第1章 三角形的证明-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（北师大版）

&迎& ·参考答案 -15 (2)2(乙E+乙F2A+乙D+180°- 44期2版 △CBF 中,因为ZDEC=BFC.CD=LCBF.CD=CB.听以 23.(1)因为AD 1CM.BE1CM.所以AD/BE.乙ADM= CDE CBF(AAS).所以CECF.所以AC平分乙DAB 6.4多边形的内角和与外角和 I乙BE=90-,因为点M是AB的中点,所以AM-.在△ADM (2)由1).得BF=DE=4.在B△ACE和R△ACF中,因为AC 6.4.1多边形的内角和 和△BEM中,因为ADM=BEM.AMD=BME AM==ACCE=CF以Rt△ACERt△ACFCHL).所AE=AF= 基础训练 1.C: 2.C: 3.18:4.10. IM.所以△ADM△BEM(AAS).所以AD=BE所以四边形10所以AB-AF-BF-6. 5.因为AB/CD.2B=70所以 C=180-B=ADBF是平行四动形 19.(1)在等过△ACD中.乙CAD-乙ADC-60AD-DC 110.因为五边形的内角和为:(5-2)x180-540,所以。+ 所以AD/BE.乙 BEM-90%.听以乙DAO- FBO 0DE 点.听以乙 ADE--乙ADC:30*.因为AB-AC.听以AD” (2)延长D0交BF于点F.图略.国为AD1CM.BE 1CM=AC.所以BAD=ZBAC+ZCAD=160$因为E为AC的中 120*-140+70+110-540.得-100. 6.(1)60. 乙OFE乙DEO+乙FEO-90”.因为点0在DE的垂直平分线 (2)因为CE/AD.乙D-140*,所以乙DCE-180”-乙D上.所以 D0 FO. 所以乙ODE 乙DEO. 所以 乙OFE=AB. 所以 ADB ABD(180--乙BAD)10*. 所以 -40.因为CE平分乙BCD.所以乙BCD-2乙DCE-80.所以乙FEO.所以FO-EO.所以DOFO.在△ADO和△RFO中。 i因为/DA0FB0. A0D-B0F.D0-Fo.所以△AD0 B=(4-2)×180- A- BCD- D=40. 乙B0f=乙ADE-乙A0B=20 能力提高 7.根据意,得1780*(n-2)x180*1780 △Fo(AA5).所以A0=80. (2)连接AV图略.因为CM平分乙ACB.所以设ZACM= .180%解得118n128.因为,为正整数,听以-12.所 7BCV=因为A=AC.听以AC=乙ACB=20等 复习专号参考答案 IAACD中.因为E为AC的中点.以DV1AC所以A=AC 除去的内角的度数为:(12-2)×180-1780-20. !所以乙XAC-NCA=.所以2DAN-60+.在△ABV和 《三角形的证明》专项练习。 6.4.2多边形的外角和 △ADV.因为A=AD.BV=DV.AV=AV.所△ABV 基确练 1.A: 2.D:3.A:4.40:5.72. 1.C;2.D. △ADV(SSS.听以AB=乙ADV=30BAV= DAV= 6.因为A是四边形ACD的外角,以乙A+乙AC 3.(1)因为ar平分乙.A8C.所以2.ABf 乙CBF.因为AB/乙.ABC-180-,所以60*+2a+20+2a=180.解得a-20°. -180.因为乙ABE乙D.所以乙ABC 乙D-180”因为CD.所以乙ABF-乙F.所以乙CBF乙E.所以CBCE因为所以乙NBC 乙ABC-.ABN-10.所以乙MNB-.NBC+ 60+听以B4C60+2在AABC中.BAC+乙AC4 立形的内角和等于360-,所以乙A·2C=360-(乙ABC+ CF1. BE,所以cC平分.BCB. 乙D)=180. (2)因为AB/CD.2ABC-52.所以乙BCD-180- 乙NCB-30-所以乙MB-2MNB.所以MB-MN. 7.设这个正多边形的一个外角的度数为a”.根据题意,得: 过乙ABC:128.所以2 GCD-乙BCD=64所以2CGD: 《三角形的证明》复习检测题 ,3.-180.解得.-72.所以这个正多边形的边数为:36004 .ADE-GCD:46* __ 72-5 4.B: 5.55. 题 12 345 6 7 8 能力提高 8.概据题意,得王明所走路轻是一个正多边形 6.(1)△CDE是等边三角形,理由如下 因为王明第一次回到A点时走了72来,每次沿直线走6米转弯,所 答案BABBDCAC 因为△ABC显等边三角形,且BD1ACAF1C,所以乙C 以这个正多边形的边数为:7246=12.听以a=360*412=30 -60*.Bc-Ac.cr--ac.cp--Ac.所以cn-cr.所以 二、9.如果-0.那么。>0.bc0.假:10.1; 44期3,4版 i△CDE是等三角形. 11.30:12.2:13.6;14.519. _. 三、15.△CDE是等三角形.理由如下: 题号12345678910 过乙DBA-乙RAE=30-.所以OB 0A=12. 所以 OBE乙.CED ADB. 因为AB-AD.所以乙是=乙.ADB 所以 CDE 因为CD/AB.所以CDE-2B因为CE/AD.所以 答案ADBDCBCCDB 乙ABC-2DBA=30*所以0F=)0B=6. 二.11.八边形:12.20:13.60%;14.16: =乙CED所以△CD是等三形. 15.(2.2)成(-2.10). 7.C: 8.45% 16.因为AB-AC,A平分ZRAC,所以A1BC听以乙AfC 三、16.(1)2DCF的度数为42 9.由题意,得:C-乙0AP-90. =90$因为 EBF=乙F=60.所乙BF=180- FBF- (2)A与对的离为7或21。 2E-60”所以21F-90-2BFE=30”。对角相等,得 ①当点P运动到AC的中点时,AP-AC-5em.听以AP 乙rDA-乙HDF-30° 17.补全图形略.四边形ACD是平行四边形,证明如下: 因为BE是△ABC的中线,所以AE-CE. 又因为BE=DF. -RC.在Rt△ABC和R△OPA中,因为AB-OP,BC-PA.所以 17.过点D作D1AB干点P.连接D.图略.因为乙BAC= )R△ABC一B:△OPA(HL). 所以四边形ACD是平行四边形 30*.AD平分乙BAC/C=0DH1AB.9队BAD-乙BAC 18.延长A6.CD交干点H图略.因为乙A=乙B=乙C= ②当点P运动到与点C重合时,AP=AC=10em在 =15*.DC-D.因为MN是AD的喻直平分线,所以ND-NA.所 CDE =乙ACF-90”,9i以乙H(4-2)x180”-LA-乙B R△ABC和Rt△POA中,因为AB=PO.AC- PA.所以R△ABC 以 NDA= NAD-15所以 DVH= NDA+AAD=30- -乙C-90乙EDH-180-CDE -90- FCH-180*- Ri△POA(HL). AGF=90.所以F=(5-2)x180- EDH- E- 综上所述,当点P运动到AC的中点处或当点P运动到与点 在R△DNV中,DH--N.所以DC-一A 乙FGf-2H=130*140”所以这个零件不合格. C重合时,AABC才和△AP0全等. 18.(1)因为△ABC是等睡直角三角形.28AC:90,所以 19.因为四边形ABCD是平行四边形,所以乙A-乙C.AB- 10.B: 11.A: 12.C. 13.山对角相答,得乙A0B-COD.因为乙A-C.0A 60°所以乙CAD-乙BAD+乙BAC-150”AD-AC.所以 AB=AC因为△ABD是等边三角形,所以AD=AB.乙BAD= CD.ADBC 又因为乙ADE =乙CBF所以△ADE -D. !=D,所以0垂直平分BD 14.6em:15.72%. 20.段这个多边形的边数是m.根据意,得1280*-180 (2)过点E作fG1BM于点G.FH1CM交C的E长线 (m-2)x180<1280解得8一<w<9因为m是正 《三角形的证明》复习自测题 干点H.连接BE,图略.因为AE平分乙BAC.所以乙BAE= CAf- BAC-45所以乙AEC-180*-CAF-LACE 整数,所以m-9.所以他重复加的册个角的度数是:1280。-(9 一 -2)×180=20%. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 =120又因为AB=ACAE =AE. 所以 △AEB 21.(1)因为四边形ABCD是平行四边形.所以AB/CD.AB 答案 A B A B D C D D △AFC(SAS).所以乙AEB -LAEC=120%BF =CE. 所以 =CD.所以乙6iAE=乙HCE因为点G.H分别是ABCD的中点. EC=360*-AFC- AFB=120因为EC1M6.F1 二.9.4cm; 10.100: 11.8: 12.5 所以AG=CKI在△AGE和△CHF中.因为AG=CH.2GAE= MH. GMIf=60所以 乙GEH=360-乙EGM-乙EHM- LHCF AE-CF所以 △AGE △CHF(SAS).所以 GE-HF. 13.60:14.1或7. 乙GMH-120”所以乙BEG- CEH. 又因为乙BGE-乙CHE LAEG-乙CFH所以180-CAEG-180--CFH图 GEF 三、15.图略(EF的A直平分线与AB.CDA角的平分线的交 =90”,BECE,所以△BGE △CHE(AAS).所以EG=EH =乙HFE.所以GE/H.所以四边形EGFH是平行四边形 点即为点P的位置). !所以E平分乙BC (2)因为四边形ACD是平行四边形,所以0B=0D因为 16.延长AD交C于点F图略因为E是乙ABC的平分线,AD 19.(1)过点C作Cif1x轴于点.图略.因为A(m.0) B-14.所以0B-D-7.因为E.C分别是A0 AB的中点 1. BE.听以乙ABDFBD.乙ADB乙FDB=90.所以9”-B(0.m)w0.所以乙 A0-90”0A0Bm. 听0AB 乙ABD-90”-2.FBD.即乙BAF -乙BFA.国为乙AFB-乙C=45”因为AB1. AC,所以乙CAH-A5 所以A-CH.因为点 以Ec-1on- :乙CAF,以乙BUD-CAD/C C(43)0H4.C=3.以A=4-m.即4-m=3. 17.连接DE.图略.因为直线1是线段tr的垂直平分线,所解得m=1. 22.(1)因为乙A=150.乙D=80,所以 ABC+ BCD 以DF=DE.因为乙 A=90”,乙ADF-60”.所以 AFD-30 (2)乙EAD的大小不发生变化 =(4-2)x180*-乙A-乙D-130.因为CF平分7CD.Bf 所以DF-2AD.因为2AD-BD,所以BD-Df-DE.所以 因为点D为:轴正半输上一动点,0D=1.点(a.1)x>1 平分乙ABG,所以乙BCE-乙BCD,乙 ABF-乙ABC 乙DEB=乙是=50”所以乙BDE=180”-乙B-乙DE=80- m,所以D(1.O),且点D在点A的右,点E在第一条限过点 1(180-.ABC)=90--.ABC所以乙F+ F-360* 所以 FDE180*-2ADF-BDE-40.所以DFE-作EM 1:轴于点M图略.因为0A-0B-m.OD-1.所以 过乙DEf-1x(180-2FrDE)-70. AD0D-0-1-m.因为E(n.t).所以ME-1.所以0D - BCE-CBF-360*- BCE-(7ABC+ ABF)-360* 1ME.在Rt△ODB和Bt△MED中,因为BD=DF.0D=ME,所以 --&8CD-(乙ABC+90-.ABC)270”-(乙ABC为CF1AD.所以乙DEC-CFB90因为D+AC MD-1-本-.所以AME.所以EAD45.所以 18.(1)过点CCF 1AB.交AB的延长线于点F.图略.因 Bi△0DBR△MED(HL).所以OB=MIDm.所以AM=AD +乙CD)-205- 180”.CBF+ABC=180所以2D=ZCBF.在△CDE和 在点D的运动过程中,EAD的大小不发生变化,始终是45数理极 专题复习 3 知识回顾 第一章 泳9 L.等腰三角形 (1)两条边 的三角形叫做等楼三角形，两」 三角形的证明 条相等的边叫做 ,另一边叫做 ,两层 的夹角叫做 ,腰和底边的夹角叫做 (2)等腰三角形的两底角 (简称 Q江西 李度辰 对 “) 解：因为∠BAC=90°，∠C=30°，所以∠B=90° (3)等腰三角形顶角的 底边上的 (2)直角三角形的判定定理： ∠C=60°.因为AD=CD,所以∠ADB=2∠C=60°.所 及底边上的 互相重合（简称 ①有两个角 的三角形是直角三角形： ). 以∠BAD=180°-∠B-∠ADB=60.所以△ABD是 ②如果三角形两边的 那么这个 (4)等腰三角形是 对称图形，它的对称轴 三角形是直角三角形 等边三角形所以BD=B=BC=3因为AB⊥BC. (3)两个直角三角形全等的判定方法： (5)有两个角 的三角形是等鞭三角形（简 所以D服=D=2是 称“ 对 5.互逆命题和互逆定理 故选B. 2.等边三角形 (1)原命题与逆命题 ●专项练习 (1)三条边都相等的三角形是 三角形：等 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是 4.如图5，一探树在一次强台风中于离电面3米处折 边三角形的三条边都 ,三个内角都 另一个命题的 和 ,那么这两个命题称 断倒下，倒下部分与地面成0°角，则这棵树在折断前的 并且每个角都等干 为五逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个 (2)等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三 做它的 命题 高度为 角形所有的性质，所以它也是 对称图形，共有 原命题与逆命题具有如下关系：①所有的命题都有 条对称轴。 逆命题：②原命题与逆命圆的条件，结论相反：③原命 30 (3)三个角都相等的三角形是 三角形：有 题成立，逆命题不一定成立 一个角等于60°的 三角形是等边三角形 (2)定理与逆定理 如果一个定理（真命题）的逆命题经过证明是 A.6米 B.9米 (4)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 命题，那么这个逆命烟也是一个 这两 C.12米 D.15米 它所对的 等于边的 个定理称为互逆定理，其中一个称为另一个的逆定现 3.反证法 5.如图6是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的 6.线段的垂直平分线 (1)概念：在证明时，先假设命题的 不成 CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE=120.若CD (1)性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段 立，然后推导出与 ,已有 的长度为55m,则此时B,D两点之间的距离为 两个磐点的距离 已知相矛盾的钴果，从而正明命题的结论一定 cm (2)判定理：到一条线段两个端点距离相等的 成立，这种证明方法称为反证法， 点，在这条线段的 (2)步滚：“反设一归谬一结论”三步曲。 7角平分线 4.直角三角形 (1)性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的 (1)性质定理： ①直角三角形的两个锐角 (2)判定定理：在一个角的内部.到角的两边距离 ②直角三角形的两条直角边的平方和等于 的点在这个角的平分线上， 6 考点解密 距离相等 6.如图7，△ABC是等边三角形，BD⊥AC,AE⊥C, 垂足分别为点D,E,AE,BD相交于点O,连接DE 考点1：等腰三角形 (1)判断△CDE的形状，并说明理由： 例1如图1，在△ABC中，AB=AC,D是BC边上 (2)若01=12.求0E的长纪 的中点，连接AD,BE平分∠ABC交AC干点E 考点3：直角三角形 例3如图8，CD⊥AB于点D.EF⊥AB于点F.CD :EF,要根据“HL”正明Rt△ACD≌△BEF,则还需要 2.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是 添加的条件是 A.∠A:∠B:∠C=1:1:3 (I)过点E作EF∥BC交AB于点F,求证：FB■ B.BC:AC:AB =2:2:3 FE: C.∠B=50°，∠C=80 (2)若∠C=36°.求∠BAD的度数， D.2∠A=∠B+∠C 解：(I)因为BE平分∠ABC,所以∠FBE=∠CBE 3.如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠ABC的平 因为EF∥BC,所以∠FEB=∠CBE.所以∠FBE= A.∠A=∠B B.∠C=∠E 分线交CD的延长线于点E,CF⊥BE,交AD于点G LFEB所以FB=FE C.AD BF D.AC BE (1)求证：CG平分∠BCD: (2)因为AB=AC,D是BC边上的中点，所以∠ABD 解：因为GD⊥AB,EF⊥AB,所以∠ADC=∠BFF (2)若∠ADE=110°.∠ABC=52°，求∠CGD的度 =∠C=36°，AD⊥BC,所以∠ADB=90,所以∠BAD数 =90°.因为CD=EF,当添加AC=BE时，即可根据 =90°-∠ABD=54. “HL”判断R△ACD≌Rt△BEF 考点2：等边三角形 ●专项练习 故选D. 例2如图4，在R1△ABC中，∠BAC=90°，∠C= 1.如图2，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操 ●专项练习 30°，BG=6,AD=CD,AE⊥BC于点E,则DE的长是 作方法通常是：从电线杆DE上一点A注地面拉两条长度 7.直角三角形两锐角的平分线所夹的纯角的度数 相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离 为 相等，且B,E,C在同一条直线上时，电线杆DE就垂直于 A.1009 B.120 BC,工程人员这种操作方法的依据是 C.1359 D.140 A.等边对等角 8.如图9，∠BAC=90,AB=D B.张线段最短 4,AC=4,BD=7,CD=9,则 C等腰三角形的“三线合一“ A.1 ∠DBA= D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个增点的 C.3 D.6 (下转第4版) 4 专 题复习 数理极 (上接第3版) ●专项练习 (上接第10版} 9.如图10，在△ABC中，∠C 12.如图I2.△ABC中，BD平分∠ABC,EF垂直平分 考点4：作图与图案设计 =90°.AC=10m,BC=5cm, BC交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60 例5如图10，在8×5的正方形网格中，每个小正 条线段PQ=AB,P,Q两点分别在 ∠ABD=25°，则∠ACF的度数为 AC上和过点A且垂直于AC的射 方形的边长均为1，△AC的三个顶点均在小正方形的 A.70 B.50 线AQ上运动，问点P运动到AC上 图10 间点上 C.45 D.25 什么位置时，△ABC才能和△APQ全等（根据直角三角 (1)在图10-①中画△ABD(点D在小正方形的项 形企等的判定方法“H,”解答)， 点上)，使△ABD的周长等于△ABG的周长，且以A,B 考点4：反证法与互逆命题 C,D为预点的四边形是轴对称图形： 例4牛顿曾说过：~反证法是数学家最精良的武器 (2)在图10-②中回△ABE(点E在小正方形的顶 之一.”那么我们用反证法证明“若a>4>0,则G< 点上)，使△ABE的周长等于△ABC的周长，且以A,B, 12 图13 √”，首先应该假设 13.如图13.AD与BC相交于点0.0A=0C,∠A C,E为顶点的四边形是中心对称图形，并求出该四边形 A.a< B.a ∠C,BE=DE求证：OB垂直平分BD 的面积 C.a <.b D.√a≥6 考点6：角平分线的性质与判定 解：选D 例7如图14.已知AD是△ABC ●专项练习 的角平分线，DE,DF分别是△ABD和 10.我用反证法正明命题“三角形中不能有两个 10 △ACD的高，AE=12,DF=5.则点E 直角”，应先假设 ( 解：(1)如图11-①： A.三角形中有一个内角是直用 到直线AD的距离为 (2)如图1-②四边形ACBE的面积为2×4=8 B.三角形中有两个内角是直角 解：如图14，过点E作EH⊥AD C.三角形中有三个内角是直角 于点H,因为AD是△ABC的角平分 图4 D.三角形中不能有内角是直角 线，DE⊥AB,DF⊥AG,所以DE=DF=5.在Rt△ADE 例5命圆“等樱三角形的两底角相等”的逆命题： 中，4AE=12,出勾殷定理，得AD=√E+DE=13.因 ① ,它是 (填“真”或 图1 “假”)命题 为Sm=DE=DE,所以EmA6 AD ●项练习 解：填有两个角相等的三角形是等腰三角形，真 9.如图12，在4×4的方格中，有4个小方格被涂黑 所以点E到直线4D的距离为号 60 ●专项练习 成“L形” 11.下列命圆中原命题与逆命题均为真命题的是 故填智 (1)在图12-①中再涂黑4格，使新涂黑的图形与 原来的“1，形”关于对称中心点0成中心对称： A.若4=b.则3e=36 ●专项练习 (2)在图12-2和图12-③中再分别涂黑4格.使 B.若ma2>2.则m>n I4.如图15，在△4BC中，∠C=0,BD平分 新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴 C.全等三角形的面积相等 ∠ABC,交AC于点D,AC=15m,AD=9cm,DE⊥AB 对称图形又是中心对称图形（两个图各海一种）. D.全等三角形的对应角相等 则DE= 考点5：线段垂直平分线的性质与判定 例6如图11，在 △ABC中，DE是BC的垂直 平分线，若AB=5,AC■8， 则△ABD的周长是 B 图12 11 15 16 (专项练习答案参见第15一18版】 解：因为DE是BC的垂直平分线.所以BD=CD.所 I5.如图16，点0在△ABC中，且到三边的距离杆 以△ABD的周长为：AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB 等，连接0B.0C.若∠B0C=126“,则∠A的度数是 (上接第25版) +AC=13. 例8随着中国网民规模突被10亿，博物馆美有不 故填13 (专项练习答案参见第15~18版) 断向线上拓展，敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使 “血谣”，受到广大敦煌文化爱好者的好评某工厂计侧 (上接第7版) x轴于点B.且(AB+OA)(AB-OA)= 4,则不等式 司作3000个“恤瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际 考点5：三个“一次"的关系 +6>0的解集为 平均每天完成的数量是原计则的1.5修，结果提前5天 例5如图1，一次函数y=:+b(k,b为常数，且k A.> 完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？ B.x>3 <0)的图象与直线y=了都经过点A(m,),当： 解：设原计划平均每天制作x个摆件 3时，：的取值范国是 D.x<3 6> 根据题意，将300-300=1解得x=20. 1.5x 经检验，x=200是原分式方程的根，且符合题意 kx◆0 答：原计平均每天制作200个摆件 ●项练习 16.贵州省出台“引客人黔“团队能游及营销奖动办 图2 3 1 法，助推旅游市场强劲复苏某旅行社3月【日租住某鼠 A.x<3 B.x>3 12.若关于x的方程2x-3m=1的解是负数，则m的 区A,B两种客房一天，下面是有关信息：用6000元租到 C.x<1 D.x>I 取值范围是 4客房的数量与用4400元租到B客房的数量相等.已知 13,如图3，在平面直角坐标系中，直线1，经过4(-6 解：把点A(m,1)代人=子，得m=解得m 0),B(0,3)两点.点C在直线{上，点C的纵坐标是4 1客房的单价比B客房的单价多80元。 (1)求直线4，的函数表达式及点C的坐标 (1》求A,B两种客房的单价： =3.所以A(3,1).由图象，得当x<3时，直线y= 3 (2)直线，在直线4上方时，x的取值范围是 (2》若租住A,B两种客房共30间，A客房的数量不 在一次函数y=:+6的下方. 低于B客房数量的子，且所花总费用不高于760元，期 故选A. (3)若点D为直线4上一动点，且△0BC与△0AD ●专项练孔 的面积相等，试求点D的坐标 有哪几种租住方案？ 11.如图2，直线y=kx+(k<0)交y轴于点A,交 (专项练习答案参见第15~18版】 (专项练习答案参见第15~18版)