专题二 进制（讲义）-《计算机应用基础》高考备考讲练测（云南）

专题二 进制 【考纲要求】 考试条目 （2）掌握进制的概念及常用进制互相转换的方法。 【课时安排】 2课时 【知识梳理】 进制 一、进制 进制（Number System），也称为进位计数制，是一种表示数值的方法。它包含两个核心要素： 基数（Radix）：指该进制中允许使用的基本数字符号的个数。 例如：十进制有 10 个基本符号：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，所以它的基数是 10。 位权（Positional Weight）：指同一个数字符号在不同位置上所代表的数值不同。位权是基数的整数次幂（指数由位置决定）。 位置通常从右向左数，从 0 开始递增。 例如：十进制数 345 中： 最右边的 '5' 在个位（位置 0），位权是 10^0 = 1，表示 5 * 1 = 5。 中间的 '4' 在十位（位置 1），位权是 10^1 = 10，表示 4 * 10 = 40。 最左边的 '3' 在百位（位置 2），位权是 10^2 = 100，表示 3 * 100 = 300。 所以 345 = 3*100 + 4*10 + 5*1 = 300 + 40 + 5。 核心公式： 一个 N 进制数 ... ABC.DEF ... 的值可以表示为： ... + A * N^k + B * N^m + C * N^n + D * N^(-1) + E * N^(-2) + F * N^(-3) + ... （其中 k, m, n 等是整数位的位置索引，从 0 开始递增；-1, -2, -3 等是小数位的位置索引，从 -1 开始递减） 二、 计算机中常见的进制 1.十进制（Decimal） - 基数为 10 符号： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 表示法： 通常不加后缀，或用下标 10 表示。 人类最熟悉的进制，用于日常计算和表示。 2.二进制（Binary） - 基数为 2 符号： 0, 1 （只有两个状态） 表示法： 常用前缀 0b 或后缀 B 表示（如 0b1011 或 1011B）。 计算机硬件的基础： 数字电路中的开关状态（开=高电平≈1，关=低电平≈0）、磁介质的磁化方向、光盘的坑与平面等，天然适合表示二值状态。计算机内部的所有信息（数据、指令）最终都以二进制形式存储和处理。 优点： 物理实现简单可靠，抗干扰能力强，运算规则简单。 缺点： 表示较大的数需要很长的位数，人类读写困难。 3.八进制（Octal） - 基数为 8 符号： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 表示法： 常用前缀 0（零）或后缀 O（字母 O）表示（如 017 或 17O）。注意 0 前缀在某些编程语言（如 C, Python）中表示八进制。 4.十六进制（Hexadecimal / Hex） - 基数为 16 符号： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15) 表示法： 常用前缀 0x 或后缀 H 表示（如 0x1F 或 1FH）。 计算机科学的核心： 因为 16 = 2^4，1 位十六进制数恰好对应 4 位二进制数（1 个 Nibble）。一个字节（Byte = 8 bits）正好可以用 2 位十六进制数简洁地表示。 广泛应用： 内存地址： 内存地址通常用十六进制表示（如 0x7FFF）。 机器码/汇编指令： 指令代码常用十六进制书写。 颜色表示（Web）： RGB 颜色值如 #FF0000 表示红色（R=255, G=0, B=0）。 调试信息： 查看内存或寄存器内容时常用十六进制。 优点： 相比二进制大大缩短了表示长度，方便人类读写和记忆，且与二进制转换极其方便。 三、 进制转换方法详解 1. R进制 转 十进制 (R → 10) 方法：按权展开相加法 步骤： 写出 R 进制数的每一位数字。 确定每一位数字所在的位置（索引），整数部分从右向左，索引从 0 开始递增；小数部分从左向右，索引从 -1 开始递减。 计算每一位数字乘以基数的位置次幂（即 数字 * R^位置索引）。 将所有乘积相加，得到的结果就是对应的十进制数。 例子： 二进制 0b1011 → 十进制： 整数部分：1 (位置 3), 0 (位置 2), 1 (位置 1), 1 (位置 0) 小数部分：0 (位置 -1), 1 (位置 -2) 计算：1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 + 0 * 2^(-1) + 1 * 2^(-2) = 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 + 0 * 0.5 + 1 * 0.25 = 8 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0.25 = 11.25 八进制 017.4 → 十进制： 整数部分：1 (位置 1), 7 (位置 0) 小数部分：4 (位置 -1) 计算：1 * 8^1 + 7 * 8^0 + 4 * 8^(-1) = 1 * 8 + 7 * 1 + 4 * 0.125 = 8 + 7 + 0.5 = 15.5 十六进制 0x2A.8 → 十进制： 整数部分：2 (位置 1), A(10) (位置 0) 小数部分：8 (位置 -1) 计算：2 * 16^1 + 10 * 16^0 + 8 * 16^(-1) = 2 * 16 + 10 * 1 + 8 * 0.0625 = 32 + 10 + 0.5 = 42.5 2. 十进制 转 R进制 (10 → R) 方法： 需要将整数部分和小数部分分别转换，然后合并结果。 整数部分转换：除基取余法（倒序排列） 将十进制整数部分 除以 R，得到商和余数。 将得到的余数作为 R 进制数的 最低位。 用上一步得到的商 继续除以 R，记录新的余数。 重复步骤 3，直到商为 0。 将每次得到的余数从下往上（最后得到的余数是最高位）排列起来，得到 R 进制数的整数部分。 小数部分转换：乘基取整法（正序排列） 将十进制小数部分 乘以 R。 记录乘积的整数部分（即使为 0 也要记录），作为 R 进制小数部分的 最高位（小数点后第一位）。 将乘积的小数部分（去掉整数部分后剩下的纯小数）继续乘以 R。 重复步骤 2 和 3，记录每次的整数部分。 直到乘积的小数部分变为 0，或者达到所需的精度为止。 将每次得到的整数部分从上往下（第一次得到的整数是最高位）排列起来，得到 R 进制数的小数部分。 合并： 将转换后的整数部分和小数部分用小数点连接起来。 例子： 十进制 25.375 → 二进制： 整数部分 25： 25 / 2 = 12 余 1 (最低位) 12 / 2 = 6 余 0 6 / 2 = 3 余 0 3 / 2 = 1 余 1 1 / 2 = 0 余 1 (最高位) 整数部分结果：11001 小数部分 0.375： 0.375 * 2 = 0.75 整数部分 0 (最高位) 0.75 * 2 = 1.5 整数部分 1 0.5 * 2 = 1.0 整数部分 1 (此时小数部分为 0，停止) 小数部分结果：011 (注意最高位是第一个 0) 合并：25.375₁₀ = 11001.011₂ (或 0b11001.011) 十进制 192 → 十六进制： 整数部分 192： 192 / 16 = 12 余 0 (最低位) -> 0 12 / 16 = 0 余 12 (最高位) -> C (十六进制符号) 整数部分结果：C0 (注意余数从上往下读是 C0，但按规则是从下往上读余数 0 和 C，组合成 C0) 小数部分为 0。 结果：192₁₀ = C0₁₆ (或 0xC0) 3. 二进制 与 八进制/十六进制 互转 原理： 利用 8 = 2^3 和 16 = 2^4 的关系，进行分组转换。 二进制 → 八进制 (2 → 8)： 以小数点为中心，分别向左（整数部分）和右（小数部分）将二进制数按 3 位一组进行分组。 整数部分向左分组，不足 3 位时在最左边补 0。 小数部分向右分组，不足 3 位时在最右边补 0。 将每一组 3 位二进制数转换为对应的 1 位八进制数（利用 000=0, 001=1, ..., 111=7）。 将转换后的八进制数按顺序连接起来，小数点位置不变。 八进制 → 二进制 (8 → 2)： 将八进制数的每一位数字，独立地转换为对应的 3 位二进制数（如 5 → 101）。 将所有转换后的 3 位二进制数按顺序连接起来。 去除整数部分最高位可能的无效 0 和小数部分最低位可能的无效 0（除非需要特定位数）。 二进制 → 十六进制 (2 → 16)： 以小数点为中心，分别向左（整数部分）和右（小数部分）将二进制数按 4 位一组进行分组。 整数部分向左分组，不足 4 位时在最左边补 0。 小数部分向右分组，不足 4 位时在最右边补 0。 将每一组 4 位二进制数转换为对应的 1 位十六进制数（利用 0000=0, 0001=1, ..., 1001=9, 1010=A, ..., 1111=F）。 将转换后的十六进制数按顺序连接起来，小数点位置不变。 十六进制 → 二进制 (16 → 2)： 将十六进制数的每一位数字（包括 A-F），独立地转换为对应的 4 位二进制数（如 B(11) → 1011）。 将所有转换后的 4 位二进制数按顺序连接起来。 去除整数部分最高位可能的无效 0 和小数部分最低位可能的无效 0（除非需要特定位数）。 【限时练习】 1. 下列二进制数中，转换为十进制后数值最大的是（ ）​ A. 10101​ B. 11001​ C. 11100​ D. 10011​ 【答案】C 2.十进制数 37 转换为二进制数是（ ）​ A. 100101​ B. 101001​ C. 110001​ D. 100011​ 【答案】A 3.八进制数 45 转换为十进制数是（ ）​ A. 35​ B. 36​ C. 37​ D. 38​ 【答案】C 4.十六进制数 2A 转换为十进制数是（ ）​ A. 42​ B. 40​ C. 38​ D. 36​ 【答案】A 5.二进制数 101101 转换为八进制数是（ ）​ A. 55​ B. 56​ C. 57​ D. 58​ 【答案】A 6.二进制数 1101010 转换为十六进制数是（ ）​ A. 3A B. 4A​ C. 5A​ D. 6A​ 【答案】D 7.进制数 22 转换为二进制数是（ ）​ A. 10100​ B. 10110​ C. 11010​ D. 11100​ 【答案】B​ 8.十六进制数 3C 转换为二进制数是（ ）​ A. 101000​ B. 111000​ C. 101100​ D. 111100​ 【答案】D 9.下列关于进制转换的说法正确的有（ ）​ A. 二进制数转换为八进制数时，从右往左每三位一组​ B. 八进制数转换为二进制数时，每一位转换为三位二进制数​ C. 十六进制数转换为二进制数时，每一位转换为四位二进制数​ D. 十进制数转换为二进制数时，整数部分和小数部分的转换方法相同​ 【答案】ABC​ 10.下列进制数表示正确的有（ ）​ A. (1010)₂​ B. 0o34​ C. 0x2A​ D. 123₈​ 【答案】ABCD​ 11.二进制数的后缀标识可以是 B 或₂。（ ）​ 【答案】√​ 12.八进制数中最大的数字是 8。（ ）​ 【答案】×​ 13.十六进制数中用字母 A-F 表示 10-15。（ ）​ 【答案】√​ 14.十进制数转换为十六进制数时，只能先转换为二进制数，再转换为十六进制数。（ ） 【答案】× 【内容小结】 学科网（北京）股份有限公司 $$