精品解析：山西省2025年中考考前适应性训练试题（三）九年级数学试卷　

山西省2025年中考考前适应性训练试题 数学（三） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A B. C. D. 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹祥的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 凭借技术突破、低价策略和全球化布局，在短时间内实现了用户规模指数级增长．其和下载量数据已显著超越多数竞争对手，且仍在加速扩张中．未来，随着开源生态的完善和行业合作深化，用户规模有望持续攀升．到2025年2月9日，周活跃用户规模最高接近9700万，显示出持续增长趋势．数据9700万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 6. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器—小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斜斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛；问：1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，直线l与直线分别交于点A，B．按如下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点；（2）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交直线于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值为（　　） A. B. C. 1 D. ﹣1 10. 如图，是的直径，弦于点E，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11 因式分解：_____________． 12. 烷烃是一类由碳、氢元素组成有机化合物，如图，这是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．如图①，第1种有4个氢原子；如图②，第2种有6个氢原子；如图③，第3种有8个氢原子……按照这一规律，第6种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________． 13. 将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则________． 14. 如图，在矩形中，点O是坐标原点，点在的图象上，点B在反比例函数， ，则________． 15. 如图，在中，，，点D为外一点，且，点为的中点，连接，，，若，，则_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）解不等式组： 17. 某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费400元，当研学人数超过100人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交2000元后，每人收费300元； 方案二：4人免费，其余每人收费打8折． （1）用代数式表示，当参加研学的总人数是人时，方案一和方案二各是多少钱？ （2）当参加旅游的总人数是多少人时，采用方案一省钱？ 18. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 19. 小婷为了解某小区居民的健身意识，设计了一份调查问卷，并在该小区随机调查了50人，她将部分调查数据绘制成如下两个统计图． 调查问卷 年龄 岁 问题1：你会主动了解健身知识吗? A.从不了解 B.偶尔了解 C.经常了解 问题2：生活中你参加健身锻炼吗? A.从不参加 B.偶尔参加 C.经常参加 请根据统计图回答问题： （1）在小婷调查的50人中，35岁以下的有 人，35岁 ~50岁的有 人，50岁以上的有 人． （2）小婷所居住的小区共有居民800人，请你估计经常参加健身锻炼的有多少人? （3）小婷认为从条形统计图中可以看出经常了解健身锻炼知识和经常参加健身锻炼的人群中，都是“35岁~50岁”的人数最多，因此，小婷认为小区中“35岁~50岁”这个年龄段的人最具有健身意识，你认为小婷的判断正确吗？请说明理由． 20. 如图1，永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省会太原现存古建筑中最高的建筑位于太原市城区东南向山脚畔．数学活动小组的同学对其中一塔进行了测量．测量方法如下：如图2，在地面上选取两点和，且点及其中一塔在同一平面内，塔底部与点在同一条直线上，测得，在两处分别放置学生制作的高为的测倾仪，在两处测得塔顶的仰角分别为和．根据测量小组提供的数据，求该塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，．） 21. 综合实践：某数学小组在实践课上进行了课题研究，制定学习表如下： 研究课题 角平分线的性质与判定 配图 材料收集 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛认为是历史上最成功的教科书．《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．” 任务1： 整理思路 已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，连接，以为边作等边，求证：是平分线．请在横线上填写下面思路的依据： 思路：…… ∴（全等判定依据，用字母表示为______）， ∴（得此步结论的依据为______）， ∴是的平分线． 任务2： 迁移应用 已知，将的两顶点C，D放置于和上，连接交于点P，若，求证：是的平分线． 任务3： 拓展探究 已知四边形，连接对角线，交于点P，当平分且将分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 22. 掷实心球是山西中考体育素质类选考之一，某同学在某次试投中实心球所经过的路线呈抛物线形状，经测量发现：出手处A点距地面，实心球在距出手处A水平距离处达到最高，最高点距地面2米；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是实心球距出手处A的水平距离，是实心球距地面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）下面是2024年临汾市初中毕业升学体育考试（实心球）评分标准，请你给该同学打分．（参考值：） 分值 6 6.5 7 7.5 8 落地距离 3.1~3.4 3.4~3.7 3.7~4.0 4.0~4.3 4.3~4.6 分值 8.5 9 9.5 10 10.5 落地距离 4.6~4.9 4.9~5.3 5.3~5.7 5.7~6.0 6.0~6.2 分值 11 12 13 14 15 落地距离 6.2~6.4 6.4~6.6 6.6~6.8 6.8~7 （注：落地距离包含最小值，不包含最大值） （3）为提升中考体测成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训练，在出手高度不变的前提下，调整出手角度与力量，使得球在距出手处A水平距离处达到最高，最高点距地面，请判断该同学能否得满分． 23. 点E在矩形的对角线上，于点G，交于点F． （1）如图1，若平分，求证：； （2）如图2，取的中点M，若，，． ①求的长度； ②求的值； （3）如图3，过的中点O作于点P，延长交于点Q，连接交于点N．若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2025年中考考前适应性训练试题 数学（三） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答． 【详解】解：， 则信号最强的是， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较法则是解题的关键． 2. 纹样作为中国传统文化重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹祥的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据去括号法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了去括号，掌握去括号法则是解题的关键．括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变，括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，法则的依据实际是乘法分配律． 4. 凭借技术突破、低价策略和全球化布局，在短时间内实现了用户规模的指数级增长．其和下载量数据已显著超越多数竞争对手，且仍在加速扩张中．未来，随着开源生态的完善和行业合作深化，用户规模有望持续攀升．到2025年2月9日，周活跃用户规模最高接近9700万，显示出持续增长趋势．数据9700万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：9700万． 故选：C． 5. 在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率公式．根据题意和题目中的数据，可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得， 黑球的个数为： ， 故选：B． 6. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器—小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斜斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛；问：1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组若设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，则列方程组是 ， 故选：B． 7. 如图，已知，直线l与直线分别交于点A，B．按如下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点；（2）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交直线于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先证明，则，结合等角对等边证明，则，即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 8. 点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值为（　　） A. B. C. 1 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定与性质，延长，交轴于点，过点作轴，证明，得出，从而得出点的坐标为，再代入一次函数解析式即可得出答案． 【详解】解：延长，交轴于点，过点作轴，如图所示： ∵轴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 将坐标代入得，， 解得， 故选：A． 10. 如图，是的直径，弦于点E，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，求扇形面积，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴，即垂直平分， ∴， 又∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴，则 则阴影部分的面积为， 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解．先提取公因式再用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为： 12. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图，这是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．如图①，第1种有4个氢原子；如图②，第2种有6个氢原子；如图③，第3种有8个氢原子……按照这一规律，第6种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 当时，（个）， 即第6种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为14个． 故答案为：14． 13. 将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，如图，由题意可知，，，，，证明，得到，即，求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可知，，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，点O是坐标原点，点在的图象上，点B在反比例函数， ，则________． 【答案】 【解析】 【分析】过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证，推出，根据反比例函数k的几何意义可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过A、B作轴于E，轴于F，如图： ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数k的几何意义等，综合性强，有一定难度，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 15. 如图，在中，，，点D为外一点，且，点为的中点，连接，，，若，，则_______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，过B作交于E．连接，取中点H，连接，，根据三角形中位线定理得出，，证明是等腰直角三角形，得出，，证明，得出，则可求，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：过B作交于E．连接，取中点H，连接，如图， ∵点O为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵H为中点， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 故答案为：14． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、实数的运算、负整数指数幂，熟练掌握并准确计算是解题的关键． （1）根据实数的运算法则计算即可； （2）分别解出不等式组的两个不等式即可得解． 【详解】解：（1）原式； （2）由①得，； 由②得，； ∴原不等式组的解集为：． 17. 某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费400元，当研学人数超过100人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交2000元后，每人收费300元； 方案二：4人免费，其余每人收费打8折． （1）用代数式表示，当参加研学的总人数是人时，方案一和方案二各是多少钱？ （2）当参加旅游的总人数是多少人时，采用方案一省钱？ 【答案】（1）元；元 （2）当参加旅游的总人数超过164人时，采用方案一省钱 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，即可求解； （2）根据方案一省钱，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：方案一的费用是元， 方案二的费用是（元）； 【小问2详解】 解：令， 解得， 答：当参加旅游的总人数超过164人时，采用方案一省钱． 18. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 19. 小婷为了解某小区居民的健身意识，设计了一份调查问卷，并在该小区随机调查了50人，她将部分调查数据绘制成如下两个统计图． 调查问卷 年龄 岁 问题1：你会主动了解健身知识吗? A.从不了解 B.偶尔了解 C.经常了解 问题2：生活中你参加健身锻炼吗? A.从不参加 B.偶尔参加 C.经常参加 请根据统计图回答问题： （1）在小婷调查的50人中，35岁以下的有 人，35岁 ~50岁的有 人，50岁以上的有 人． （2）小婷所居住的小区共有居民800人，请你估计经常参加健身锻炼的有多少人? （3）小婷认为从条形统计图中可以看出经常了解健身锻炼知识和经常参加健身锻炼的人群中，都是“35岁~50岁”的人数最多，因此，小婷认为小区中“35岁~50岁”这个年龄段的人最具有健身意识，你认为小婷的判断正确吗？请说明理由． 【答案】（1）5，30，15 （2）该小区经常参加健身锻炼的约为336人 （3）小婷的判断不正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，统计表和用样本估计总体，能从图表中获取信息和正确计算比例是解题的关键． （1）35岁以下的有：，35岁岁的有：，50岁以上的有：，分别计算即可； （2）先计算出经常参加健身锻炼的占比，再乘800人，即可； （3）先计算出经常了解健身锻炼知识和经常参加健身锻炼的人群中三个时间段的各人数占比，然后再进行比较，即可得出结果． 【小问1详解】 解：35岁以下的有：（人）， 35岁岁的有：（人）， 50岁以上的有：（人）， 故答案：5，30，15； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计经常参加健身锻炼的约为336人； 【小问3详解】 解：判断不正确． 理由如下： 调查的50人中，35岁以下的有 5人，35岁岁的有 30人，50岁以上的有 15人， 经常了解健身锻炼知识中35岁岁的占比：， 经常了解健身锻炼知识中35岁以下的占比：， 经常了解健身锻炼知识中50岁以上的占比：， 而， 经常了解健身锻炼知识中50岁以上的占比最高； 经常参加健身锻炼的人群中35岁岁的占比：， 经常参加健身锻炼的人群中35岁以下的占比：， 经常参加健身锻炼的人群中50岁以上的占比：， 而， 经常参加健身锻炼的人群中35岁以下的占比最高， 综上，从条形统计图中不能看出小区中“35岁~50岁”这个年龄段的人最具有健身意识． 20. 如图1，永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省会太原现存古建筑中最高的建筑位于太原市城区东南向山脚畔．数学活动小组的同学对其中一塔进行了测量．测量方法如下：如图2，在地面上选取两点和，且点及其中一塔在同一平面内，塔底部与点在同一条直线上，测得，在两处分别放置学生制作的高为的测倾仪，在两处测得塔顶的仰角分别为和．根据测量小组提供的数据，求该塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，．） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用的仰角问题，通过作辅助线得出直角三角形，利用三角函数建立边的关系求解塔高． 延长交于，则，，，，，在中，求出，在中，，求出的长，进而计算塔的高度． 【详解】解： 延长交于，如图所示： 由题意得：，， ，， 在中，， ， 在中， ， ， 解得：， ； 答：该塔的高度约为． 21. 综合实践：某数学小组在实践课上进行了课题研究，制定学习表如下： 研究课题 角平分线的性质与判定 配图 材料收集 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛认为是历史上最成功的教科书．《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．” 任务1： 整理思路 已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，连接，以为边作等边，求证：是的平分线．请在横线上填写下面思路的依据： 思路：…… ∴（全等判定依据，用字母表示为______）， ∴（得此步结论的依据为______）， ∴是的平分线． 任务2： 迁移应用 已知，将的两顶点C，D放置于和上，连接交于点P，若，求证：是的平分线． 任务3： 拓展探究 已知四边形，连接对角线，交于点P，当平分且将分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 【答案】任务1：；全等三角形的对应角相等；任务2：见解析；任务3：或2 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作角平分线，相似三角形的判定及性质，添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． 任务1：由尺规作图作交角平分线的依据即可求解； 任务2：过点作，交于，可证得，可知，进而得，则，可知，即可证明结论； 任务3：如图，过点作，则，，再结合角平分线可证，根据平行可证明，得，进而可知，当平分且将分成面积比为的两部分时，或2，即可求得或2． 【详解】解：任务1：思路：由作图可知，，，， ∴（）， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴是的平分线． 任务2：过点作，交于，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴是的平分线． 任务3：如图，过点作，则，， ∵平分， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 又∵，， ∴， 当平分且将分成面积比为的两部分时，或2， ∴或2． 22. 掷实心球是山西中考体育素质类选考之一，某同学在某次试投中实心球所经过的路线呈抛物线形状，经测量发现：出手处A点距地面，实心球在距出手处A水平距离处达到最高，最高点距地面2米；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是实心球距出手处A的水平距离，是实心球距地面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）下面是2024年临汾市初中毕业升学体育考试（实心球）评分标准，请你给该同学打分．（参考值：） 分值 6 6.5 7 7.5 8 落地距离 3.1~3.4 3.4~3.7 3.7~4.0 4.0~4.3 4.3~4.6 分值 8.5 9 9.5 10 10.5 落地距离 4.6~4.9 4.9~5.3 5.3~5.7 5.7~6.0 6.0~6.2 分值 11 12 13 14 15 落地距离 6.2~6.4 6.4~6.6 6.6~6.8 6.8~7 （注：落地距离包含最小值，不包含最大值） （3）为提升中考体测成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训练，在出手高度不变的前提下，调整出手角度与力量，使得球在距出手处A水平距离处达到最高，最高点距地面，请判断该同学能否得满分． 【答案】（1） （2）12分 （3）能 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用． （1）由待定系数法即可求解； （2）令，即可求解； （3）先由待定系数法求出新解析式，再令，求出x的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点为，， 设抛物线的表达式为：， 将点代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：令， 解得：， ∵， 故该同学得分为12分； 【小问3详解】 解：由题意得，抛物线的顶点为，， 设抛物线表达式为：， 将点代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令， 解得：， ∵， 故该同学能得满分． 23. 点E在矩形的对角线上，于点G，交于点F． （1）如图1，若平分，求证：； （2）如图2，取的中点M，若，，． ①求的长度； ②求的值； （3）如图3，过的中点O作于点P，延长交于点Q，连接交于点N．若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）①；② （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等证出，再根据两直线平行，内错角相等、等角对等边和等量代换即可证明结论； （2）①证明得到，结合，，代入进行计算，即可作答． ②同理得到， ，由，得，所以，最后根据相似性质即可证明结论； （3）连接，作于H，证出是的垂直平分线，根据等式性质证明，又因为，所以，得到，最后根据相似三角形对应边成比例和等量代换即可解答． 【小问1详解】 解：如图1： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， 在中，°，中，， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①如图2： ∵， ∴， ∴， ∵，． ∴， 则， ∴（负值已舍去）； ∵点M是的中点， ∴； ②作于N， ∴， ∴， ∴， 又∵M是中点， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图3：连接， ∵矩形中，O是中点，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 作于H， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴，即（等式性质）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的性质与判定，相似三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线、利用相似三角形性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $