《四边形》复习指导-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（湘教版）

书 《直角三角形》专项练习 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．３０°或１５０°；　４．Ｂ；　５．Ａ；　６．Ｄ． ７．解：（１）当点Ｐ是边ＡＣ的中点时，△ＰＢＣ的面积为△ＡＢＣ 面积的一半．所以ｔ＝８． （２）根据题意，得 ＡＰ＝ｔｃｍ．则 ＰＣ＝（１６－ｔ）ｃｍ．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，根据勾股定理，得ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝１２ｃｍ．在 Ｒｔ△ＰＣＢ中，由勾股定理，得ＰＣ２＋ＢＣ２＝ＰＢ２，即（１６－ｔ）２＋１２２ ＝ｔ２．解得ｔ＝１２．５．所以当ｔ的值为１２．５时，ＡＰ＝ＰＢ． ８．Ｂ；　９．２；　１０．１３ｍ． １１．解：过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，图略．因为∠ＢＡＣ＝６０°， 所以∠ＡＣＥ＝３０°．所以ＡＥ＝ １２ＡＣ＝２米．根据勾股定理，得 ＣＥ＝ ＡＣ２－ＡＥ槡 ２ ＝ 槡２３米．因为∠ＢＣＡ＝７５°，所以∠ＢＣＥ＝ ∠ＢＣＡ－∠ＡＣＥ＝４５°．所以∠Ｂ＝４５°．所以ＢＥ＝ＣＥ＝ 槡２３米． 根据勾股定理，得ＢＣ＝ ＢＥ２＋ＣＥ槡 ２ ＝ 槡２６米．所以ＡＢ＋ＢＣ＝ ＡＥ＋ＢＥ＋ＢＣ＝（２＋ 槡２３＋ 槡２６）米． 答：电线杆未折断时的高度为（２＋ 槡２３＋ 槡２６）米． １２．①②③；　１３．Ａ． １４．证明：因为 ＤＥ⊥ ＡＢ，ＤＦ⊥ ＡＣ，所以 ∠Ｅ＝∠ＤＦＣ＝ ９０°．在Ｒｔ△ＢＤＥ和Ｒｔ△ＣＤＦ中，因为ＢＤ＝ＣＤ，ＢＥ＝ＣＦ，所以 Ｒｔ△ＢＤＥ≌ Ｒｔ△ＣＤＦ（ＨＬ）．所以 ＤＥ ＝ＤＦ．所以 ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ． 《直角三角形》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ａ Ａ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ 二、１１．４；　１２．直角；　１３．槡５５２；　１４．ｘ ２＋３２ ＝（９－ｘ）２； １５．４５；　１６．９；　１７．５ｃｍ；　１８．槡５或槡１３． 三、１９．解：因为ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，ＢＣ＝２０，所以 ＢＤ＝ ＤＣ＝ １２ＢＣ＝１０．因为ＡＢ＝２６，ＡＤ＝２４，所以 ＡＢ ２ ＝ＡＤ２＋ ＢＤ２，所以ＡＤ⊥ＢＣ．所以ＡＣ＝ＡＢ＝２６． ２０．证明：如图１，连接ＤＭ，ＭＥ． 因为ＣＤ，ＢＥ分别是 ＡＢ，ＡＣ边上的 高，Ｍ是 ＢＣ的中点，所以 ＤＭ ＝ １ ２ＢＣ，ＭＥ＝ １ ２ＢＣ，所以 ＤＭ ＝ ＭＥ．又因为 Ｎ为 ＤＥ的中点，所以 ＭＮ⊥ＤＥ． ２１．证明：过点 Ｄ作 ＤＮ⊥ ＢＧ， ＤＫ⊥ＡＣ，ＤＭ⊥ＢＥ，垂足分别为点 Ｎ，Ｋ，Ｍ，图略．因为 ＢＤ，ＣＤ 分别平分∠ＥＢＡ，∠ＥＣＡ，所以 ＤＭ ＝ＤＮ＝ＤＫ．所以 ＡＤ平分 ∠ＧＡＣ． ２２．证明：因为ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＢＣ，所以∠ＢＥＤ＝∠ＣＤＦ＝ ９０°．在Ｒｔ△ＢＥＤ和Ｒｔ△ＣＤＦ中，因为ＢＤ＝ＣＦ，ＢＥ＝ＣＤ，所以 Ｒｔ△ＢＥＤ≌Ｒｔ△ＣＤＦ（ＨＬ）．所以∠Ｂ＝∠Ｃ．所以ＡＢ＝ＡＣ． ２３．解：（１）１１＋ 槡３５，１７； （２）如图２，连接ＡＣ．△ＡＤＣ是直角三角形，△ＡＢＣ是等腰三 角形．理由如下： 由勾股定理，得ＡＣ＝ ３２＋４槡 ２ ＝５． 因为ＢＣ＝５，所以△ＡＢＣ是等腰三角形． 因为ＡＤ＝槡５，ＣＤ＝ 槡２５，所以ＡＤ２＋ＣＤ２ ＝ＡＣ２． 所以△ＡＤＣ是直角三角形． ２４．解：（１）因为 △ＡＢＣ是直角三角形，所以 ＡＢ ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ ８２＋６槡 ２ ＝１０． （２）由折叠的性质知 ＡＥ＝ＢＥ＝ １２ＡＢ＝５，ＡＤ＝ＢＤ， ∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＤ＝９０°．设 ＣＤ＝ｘ，则 ＢＤ＝ＡＤ＝８－ｘ，在 Ｒｔ△ＢＣＤ中，ＢＤ２ ＝ＣＤ２＋ＢＣ２，即（８－ｘ）２＝ｘ２＋３６，解得ｘ＝ ７ ４，即ＣＤ＝ ７ ４，所以ＢＤ＝８－ ７ ４ ＝ ２５ ４．在Ｒｔ△ＢＤＥ中，ＤＥ＝ ＢＤ２－ＢＥ槡 ２ (＝ ２５)４ ２ －５槡 ２ ＝１５４． ２５．解：（１）设旗杆的高度为ｘ米，则绳子的长度为（ｘ＋１．５） 米，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得ｘ２＋６２＝（ｘ＋１．５）２，解得ｘ＝ １１．２５，故旗杆的高度为１１．２５米． （２）由题意及（１）可知，ＢＤ＝ＢＣ＝１１．２５米，ＤＥ＝６．７５ 米．在Ｒｔ△ＢＤＥ中，由勾股定理得ＢＥ２＋６．７５２ ＝１１．２５２，解得 ＢＥ＝９，所以ＥＣ＝ＢＣ－ＢＥ＝１１．２５－９＝２．２５（米），所以ＤＦ ＝ＥＣ＝２．２５米．故绳结离地面２．２５米． ２６．解：（１）设等边三角形的边长为ａ，因为ａ２＋ａ２＝２ａ２，即 两边的平方和等于第三边平方的２倍，所以等边三角形一定是 “奇异勾股三角形”，所以①正确． 设等腰直角三角形的直角边的长为 ｍ，则斜边长为槡２ｍ，因 为ｍ２＋ｍ２≠２（槡２ｍ）２，ｍ２＋（槡２ｍ）２≠２ｍ２，所以等腰直角三 角形不是“奇异勾股三角形”，所以②不正确． 因为（槡２）２＋（槡６）２＝８＝２×２２，所以三边长分别为槡２，２， 槡６的三角形是“奇异勾股三角形”，所以③正确． 故说法正确的是①③． （２）设第三边的长为ｘ（ｘ＞０），当１２＋（槡７）２＝２ｘ２时，ｘ＝ ２，当１２＋ｘ２ ＝２×（槡７）２时，ｘ＝槡１３． 所以第三边的长为２或槡１３． （３）由题意可知ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２，ａ２＋ｃ２ ＝２ｂ２， 所以ｂ＝槡２ａ，ｃ＝槡３ａ，所以Ｒｔ△ＡＢＣ的周长为ａ＋槡２ａ＋槡３ａ． 《四边形》专项练习 １．Ｂ；　２．９；　３．Ｂ；　４．Ｃ；　５．Ｄ；　６．Ｂ． ７．解：∠Ｂ与∠Ｆ相等．理由如下： 因为△ＡＢＣ与△ＤＥＣ关于点 Ｃ成中心对称，所以 ∠Ｂ＝ ∠ＤＥＣ．因为ＡＦ∥ＢＥ，所以∠Ｆ＝∠ＤＥＣ．所以∠Ｂ＝∠Ｆ． ８．Ｂ；　９．４；　１０．槡３３；　１１．Ｃ． １２．证明：因为ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ是ＢＣ的中点，所以ＤＢ＝ＤＣ， ＡＤ⊥ＢＣ．所以∠ＡＤＣ＝９０°．因为点Ｅ是ＡＤ的中点，所以ＡＥ＝ ＤＥ．在△ＡＥＦ和△ＤＥＢ中，因为ＡＥ＝ＤＥ，∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＢ，ＥＦ ＝ＥＢ，所以 △ＡＥＦ≌ △ＤＥＢ（ＳＡＳ）．所以 ＡＦ＝ＤＢ，∠ＡＦＥ＝ ∠ＤＢＥ．所以ＡＦ＝ＤＣ，ＡＦ∥ＤＢ．所以四边形ＡＤＣＦ是平行四边 形．因为∠ＡＤＣ＝９０°，所以四边形ＡＤＣＦ是矩形． １３．Ｃ；　１４．Ｄ；　１５．Ｃ；　１６．２４；　１７．Ｂ；　１８．Ｃ． 《四边形》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ａ 二、１１．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； １２．３５°；　１３．１５０°；　１４．２；　１５．槡３；　１６．７；　１７．３；　１８．２． 三、１９．图略． ２０．证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以点Ｏ为ＢＤ 的中点．因为ＡＥ＝ＤＥ，所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＡＤＥ．因为 ∠ＡＤＢ＝ ９０°，所以∠ＤＡＥ＋∠ＡＢＤ＝９０°，∠ＡＤＥ＋∠ＢＤＥ＝９０°．所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＥ．所以ＤＥ＝ＢＥ＝ＡＥ．所以ＯＥ＝ １２ＡＤ． ２１．（１）证明：因为∠ＡＢＦ＝∠ＡＦＢ，所以ＡＢ＝ＡＦ． 因为ＡＥ平分∠ＢＡＣ，所以ＡＥ⊥ＢＦ． （２）解：因为ＡＢ＝ＡＦ＝９，ＡＥ⊥ＢＦ，所以ＢＥ＝ＥＦ．因为点 Ｄ是ＢＣ边的中点，所以ＤＥ是△ＢＣＦ的中位线，所以ＣＦ＝２ＤＥ ＝４，所以ＡＣ＝ＡＦ＋ＣＦ＝９＋４＝１３，所以△ＡＢＣ的周长为ＡＢ ＋ＢＣ＋ＡＣ＝９＋１１＋１３＝３３． ２２．解：（１）如图３所示，ＥＦ 即为所求． （２）ＡＥ＝ＣＦ．证明如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以 ＡＤ∥ ＢＣ，所以 ∠ＥＡＯ ＝∠ＦＣＯ，∠ＡＥＯ＝∠ＣＦＯ． 因为ＥＦ是ＡＣ的垂直平分线， 所以 ＡＯ ＝ ＣＯ．在 △ＡＯＥ和 △ＣＯＦ中， ∠ＡＥＯ＝∠ＣＦＯ， ∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯ， ＡＯ＝ＣＯ { ， 所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ（ＡＡＳ），所以ＡＥ＝ＣＦ． ２３．证明：因为ＦＥ⊥ＡＣ，所以∠ＦＥＡ＝∠ＦＥＣ＝９０°．因为 ∠ＦＡＣ＝４５°，所以∠ＡＦＥ＝９０°－∠ＦＡＣ＝４５°＝∠ＦＡＣ，所以 ＡＥ＝ＥＦ．在Ｒｔ△ＡＥＢ和Ｒｔ△ＦＥＣ中，因为ＡＢ＝ＦＣ，ＡＥ＝ＦＥ， 所以Ｒｔ△ＡＥＢ≌Ｒｔ△ＦＥＣ（ＨＬ），所以ＢＥ＝ＣＥ，所以∠ＢＣＥ＝ ４５°．因为 ＡＤ⊥ ＡＦ，所以 ∠ＦＡＤ＝９０°，所以 ∠ＣＡＤ＝９０°－ ∠ＦＡＣ＝４５°＝∠ＢＣＥ，所以ＢＣ∥ＡＤ．又ＢＣ＝ＡＤ，所以四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形． ２４．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＣＤ∥ＡＢ，ＣＤ＝ＡＢ， 因为ＣＦ＝ＡＥ，所以ＤＦ＝ＢＥ， 因为ＤＦ∥ＢＥ，所以四边形ＢＦＤＥ是平行四边形． 因为ＤＥ⊥ＡＢ，所以∠ＤＥＢ＝９０°， 所以平行四边形ＢＦＤＥ是矩形． （２）解：由（１）可知，四边形ＢＦＤＥ是矩形， 所以∠ＢＦＤ＝９０°，所以∠ＢＦＣ＝９０°， 所以ＢＣ＝ ＢＦ２＋ＣＦ槡 ２ ＝ ８２＋６槡 ２ ＝１０． 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＡＤ＝ＢＣ＝１０，ＡＢ∥ＤＣ，所以∠ＢＡＦ＝∠ＤＦＡ， 因为ＡＦ是∠ＤＡＢ的平分线， 所以∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ，所以∠ＤＡＦ＝∠ＤＦＡ， 所以ＤＦ＝ＤＡ＝１０，所以ＤＣ＝ＤＦ＋ＣＦ＝１０＋６＝１６． ２５．（１）解：在平移过程中，重叠部分的形状分别为等腰直 角三角形、直角梯形、菱形、五边形．如图４所示． （２）①证明：分别过Ｂ，Ｄ作ＢＥ⊥ＣＤ于 点Ｅ，ＤＦ⊥ＣＢ于点Ｆ，如图５， 所以∠ＢＥＣ＝∠ＤＦＣ＝９０°． 因为两纸条等宽，所以 ＢＥ＝ＤＦ＝６ ｃｍ．因为∠ＢＣＥ＝∠ＤＣＦ＝４５°，所以ＢＣ＝ ＣＤ＝ 槡６２ｃｍ． 因为两纸条都是长方形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＢＣ∥ＡＤ，所以四边 形ＡＢＣＤ是平行四边形． 又因为ＢＣ＝ＤＣ，所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． ②解：由①得ＣＤ＝ 槡６２ｃｍ，因为ＢＥ＝６ｃｍ， 所以Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ＣＤ×ＢＥ＝ 槡６２×６＝ 槡３６２（ｃｍ２）． ２６．解：（１）在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方 形的邻边相等且对角互补，所以正方形一定是“等补四边形”． 故答案为Ｃ． （２）①四边形ＡＦＨＢ是“等补四边形”．理由： 如图６，连接ＣＦ． 因为四边形ＡＢＣＤ是正方形， 所以 ＡＢ ＝ＢＣ，∠ＡＢＤ ＝∠ＣＢＤ ＝ ４５°． 又因为 ＢＦ ＝ＢＦ，所以 △ＡＢＦ≌ △ＣＢＦ（ＳＡＳ）， 所以ＡＦ＝ＣＦ，∠ＢＡＦ＝∠ＢＣＦ． 因为ＨＦ⊥ＡＥ，所以∠ＡＦＨ＝∠ＡＢＨ＝９０°， 所以∠ＢＡＦ＋∠ＢＨＦ＝１８０°． 因为∠ＢＨＦ＋∠ＦＨＣ＝１８０°，所以∠ＦＨＣ＝∠ＢＡＦ， 所以∠ＦＨＣ＝∠ＦＣＨ，所以ＦＨ＝ＦＣ，所以ＡＦ＝ＦＨ， 所以四边形ＡＦＨＢ是“等补四边形”． ②如图７，连接 ＡＨ，由 ① 知，ＡＦ＝ ＦＨ，∠ＡＦＨ＝９０°，所以 △ＡＦＨ为等腰直 角三角形，所以∠ＨＡＦ＝４５°． 将 △ＡＢＨ绕点 Ａ逆时针旋转到 △ＡＤＬ的位置，点 Ｈ的对应点为 Ｌ，则 ＡＬ ＝ＡＨ，ＬＤ ＝ＢＨ，则 ∠ＬＡＥ＝∠ＬＡＤ＋ ∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＥ＋∠ＢＡＨ＝９０°－∠ＨＡＦ ＝４５°＝∠ＨＡＦ． 因为ＡＨ＝ＡＬ，ＡＥ＝ＡＥ，所以△ＡＬＥ ≌△ＡＨＥ（ＳＡＳ），所以 ＨＥ＝ＬＥ＝ＬＤ＋ＤＥ＝ＢＨ＋ＤＥ，则 △ＣＨＥ的周长为ＨＥ＋ＣＨ＋ＣＥ＝ＢＨ＋ＤＥ＋ＣＨ＋ＣＥ＝ＢＣ＋ ＣＤ＝２ａ． 《图形与坐标》专项练习 １．Ｄ；　２．Ａ；　３．（－３，－１）；　４．Ｄ． ５．解：（１）建立平面直角坐标系如图８所示： （２）保安室（－４，－１）； （３）便利店的位置如图８． ６．解：（１）Ａ（１，３），Ｂ（－１，２），Ｃ（２，０）； （２）作图略，Ａ１（１，－３），Ｂ１（－１，－２），Ｃ１（２，０）； （３）Ｓ△ＡＢＣ ＝３×３－ １ ２ ×２×３－ １ ２ ×１×３－ １ ２ ×２×１ ＝ ７２． ７．解：（１）画△Ａ′Ｂ′Ｃ′图略，点Ｃ′的坐标为（５，－２）； ! " # $ !" ! ! ! " # $ % & ' # ! ' $ ! " ! # ! # $ ' & ( ) $%! ! $ $%! !"#$%&'()*)+ !"#$%(),+ $%!$%! !"#$%-+ !"#$%./+ $ ! # ! % & ) ' !*# & ) $' ! & !*# & ) $ ' ! ' + ! ( 012 34 567 , - ( 89: ! ! 书 １．多边形 （１）在多边形中，连接 的两个顶点 的线段叫作多边形的对角线． （２）ｎ边形的内角和等于 ． （３）任意多边形的外角和等于 ． ２．平行四边形的性质 （１）定义：两组对边分别 的四边形 叫作平行四边形． （２）性质：①平行四边形的对边 ； ②平行四边形的对角 ； ③平行四边形的对角线 ． ３．平行四边形的判定 （１）定义； （２）两组对边分别 的四边形是平行四 边形； （３）两组 分别相等的四边形是平 行四边形； （４）对角线 的四边形是平行四边形； （５）一组对边 的四边形 是平行四边形． ４．中心对称图形 （１）成中心对称的两个图形中，对应点的连 线经过 ，且被对称中心 ． （２）在平面内，一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转前后的图形完全重合，那么 这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作对称中 心．线段、平行四边形、偶数边的正多边形等都是 中心对称图形． ５．三角形的中位线定理 三角形的中位线 于第三边，并且 第三边的一半． ６．矩形的性质 （１）定义：有一个角是 的平行四边 形叫作矩形． （２）性质：①具有平行四边形的所有性质； ②矩形的四个角都是 ； ③矩形的对角线 ． ７．矩形的判定 （１）定义； （２）三个角是 的四边形是矩形； （３）对角线相等的 是矩形． ８．菱形的性质 （１）定义：一组邻边 的平行四边形 叫作菱形． （２）性质：①具有平行四边形的所有性质； ②菱形的四条边都 ； ③菱形的对角线互相 ，并且每一 条对角线 一组对角； ④菱形的面积等于 （适 用于所有对角线互相垂直的四边形）． ９．菱形的判定 （１）定义； （２）对角线互相 的平行四边形是 菱形； （３）四条边 的四边形是菱形． １０．正方形的性质 （１）定义：有一组邻边 并且有一个 角是 的平行四边形叫作正方形． （２）性质：正方形既是矩形又是菱形，因此，正 方形既有 的性质又有 的性质． １１．正方形的判定 （１）定义； （２）先判定四边形为矩形，再判定它是菱形； （３）先判定四边形为菱形，再判定它是矩形． 书 考点１：多边形的内角和与外角和 　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图１，点 Ｆ在正五 边形 ＡＢＣＤＥ的内部，△ＡＢＦ为 等边 三 角 形， 则 ∠ＡＦＣ ＝ ． 解析：因为 △ＡＢＦ是等边 三角形，所以 ＡＢ＝ＢＦ，∠ＡＦＢ ＝∠ＡＢＦ＝６０°．在正五边形 ＡＢＣＤＥ中，ＡＢ＝ ＢＣ，∠ＡＢＣ＝（５－２）×１８０°５ ＝１０８°，所以 ＢＦ ＝ＢＣ，∠ＦＢＣ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＢＦ＝４８°．所以 ∠ＢＦＣ＝１８０°－∠ＦＢＣ２ ＝６６°．所以 ∠ＡＦＣ＝ ∠ＡＦＢ＋∠ＢＦＣ＝１２６°．故填１２６°． ●专项练习 １．从六边形的一个顶点出发，可以作的对角 线有 （　　） Ａ．２条 Ｂ．３条 Ｃ．４条 Ｄ．５条 ２．小东在计算多边形的内角和时，不小心多 计算一个内角，得到的和为１３５０°，则这个多边 形的边数是 ． 考点２：平行四边形的性质 例 ２　 如 图 ２， 在 ＡＢＣＤ中，ＢＥ平分∠ＡＢＣ 交ＤＣ于点Ｅ．若∠Ａ＝６０°， 则∠ＤＥＢ的大小为（　　） Ａ．１３０° Ｂ．１２５° Ｃ．１２０° Ｄ．１１５° 解析：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所 以 ＡＤ∥ ＢＣ，ＤＣ∥ ＡＢ．所以 ∠Ａ＋∠ＡＢＣ＝ １８０°，∠ＡＢＥ＋∠ＤＥＢ＝１８０°．因为∠Ａ＝６０°， 所以∠ＡＢＣ＝１２０°．因为 ＢＥ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＥ＝１２∠ＡＢＣ＝６０°．所以∠ＤＥＢ＝１２０°． 故选Ｃ． ●专项练习 ３．如图３，在 ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝１３，ＡＤ ＝５，ＡＣ⊥ ＢＣ，则 ＡＢＣＤ的面积为 （　　） Ａ．３０ Ｂ．６０ Ｃ．６５ Ｄ．６５２ ４．如图４，平行四边形 ＡＢＣＤ的周长为１６，ＡＣ，ＢＤ 相交于点Ｏ，ＯＥ⊥ＡＣ交ＡＤ 于点Ｅ，则△ＤＣＥ的周长为 （　　） Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０ 考点３：平行四边形的判定 例３　如图５，点Ａ，Ｄ，Ｃ， Ｂ在同一条直线上，ＡＣ＝ＢＤ， ＡＥ＝ＢＦ，ＡＥ∥ＢＦ． 求证： （１）△ＡＤＥ≌△ＢＣＦ； （２）四边形ＤＥＣＦ是平行四边形． 证明：（１）因为ＡＣ＝ＢＤ，所以ＡＣ－ＣＤ＝ ＢＤ－ＣＤ，即ＡＤ＝ＢＣ．因为ＡＥ∥ＢＦ，所以∠Ａ ＝∠Ｂ．在△ＡＤＥ和△ＢＣＦ中，因为 ＡＤ＝ＢＣ， ∠Ａ ＝ ∠Ｂ，ＡＥ ＝ ＢＦ， 所 以 △ＡＤＥ ≌ △ＢＣＦ（ＳＡＳ）． （２）由（１）得△ＡＤＥ≌△ＢＣＦ．所以ＤＥ＝ ＣＦ，∠ＡＤＥ＝∠ＢＣＦ．所以１８０°－∠ＡＤＥ＝１８０° －∠ＢＣＦ，即∠ＥＤＣ＝∠ＦＣＤ．所以ＤＥ∥ＣＦ．所 以四边形ＤＥＣＦ是平行四边形． ●专项练习 ５．如图６，在四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ 相交于点Ｏ，且ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，下列结论不 一定成立的是 （　　） Ａ．ＡＢ∥ＤＣ Ｂ．ＡＤ＝ＢＣ Ｃ．∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ Ｄ．∠ＤＢＣ＝∠ＢＡＣ ６．如图７，将 △ＡＢＣ平移得到 △ＤＥＦ，连接 ＡＤ，若∠Ｂ＝７５°，∠ＥＤＦ＝８０°，ＢＣ＝５，ＣＦ＝ ３，则下列结论错误的是 （　　） Ａ．∠Ｆ＝２５° Ｂ．ＤＦ＝５ Ｃ．四边形ＡＣＦＤ是平行四边形 Ｄ．平移距离为３ 考点４：中心对称图形 例４　以下是我国部分博物馆标志的图案，其 中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） 解析：根据中心对称图形和轴对称图形的定 义即可得解．故选Ａ． ●专项练习 ７．如 图 ８，△ＡＢＣ与 △ＤＥＣ关于点 Ｃ成中心对 称，过点Ａ作ＡＦ∥ＢＥ，交ＤＥ 的延长线于点 Ｆ，试问：∠Ｂ 与∠Ｆ相等吗？为什么？ 考点５：三角形的中位线定理 例５　 如图 ９，在 △ＡＢＣ 中，点Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ的中 点，若 ＤＥ ＝４，则 ＢＣ ＝ ． （下转第６版                                                                                                         ） ! 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' ( ) * + ! , % & $ ! # " $ & " % ! ! - 书 （上接第５版） 解析：因为Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ的中点，ＤＥ＝ ４，所以ＢＣ＝２ＤＥ＝８．故填８． ●专项练习 ８．如图 １０，四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ ＢＣ，ＡＤ ＝ ２，ＢＣ＝５，点Ｅ，Ｆ分别是对 角线ＡＣ，ＢＤ的中点，则 ＥＦ 的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１ Ｂ．１．５ Ｃ．２．５ Ｄ．３．５ 考点６：矩形的性质与判定 例６　 如图 １１，在矩 形ＡＢＣＤ中，Ｅ为 ＡＤ的中 点，连接ＣＥ，过点 Ｅ作 ＣＥ 的垂线交ＡＢ于点Ｆ，交ＣＤ 的延长线于点Ｇ，连接ＣＦ． 已知ＡＦ＝１２，ＣＦ＝５，则ＥＦ＝ ． 解析：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ａ＝ ∠ＥＤＣ＝９０°．所以 ∠ＥＤＧ＝１８０°－∠ＥＤＣ＝ ９０°．因为点 Ｅ是 ＡＤ的中点，所以 ＡＥ＝ＤＥ．在 △ＡＥＦ和 △ＤＥＧ中，因为 ∠Ａ＝∠ＥＤＧ，ＡＥ＝ ＤＥ，∠ＡＥＦ ＝ ∠ＤＥＧ， 所 以 △ＡＥＦ ≌ △ＤＥＧ（ＡＳＡ）．所以ＥＦ＝ＥＧ，ＡＦ＝ＤＧ＝１２．因 为ＣＥ⊥ＥＦ，所以ＣＦ＝ＣＧ＝５．所以ＣＤ＝ＣＧ－ ＤＧ＝９２．根据勾股定理，得ＣＥ ２ ＝ＣＦ２－ＥＦ２ ＝ ＣＤ２＋ＥＤ２，即５２－ＥＦ２＝（９２） ２＋ＥＦ２－（１２） ２． 解得ＥＦ＝槡１０２ ．故填 槡１０ ２ ． ●专项练习 ９．如图１２，线段 ＢＣ为等 腰△ＡＢＣ的底边，矩形 ＡＤＢＥ 的对角线ＡＢ与ＤＥ交于点Ｏ， 若 ＯＤ ＝ ２， 则 ＡＣ ＝ ． １０．如图１３，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｏ，ＤＨ⊥ ＡＣ，垂足为点 Ｈ，若 ∠ＡＤＨ＝２∠ＣＤＨ，则ＡＤ的长为 ． １１．如图１４，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ ＣＤ， ＡＢ⊥ＢＤ，ＡＢ＝５，ＢＤ＝４，ＣＤ＝３，点Ｅ是ＡＣ的 中点，则ＢＥ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．５２ 槡Ｃ．５ Ｄ．３ １２．如图１５，在△ＡＢＣ中， ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ是ＢＣ的中点， 点Ｅ是ＡＤ的中点，延长ＢＥ至 Ｆ，使ＥＦ＝ＢＥ，连接ＡＦ，ＣＦ． 求证：四边形ＡＤＣＦ是矩形． 考点７：菱形的性质与判定 例 ７　 如图 １６，在 ＡＢＣＤ中，Ｇ为ＢＣ边上一 点，ＤＧ＝ＤＣ，延长 ＤＧ交 ＡＢ的延长线于点Ｅ，过点Ａ 作ＡＦ∥ＥＤ交ＣＤ的延长线于点Ｆ．求证：四边形 ＡＥＤＦ是菱形． 证明：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所 以 ∠ＢＡＤ ＝∠Ｃ，ＡＤ∥ ＢＣ，ＡＢ∥ ＣＤ．所以 ∠ＤＧＣ＝∠ＡＤＥ．因为ＤＧ＝ＤＣ，所以∠ＤＧＣ＝ ∠Ｃ．所以∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＥ．所以ＡＥ＝ＤＥ．因为 ＡＦ∥ＥＤ，所以四边形ＡＥＤＦ是平行四边形．所以 四边形ＡＥＤＦ是菱形． ●专项练习 １３．如图 １７，四边形 ＡＢＣＤ为菱形，若ＣＥ为边ＡＢ 的垂直平分线，则 ∠ＡＤＢ的 度数为 （　　） Ａ．２０° Ｂ．２５° Ｃ．３０° Ｄ．４０° １４．已知菱形ＡＢＣＤ的周长为 槡４５，两条对角 线的和为６，则菱形ＡＢＣＤ的面积为 （　　） 槡Ａ．２ Ｂ．５ Ｃ．３ Ｄ．４ １５．如图１８，在 ∠ＭＯＮ的两边上分别截取 ＯＡ，ＯＢ，使ＯＡ＝ＯＢ；分别以点Ａ，Ｂ为圆心，ＯＡ 长为半径作弧，两弧交于点 Ｃ；连接 ＡＣ，ＢＣ，ＡＢ， ＯＣ．若ＡＢ＝２ｃｍ，四边形ＯＡＣＢ的面积为４ｃｍ２， 则ＯＣ的长为 （　　） Ａ．２ｃｍ Ｂ．３ｃｍ Ｃ．４ｃｍ Ｄ．５ｃｍ １６．如图 １９，已知四边形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ互相垂直且互相平分，ＡＢ＝６，则四边形 ＡＢＣＤ的周长为 ． 考点８：正方形的性质与判定 例８　 如图 ２０，把含 ３０° 的直角三角板 ＰＭＮ放置在正 方形ＡＢＣＤ中，∠ＰＭＮ＝３０°， 直角顶点Ｐ在正方形ＡＢＣＤ的 对角线ＢＤ上，点 Ｍ，Ｎ分别在 ＡＢ和ＣＤ边上，ＭＮ与ＢＤ交于 点Ｏ，且点Ｏ为ＭＮ的中点，则∠ＡＭＰ的度数为 （　　） Ａ．６０° Ｂ．６５° Ｃ．７５° Ｄ．８０° 解析：因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ∠ＡＢＤ＝４５°．在Ｒｔ△ＰＭＮ中，∠ＭＰＮ＝９０°，点 Ｏ为ＭＮ的中点，所以ＯＰ＝１２ＭＮ＝ＯＭ．因为 ∠ＰＭＮ＝３０°，所以∠ＭＰＯ＝３０°．所以∠ＡＭＰ ＝∠ＭＰＯ＋∠ＭＢＰ＝７５°．故选Ｃ． ●专项练习 １７．正方形ＡＢＣＤ的一条对角线长为６，则这 个正方形的面积是 （　　） Ａ．９ Ｂ．１８ Ｃ．２４ Ｄ．３６ １８．如图 ２１，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＢＤ与ＡＣ相交于点 Ｏ．嘉嘉作 ＤＰ∥ ＯＣ，ＣＰ∥ ＯＤ，在正方形 ＡＢＣＤ外，ＤＰ， ＣＰ交于点 Ｐ；淇淇作 ＤＰ＝ ＯＣ，ＣＰ＝ＯＤ，在正方形 ＡＢＣＤ外，ＤＰ，ＣＰ交于 点Ｐ，两人的作法中，能使四边形 ＯＣＰＤ是正方 形的是 （　　） Ａ．只有嘉嘉 Ｂ．只有淇淇 Ｃ．嘉嘉和淇淇 Ｄ．以上均不正确 （本章复习检测卷见第９～１０版                                                                                                                               ） ! " # $ ! ! " # $ % & ! !" ' ( " % $ ) & ! !! ! " * % ( & ! !# ! !$ ) ( + * % & & ) ( " % ! !% ! !& ) ( & $ " % ) ( % " & ! !' $ ( ) ' % & " ! !( , & * ) - % ! !) ! !* ) ( * % & ) & , * - . # % ! #" ) . # * & % ! #! 书 （上接第２９版） （２）作出 △ＡＢＣ关于 ｘ轴的对称图形 △Ａ１Ｂ１Ｃ１，并写出顶点Ａ１，Ｂ１，Ｃ１的坐标； （３）求Ｓ△ＡＢＣ． 考点５：平移的坐标表示 例５　在平面直角坐标系中，把点 Ｐ（－３， ２）向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是 （　　） Ａ．（－５，２） Ｂ．（－１，４） Ｃ．（－３，４） Ｄ．（－１，２） 解析：根据题意，把点Ｐ（－３，２）向右平移两 个单位，所得点的纵坐标不变，横坐标为：－３＋２ ＝－１，即点Ｐ平移后得到对应点的坐标是（－１， ２）．故选Ｄ． ●专项练习 ７．如图 ６，△ＡＢＣ的顶点坐标分别为 Ａ（－１，４），Ｂ（－４，－１），Ｃ（１，１）．若△ＡＢＣ向右 平移４个单位长度，再向下平移３个单位长度得 到△Ａ′Ｂ′Ｃ′，且点Ｃ的对应点为点Ｃ′． （１）画出 △Ａ′Ｂ′Ｃ′，并直接写出点 Ｃ′的坐 标； （２）若△ＡＢＣ内有一点Ｐ（ａ，ｂ）经过以上平 移后的对应点为Ｐ′，请直接写出点Ｐ′的坐标； （３）求△ＡＢＣ的面积． 考点６：坐标系中的规律 例６　如图７，动点 Ｐ从（０，３）出发沿图中 所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反 弹时反射角等于入射角，当点 Ｐ第４３次碰到长 方形的边时，点Ｐ的坐标为 ． 解析：经过６次反弹后动点 Ｐ回到出发点 （０，３）．因为４３÷６＝７……１，所以当点Ｐ第４３ 次碰到长方形的边时为第８个循环组的第一次 反弹．所以点Ｐ的坐标为（３，０）．故填（３，０）． ●专项练习 ８．如图８，一个粒子在第一象限内及 ｘ轴、ｙ 轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（１， ０），第二分钟它从点（１，０）运动到点（１，１），而 后接着按图中箭头所示在与 ｘ轴、ｙ轴平行的方 向上来回运动，且每分钟运动１个单位长度，那 么在第１２０分钟时，这个粒子所在位置的坐标是 ． （本章复习检测卷见第１１～１２版                                                         ） / +& +% +$ +# +! ! # $ % & ) & 0 & % $ # ! * +! +# +$ +% +& % ! 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