第01讲 二次根式（5知识点+10大考点+拓展训练+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第01讲 （5知识点+10大考点+拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 二次根式的相关概念 1.二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 2.二次根式有意义的条件 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 知识点 2 二次根式的性质 二次根式的性质 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 知识点 3 二次根式的化简 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 知识点 4 二次根式的混合运算 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3.最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 4.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 5.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 知识点 5 分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 考点一：二次根式的相关概念 例1．下列式子，一定是二次根式的共有（    ） ，1，，，， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义进行解答即可． 【详解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式． 【变式1-1】下列式子中，一定是二次根式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方数为非负数，再列不等式，逐一分析即可． 本题考查了二次根式的定义，掌握被开方数是非负数是关键． 【详解】解：A、不是二次根式，故本选项不符合题意； B、当时，则它无意义，故本选项不符合题意； C、由于，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意； D、当时，它无意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 【答案】③④⑥ 【分析】本题考查了二次根式的识别，形如这样的式子称为二次根式，根据这个定义去判断即可． 【详解】解：，中被开方数是负数，不是二次根式，是立方根，也不是二次根式，其余均是二次根式； 故答案为：③④⑥． 【变式1-3】已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3 【分析】由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为3或6， 当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用是解题的关键． 【变式1-4】已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 【答案】(1)，， (2)以 、、为三角形的三边长能构成三角形，这个三角形是直角三角形 【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可； （2）用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， ，，， 解得：，，； （2），，，且， ， 以 、、为三角形的三边长能构成三角形； ， 这个三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 考点二：二次根式有意义的条件 例2．已知a，b为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的运算、实数的性质、二次根式有意义的条件，根二次根式有意义的条件求得a的值成为解题的关键． 根据实数的性质可得，解得：，进而求得，然后代入据此可得求解即可． 【详解】解：由题意得，，解得：， ∴， ∴． 故选；B． 【变式2-1】已知，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，二次根式的性质，二次根式有意义的条件为被开方数为非负数；分式有意义的条件为分母不为0；熟练掌握相关知识点是解题关键．根据二次根式的性质及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件计算即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， 故选：C． 【变式2-2】已知实数a满足，那么的值是 ． 【答案】2026 【分析】根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：2026. 【变式2-3】已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的应用，由二次根式有意义的条件得出，从而可得，化简绝对值并整理可得，计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴式子可化为， 整理可得， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-4】已知a、b满足，求的平方根． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的性质以及二次根式的性质，直接利用算术平方根的性质得出a的值，再利用绝对值的性质得出b的值，进而得出答案． 【详解】解：有意义， ， 则， 解得：， 故， 解得：， 则， 故的平方根为：． 考点三：二次根式的化简 例3．化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，先根据二次根式有意义的条件判断，再利用二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由知， 则原式， 故选：D． 【变式3-1】实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键． 先根据数轴的定义得出，，，，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由题意得：，，， ∴ ，， ∴ ． 故选：D． 【变式3-2】已知，则计算 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 由可得，，然后根据二次根式的性质化简即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：1． 【变式3-3】已知、满足，则 ． 【答案】或34 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；根据被开方数大于等于0列式不等式，求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：依题意，得：， 解得：； 当时， ； ∴； 当时， ； ∴； ∴的值为或34， 故答案为：或34． 【变式3-4】我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值； （4）已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】（5）已知的三边长、、满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）4；（4）6；（5）14 【分析】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，二次根式的性质，读懂题目信息，理解“完美数”的定义并熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解； （3）利用配方法和非负数的性质即可求解； （4）利用配方法和非负数的性质即可求解； （5）利用配方法和非负数的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵10是“完美数” ∴； 故答案为：； （2） 要使S为“完美数”， 则，即． （3）∵， ∴ ∴， ∴， ， 解得， ， 则． （4）， ， ， ， 无论x取何值，， 当时，的值最大，为. （5）， ∴， ，，， ，，， ． 考点四：二次根式的混合运算 例4．化简计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，零指数幂，去绝对值，负整数指数幂，熟练掌握实数的运算法则是解题关键． （1）先根据二次根式的除法法则、乘法法则化简，再加减即可求解； （2）根据零指数幂的定义、去绝对值、负整数指数幂化简，再加减即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式4-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先化简二次根式，进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式即可； （2）先进行平方差公式的计算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式4-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （1）首先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据二次根式的性质和运算法则计算即可求解； （）利用平方差公式计算即可； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4-4】配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，求的值； (3)已知：，，，求的值． 【答案】(1)23 (2)17 (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形以及二次根式的混合运算，正确变形、熟练掌握相关公式是解答本题的关键． （1）运用完全平方公式的变形求解即可； （2）分别求出的值，再将所要求的式子变形，最后整体代入计算即可； （3）将变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：，， ， ， 则 ． （3）解：∵，， ∴． 考点五：最简二次根式 例5．下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行判断即可． 【详解】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，本选项符合题意； C、，被开方数里含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并成一项， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 【变式5-2】将根式，，，，中是最简二次根式的填在横线上 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 【详解】解：和是最简二次根式， 不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 故答案为：，． 【变式5-3】下列二次根式中：①；②；③；④，是最简二次根式的是 （填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了最简二次根式及分母有理化，根据最简二次根式的定义及分母有理化逐一判断即可求解，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：①，不是最简二次根式； ②是最简二次根式； ③是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； 故答案为：②③． 【变式5-4】化简： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)156 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法计算，即可求解； （2）根据二次根式的性质化简，即可求解； （3）化成最简二次根式即可求解； （4）化成最简二次根式即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简方法与运用，熟练掌握时，；时，；时，是解题的关键． 考点六：同类二次根式 例6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意． 故选：C ． 【变式6-1】如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据同类二次根式的定义得到，，然后解两个方程组成的方程组即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，． 故选：D． 【变式6-2】下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； C．，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式6-3】最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：12． 【变式6-4】若最简二次根式与可以合并． (1)求的值； (2)对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．请求※[※（－2）]的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据同类二次根式的性质列出等式即可求解a； （2）代入a的值，根据新定义的运算法则即可求解． 【详解】（1）∵最简二次根式与可以合并， ∴， ∴， （2）当时 ． 【点睛】本题考查了同类二次根式的性质、新定义下的实数的运算等式，理解新定义的运算法则是解答本题的关键． 考点七：分母有理化 例7．把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 【变式7-1】已知，，，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，利用分子有理化比较二次根式的大小，熟练掌握分子有理化的方法是解答本题的关键． 利用平方差公式，进行分子有理化，进而比较三个数的大小关系，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， ， ， ， ， ， 故选：． 【变式7-2】对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【答案】 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 【变式7-3】阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得 ； （2）关于的方程的解是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式分母有理化，及其规律探索，解方程，掌握二次根式分母有理化，发现规律，解方程方法，找到有理化分母是解题关键． （1）根据材料进行分母有理化即可． （2）先分母有理化，再根据式子的规律化简，解方程即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式7-4】小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ． ， ． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： (1)①化简___________． ②当时，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)①；②2； (2)2025． 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，二次根式的分母有理化是关键． （1）①进行分母有理数化即可；②原式变形后整体代入即可； （2）把二次根式化简后，进行加减法求出的值，再代入代数式进行求值即可． 【详解】（1）解：（1）①； ②， （2） 故 考点八：已知字母的值化简求值 例8．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把代入计算解题即可． 【详解】解： ， 故选D． 【点睛】本题考查已知未知数的值，求代数式的值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式8-1】已知，，则代数式的值为(     ) A．9 B．±3 C．3 D． 【答案】C 【分析】先把代数式化简，再把和的值计算出来，最后代值计算即可得到答案； 【详解】解：= 又∵， ， ∴==， 故选C． 【点睛】本题考查了代数式的求值，直接把m和n代进去算比较难算，解题的关键要懂得把代数式化简，即可简化过程． 【变式8-2】已知，，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，先根据完全平方公式将原式整理成，再代入求解即可． 【详解】解： 故答案为：10． 【变式8-3】已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】 将已知条件变形得，，再将所求代数式变形为，由此即可求解． 【详解】解：已知， ∴，即， 等式两边同时平方得，，整理得，，即， ∴， ∵ 把代入得， 把代入得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，整式的化简求出，掌握二次根式的化简，整式的等量变形，构造为已知条件的形式，代入求值的方法是解题的关键． 【变式8-4】已知，，求代数式的值： (1)； (2) ． 【答案】(1)16 (2)4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的运用，注意整体思想的运用； （1）先分别计算出的值，由完全平方公式得，再代入求值即可； （2）原式化为，再整体代入即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； （2）解：． 考点九：比较二次根式的大小 例9．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 【变式9-1】已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2021×2023-2021×2022 =2021（2023-2022） =2021； ∵20242-4×2023 =（2023+1）2-4×2023 =20232+2×2023+1-4×2023 =20232-2×2023+1 =（2023-1）2 =20222， ∴b=2022； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 【变式9-2】比较大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，第一空直接根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可；第二空两数平方，平方大的数大；第三空利用作差法求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ，由于，则， ∴ 故答案为：；；． 【变式9-3】比较大小（填“<”、“大于”或“=”）： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质可得，，由此即可得． 【详解】解：，，且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较方法是解题关键． 【变式9-4】已知，． (1)比较a，b的大小，并写出比较过程； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用平方法和不等式的性质即可比较出大小； （2）代入和b的值，利用二次根式的混合运算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． 考点十：二次根式的应用 例10．如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为（    ） A．4 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为， ∴一个空白长方形面积为， ∵大正方形面积为15，重叠部分面积为1， ∴大正方形边长为，重叠部分边长1， ∴空白部分的长为， 设空白部分宽为x，可得：，解得：， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+重叠部分边长， ∴小正方形面积， 故选：C． 【变式10-1】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为．从高空抛物到落地所需时间为，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】将代入进行计算即可；将代入进行计算，再计算与的比值即可得出结论． 【详解】当时，（秒； 当时，（秒； ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【变式10-2】如图，将长、宽的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的拼接，根据正方形的面积等于长方形的面积进行计算即可． 【详解】解：∵长方形的长、宽 ∴长方形的面积为：， ∵正方形是由这样的长方形拼接面成的， ∴正方形的面积为， 因此正方形的边长为， 故答案为：． 【变式10-3】如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么 ， ，两个长方形的面积和 ．    【答案】 / 【分析】依据正方形的面积公式可求及，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即得两个长方形的面积和． 【详解】解：由正方形的面积边长边长， ∴面积为5的正方形的边长为，面积为2的正方形的边长为， ∴，， ∴两个长方形的面积的和为： ． 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了正方形的面积公式的逆运用及二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 【变式10-4】我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．根据上述知识，解决下列问题． (1)如图，中，，，，请利用上述公式求的面积； (2)在（1）的条件下，作于点D，求，的长． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查三角形的面积和勾股定理，掌握三角形的面积公式和勾股定理是解题的关键． （1）根据公式先求出，再求出即可； （2）根据三角形面积公式求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：， ， 的面积是； （2）解：，即， ， ． 拓展训练一：复合二次根式的化简问题 1．观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 2．化简 ． 【答案】 【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0， 则 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键． 3．已知，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式；将两边同时平方，可求的值，将式子化为即可求解；掌握的典型解法是解题的关键． 【详解】解：由得 ， 整理得：， = = =． 故答案为：． 4．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 拓展训练二：二次根式的混合运算综合 6．化简 ． 【答案】 【分析】将原式变形为，再求出，继而化简得到． 【详解】解：设 则 ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质． 7．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是逐步把代入所求式子进行化简求值． 8．已知，且，则 ． 【答案】． 【分析】利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案是：． 【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算． 9．化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先化简，再代入代数式计算即可； （）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴原式 ， ， ； （2）解：∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ∴原式 ， ． 10．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案； （2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案； （3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案． 【详解】（1）因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：； （2） 因为且， ， ， ； （3）， ，， ， ， ． 拓展训练三：分母有理化综合 11．先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 【答案】C 【分析】此题考查了分母有理化，由题意得出规律，再根据得出的规律将原式化简即可得到结果． 【详解】解：∵；；， ∴得出规律， ∴ ， 故选：C． 12．计算： ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的计算，掌握二次根式运算法则以及分母有理化是解题的关键． 先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：9． 13．定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则 【答案】或 【分析】本题主要考查分母有理化与实数有关的新定义问题，需要注意分类讨论思想的运用．先根据分母有理化法则进行化简，再根据定义即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， 综上，的值为或． 故答案为：或． 14．在进行二次根式化简时，我们可以将进一步化简，如： === 则 ． 【答案】 【分析】先读懂阅读材料，再模仿材料中的方法解答即可． 【详解】 解：∵，…… ∴ ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的分母有理化，解题的关键是类比题目中的方法先化简各式，再整体运算． 15．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)________；_______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)12 (3)4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是要掌握二次根式的化简规则． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先利用得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： 拓展训练四：二次根式的新定义问题 16．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b=．若，则★的值为（    ） A．0 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据被开方数和完全平方式的非负性求得x，y的值，然后根据定义运算列式求解． 【详解】解：由，得 ∴， 解得：x=-2，y=2 由题意可得★= 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式和完全平方式的性质及二次根式的化简，掌握二次根式和完全平方式的非负性，理解题意正确计算是解题关键． 17．定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了新定义下的实数的运算，根据，求的算术平方根，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 18．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下：，例如．那么 ． 【答案】/ 【分析】根据新定义运算进行运算，即可求得． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，二次根式的性质，理解题意，正确进行运算是解决本题的关键． 19．对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程： （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）分和，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）当，即：时，则：，解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去）； 当，即：时，则：， ∴或（舍去）； ∴． 20．阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． (1)化简m，n； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法，是解题的关键． （1）根据分母有理化的方法，进行化简即可； （2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）原式 ． 拓展训练五：二次根式的几何应用 21．阅读材料：已知，为非负实数，∵，∴，当且仅当“”时，等号成立，这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (2)已知，则当_____时，代数式取到最小值，最小值为_____； (3)已知为任意实数，代数式的值为，求的最大值和最小值． 【答案】(1)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (2)4，3 (3)的最小值为，的最大值为 【分析】本题考查了二次根式的应用，利用完全平方公式变形求值，正确理解“均值不等式”是解题的关键． （1）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，则矩形的宽为米，那么得到，再运用“均值不等式”求解； （2）将变形为，再运用“均值不等式”求解； （3）当和时，原式变形为，然后对分母运用“均值不等式”即可求解，再讨论时代数式的值与和时的比较即可． 【详解】（1）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，周长有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴最小值为3， 故答案为：4，3； （3）解：， 当时，， ∵， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴当时，取得最大值为； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴当时，取得最小值为； 当时，，可知， 综上：的最小值为，的最大值为． 22．我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 【答案】(1)4， (2)y的最小值为 【分析】本题考查了二次根式和完全平方公式的应用，读懂题意，能熟练仿照示例是解题的关键． （1）根据示例，得到，即可求出x的值，得到最小值； （2）仿照示例，，得到最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当且仅当时，， 解得， ∴当时，的最小值为4，此时， 故答案为：4，； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，的最小值为， ∴y的最小值为． 23．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)2，， (2)阴影部分面积为； (3)不能截出；理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， 故答案为：2，，； （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， ∴长方形木板①的长为，宽为， ∴阴影部分面积为； （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 24．材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请解决下列问题： (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴___________． 根据海伦公式可得：___________． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】(1)9， (2) 【分析】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接代入求解即可； （2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：∵，，， ∴，，， ∴ ． 25．某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长）． 材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 请你用适合的公式解决问题． (1)三角形的三边长为，，，则面积为 ； (2)如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查二次根式的应用，勾股定理，关键是根据三角形的面积公式解答． （1）根据秦九韶公式即可得到结论； （2）根据勾股定理求出，再由秦九韶公式，二次根式的计算解答即可． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：连接， 四边形中，，，， ， 的面积， ， 的面积， 四边形的面积为． 1．如图所示是某同学写的推理过程，其中开始错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 直接根据乘方、二次根式的性质逐步分析即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即③出现错误． 故选：C． 2．下列变形正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据二次根式的性质进行化简判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、的被开方数为负数，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确； 故选：D． 3．若的小数部分是，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合运算， 先确定与的小数部分相同，即，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴与的小数部分相同，即， ∴． 故选：D． 4．已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性运算出的值，代入中求出的值，再一起代入运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，解得：， ∴， ∴把代入可得：， ∴， 故选：C． 5．如图，、分别是的高线、中线，，，．则长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线，高线，直角三角形的性质，勾股定理，先根据三角形高的定义结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，利用直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半得到，再利用勾股定理求出，进而得到，求出，最后利用中线的定义求出，由即可求解． 【详解】解：∵是的高线， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 故选：B． 6．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是被开方数大于等于0，二次根式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解；∵有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 7．已知二次根式的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确计算是解题的关键．先化简二次根式，再根据题意求出的最小值即可． 【详解】解：， 二次根式的值是正整数，其中为整数， 的最小值为3， 故答案为：3． 8．设，其中为正整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数式规律问题，二次根式的性质，有理数的加减混合运算，将分数裂项，再寻找抵消规律是解题关键． 先求出、、的值，代入原式，利用二次根式和进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：，， …… ， ． 故答案为：． 9．如图，在中，D、分别是、的中点，已知，，．则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解二元二次方程组．设，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出，，解方程组可求得、，再利用三角形面积公式结合三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：设，，， 在中，， 在中，， 即， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 10．观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查数式规律探究，总结归纳出数式变化规律是解题的关键． 通过观察，归纳总结出规律为，再把代入即可求解． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， … 第n个等式∶ 当时，． 故答案为： 11．已知，当分别取，，，……，时，所对应值的总和是 . 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．先化简二次根式求出的表达式，再将的取值依次代入，然后求和即可得． 【详解】解：， 当时，， 当时，， 则所求的总和为： 故答案为：． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，混合运算； （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 13．定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)；；④ (2)是；理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算和加减运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与是关于3的“实验数”； （2）根据进行计算，计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的“实验数”； ∵， ∴与是关于的“实验数”，即； ∵， ∴， ∴表示的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ， ∴与是关于的“实验数”． 14．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化；先根据分式的混合运算进行计算，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 15．【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_________； (2)已知：，则_______； (3)计算：________ 【答案】(1) (2)2 (3)9 【分析】本题考查了分母有理化的应用，能正确变形是解此题的关键． （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可； （2）根据题干中的步骤进行计算即可； （2）结合题干的方法进行分母有理化，再合并即可得结果． 【详解】（1）； （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∴； （3）根据题意得， ． 16．阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵ ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (4)如图，四边形的对角线，相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)2 (2)当时，有最小值，为8 (3)当时，有最小值，为4 (4)25 【分析】本题考查了配方法在二次根式，分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可； （2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式计算的形式，计算即可； （3）将原式变形为，可利用公式计算的形式，计算即可； （4）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴的最小值为 2 ； （2）解：∵， ， 而， 当时，即时，等号成立， ∴， ∴当时，有最小值，为8 ． （3）解：∵， ， 而， 当时，即时，等号成立， ∴， ∴当时，有最小值，为4． （4）解：设， ∵与同高，与同高， ， 由题知， ， ， ， ， ， ∴四边形面积的最小值为 25 ， 故答案为：25 ． 17．我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵ ， ， ∴， ∴． (2)如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】(1)18， 10 (2)①直角三角形，理由见解析；② 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和三角形的三边关系是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则进行运算； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②根据三角形的三边关系求解． 【详解】（1）解：∵， ， 故答案为：18，10； （2）①为直角三角形；理由： ∵， ∴为直角三角形； ② ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 （5知识点+10大考点+拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 二次根式的相关概念 1.二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 2.二次根式有意义的条件 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 知识点 2 二次根式的性质 二次根式的性质 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 知识点 3 二次根式的化简 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 知识点 4 二次根式的混合运算 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3.最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 4.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 5.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 知识点 5 分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 考点一：二次根式的相关概念 例1．下列式子，一定是二次根式的共有（    ） ，1，，，， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1-1】下列式子中，一定是二次根式的为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 【变式1-3】已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【变式1-4】已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 考点二：二次根式有意义的条件 例2．已知a，b为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2-1】已知，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式2-2】已知实数a满足，那么的值是 ． 【变式2-3】已知，则a的值为 ． 【变式2-4】已知a、b满足，求的平方根． 考点三：二次根式的化简 例3．化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，则计算 ． 【变式3-3】已知、满足，则 ． 【变式3-4】我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值； （4）已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】（5）已知的三边长、、满足，求的周长． 考点四：二次根式的混合运算 例4．化简计算： (1) (2) 【变式4-1】计算： (1) (2) 【变式4-2】计算： (1)； (2)． 【变式4-3】计算： (1)； (2)． 【变式4-4】配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，求的值； (3)已知：，，，求的值． 考点五：最简二次根式 例5．下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【变式5-2】将根式，，，，中是最简二次根式的填在横线上 ． 【变式5-3】下列二次根式中：①；②；③；④，是最简二次根式的是 （填序号）． 【变式5-4】化简： (1) (2) (3) (4)． 考点六：同类二次根式 例6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式6-3】最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【变式6-4】若最简二次根式与可以合并． (1)求的值； (2)对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．请求※[※（－2）]的值． 考点七：分母有理化 例7．把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知，，，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【变式7-3】阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得 ； （2）关于的方程的解是 ． 【变式7-4】小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ． ， ． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： (1)①化简___________． ②当时，求的值． (2)已知，求的值． 考点八：已知字母的值化简求值 例8．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知，，则代数式的值为(     ) A．9 B．±3 C．3 D． 【变式8-2】已知，，则 ． 【变式8-3】已知，则代数式的值为 ． 【变式8-4】已知，，求代数式的值： (1)； (2) ． 考点九：比较二次根式的大小 例9．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 【变式9-2】比较大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”号）． 【变式9-3】比较大小（填“<”、“大于”或“=”）： ． 【变式9-4】已知，． (1)比较a，b的大小，并写出比较过程； (2)求代数式的值． 考点十：二次根式的应用 例10．如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为（    ） A．4 B． C．9 D． 【变式10-1】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为．从高空抛物到落地所需时间为，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【变式10-2】如图，将长、宽的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为 ． 【变式10-3】如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么 ， ，两个长方形的面积和 ．    【变式10-4】我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．根据上述知识，解决下列问题． (1)如图，中，，，，请利用上述公式求的面积； (2)在（1）的条件下，作于点D，求，的长． 拓展训练一：复合二次根式的化简问题 1．观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 2．化简 ． 3．已知，那么的值等于 ． 4．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 5．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 拓展训练二：二次根式的混合运算综合 6．化简 ． 7．已知，则的值为 ． 8．已知，且，则 ． 9．化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 10．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 拓展训练三：分母有理化综合 11．先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 12．计算： ． 13．定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则 14．在进行二次根式化简时，我们可以将进一步化简，如： === 则 ． 15．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)________；_______； (2)化简：； (3)若，求的值． 拓展训练四：二次根式的新定义问题 16．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b=．若，则★的值为（    ） A．0 B． C． D．5 17．定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 18．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下：，例如．那么 ． 19．对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)若，求x的值． 20．阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． (1)化简m，n； (2)求的值． 拓展训练五：二次根式的几何应用 21．阅读材料：已知，为非负实数，∵，∴，当且仅当“”时，等号成立，这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (2)已知，则当_____时，代数式取到最小值，最小值为_____； (3)已知为任意实数，代数式的值为，求的最大值和最小值． 22．我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 23．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 24．材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请解决下列问题： (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴___________． 根据海伦公式可得：___________． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 25．某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长）． 材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 请你用适合的公式解决问题． (1)三角形的三边长为，，，则面积为 ； (2)如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 1．如图所示是某同学写的推理过程，其中开始错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．下列变形正确的是（      ） A． B． C． D． 3．若的小数部分是，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 4．已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，、分别是的高线、中线，，，．则长为（   ） A． B． C． D．1 6．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 7．已知二次根式的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为 ． 8．设，其中为正整数，则的值为 ． 9．如图，在中，D、分别是、的中点，已知，，．则的面积为 ． 10．观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ． 11．已知，当分别取，，，……，时，所对应值的总和是 . 12．计算： (1)； (2)． 13．定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 14．先化简，再求值：，其中，． 15．【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_________； (2)已知：，则_______； (3)计算：________ 16．阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵ ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (4)如图，四边形的对角线，相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 17．我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵ ， ， ∴， ∴． (2)如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$