19.1.1 变量与函数 教学设计 2024-2025学年人教版数学八年级下册

人教版初中数学八年级下册第十九章“一次函数” 19.1.1 变量与函数 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课选自人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十九章“一次函数”的起始课“19.1.1 变量与函数”，主要内容包括：通过生活实例理解变量与常量的概念，分析变量间的对应关系，归纳函数的定义，掌握用解析式表示函数关系的方法，并会求函数值及自变量的取值范围。 2. 内容解析 函数是刻画现实世界变化规律的核心数学模型。学生已在七年级学习过用字母表示数和一元一次方程，本节从具体问题中抽象出变量间的依赖关系，引导学生理解“唯一确定”的函数本质，为后续学习一次函数、反比例函数、二次函数奠定基础。重点在于建立函数概念，难点是理解“对于自变量的每一个值，函数都有唯一确定的值与其对应”这一抽象特征。 二、目标和目标解析 1. 目标 (1) 借助行程问题、票房统计等实例，抽象出变量与常量，发展数学建模能力。 (2) 通过分析变量间的对应关系，归纳函数定义，理解“唯一确定”的核心特征，形成抽象思维和逻辑推理能力。 (3) 能根据实际问题列出函数解析式，求函数值及自变量的取值范围，提升应用意识。 2. 目标解析 达成目标（1）后，学生能从生活现象中识别变量关系，体会数学的应用价值；目标（2）通过辨析实例是否满足函数关系，深化对函数本质的理解；目标（3）强调应用函数解决实际问题，为后续学习函数图像与性质积累经验。 三、教学问题诊断分析 1. 抽象能力不足：学生难以从多变量问题中提炼“一个变量随另一个变量变化”的主线。 1. 函数本质理解困难：对“唯一确定”的对应关系易产生偏差（如误认为“多对一”不是函数）。 1. 忽略实际意义：求自变量取值范围时，常遗漏实际限制条件（如时间、长度非负）。 四、教学过程设计 (一) 情景引入 问题1 汽车以60 km/h匀速行驶，行驶路程 （km）与时间 （h）的关系如下表： (h) 1 2 3 4 5 (km) 60 120 180 240 300 问： 随 的变化而变化吗？哪些量不变？ 问题2 电影票售价10元/张。若一场售出 张票，票房收入 （元）。当 取150、205、310时， 的值如何变化？是否存在不变的量？ 问题3 用10 m绳子围矩形，一边长 （m），邻边长 （m）满足 。若 取3、3.5、4、4.5， 的值分别是多少？ 是否随 变化？ 设计意图： 通过三个递进问题，引导学生发现变化过程中的变量与常量，体会“一个量变化引起另一个量变化”的关系，渗透函数思想，对应目标（1）。 (二) 合作探究1 探究1 分析以下问题中的变量与常量，并思考变量间的联系： (1) 某市水价4元/t，用水量 （t）与水费 （元）满足 。 (2) 手机通话费0.2元/min，话费卡余额30元，通话时间 （min）与余额 （元）满足 。 (3) 圆形涟漪半径 （cm）与周长 （cm）满足 （ 为常数）。 追问： · 每个问题中有几个变量？ · 当其中一个变量取定值时，另一个变量的值是否唯一确定？ (三) 巩固练习1 1. 气温预报图中，时间 （时）与温度 （℃）的对应如下表： 8 10 12 14 20 22 25 24 问： 是 的函数吗？为什么？ 答：是。因为对 的每一个值， 都有唯一确定的值与其对应。 1. 正方形的面积 与边长 的关系为 。若 取2、3、4， 是否唯一确定？是否存在 的值使 对应多个值？ 答： 唯一确定；不存在。因为 每取一个值， 有唯一值。 (四) 合作探究2 探究2 心电图记录中，时间 与生物电流 的对应关系如下图所示（描述）： 横轴表示时间 （秒），纵轴表示电流 （毫安）。图像为连续曲线，当 时 ； 时 ； 时 。 追问： · 对任意时间 ，是否都有唯一的电流值 与其对应？ · 若某时刻电流值不唯一，可能是什么情况？ 猜想：在正常心电图中， 是 的函数。 验证：根据医学原理，心脏生物电流在每一时刻有确定值，故 是 的函数。 探究3 人口普查数据如下表： 年份 1953 1964 1982 1990 2000 2010 2020 人口 （亿） 6.02 7.23 10.32 11.60 12.95 13.71 14.43 证明：对每个年份 ，人口数 有唯一值，因此 是 的函数。 设计意图： 通过非解析式的实例（图像、表格），深化对函数“唯一确定”本质的理解，突破抽象概念难点，对应目标（2）。 (五) 典例分析 例1 汽车油箱有油50 L，每千米耗油0.1 L，油箱剩余油量 （L）与行驶路程 （km）的关系为： (1) 求自变量 的取值范围； (2) 求汽车行驶200 km时的剩余油量。 解： (1) 由实际意义： 故 的取值范围为 。 (2) 当 时， 答：剩余油量为30 L。 设计意图： 通过实际应用强调函数解析式与定义域的关系，培养学生分类讨论和数学建模能力，对应目标（3）。 (六) 巩固练习 1. 基础题：已知函数 ，求当 时的函数值。 解： 时，； 时，； 时，。 1. 应用题：矩形周长为20 cm，长 （cm）与宽 （cm）满足 。 (1) 求 的取值范围； (2) 当 时，求 的值。 解： (1) 由实际意义： · (2) 时，。 1. 综合题：某水库水位 （m）与蓄水时间 （天）的关系为 。 (1) 求 时的水位； (2) 水位达到14 m时，求 的值。 解： (1) 时，； (2) 由 ，解得 ，故 。 设计意图： 分层练习强化函数值计算、定义域求解及实际应用，检测目标（3）达成情况。 (七) 归纳总结 核心概念 定义 关键特征 变量与常量 变化过程中数值改变的量叫变量；数值不变的量叫常量。 区分“变化”与“不变” 函数 对于自变量 的每一个值，因变量 都有唯一确定的值与其对应。 “唯一确定” 函数表示方法 解析式法（如 ）、表格法、图像法。 多种形式描述同一规律 (八) 感受中考 1. (2024·江苏) 函数 中，自变量 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：分母不为零，故 。 1. (2023·浙江) 下表记录弹簧长度 （cm）与悬挂质量 （kg）的关系： 0 1 2 3 10 10.5 11 11.5 当 时， ______ 。 答案：11.25 解析：由数据得 ，代入 得 。 1. (2022·北京) 如图（描述）：温度计记录某天气温变化，上午8时气温为8℃，此后每小时上升2℃。设时间为 （时），气温 （℃），则 与 的关系式为______（）。 答案： 解析： 时 ，每小时升2℃，故 。 1. (2024·广东) 等腰三角形顶角度数 （度）与底角度数 （度）满足（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：由三角形内角和 ，得 。 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。 (九) 小结梳理 知识模块 关联点 变量与函数 函数是特殊变量关系（唯一对应） 解析式与定义域 解析式反映规律，定义域体现实用性 函数值 自变量取值→代入解析式→唯一函数值 (十) 布置作业 必做题 1. 教材习题19.1 第1、2题（辨析变量与函数）。 1. 已知 ，求 时的函数值，并求 的取值范围。 选做题 1. 观察下图（描述）： · 坐标系中有两条直线，第一条直线通过点（0,2）和（2,0），第二条直线通过点（0,0）和（1,1）。 判断 是否为 的函数，并说明理由。 1. 探索电话计费问题：月租费20元，通话费0.1元/分钟，写出话费 （元）与通话时间 （分钟）的函数关系式及 的取值范围。 五、教学反思 （课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $$