《一次函数》复习指导&《数据的频数分布》复习指导-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（湘教版）

书 （２）点Ｐ′的坐标为（ａ＋４，ｂ－３）； （３）Ｓ△ＡＢＣ ＝５×５－ １ ２ ×３×５－ １ ２ ×２×３－ １ ２ ×５×２ ＝９．５． ８．（１０，０）． 《图形与坐标》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｂ Ｄ Ａ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ｄ Ｃ 二、１１．（１，３）；　１２．北偏东７０°方向，距离仓库５０ｋｍ处； １３．（－２，－３）；　１４．（４，０）或（４，６）； １５．－１３；　１６．９；　１７．３；　１８．（３．２，－２．４）． 三、１９．解：（１）各点的坐标为Ａ（－３，２），Ｂ（－２，－１），Ｃ（１， －３），Ｄ（３，０），Ｅ（２，３）． （２）所描各点如图９所示． ２０．解：由题意得，｜ｍ－１｜＋｜２ｍ＋４｜＝１２，且２ｍ＋４＜０， ｍ－１＜０，则 －（ｍ－１）－（２ｍ＋４）＝１２，解得ｍ＝－５， 所以２ｍ＋４＝－６，ｍ－１＝－６， 所以点Ｐ的坐标为（－６，－６）． ２１．解：（１）所画平面直角坐标系如图１０所示，北京语言大 学的坐标为（３，１），北京—零一中学的坐标为（－３，３）． （２）北京市上地实验学校的位置如图１０所示． ２２．解：（１）（１，０），（－４，４）；　（２）（ａ－５，ｂ＋４）； （３）Ｓ△ＡＢＣ ＝４×４－ １ ２ ×２×４－ １ ２ ×１×４－ １ ２ ×２×３ ＝７． ２３．解：（１）建立平面直角坐标系不惟一，如图１１所示： 连接ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，分别过点Ｂ，Ｃ作ＢＥ，ＣＦ垂直于ｘ轴，则四 边形ＡＢＣＤ的面积等于左、右两个直角三角形的面积与中间梯形 的面积和．所以四边形ＡＢＣＤ的面积为：１２ ×３×６＋ １ ２ ×（６＋ ８）×（６－３）＋１２ ×（８－６）×８＝３８． （２）延长ＡＢ与ＤＣ，如图１１，由图可得直线ＡＢ，ＣＤ不垂直． ２４．解：（１）作图略，Ａ１（１，３），Ｂ１（－２，０），Ｃ１（３，－１）． （２）连接Ａ１Ｃ，交ｙ轴于Ｐ，连接ＰＡ，这时ＰＡ＋ＰＣ最短． 设直线Ａ１Ｃ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ． 因为直线经过Ａ１（１，３）和Ｃ（－３，－１）， 所以 ｋ＋ｂ＝３， －３ｋ＋ｂ＝－１{ ，解得 ｋ＝１， ｂ＝２{ ， 所以直线Ａ１Ｃ的函数表达式为ｙ＝ｘ＋２． 当ｘ＝０时，ｙ＝２，所以点Ｐ的坐标为（０，２）． ２５．解：（１）点（３，０）的“２系联动点”的坐标为（３－２×０，２ ×３－０），即（３，６）． 设Ａ（ａ，ｂ），则点Ａ的“－２系联动点”的坐标为（ａ＋２ｂ，－２ａ －ｂ）． 因为点Ａ的“－２系联动点”的坐标是（－３，０）， 所以 ａ＋２ｂ＝－３， －２ａ－ｂ＝０{ ，解得 ａ＝１， ｂ＝－２{ ， 所以点Ａ的坐标为（１，－２）． 故答案为（３，６），（１，－２）． （２）点Ｐ的位置在ｙ轴上． 证明：因为点Ｐ（ｘ，ｙ）的“ｋ系联动点”与“－ｋ系联动点”分 别为点Ｍ，Ｎ， 所以Ｍ（ｘ－ｋｙ，ｋｘ－ｙ），Ｎ（ｘ＋ｋｙ，－ｋｘ－ｙ）． 因为ＭＮ∥ｘ轴，所以ｋｘ－ｙ＝－ｋｘ－ｙ，所以２ｋｘ＝０． 因为ｋ≠０，所以ｘ＝０，所以点Ｐ在ｙ轴上． （３）由（２）可知点Ｐ（０，ｙ）在ｙ轴上，则ＯＰ＝｜ｙ｜． 因为ＭＮ＝｜ｘ＋ｋｙ－ｘ＋ｋｙ｜＝２｜ｋｙ｜， ＭＮ的长度为ＯＰ长度的３倍， 所以２｜ｋｙ｜＝３｜ｙ｜，所以ｋ＝±３２． ２６．解：（１）Ｃ（０，２），Ｄ（４，４）． （２）设Ｅ（ｍ，０），０≤ｍ≤４． 因为Ａ（４，０），Ｂ（０，－２），所以ＯＡ＝４，ＯＢ＝２， 所以Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ２·ＯＡ·ＯＢ＝ １ ２ ×４×２＝４， 所以Ｓ△ＣＤＥ ＝ ３ ２Ｓ△ＡＯＢ ＝ ３ ２ ×４＝６． 如图１２，连接ＤＡ，由平移方式知ＤＡ⊥ｘ轴， 则Ｓ△ＣＤＥ ＝Ｓ梯形ＣＯＡＤ －Ｓ△ＯＣＥ－Ｓ△ＤＥＡ ＝ １ ２ ×（２＋４）×４ －１２ ×２ｍ－ １ ２ ×４（４－ｍ）＝６， 解得ｍ＝２，所以Ｅ（２，０）． （３）存在，点Ｂ′的坐标为（０，－６）或（０，－３）或（０，－４）． ①当∠Ｂ′Ａ′Ｐ＝９０°时，连接ＡＡ′，过点Ｂ′作Ｂ′Ｃ∥ｘ轴，交 ＡＡ′的延长线于点Ｃ，如图１３， 因为∠Ｂ′Ａ′Ｐ＝９０°，所以∠ＰＡ′Ａ＋∠Ｂ′Ａ′Ｃ＝９０°， 因为∠Ａ′Ｂ′Ｃ＋∠Ｂ′Ａ′Ｃ＝９０°，所以∠ＰＡ′Ａ＝∠Ａ′Ｂ′Ｃ， 又∠ＰＡＡ′＝∠Ｃ＝９０°，Ａ′Ｐ＝Ａ′Ｂ′， 所以△ＡＡ′Ｐ≌△ＣＢ′Ａ′（ＡＡＳ），所以ＡＡ′＝Ｂ′Ｃ． 设Ｂ′（Ｏ，ｎ），则ＡＡ′＝ＢＢ′＝－２－ｎ， 因为ＡＡ′＝Ｂ′Ｃ＝ＯＡ＝４，所以 －２－ｎ＝４，所以ｎ＝－６， 所以Ｂ′（０，－６）． ②当∠Ａ′ＰＢ′＝９０°时，可求出点Ｂ′的坐标为（０，－３）． ③当∠Ａ′Ｂ′Ｐ＝９０°时，可求出点Ｂ′的坐标为（０，－４）． 《一次函数》专项练习 １．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．Ｃ；　５．Ａ；　６．Ｂ；　７．Ｂ； ８．Ｄ；　９．（０，－３）；　１０．Ｂ；　１１．Ｄ；　１２．Ｂ；　１３．ｘ＜２． １４．解：（１）设每套１００Ｌ垃圾箱ｘ元，每套２４０Ｌ垃圾箱 ｙ 元． 根据题意，得 ８ｘ＋５ｙ＝７２００， ４ｘ＋６ｙ＝６４００{ ．解得 ｘ＝４００， ｙ＝８００{ ． 答：每套１００Ｌ垃圾箱４００元，每套２４０Ｌ垃圾箱８００元． （２）设购买ａ套２４０Ｌ垃圾箱，则购买（２０－ａ）套１００Ｌ垃 圾箱，购买这２０套垃圾箱的费用为ｗ元． 根据题意，得ｗ＝４００（２０－ａ）＋８００ａ＝４００ａ＋８０００．因为 ４００＞０，所以ｗ随ａ的增大而增大． 根据题意，得ａ≥ １４（２０－ａ）．解得ａ≥４．所以当ａ＝４时， ｗ有最小值，此时ｗ＝４００×４＋８０００＝９６００． 答：购买这２０套垃圾箱的最少费用为９６００元． 《一次函数》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ａ Ｄ Ｄ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ Ｄ Ｃ 二、１１．（１，０）；　１２．－１２；　１３．ｙ＝ｘ－２（答案不唯一）； １４．４２；　１５．ｙ＝－ｘ＋４；　１６．ｘ≤－４；　１７．π＋１２ ｘ； １８．（２２３，０）． 三、１９．解：（１）设ｙ＝ｋ（２ｘ－１）．把ｘ＝２，ｙ＝６代入，得６ ＝３ｋ，解得ｋ＝２．所以ｙ＝２（２ｘ－１）＝４ｘ－２． （２）把ｙ＝－６代入ｙ＝４ｘ－２，得 －６＝４ｘ－２，解得ｘ＝－１． ２０．解：（１）根据题意，完成表格如下： 白纸张数ｘ（张） １ ２ ３ ４ ５ … 纸条总长度ｙ（ｃｍ） ２０ ３７ ５４ ７１ ８８ … （２）ｙ＝１７ｘ＋３． （３）１６５６÷８＝２０７（ｃｍ）． 当ｙ＝２０７时，１７ｘ＋３＝２０７，解得ｘ＝１２， 所以需要１２张这样的白纸． ２１．解：（１）图略；　（２） ｘ＝１， ｙ＝２{ ； （３）由（１）中两函数图象可知，当ｘ＞－１时，ｙ１ ＞０． ２２．解：（１）因为一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象是由函 数ｙ＝ １２ｘ的图象平移得到的，所以ｋ＝ １ ２， 因为一次函数ｙ＝ １２ｘ＋ｂ的图象经过点（－２，０）， 所以 －１＋ｂ＝０，所以ｂ＝１， 所以这个一次函数的解析式为ｙ＝ １２ｘ＋１． （２）ｍ≥２． ２３．解：（１）根据题表可判断Ｆ是关于ｈ的一次函数． 由题意，设这个一次函数的表达式为Ｆ＝ａｈ＋ｂ（ａ≠０）， 将ｈ＝１０，Ｆ＝２与ｈ＝２０，Ｆ＝３代人Ｆ＝ａｈ＋ｂ， 得 １０ａ＋ｂ＝２， ２０ａ＋ｂ＝３{ ，解得 ａ＝ １１０， ｂ＝１ { ． 所以Ｆ与ｈ之间的函数表达式为Ｆ＝１１０ｈ＋１．经验证，其余 几组对应值也符合该函数关系式． （２）由（１）可知Ｆ＝ １１０ｈ＋１， 当Ｆ≤９时，有 １１０ｈ＋１≤９，所以ｈ≤８０，所以０＜ｈ≤８０． 答：装置高度ｈ的取值范围为０＜ｈ≤８０． ２４．解：（１）（－１，０）． （２）当ｍ≥０时，因为点Ｐ′（ｍ，４ｍ＋２）是点Ｐ的“友好点”， 所以Ｐ（ｍ，４ｍ）， 又因为点Ｐ在函数ｙ＝２ｘ＋２的图象上， 所以Ｐ（ｍ，２ｍ＋２）， 所以４ｍ＝２ｍ＋２，解得ｍ＝１， 所以点Ｐ的坐标为（１，４）． 当ｍ＜０时，因为点Ｐ′（ｍ，４ｍ＋２）是点Ｐ的“友好点”，所 以Ｐ（ｍ，－４ｍ）， 又因为点Ｐ在函数ｙ＝２ｘ＋２的图象上， 所以Ｐ（ｍ，２ｍ＋２）， 所以 －４ｍ＝２ｍ＋２，解得ｍ＝－１３， 所以点Ｐ的坐标为 －１３，( )４３ ． 综上，点Ｐ的坐标为（１，４）或 －１３，( )４３ ． ２５．解：（１）设毛笔的单价为ｘ元，宣纸的单价为ｙ元． 根据题意，得 ４０ｘ＋１００ｙ＝２３６， ３０ｘ＋２００ｙ＝２２２{ ，解得 ｘ＝５， ｙ＝０．３６{ ． 答：毛笔的单价为５元，宣纸的单价为０．３６元． （２）①根据题意，得ｙ１＝５×５０＋０．３６（ｘ－５０）＝０．３６ｘ＋ ２３２． 当５０＜ｘ≤２００时，ｙ２ ＝５×５０＋０．３６ｘ＝０．３６ｘ＋２５０； 当ｘ＞２００时，ｙ２＝５×５０＋０．３６×２００＋０．３６×０．７５（ｘ－ ２００）＝０．２７ｘ＋２６８． 所以ｙ２ ＝ ０．３６ｘ＋２５０（５０＜ｘ≤２００）， ０．２７ｘ＋２６８（ｘ＞２００）{ ． ②该校准备购买的宣纸超过２００张时，方案Ｂ的费用为 ｙ２ ＝０．２７ｘ＋２６８． 画出ｙ１，ｙ２的图象略．根据图象，得当２００＜ｘ＜４００时，选择 方案Ａ更划算；当ｘ＝４００时，选择方案Ａ，Ｂ费用相同；当ｘ＞４００ 时，选择方案Ｂ更划算． ２６．解：（１）因为直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋１２与ｘ轴交于点Ｅ（１６，０）， 所以１６ｋ＋１２＝０，解得ｋ＝－３４． （２）由（１）可得直线ｌ的函数表 达式为ｙ＝－３４ｘ＋１２，则点Ｐ的坐 标为 ｘ，－３４ｘ＋( )１２（０ ＜ ｘ ＜ １６）．如图１４，过点Ｐ作ＰＤ⊥ＯＡ于 点Ｄ，则ＰＤ＝－３４ｘ＋１２． 由点Ａ的坐标为（１２，０），得０Ａ＝１２， 所以Ｓ＝ １２ ×１２× － ３ ４ｘ＋( )１２ ＝－ ９ ２ｘ＋７２（０＜ｘ＜ １６）． （３）在ｙ＝－３４ｘ＋１２中， ! " # $ !" !"#$#%& '()& !")& !"*+)& ,)-% ! !" ! ."/0123&4 " # $% & ! ! !# ' ( &! )! ) # ) % & * + ! , ! !$ ! !% $ , - * % ' . ! ! % # $ ! % &%&# &$ &! ) &! &$ &# &% + ! $ # % $ * , - ! ' / 0 . 1 2 $ ! + 3 * ! !! ! ! , . % 5 - 6 ! " # $ !" 书 当ｘ＝０时，ｙ＝１２，所以ＯＦ＝１２， 由Ｅ（１６，０），得ＯＥ＝１６， 所以ＳＯＥＦ ＝ １ ２ ×１２×１６＝９６． 假设存在点Ｐ（ｘ，ｙ），使Ｓ△ＯＰＡ ＝ ３ ８Ｓ△ＯＥＦ， 则Ｓ△ＯＰＡ ＝ ３ ８ ×９６＝３６， 所以 －９２ｘ＋７２＝３６，解得ｘ＝８， 因为０＜ｘ＜１６，所以存在点Ｐ（ｘ，ｙ），使Ｓ△ＯＰＡ＝ ３ ８Ｓ△ＯＥＦ， 将ｘ＝８代人ｙ＝－３４ｘ＋１２，得ｙ＝６， 所以点Ｐ的坐标为（８，６）． 《数据的频数分布》专项练习 １．Ａ；　２．Ｄ． ３．解：（１）８，４０％，８％； （２）补图略； （３）估计七年级学生这次考试优秀的人数是：６００×（３２％＋ ８％）＝２４０（人）． ４．解：（１）抽样调查； （２）４≤ｘ＜７的百分比为６０％，７≤ｘ＜１０的人数为１０人， 补图略； （３）１０００×１０％ ＝１００（人）． 答：全校１０００名学生中获得“一等奖”的学生约有１００人． 《数据的频数分布》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ Ｄ 二、１１．０．６；　１２．四；　１３．０．３４；　１４．９；　１５．０．４８； １６．０．３５；　１７．２０００；　１８．３０． 三、１９．解：因为初二（１）班有５０名学生，达到优秀的有１５人， 合格的有２１人，所以不合格的人数为：５０－１５－２１＝１４（人）．所以 这次体育考核中，不合格人数的频率是： １４ ５０＝０．２８． ２０．解：（１）ｘ＝１－０．０４－０．１２－０．４０－０．１６＝０．２８， 故答案为０．２８． （２）５０×０．０４＝２，５０×０．１２＝６，５０×０．４０＝２０，５０×０．２８ ＝１４，５０×０．１６＝８． 故答案为２；６；２０；１４；８． （３）补全频数直方图如图１５所示： ２１．解：（１）本次活动的总人数为：１５÷３０％ ＝５０，Ｂ组的人 数为：５０×２０％ ＝１０，补图略． （２）设应从Ａ组抽调ｘ名学生到Ｃ组．根据题意，得（１５－ｘ） ×３＝２５＋ｘ，解得ｘ＝５． 答：应从Ａ组抽调５名学生到Ｃ组． ２２．解：（１）３，１９． （２）补图略，成绩优秀的学生占所抽取学生人数的百分比 为： １７＋１９ ４０ ×１００％ ＝９０％． （３）答案不唯一，合适、积极即可． ２３．解：（１）２３；　（２）７７．５； （３）学生甲在七年级的排名更靠前．理由如下： 因为七年级的中位数为７７．５，７７．５＜７８，所以学生甲排名在 ２５名之前．因为八年级的中位数为７９．５，７９．５＞７８，所以学生乙排 名在２５名之后．所以学生甲在七年级的排名更靠前． ２４．解：（１）根据统计图得，每天代寄包裹数在５０．５～２００．５ 范围内的天数为１８＋１２＋１２＝４２． （２）①因为１．６＞１，所以除了付基础费用８元，还需要付超 过１ｋｇ部分（０．６ｋｇ）的费用２元，则该顾客应付费用为８＋２＝ １０（元）． ②质量为２＜ｘ≤３的包裹收取费用８＋２×２＝１２（元）， 质量为３＜ｘ≤４的包裹收取费用８＋２×３＝１４（元）， 质量为４＜ｘ≤５的包裹收取费用８＋２×４＝１６（元）． 根据题意得，这 ４０件包 裹收 取 费用 的平 均 数为 １２×１５＋１４×１０＋１６×１５ ４０ ＝１４（元）． ２５．解：（１）１００人，５． （２）该班的及格率为：４５％ ＋１５％ ＝６０％． （３）Ａ组人数为：１００×１５％ ＝１５（人），Ｃ组人数为：１００× ３５％ ＝３５（人），所以原分数段人数的数据从小到大为５，１５，３５， ４５，所以中位数为：１５＋３５２ ＝２５．所以若要使中位数不发生改 变，则需添加数据为２５，即ａ＝２５． ２６．解：（１）本次共抽查了２００名学生． （２）跳绳次数范围是１３５～１４５的人数是２９人，补图略； 跳绳次数范围１３５～１５５所在扇形的圆心角度数是：２９＋１６２００ ×３６０°＝８１°． （３）全市８０００名八年级学生中成绩为优秀的人数约为： ８０００×６０＋２９＋１６２００ ＝４２００（名）． （４）答案不唯一，如全市达到优秀的人数有一半以上，反映 了我市学生锻炼情况较好． 八年级第二学期期末综合质量检测卷（一） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ 二、１１．（２，５）；　１２．３（答案不唯一）；　１３．０．３；　１４．２４； １５．１８０°；　１６．６；　１７．１２ ＜ｋ＜２；　１８．２． 三、１９．证明：因为∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ，Ｄ是线段ＢＣ的延长线 上一点，所以∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ＝９０°．由对顶角相等，得 ∠ＡＯＥ ＝∠ＣＯＤ．因为∠ＣＯＤ＝∠Ｂ，所以∠ＡＯＥ＝∠Ｂ．因为∠Ａ＋ ∠Ｂ＝９０°，所以∠Ａ＋∠ＡＯＥ＝９０°．所以△ＡＯＥ是直角三角形． ２０．解：（１）把Ａ（ｍ，３）代入ｙ＝２ｘ，得２ｍ＝３，解得ｍ＝３２． 因为函数ｙ＝ａｘ＋４的图象经过点Ａ， 所以 ３ ２ａ＋４＝３，解得ａ＝－ ２ ３． （２）由图象得，不等式２ｘ＞ａｘ＋４的解集为ｘ＞ ３２． ２１．解：（１）图略． （２）△Ａ１Ｃ１Ｃ２的面积为：４×８－ １ ２ ×３×２－ １ ２ ×２×８－ １ ２ ×４×５＝１１． ２２．解：（１）抽取学生的总人数为：９÷１５％ ＝６０（人）， 所以ｘ＝６０－６－２４－９＝２１． （２）Ａ等级所占的百分比为：６６０×１００％ ＝１０％，Ｃ等级所占 的百分比为： ２４ ６０×１００％ ＝４０％，所以ｍ＝１０，ｎ＝４０． 所以Ｃ等级所对应扇形的圆心角的度数为：３６０°×４０％ ＝ １４４°． ２３．解：（１）因为∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝９千米，ＡＢ＝１５千米，所 以ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝１２千米．因为ＢＤ＝５千米，所以ＣＤ＝ ＢＣ－ＢＤ＝７千米．所以ＡＤ＝ ＡＣ２＋ＣＤ槡 ２ ＝槡１３０千米． （２）因为ＤＨ⊥ＡＢ，所以Ｓ△ＡＢＤ ＝ １ ２ＢＤ·ＡＣ＝ １ ２ＡＢ·ＤＨ， 解得ＤＨ＝３千米． 所以修建公路ＤＨ的费用为：３×２０００＝６０００（万元）． ２４．证明：因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＢ＝ ８０°，所以ＡＢ＝ＡＤ，∠Ｄ＝８０°，ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＢＡＤ＝１８０°－ ∠ＡＢＣ＝１００°．在△ＡＢＥ和△ＡＤＦ中， ＡＢ＝ＡＤ， ∠Ｂ＝∠Ｄ， ＢＥ＝ＤＦ { ， 所以△ＡＢＥ ≌△ＡＤＦ（ＳＡＳ）．所以 ＡＥ＝ＡＦ，∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ＝１８０°－ ∠ＡＢＣ－∠ＡＥＢ＝２０°，所以∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＤ－∠ＢＡＥ－∠ＤＡＦ ＝６０°．所以△ＡＥＦ是等边三角形． ２５．解：（１）如图１６所示． （２）分析表格中数据发现，供水时间每增加２ｈ，箭尺读数增 加１２ｃｍ，观察（１）中平面直角坐标系内点的特点，发现它们位 于同一直线上，即ｙ与ｘ之间满足一次函数关系． 设直线表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，代人点（０，６）和点（２，１８）， 得到 ６＝ｂ， １８＝２ｋ＋ｂ{ ，解得 ｋ＝６， ｂ＝６{ ， 所以ｙ与ｘ的函数表达式为ｙ＝６ｘ＋６． （３）当箭尺读数为９０ｃｍ时，即ｙ＝９０时，代入ｙ＝６ｘ＋６中， 得９０＝６ｘ＋６，解得ｘ＝１４，所以经过１４ｈ后箭尺读数为９０ｃｍ． 因为实验记录的开始时间是上午８：００，所以箭尺读数为９０ ｃｍ时对应的时间为２２：００． ２６．解：（１）因为Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝ＡＤ·ＡＢ，Ｓ△ＡＤＥ ＝ １ ２ＡＤ·ＡＢ， 所以 Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝２Ｓ△ＡＤＥ，因为 Ｓ平行四边形ＡＥＤＦ ＝２Ｓ△ＡＤＥ，所以 Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝Ｓ平行四边形ＡＥＤＦ，故答案为 ＝． （２）当点Ｅ运动到 ＢＣ的中点时，平 行四边形ＡＥＤＦ是菱形．理由： 如图１７，Ｅ为ＢＣ的中点，因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ ＝ＣＤ，因为 Ｅ是 ＢＣ的中点，所以 ＢＥ＝ ＣＥ，所以△ＡＢＥ≌△ＤＣＥ（ＳＡＳ），所以ＡＥ ＝ＤＥ．因为四边形ＡＥＤＦ是平行四边形， 所以四边形ＡＥＤＦ是菱形，所以当点Ｅ运 动到ＢＣ的中点时，平行四边形ＡＥＤＦ是菱形． （３）ＢＣ＝２ＡＢ． 由（２）知当点Ｅ运动到ＢＣ的中点时，平行四边形ＡＥＤＦ是 菱形，若菱形ＡＥＤＦ是正方形，必须有∠ＡＥＤ＝９０°，所以ＡＥ２＋ ＤＥ２ ＝ＡＤ２，由（２）得ＡＥ＝ＤＥ，ＢＥ＝ＣＥ＝ １２ＢＣ＝ １ ２ＡＤ，所 以２ＡＥ２ ＝ＡＤ２，因为∠Ｂ＝９０°，所以 ＡＢ２＋ＢＥ２ ＝ＡＥ２，所以 ２（ＡＢ２＋ＢＥ２）＝ＡＤ２，即２ ＡＢ２＋ １ ２( )ＡＤ[ ] ２ ＝ＡＤ２，所以４ＡＢ２ ＝ＡＤ２，所以ＢＣ＝ＡＤ＝２ＡＢ． 八年级第二学期期末综合质量检测卷（二） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｃ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｃ 二、１１．ＡＣ＝ＡＤ或ＢＣ＝ＢＤ；　１２．ｙ＝０．３ｘ＋６；　１３．６０； １４．４３；　１５．４；　１６．－１；　１７．槡２２；　１８．（２ ８５，０）． 三、１９．解：设多边形的边数为ｎ，则ｎ＝３６０°÷３０°＝１２，所 以这个多边形的内角和是（ｎ－２）·１８０°＝１０×１８０°＝１８００°． ２０．解：（１）５４． （２）１００×２００－９２２００ ＝５４（万人）． 答：全市每天“走进党史”的学习时间在１～２小时及以上 的约有５４万人． ２１．解：（１）把（１，６）和（０，４） 代人ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 ｋ＋ｂ＝６， ｂ＝４{ ， 解 得 ｋ＝２， ｂ＝４{ ，所以一次函数的表达 式为ｙ＝２ｘ＋４，画出该一次函数 的图象如图１８所示． （２）当ｙ＝０时，２ｘ＋４＝０， 解得ｘ＝－２，所以Ｃ（－２，０），所 以ＯＣ＝２，因为 Ｂ（０，４），所以 ＯＢ＝４，∠ＢＯＣ＝９０°，所以 △ＢＯＣ的面积 ＝ １２ ×２×４＝４． ２２．解：（１）建立平面直角坐标系略． （２）点Ｃ的坐标为（１，１）． （３）作图略，点 Ａ′，Ｂ′，Ｃ′的坐标分别为（２，－１），（－１， －５），（３，－３）． ２３．证明：（１）因为Ｇ，Ｆ分别是 ＢＥ，ＢＣ的中点，所以 ＧＦ∥ ＥＣ． 因为Ｈ是ＣＥ的中点，所以ＦＨ∥ＢＥ． 所以四边形ＥＧＦＨ是平行四边形． （２）连接ＧＨ，图略．因为 Ｇ，Ｈ分别是 ＢＥ，ＣＥ的中点，所以 ＧＨ∥ＢＣ．因为ＥＦ⊥ＢＣ，所以ＥＦ⊥ＧＨ，所以四边形ＥＧＦＨ是菱 形．因为ＢＥ⊥ＥＣ，所以∠ＢＥＣ＝９０°，所以四边形ＥＧＦＨ是正方 形． ２４．解：（１）因为 ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，∠Ｂ＝９０°，所以 ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝５．当０＜ｔ≤３时，ＢＱ＝ｔ，所以Ｓ＝ １ ２ ×４ｔ＝ ２ｔ；当３＜ｔ≤５时，ＡＱ＝ｔ－３，则ＢＱ＝３－（ｔ－３）＝６－ｔ，所 以Ｓ＝ １２ ×４×（６－ｔ）＝１２－２ｔ． （２）因为ＰＱ的垂直平分线过点Ｃ，所以ＣＰ＝ＣＱ．当０＜ｔ ≤３时，４２＋ｔ２＝（５－ｔ）２，解得ｔ＝ ９１０；当３＜ｔ≤５时，４ ２＋（６ －ｔ）２＝（５－ｔ）２，解得ｔ＝２７２（舍去）．所以ＡＱ＝ＡＢ－ＢＱ＝ ２１ １０． ２５．解：（１）①根据图象填表如下： 张华离开家的 时间 ／ｍｉｎ １ ４ １３ ３０ 张华离家的 距离 ／ｋｍ ０．１５ ０．６ ０．６ １．５ ② 张 华 从 文 化 广 场 返 回 家 的 速 度 为 １．５２０ ＝ ０．０７５（ｋｍ／ｍｉｎ），故答案为０．０７５． !" ! ! #" !" #" " $%&$'&$(&#)&#*" !"" ! $% ! 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' ( $ ! , + % ' ( ) * )*-. +*/ ! $' ! $) , , , , , , , , , , - - - - - - - - - - + ) ( % + , ! $ 0%0+0,0!0$ 0$ 0! 0, 0+ 0% $ ! , + % 书 １．变量与函数 （１）在一个变化过程中，我们称数值发生变 化的量为 ，数值始终不变的量为 ． （２）一般地，在某个变化过程中，有两个变量 ｘ和ｙ，如果给定一个ｘ值，相应地就确定了一个ｙ 值，那么我们称ｘ是 ，ｙ是ｘ的函数． （３）表示函数的方法一般有： 、 和 ． ２．正比例函数 （１）若两个变量ｘ，ｙ之间的关系可以表示成 ｙ＝ｋｘ（ｋ是常数，ｋ≠０），则称ｙ是ｘ的 函数． （２）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象是经 过点（０， ），（１， ）的一条直线． （３）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）图象的性质： 当ｋ＞０时，ｙ随ｘ值的增大而 ，图 象经过第 象限； 当ｋ＜０时，ｙ随ｘ值的增大而 ，图 象经过第 象限． ３．一次函数 （１）若两个变量ｘ，ｙ之间的关系可以表示成 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常数，ｋ≠０）的形式，则称ｙ是 ｘ的 函数．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常 数，ｋ≠ ０）的图象是经过点（０， ）， （ ，０）的一条直线． （２）一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）图象的性质： ①当 ｋ＞０，ｂ＞０时，ｙ随 ｘ值的增大而 ，图象经过第 、二、三象限； ②当ｋ＞０，ｂ＜０时，ｙ随 ｘ值的增大而 ，图象经过第 、三、四象限； ③当ｋ＜０，ｂ＞０时 ，ｙ随 ｘ值的增大而 ，图象经过第 、二、四象限； ④当ｋ＜０，ｂ＜０时，ｙ随 ｘ值的增大而 ，图象经过第 、三、四象限． ４．一次函数与方程、不等式 （１）一次函数与一元一次方程的关系 直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）与ｘ轴交点的横坐 标，就是一元一次方程ｋｘ＋ｂ＝０（ｋ≠０）的解． 求直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与ｘ轴的交点时，可令ｙ＝０， 得到方程ｋｘ＋ｂ＝０，解得ｘ＝－ｂｋ，故ｙ＝ｋｘ＋ ｂ交ｘ轴于 －ｂｋ，( )０． （２）一次函数与一元一次不等式的关系 ①ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象在ｘ轴上方时 ｙ＞０； ｙ＝ ｋｘ＋ｂ的图象在 ｘ轴下方时  ． ②ｙ１＝ｋ１ｘ＋ｂ１的图象在ｙ２＝ｋ２ｘ＋ｂ２图象 的上方时ｙ１ ＞ｙ２； ｙ１＝ｋ１ｘ＋ｂ１的图象在ｙ２＝ｋ２ｘ＋ｂ２图象的 下方时 ． （３）一次函数与二元一次方程（组）的关系 一次函数的表达式ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常数， ｋ≠０）本身就是一个二元一次方程，直线ｙ＝ｋｘ ＋ｂ（ｋ≠０）上有无数个点，每个点的横、纵坐标 都满足二元一次方程ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常数，ｋ≠ ０），因此二元一次方程的解也就有无数个．因此 确定两条相应直线交点的坐标就是解方程组 ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１， ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２ { ． 书 考点１：常量与变量 　　　　　　　　　　　　　　　例１ 一本笔记本６元，买ｘ本共付ｙ元，则 ６和ｘ分别是 （　　） Ａ．常量、变量 Ｂ．变量、变量 Ｃ．常量、常量 Ｄ．变量、常量 解析：一本笔记本６元，买ｘ本共付ｙ元，则６ 是常量，ｘ，ｙ都是变量．故选Ａ． ●专项练习 １．把１５个柚子随意放入两个箱子（每个箱 子内都放），第一个箱子放入ｘ个，第二个箱子放 入ｙ个，则下列判断错误的是 （　　） Ａ．１５是常量 Ｂ．１５是变量 Ｃ．ｘ是变量 Ｄ．ｙ是变量 考点２：函数的定义与表示方法 例２　在函数ｙ＝ ｘ＋槡 １２ｘ－１中，自变量ｘ的取 值范围是 ． 解析：根据题意，得ｘ＋１≥０，２ｘ－１≠０．解 得ｘ≥－１且ｘ≠ １２．故填ｘ≥－１且ｘ≠ １ ２． 例３　下表中记录了一次试验中时间和温 度的数据．若温度的变化是均匀的，则１４分钟时 的温度是 ℃． 时间ｔ／分钟 ０ ５ １０ １５ ２０ ２５ 温度Ｔ／℃ １０ ２５ ４０ ５５ ７０ ８５ 解析：根据表格，得Ｔ＝３ｔ＋１０．当ｔ＝１４分 钟时，Ｔ＝３×１４＋１０＝５２（℃）．故填５２． ●专项练习 ２．函数ｙ＝ １ １－３槡 ｘ 中，自变量ｘ的取值范 围是 （　　） Ａ．ｘ＜１３ Ｂ．ｘ≤－ １ ３ Ｃ．ｘ≤ １３ Ｄ．ｘ≠ １ ３ ３．根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须 定期换水后才能对外开放，在换水时需要经“排 水—清洗—注水”的过程，某游泳馆从早上８： ００开始对游泳池进行换水，已知该游泳池共蓄 水２５００ｍ３，打开放水闸门匀速放水后，游泳池 里的水量和放水时间的关系如下表，下面说法不 正确的是 （　　） 放水时间（分钟） １ ２ ３ ４ … 游泳池中的水量（ｍ３）２４８０２４６０２４４０２４２０ … Ａ．每分钟放水２０ｍ３ Ｂ．游泳池中的水量是因变量，放水时间是 自变量 Ｃ．放水１０分钟时，游泳池中的水量为２３００ｍ３ Ｄ．游泳池中的水全部放完，需要１２４分钟 考点３：函数的图象 例４　如图１，动点Ｐ从矩形ＡＢＣＤ的顶点Ａ 出发，在边 ＡＢ，ＢＣ上沿 Ａ→ Ｂ→ Ｃ的方向，以 １ｃｍ／ｓ的速度匀速运动到点 Ｃ，△ＡＰＣ的面积 Ｓ（ｃｍ２）随运动时间ｔ（ｓ）变化的函数图象如图２ 所示，则ＡＢ的长是 （　　） Ａ．３２ｃｍ Ｂ．３ｃｍ Ｃ．４ｃｍ Ｄ．６ｃｍ 解析：由图２知，ＢＣ＝４ｃｍ，Ｓ△ＡＢＣ ＝６ｃｍ ２． 所以 １ ２×４ＡＢ＝６．解得ＡＢ＝３ｃｍ．故选Ｂ． ●专项练习 ４．“漏壶”是一种古代计时器， 如图３．在壶内盛一定量的水，水从 壶底的小孔漏出，壶内壁画有刻度， 人们根据壶中水面的位置计算时 间．用 ｘ表示漏水时间，ｙ表示壶底到水面的高 度，不考虑水量变化对压力的影响，下列图象能 表示ｙ与ｘ对应关系的是 （　　） 考点４：正比例函数的图象及性质 例５　若ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋ｍ２－１是ｙ关于 ｘ的正比例函数，则该函数图象经过的象限是 （　　） Ａ．第一、三象限 Ｂ．第二、四象限 Ｃ．第一、四象限 Ｄ．第二、三象限 解析：因为ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋ｍ２－１是ｙ关于 ｘ的正比例函数，所以ｍ２－１＝０，ｍ－１≠０．解得 ｍ＝－１．所以ｍ－１＝－１－１＝－２＜０．所以该 函数图象经过的象限是第二、四象限．故选Ｂ． ●专项练习 ５．下列函数中，是正比例函数的是 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ２ Ｂ．ｙ＝－ｘ＋１ Ｃ．ｙ＝１ｘ Ｄ．ｙ＝ｘ ２－１ ６．对于正比例函数ｙ＝ｋｘ，当自变量ｘ的值 增加３时，对应的函数值ｙ减少６，则ｋ的值为 （　　） Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．－３ Ｄ．－０．５ 考点５：一次函数的图象及性质 例６　已知一次函数ｙ＝ｋｘ－ｋ过点（－１， ４），则下列结论正确的是 （　　） Ａ．ｙ随ｘ增大而增大 Ｂ．ｋ＝２ Ｃ．直线过点（１，０） Ｄ．与坐标轴围成的三角形面积为２ （下转第４版                                                                                                           ） ! 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" # $ % &'" ()# (* +'$% & ' ! & , * - , * - , * - , * - ( ) * + !" ! , ! !" #$% 书 （上接第３０版） 　　　　　　　　　　　　　　　解析：把点（－１，４）代入一次函数ｙ＝ｋｘ－ ｋ，得－ｋ－ｋ＝４．解得ｋ＝－２．所以ｙ＝－２ｘ＋２， ｙ随ｘ增大而减小，故选项Ａ，Ｂ都不符合题意；当 ｘ＝１时，ｙ＝０，所以该直线过点（１，０），故选项Ｃ 符合题意；当ｘ＝０时，ｙ＝２，该直线与坐标轴围 成的三角形面积为： １ ２×１×２＝１，故选项Ｄ不 符合题意．故选Ｃ． ●专项练习 ７．点Ｐ（ａ，ｂ）在函数ｙ＝４ｘ＋３的图象上，则 代数式８ａ－２ｂ＋１的值等于 （　　） Ａ．５ Ｂ．－５ Ｃ．７ Ｄ．－６ ８．如图４，是函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ 的图象，则函数ｙ＝－ｋｂｘ＋ｋ的 大致图象是 （　　） ９．一次函数ｙ＝３ｘ＋２的图象沿ｙ轴向下平 移５个单位后与ｙ轴的交点坐标是 ． 考点６：求一次函数的表达式 例７　如图５，与图中直线ｙ ＝－ｘ＋１关于ｘ轴对称的直线 的函数表达式是 ． 解析：设直线ｙ＝－ｘ＋１关 于ｘ轴对称的直线的函数表达 式是ｙ＝ｋｘ＋ｂ．所以直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ经过点（０， － １） 和 （１，０）． 所 以 ｂ＝－１， ｋ＋ｂ＝０{ ．解 得 ｂ＝－１， ｋ＝１{ ． 所以直线ｙ＝－ｘ＋１关于ｘ轴对称的直 线的函数表达式是ｙ＝ｘ－１．故填ｙ＝ｘ－１． ●专项练习 １０．在平面直角坐标系中，一次函数 ｙ＝ｋｘ ＋ｂ的图象与直线 ｙ＝２ｘ平行，且经过点 Ａ（０， ６），则一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的表达式为 （　　） Ａ．ｙ＝２ｘ－３ Ｂ．ｙ＝２ｘ＋６ Ｃ．ｙ＝－２ｘ－３ Ｄ．ｙ＝－２ｘ－６ １１．如图 ６，已知直线 ｌ１：ｙ＝ －２ｘ＋４与坐标轴分别交于Ａ，Ｂ两 点，那么过原点Ｏ且将△ＡＯＢ的面 积平分的直线ｌ２的表达式为 （　　） Ａ．ｙ＝１２ｘ Ｂ．ｙ＝ｘ Ｃ．ｙ＝３２ｘ Ｄ．ｙ＝２ｘ 考点７：一次函数的应用 例８　如图７，直线ｙ＝２ｘ 与ｙ＝ｋｘ＋ｂ相交于点 Ｐ（ｍ， ２），则关于ｘ的方程ｋｘ＋ｂ＝２ 的解是 （　　） Ａ．ｘ＝１２ Ｂ．ｘ＝１ Ｃ．ｘ＝２ Ｄ．ｘ＝４ 解析：因为直线ｙ＝２ｘ与ｙ＝ｋｘ＋ｂ相交于 点Ｐ（ｍ，２），所以２ｍ＝２．解得ｍ＝１．所以关于 ｘ的方程ｋｘ＋ｂ＝２的解是ｘ＝１．故选Ｂ． ●专项练习 １２．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图 象如图８所示，则关于ｘ的方程ｋｘ ＋ｂ＝０的解为 （　　） Ａ．ｘ＝０ Ｂ．ｘ＝３ Ｃ．ｘ＝－２ Ｄ．ｘ＝－３ １３．在平面直角坐标系中，一 次函数ｙ＝ｋｘ和ｙ＝ｍｘ＋ｎ的图 象如图９所示，则关于ｘ的一元一 次不等式（ｋ－ｍ）ｘ＜ｎ的解集是 ． １４．某校积极响应国家号召， 为落实垃圾“分类回收，科学处理”的政策，准备 购买１００Ｌ和２４０Ｌ两种型号的垃圾箱若干套． 若购买８套１００Ｌ垃圾箱和５套２４０Ｌ垃圾箱，共 需７２００元；若购买４套１００Ｌ垃圾箱和６套２４０ Ｌ垃圾箱，共需６４００元． （１）每套１００Ｌ垃圾箱和每套２４０Ｌ垃圾箱各多 少元？ （２）学校决定购买１００Ｌ垃圾箱和２４０Ｌ垃 圾箱共２０套，且２４０Ｌ垃圾箱的数量不少于１００ Ｌ垃圾箱数量的１４，求购买这２０套垃圾箱的最少 费用． （本章复习检测卷见第１３～１４版                                                                                     ） 书 （上接第３版） 如图９，连接ＢＤ． 因为∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝２ｃｍ，ＡＤ＝３ｃｍ，所 以ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝槡１３ｃｍ． 因为ＢＣ＝７ｃｍ，ＣＤ＝６ｃｍ，所以 ＢＤ２＋ ＣＤ２ ＝ＢＣ２，所以∠ＢＤＣ＝９０°． 所以四边形 ＡＢＣＤ的面积为：Ｓ△ＤＢＣ ＋Ｓ△ＡＢＤ ＝１２ＤＢ·ＣＤ＋ １ ２ＡＢ·ＡＤ＝（３＋ 槡３ １３）ｃｍ ２． 故填（３＋ 槡３ １３）ｃｍ ２． ●专项练习 ８．已知三角形的三边长分别为 ａ，ｂ，ｃ，且 ａ ＋ｂ＝１０，ａｂ＝１８，ｃ＝８，则该三角形的形状是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．等腰三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．等腰直角三角形 ９．设ｘ＞０，若以ｘ＋１，ｘ＋２，ｘ＋３为边长的 三角形是直角三角形，则ｘ的值为 ． 考点５：勾股定理的应用 例６　《九章算术》是我国古代数学 名著，书中有下列问题：“今有户高多于 广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、 广各几何？”其意思为：今有一门，高比 宽多６尺８寸，门对角线距离恰好为１丈． 问门高、宽各是多少？（１丈 ＝１０尺，１尺 ＝ １０寸）如图１０，设门高ＡＢ为ｘ尺，根据题 意，可列方程为 ． 解析：此题考查勾股定理的应用． 根据题意，得门的宽为（ｘ－６．８）尺，ＡＣ＝１ 丈 ＝１０尺． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得 ＢＣ２＋ＡＢ２ ＝ＡＣ２，即（ｘ－６．８）２＋ｘ２ ＝１０２． 故填（ｘ－６．８）２＋ｘ２ ＝１０２． ●专项练习 １０．如图１１，小红想用一条彩带 缠绕圆柱４圈，正好从Ａ点绕到正上 方的Ｂ点．已知圆柱底面周长是３ｍ， 高为 ５ｍ，则所需彩带最短是 ． １１．如图１２，是斜坡ＡＣ上一根 电线杆拦腰断成ＡＢ和ＢＣ两段的 平面图，现测得 ＡＣ＝４米，ＡＢ⊥ ＡＤ于点Ａ，∠ＢＡＣ＝６０°，∠ＢＣＡ＝ ７５°，试求电线杆未折断时的高度 （结果保留根号）． 考点６：直角三角形全等的判定 例７　如图１３，点 Ｅ，Ｆ在线段 ＢＤ上，ＡＦ⊥ ＢＤ，ＣＥ⊥ ＢＤ，ＡＤ ＝ ＣＢ，ＤＥ＝ＢＦ．求证：∠Ａ＝∠Ｃ． 解析：本题考查了直角三角形 全等的性质和判定． 证明：因为ＡＦ⊥ＢＤ，ＣＥ⊥ＢＤ， 所以∠ＡＦＤ＝∠ＣＥＢ＝９０°． 因为ＤＥ＝ＢＦ，所以ＤＥ＋ＥＦ＝ＢＦ＋ＥＦ， 即ＤＦ＝ＢＥ． 在Ｒｔ△ＡＤＦ和Ｒｔ△ＣＢＥ中，因为ＡＤ＝ＣＢ， ＤＦ＝ＢＥ，所以Ｒｔ△ＡＤＦ≌Ｒｔ△ＣＢＥ（ＨＬ）． 所以∠Ａ＝∠Ｃ． ●专项练习 １２．如图１４，已知ＢＥ⊥ＡＤ，ＣＦ ⊥ＡＤ，垂足分别为点 Ｅ，Ｆ，则下列 条件中，可以判定 Ｒｔ△ＡＢＥ≌ Ｒｔ△ＤＣＦ的是 （填序号）． ①ＡＢ＝ＤＣ，∠Ｂ＝∠Ｃ； ②ＡＢ＝ＤＣ，ＡＢ∥ＣＤ； ③ＡＢ＝ＤＣ，ＢＥ＝ＣＦ； ④ＡＢ＝ＤＦ，ＢＥ＝ＣＦ． 考点７：角平分线的性质与判定 例８　 如图１５，在 △ＡＢＣ 中，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ 交ＢＣ于点Ｄ，ＤＥ⊥ＡＢ，垂足为 点Ｅ．若ＢＣ＝４，ＤＥ＝１．６，则 ＢＤ的长为 ． 解析：本题考查了角平分线的性质：角的平 分线上的点到角的两边的距离相等． 因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＥ⊥ＡＢ，∠Ｃ＝９０°， ＤＥ＝１．６， 所以ＣＤ＝ＤＥ＝１．６． 所以ＢＤ＝ＢＣ－ＣＤ＝２．４．故填２．４． ●专项练习 １３．如图１６，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＧ平 分∠ＡＢＣ，交ＡＣ于点Ｇ．若ＣＧ＝１，Ｐ为ＡＢ上一 动点，则ＧＰ的最小值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．１２ Ｃ．２ Ｄ．无法确定 １４．如图１７，ＤＥ⊥ ＡＢ交 ＡＢ的延长线于点 Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于点 Ｆ，若 ＢＤ＝ＣＤ，ＢＥ＝ＣＦ，求 证：ＡＤ平分∠ＢＡＣ． （专项练习答案参见第１５～１８版） （本章复习检测卷见第７～８版                                                                                                 ） ! " # $ ! ! " #$ % ! !" $ " ! !! ! " $ ! !# # ! !$ ! # & ' " $ ! !% # ! ' & " $ ! !& # ! & " $ " ( $ ) ! ! !' ! ' $ # & " ! !( % * + % * + % * + % * + ) * + , % ! * ! + +,-%.! ! & % * + ! % %$ * " / ! + ! ' % 0 ( * # +,#% +,1%.2 + ! ( % $ -# * + ! . % # * % + ! / 书 １．频数和频率 （１）频数是指每一个考察对象出现的次数， 而频率是指每一个考察对象出现的次数与总次 数的比值．要注意：频数和频率是统计中的两个 重要的统计量，频数是出现的 ；而频率 是 ． （２）频率与频数之间的关系，可以用如下的 公式表示：频率 ＝ ，要注意频率公 式的变形使用，如频数 ＝数据总数 ×频率；数据 总数 ＝频数 ÷频率． ２．频数分布问题 （１）频数直方图的画法 ①分组：Ⅰ确定最小值和最大值，并计算最大 值与最小值的差；Ⅱ确定组距和组数，组距和组数 的确定没有固定的标准，可根据所研究的具体问 题来确定．当数据在１００个以内时，可依数据的个 数，分成５～１２组． ②列频数分布表：统计属于每组中的数据个 数（频数），采用“画记”的方法列出频数分布表． ③绘制频数直方图：以频数分布表为基础， 绘制频数直方图． （２）重要结论 ①频数直方图中的各组频率之和等于１； ②频数直方图中每一个小长方形的高代表 各组相应的频数，所以频数越多，长方形就越高， 频数的多少可根据直方图中左边对应的数量来 确定． 注意：频数直方图通过等宽的小长方形的高 代表各组相应的频数，形象直观地反映了各组频 数的多少，是统计中表示量的一种常见形式，另 外频数直方图的绘制应用了函数的思想方法，所 以在理解、认识、绘制频数直方图时，应密切联系 函数的知识． 书 考点１：频数与频率 例 １　 某校八年级 （３）班团支部为了让同学 们进一步了解中国科技的 发展，给班上同学布置了 一项课外作业，从选出的 以下五个内容中任选一个 内容进行手抄报的制作： Ａ、“北斗卫星”；Ｂ、“５Ｇ时代”；Ｃ、“智轨快运系 统”；Ｄ、“东风快递”；Ｅ、“高铁”．统计同学们所 选内容的频数，绘制如图１所示的折线统计图， 则选择“５Ｇ时代”的频率是 （　　） Ａ．０．２５ Ｂ．０．３ Ｃ．２５ Ｄ．３０ 解析：此题考查了频率的计算以及频数分布 折线图，先计算出八年级（３）班的全体人数，然 后用选择“５Ｇ时代”的人数除以八年级（３）班的 全体人数即可． 由图知，八年级（３）班的全体人数为：２５＋ ３０＋１０＋２０＋１５＝１００（人）． 所以选择“５Ｇ时代”的频率是：３０１００＝０．３． 故选Ｂ． ●专项练习 １．下列六个数：０，槡５， ３ 槡８，π，－ １ ３，０．６中，无 理数出现的频数是 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ２．学校为了解七年 级学生参加课外兴趣小 组的情况，随机调查了 部分学生，将结果绘制 成了如图２所示的统计 图，则七年级学生参加绘画兴趣小组的频率是 （　　） Ａ．０．１ Ｂ．０．１５ Ｃ．０．２５ Ｄ．０．３ 考点２：频数直方图 例２　 为了解某校 九年级学生的体能情况， 学校随机抽查了其中的 ４０名学生，测试了一分 钟仰卧起坐的次数，并绘 制成如图３所示的频数直方图，则仰卧起坐的次 数在２０～３０次之间的频数是 ． 解析：本题考查了频数直方图．根据题意和 频数直方图中的数据即可得解． 由频数直方图可得，仰卧起坐次数在２０～ ３０次的学生有：１２＋１６＝２８（人）．故填２８． ●专项练习 ３．某校七年级数学兴趣小组成员小华对本 班上学期期末考试数学成绩作了统计分析，绘制 成如下频数分布表和频数直方图（如图４）． 分组 ５０≤ｘ ＜６０ ６０≤ｘ ＜７０ ７０≤ｘ ＜８０ ８０≤ｘ ＜９０ ９０≤ｘ ≤１００ 频数 ２ ａ ２０ １６ ４ 占调查总人 数的百分比 ４％ １６％ ｍ ３２％ ｎ 请你根据图表中提供的信息，解答下列问题： （１）频数分布表中 ａ＝ ，ｍ ＝ ，ｎ＝ ； （２）补全频数直方图； （３）如果８０分及８０分以上为优秀，已知七 年级共有学生６００人，请你估计七年级学生这次 考试优秀的人数． 例３　某月垦利区九年级学生进行了中考 体育测试，某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测 试成绩，将测试成绩整理后作出如下不完全的统 计图（如图５）．甲同学计算出前两组的频数和是 １８，乙同学计算出第一组的人数是抽取总人数的 ４％，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频 数比为４∶１７∶１５．结合统计图回答下列问题： （１）这次共抽取了多少名学生的一分钟跳 绳测试成绩？ （２）若跳绳次数不少于１３０次为优秀，则这 次测试成绩的优秀率是多少？ （３）请把频数直方图补充完整． 解析：（１）因为前两组的频数和是１８，第一 组的人数是抽取总人数的４％，所以抽取的总人 数为：（１８－１２）÷４％ ＝１５０（人）． （２）因为第二、三、四组的频数比为４∶１７∶ １５，第二组的频数为１２，所以第三、四组的频数 分别为５１，４５，所以第五、六组的频数和为：１５０－ （６＋１２＋５１＋４５）＝３６． 所以这次测试成绩的优秀率是： ３６ １５０×１００％ ＝２４％． （３）补频数直方图如图６所示． ●专项练习 ４．为纪念学校成立４０周年，某校团支部随 机抽取了５０名学生，让他们在规定的时间内举 例说明我校在学校成立以来所举办的有意义的 活动．下面是根据调查结果制作出来的频数分布 表和频数直方图（如图７）的一部分． 举例数ｘ 频数 百分比 １≤ｘ＜４ ５ １０％ ４≤ｘ＜７ ３０ 　 ７≤ｘ＜１０ 　 ２０％ １０≤ｘ＜１３ ５ １０％ 合计 ５０ １００％ 根据统计图表中提供的信息解答下列问题： （１）上面所用的调查方法是 （填 “全面调查”或“抽样调查”）； （２）补全频数分布表和频数直方图； （３）若在规定的时间内，举例数 ｘ满足“１０ ≤ｘ＜１３”的学生获得“一等奖”，请你估计全校 １０００名学生中获得“一等奖”的学生人数． （本章复习检测卷见第１９～２０版                                                                                                               ） ! 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