图：通过具体数值让学生运用勾股定理逆定理判断三角形，规范解题步骤，总结 “找、算、判” 方法，还引入勾股数概念，巩固知识、培养能力、丰富认知 例2设计意图： 以轮船航行设实际情境，将勾股定理逆定理用于方位问题，促使学生综合运用知识，培养分析和解决实际问题能力，让学生感受数学实用价值。 设计意图：培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。 学科网（北京）股份有限公司 $$