专题15 单调性与最大（小）值（3个知识点+9大题型）（讲义+精练）-2025年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

专题15 单调性与最大（小）值 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二、基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 题型一：单调性的概念 【例1】若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 【变式1-1】（2025·高一·北京海淀·期末）设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】函数在上是增函数，则且，都有，必要性成立； 取函数，区间， 显然且，都有，而函数在上不单调，充分性不成立， 所以“且，都有”是“在上是增函数”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1-2】（2025·高二·浙江嘉兴·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数在区间上是增函数，故A不正确； 对于B，函数在区间上是减函数，故B正确； 对于C，函数在上是增函数，故C不正确； 对于D，函数在上是增函数，故D不正确. 故选：B． 【变式1-3】已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 题型二：函数的单调性的证明 【例2】（2025·高一·福建福州·期中）给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 【解析】（1）令，解得， 令，解得，则的定义域为, 因为，所以，， 因为，所以， 解得，得到，令，解得， 则的定义域为. （2）判断：在区间上单调递减， 我们任取，且使， 则， ， 因为，所以， 因为，所以，得到， 即，故在区间上单调递减， 判断：在区间上单调递增， 我们任取，且使， 则， ， ，因为，所以， 因为，所以，， 得到，即， 故在区间上单调递增. 【变式2-1】（2025·高一·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【解析】（1）因为，解得. 所以的定义域为. （2），，且， 则. 因为，所以，，，， 所以，即，所以， 故在上的单调递减. 【变式2-2】（2025·高一·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【解析】（1）要使函数有意义，则且，即， 所以函数定义域为. （2）是减函数. 证明如下： 设，且， 则. 因为，所以.所以. 所以，即. 所以是减函数. （3）函数的定义域为， 要有意义，则，即， 要有意义，则. 因为是减函数， 由，得， 即，解得或. 综上得或. 所以不等式的解集为或. 【变式2-3】（2025·高一·广东肇庆·期中）已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【解析】（1）因为， 所以，解得. （2）由（1）知：，在上的单调递减， 证明如下： 在上任取，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴，在上的单调递减. 题型三：求函数的单调区间 【例3】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 【变式3-1】（2025·高一·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 【变式3-2】函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故单调增区间是. 故选：C 【变式3-3】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 题型四：利用函数单调性求参数的取值范围 【例4】已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，，解得，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A 【变式4-1】（2025·高一·湖北·期末）若函数 在单增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，此时，令，则是一次函数，所以在上单调递增. 且当时，，满足的定义域要求，所以在上单调递增，故符合题意. 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为. 所以在上单调递增. 要使有意义，则在上恒成立. 当时，，因为，所以，满足，所以符合题意. 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为. 那么在上单调递增，在上单调递减，所以不可能在上单调递增，故不符合题意. 综合以上三种情况，实数的取值范围是. 故选:C. 【变式4-2】（2025·高一·北京·开学考试）定义在上的函数是增函数，则系数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】二次函数的对称轴为，考虑到其定义域为，故. 故选：A. 【变式4-3】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若，则当时，函数单调递增， 又，函数在上单调递减， 若，则当时，函数单调递减， 只有时，才有可能使函数在上单调递减， ，解得 综上，实数的取值范围是 故选：A 题型五：利用函数单调性的性质解不等式 【例5】（2025·高一·安徽铜陵·期末）已知是函数图象上两点，且该函数是上的减函数，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 又是函数图象上两点，故， 该函数是上的减函数，故， 解得，即不等式解集为， 故选：B. 【变式5-1】（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期末）设函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以在上单调递减， 又因为， 所以当时，，当时，， 当时，代表同号， 所以等式的解集是. 故选：B. 【变式5-2】（2025·高一·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 【变式5-3】（2025·高一·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为任意的，都有，即任意的，都有， 令，所以任意的，都有， 所以为上的减函数； 又因为， 所以，解得，所以不等式解集为， 故选：B. 题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系 【例6】（2025·高一·安徽亳州·期末）已知二次函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为二次函数的最大值为， 所以的图象关于直线对称，所以，且在上是减函数， 因为，所以. 故选：A． 【变式6-1】（2025·高一·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：因为，所以不能判断的大小关系； B：因为，且函数在区间上单调递减， 所以有，因此本选项不正确； C：因为，所以不能判断的大小关系； D：由B可知本选项正确， 故选：D 【变式6-2】已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】任取，则 ∵，∴，则在上单调递增． 又，所以． 故选：D. 【变式6-3】若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 题型七：求函数的最值 【例7】已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 【变式7-1】（2025·高一·北京·期中）已知函数． (1)若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； (2)若函数在上的最大值为1，求实数的值． 【解析】（1）方程有两个实根，， 由韦达定理可得， 又， 即， 化简可得，解得或， 当时，原方程为，有两实根，满足题意； 当时，原方程为，即， 其中，即方程无实根，故舍去； 所以. （2）因为， 其图像开口向下，对称轴为， 当时，即时， 函数在上单调递减，则， 即，满足； 当时，即时， 函数在上单调递增，则，即，不满足，故舍去； 当时，即时， 函数在处取得最大值， 即， 即，解得， 且，则； 综上所述，或. 【变式7-2】（2025·高一·河南郑州·期中）已知函数是二次函数，且，． (1)求的解析式并且写出的单调递增和单调递减区间； (2)求出在区间上的最大值和最小值． 【解析】（1）设，由，得， 由可得：， 根据：，可得： 整理得：，可得：，解得， 可得为的解析式． 因为可得：对称轴为 且二次项系数为， 可知：函数的单调递增区间为：，单调减区间为； （2）由二次项系数为，和函数的单调性可得，函数在处最小值，即． 当时，，当时，． 因此函数的最大值为13，最小值为． 【变式7-3】（2025·高一·河南·期末）已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值. 【解析】（1）设， 因为 ， 所以，解得，所以. （2），. 当时，在上单调递增，； 当时，； 当时，在上单调递减，. 综上，. 题型八：抽象函数单调性的证明 【例8】已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由，令，则，解得． （2）函数在上单调递减．证明如下：设，则，所以．因为，所以，则，故，所以函数在上单调递减． （3）由（2）可知，在上单调递减，存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立．令，则，所以存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．设．又，所以在上单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围是． 【变式8-1】（2025·高一·江西新余·开学考试）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由 【解析】（1）因为，， 令，可得，所以． （2）对，且， 则， 因为，，则， 又因为，可得， 且当时，，则，即， 所以在定义域上是增函数． （3）因为函数的定义域为，则，解得． 由，得等价于， 且，可得， 由（2）可知：在定义域上是增函数． 可得，解得，或（舍去），故， 故不等式的解集为． 【变式8-2】（2025·高一·重庆·期末）已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． (1)求，； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【解析】（1）因为函数满足对一切实数、都有成立， 令可得，可得， 令可得. （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则，又， 所以，可得， 所以当时，， 任取、且，则，， 则 ，即， 因此，函数在上单调递减. （3）由（2）可知，函数在上为单调递减函数， 令，可得，所以， 因为， 令， 由 得，即，解得， 可得， 因为，， 所以不等式等价于， 因为函数在上单调递减，则， 对于不等式，即显然成立， 对于不等式，即，解得， 因此，原不等式的解集为. 【变式8-3】（2025·高一·湖南衡阳·期末）已知定义在的函数，对任意的，都有，且当时，． (1)证明：当时，； (2)判断函数的单调性并加以证明； (3)如果对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）在中， 令，得，所以， 又令得，所以， 当时，，，所以； （2）在上是减函数．证明如下： 任取且，因此有，， 所以， 即，所以在上是减函数； （3）由题意， 由得， 由（2）在上是减函数，所以，， 又，当且仅当时等号成立， 所以．所以的范围是， 题型九：二次函数在闭区间上的最值问题 【例9】（2025·高一·江西宜春·期中）已知函数，不等式的解集． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 【解析】（1）∵，不等式的解集， ∴0，5为的两个根， ∴， ∴. （2）由（1）知，，其对称轴是， i.当时，易知在 递增， 故， ii．当即时，， iii．当即时，函数在上单调递减，， 综上，， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，则． 【变式9-1】已知二次函数在时有最小值2． (1)求的值； (2)已知，且当时，的取值范围是，求的值． 【解析】（1）由二次函数的图象可知， 展开可得， 故． （2）因为的最小值为2， 所以，即， 所以， 又因为二次函数的对称轴为， 故当时，单调递减， 故， 即为方程的两正根，且； 解一元三次方程：， 容易观察是该方程的一根， 故因式分解得， 利用求根公式对方程 求解得， 考虑到， 故． 【变式9-2】（2025·高一·江苏宿迁·期中）二次函数的图象顶点为，且图象在轴上截得线段长为． (1)求函数的解析式： (2)令 ①求不等式的解集； ②求函数在的最大值． 【解析】（1）因为二次函数的图象顶点为， 所以设， 令，即， 则， 由题意得， 解得， 所以； （2）①由（1）得， 即，即， 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得， 所以当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是， ②，对称轴方程为：， 当，即时，的最大值为； 当，即时，的最大值为； 当，即，的最大值为. 【变式9-3】（2025·高一·安徽·期中）已知关于的函数． (1)若，求时的取值范围． (2)是否存在实数，满足当时，的最大值为3?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）当时，可转化为：. 所以或. 所以的取值范围是：. （2）函数在的最大值，可能是在行或或时取得. 若.此时为开口向上的抛物线，且，，所以满足题意. 若.此时为开口向下的抛物线，且，，对称轴为，所以满足题意； 若，解得或. 当时，，对称轴为，故不合题意. 综上可知：存在实数或，使得满足当时，的最大值为3. 1．（2025·高一·广西柳州·开学考试）下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，在上单调递减，故A不符合题意， 对于B，在和上单调递增，在定义域上不是单调递增函数，故B不符合题意， 对于C，在上单调递减，在上单调递增，故C不符合题意， 对于D，在上单调递增，故D符合题意。 故选：D. 2．设函数，若，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数的图象如图所示，当时，即，解得或，则由图象可知． 3．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（   ） A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 【答案】B 【解析】函数图象的对称轴为直线，且图象开口向上，由题意，得．又，则当时，在上单调递增，函数既无最大值，也无最小值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既无最大值，也无最小值；当时，函数在上单调递增，函数既无最大值，也无最小值．综上，在上单调递增． 4．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，是单调递减的，即有，解得；当时，函数是单调递减的，分界点处的值应满足，解得．综上，． 5．已知函数，满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，函数在上为减函数，所以，即，解得，所以实数a的取值范围是． 6．已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由解得． 7．将中的最大数记为，则函数的最小值为（    ） A．1 B．5 C．4 D．6 【答案】B 【解析】作函数的图象如图．令得点，则由图可知函数的最小值为5． 8．已知函数．若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的值域为，即的值域包含这一子区间．故当时，，此时的值域为，符合题意；当时，是开口向下的二次函数，显然，值域不可能包含这一区间，故不符合题意；当时，需要与x轴有交点，才能完全包含这一区间，此时，即，解得．综上，． 易错警示  一定要理解并区分定义域为与值域为的不同． 9．（多选题）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 【答案】BCD 【解析】设，则必有，所以，所以选项A一定成立；其余三项不一定成立，如当时，B，C不成立；当时，D不成立． 10．（多选题）已知函数若的最小值为，则（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C． D．函数的最小值为 【答案】ACD 【解析】当时，，当时，，由条件知（否则的最小值不是，所以函数在上单调递减，．又由条件知，解得，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增．由以上分析知A，C，D正确． 11．（多选题）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．函数在定义域内不具有单调性 B．函数无最小值 C．函数最大值为 D．恒成立 【答案】BCD 【解析】原函数可化为，，易知在上单调递减，且恒成立．故函数没有最小值，当时，． 12．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于，当且仅当，即时取等号，而不等式有解，所以，即，解得或． 13．已知函数在时，的最小值是，则实数的值为 ． 【答案】或 【解析】由二次函数性质可知：函数的图象开口向上，对称轴为，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 当，即时，函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为. 令，解得，符合题意； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为. 令，即，解得，不满足，舍去； 当，即时，函数在上单调递减， 所以当时，取得最小值，最小值为. 令，解得，符合题意； 综上，实数的值为或. 故答案为：或. 14．定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 【答案】 减 【解析】因为函数满足，所以在上单调递减，且，所以当时，，当时，，所以由，得或解得． 15．已知函数． (1)若，证明函数在上单调递减，在上单调递增； (2)当时，，求a的值． 【解析】（1）证明：设． 当时，，所以，所以函数在上单调递减． 同理可得在上单调递增． （2）①当时，，不满足条件． ②当时，易知函数在上单调递增，则满足即解得，不满足条件． ③当时，由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值应在处取得．当时，函数在上的最小值为，所以，解得，经检验，符合条件；当时，函数在上的最小值为，所以，解得，不符合条件；当时，函数在上的最小值为，所以，解得，不符合条件．综上，． 16．已知函数． (1)当时，画出函数的图象，根据图象写出增区间； (2)若函数为上的增函数，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，的图象如图所示． 由图可知，函数的增区间为． （2） 因为函数为上的增函数， 所以解得， 所以实数a的取值范围是． 17．画出二次函数的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较的大小； (2)若，比较与的大小关系； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）二次函数，即的图象如图所示．由图象可知． （2）函数图象的对称轴为直线，当时，根据函数的图象可知． （3）因为不等式，所以当时，，由图可知此时；当时，，由图可知此时．所以不等式的解集为． 18．（2025·高一·贵州黔南·期末）已知函数 (1)当时，求函数在上的值域； (2)求关于的不等式的解集. 【解析】（1）当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 又因为，，故. 故当时，函数在上的值域为. （2）因为， 当时，解不等式可得； 当时，则，该不等式无解； 当时，解不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19．（2025·高一·北京海淀·期中）已知函数，且． (1)求的值； (2)若，，直接写出实数的取值范围； (3)记坐标原点为，实数，点为图象上一点，函数的图象为直线．若，，求证：． 【解析】（1）因为，且， 所以，解得； （2）由，则， 所以或， ， 所以或或或， 综上，实数的取值范围为； （3）由题意及（2）知且，构造函数 ， 因为，，所以，． 若，，所以，， 又在单调递增，所以． 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 单调性与最大（小）值 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二、基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 题型一：单调性的概念 【例1】若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高一·北京海淀·期末）设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2025·高二·浙江嘉兴·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 题型二：函数的单调性的证明 【例2】（2025·高一·福建福州·期中）给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 【变式2-1】（2025·高一·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【变式2-2】（2025·高一·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【变式2-3】（2025·高一·广东肇庆·期中）已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 题型三：求函数的单调区间 【例3】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高一·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 题型四：利用函数单调性求参数的取值范围 【例4】已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高一·湖北·期末）若函数 在单增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高一·北京·开学考试）定义在上的函数是增函数，则系数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：利用函数单调性的性质解不等式 【例5】（2025·高一·安徽铜陵·期末）已知是函数图象上两点，且该函数是上的减函数，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期末）设函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高一·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·高一·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系 【例6】（2025·高一·安徽亳州·期末）已知二次函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高一·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 题型七：求函数的最值 【例7】已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【变式7-1】（2025·高一·北京·期中）已知函数． (1)若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； (2)若函数在上的最大值为1，求实数的值． 【变式7-2】（2025·高一·河南郑州·期中）已知函数是二次函数，且，． (1)求的解析式并且写出的单调递增和单调递减区间； (2)求出在区间上的最大值和最小值． 【变式7-3】（2025·高一·河南·期末）已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值. 题型八：抽象函数单调性的证明 【例8】已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【变式8-1】（2025·高一·江西新余·开学考试）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由 【变式8-2】（2025·高一·重庆·期末）已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． (1)求，； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【变式8-3】（2025·高一·湖南衡阳·期末）已知定义在的函数，对任意的，都有，且当时，． (1)证明：当时，； (2)判断函数的单调性并加以证明； (3)如果对任意的恒成立，求实数的取值范围． 题型九：二次函数在闭区间上的最值问题 【例9】（2025·高一·江西宜春·期中）已知函数，不等式的解集． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 【变式9-1】已知二次函数在时有最小值2． (1)求的值； (2)已知，且当时，的取值范围是，求的值． 【变式9-2】（2025·高一·江苏宿迁·期中）二次函数的图象顶点为，且图象在轴上截得线段长为． (1)求函数的解析式： (2)令 ①求不等式的解集； ②求函数在的最大值． 【变式9-3】（2025·高一·安徽·期中）已知关于的函数． (1)若，求时的取值范围． (2)是否存在实数，满足当时，的最大值为3?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1．（2025·高一·广西柳州·开学考试）下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．设函数，若，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（   ） A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 4．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．将中的最大数记为，则函数的最小值为（    ） A．1 B．5 C．4 D．6 8．已知函数．若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 10．（多选题）已知函数若的最小值为，则（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C． D．函数的最小值为 11．（多选题）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．函数在定义域内不具有单调性 B．函数无最小值 C．函数最大值为 D．恒成立 12．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ． 13．已知函数在时，的最小值是，则实数的值为 ． 14．定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 15．已知函数． (1)若，证明函数在上单调递减，在上单调递增； (2)当时，，求a的值． 16．已知函数． (1)当时，画出函数的图象，根据图象写出增区间； (2)若函数为上的增函数，求实数a的取值范围． 17．画出二次函数的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较的大小； (2)若，比较与的大小关系； (3)求不等式的解集． 18．（2025·高一·贵州黔南·期末）已知函数 (1)当时，求函数在上的值域； (2)求关于的不等式的解集. 19．（2025·高一·北京海淀·期中）已知函数，且． (1)求的值； (2)若，，直接写出实数的取值范围； (3)记坐标原点为，实数，点为图象上一点，函数的图象为直线．若，，求证：． 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$