精品解析：福建省永春第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

福建省永春第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 （2025.5） 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 已知向量，，满足，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 或2 3. 某地为促进消费，向当地市民随机发放了面值10元、20元、50元的线下消费满减电子券，每位市民可以领取一张，且每笔消费仅能使用一张.某支持使用该消费券的大型商场统计到某日使用了10元、20元、50元消费券的消费账单的数量之比为5∶3∶2，若对这些账单用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取一个容量为50的样本，则样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 4. 下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（ ） A. B. C D. 5. 有下列命题，其中错误命题个数是（ ） ①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足平面MNP的是（ ） A. B. C. D. 7. 某中学的学生社团准备进行一次针对本校学生在食堂加塞插队行为的调查，为了消除被调查者的顾虑，使他们能如实作答，学生社团精心设计了一份问卷： 在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选“是”或“否”；如果得到反面，请按照问题二勾选“是”或“否” （友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果．） 问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗？问题二：您是否有在食堂加塞插队的行为？ “是” “否” 学生社团随机选取了400名学生进行问卷调查，问卷全部被收回，且有效．已知问卷中有115张勾选“是”．根据上述的调查结果，估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（ ）. A. . B. . C. . D. . 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A. 的虚部为i B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程的一个根 10. 甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则（ ） A. 甲得分的极差大于乙得分的极差 B. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 11. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥．设，点E，F分别为棱，的中点．下列说法正确的是（ ）． A. 若平面与平面交于直线l，则平面 B. 当三棱锥体积取得最大值时，与平面成角的正切值为 C. 存在某个位置，使 D. 若M为线段上的动点，当时，的最小值为4 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角满足，则________． 13. 垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源一系列活动的总称．垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．为进一步在社会上普及垃圾分类知识，某中学学生积极到社会上举行垃圾分类的公益讲座，该校学生会为了解本校高一年级1000名学生课余时间参加公益讲座的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下： 参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7 参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% 12% 4% 2% 下列估计该校高一学生参加公益讲座的情况正确的是______． （1）参加公益讲座次数是3场的学生约为360人； （2）参加公益讲座次数2场和4场学生约为480人； （3）参加公益讲座次数不高于2场的学生约为280人； （4）参加公益讲座次数不低于4场的学生约为360人． 14. 已知正三棱锥，底面边长为，二面角的正切值为，则正三棱锥的外接球半径为_____，分别为正三棱锥内切球，外接球球面上的动点，则线段长度的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 16. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，求面积S的取值范围． 17. 云南师大附中在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； （2）学校要求按照分数从高到低选拔首100名的学生进行培训，试估计这100名学生的最低分数（计算结果保留一位小数）； （3）试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为63分和86分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）． 18. 如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. （1）求证：平面平面ABC. （2）求四面体ACMN的体积. （3）若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 19. 已知集合（）.对于，，定义；（）；与之间的距离为． （Ⅰ）当时，设，．若，求； （Ⅱ）（ⅰ）证明：若，且，使，则； （ⅱ）设，且．是否一定，使？说明理由； （Ⅲ）记．若，，且，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省永春第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 （2025.5） 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义以及复数的几何意义即可求得结果. 【详解】因为，所以，其对应的点坐标为； 因此复数z对应的点位于第三象限． 故选：C 2. 已知向量，，满足，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量坐标的线性运算即可得的坐标，再根据数量积的坐标运算列方程即可得的值. 【详解】由于， 所以， 则或. 故选：C． 3. 某地为促进消费，向当地市民随机发放了面值10元、20元、50元的线下消费满减电子券，每位市民可以领取一张，且每笔消费仅能使用一张.某支持使用该消费券的大型商场统计到某日使用了10元、20元、50元消费券的消费账单的数量之比为5∶3∶2，若对这些账单用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取一个容量为50的样本，则样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样特点，利用抽样比计算即可. 【详解】样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为. 故选：B. 4. 下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数一般用每组数据的中点值乘以频率再求和来计算，再对照各个选项的图形分析，即可求解. 【详解】根据拖尾效应，对于选项A和B，根据频率分布直方图关于中线对称，所以平均数等于中位数，所以A和B错误； 对于选项C，根据频率分布直方图左拖尾，易得平均数小于中位数，所以C错误； 对于选项D，根据频率分布直方图右拖尾，易得平均数大于中位数，所以D正确． 故选：D. 5. 有下列命题，其中错误命题个数是（ ） ①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由圆柱、圆锥的结构特征逐一分析四个命题得结论． 【详解】解：①圆柱是将矩形以一边为轴旋转一周所得的几何体，故①错误； ②过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故②正确； ③以直角三角形一直角边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥，故③错误； ④平行于母线的平面截圆锥，截面不是等腰三角形，是抛物线，故④错误． 其中错误命题个数为3． 故选：C． 6. 下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足平面MNP的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由与平面MNP相交，判断A；由，结合不在平面判断B；由线面平行的判定判断C；由中位线定理判断D. 【详解】对于A：连接，由图可知，与平面相交，故不满足平面，故A错误； 对于B：如图所示，分别是所在棱的中点，连接 则平面MNP和平面为同一平面，因为， 因为与平面相交，所以不满足平面，故B错误； 对于C：连接，交与点，连接，因为，分别为中点， 所以，由线面平行的判定定理可知，平面，故C正确； 对于D：分别是所在棱的中点，连接，， 平面与平面为同一平面， 取的中点为，连接，由中位线定理可知，， 因为与平面相交，所以不满足平面，故D错误； 故选：C 7. 某中学的学生社团准备进行一次针对本校学生在食堂加塞插队行为的调查，为了消除被调查者的顾虑，使他们能如实作答，学生社团精心设计了一份问卷： 在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选“是”或“否”；如果得到反面，请按照问题二勾选“是”或“否” （友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果．） 问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗？问题二：您是否有在食堂加塞插队的行为？ “是” “否” 学生社团随机选取了400名学生进行问卷调查，问卷全部被收回，且有效．已知问卷中有115张勾选“是”．根据上述的调查结果，估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出回答第一个问题和回答第二个问题勾选“是”的人数，再利用古典概率公式求得答案. 【详解】依题意，抛掷一枚硬币，得到正面或反面是等可能的， 则回答第一个问题的人数为人，回答第二个问题的人数为人， 又身份证号码最后一个数是否为奇数是等可能的，则回答第一个问题选择是的人数为， 因此回答第二个问题选择是的人数为人， 所以估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为. 故选：A 8. 已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（ ）. A. . B. . C. . D. . 【答案】B 【解析】 【分析】用的方向向量坐标表示出的最小值，从而求出. 【详解】设点在原点 . 向量 ，因为且沿 轴， 向量  ，且 ， 角平分线的方向向量是 和 的单位向量的和： ，，所以角平分线方向向量为 ， ， 所以方向的单位向量为：， 设，则， ​​.，， ， ， 这是一个关于的二次函数.当，最小. 此时. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A. 的虚部为i B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程的一个根 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算化简得，求出对应点的坐标判断C，求出共轭复数及虚部判断A，代入方程求解判断D，求出后求模长判断B. 【详解】，对应点为在第二象限，故C对； 又，虚部为，故A错， ，故B错； ，故为方程的一个根，D对. 故选：CD 10. 甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则（ ） A. 甲得分的极差大于乙得分的极差 B. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分方差大于乙得分的方差 【答案】BC 【解析】 【分析】将甲乙得分由低到高排列，再按照极差、平均数、中位数、方差的定义计算即可. 【详解】甲场比赛得分由低到高分别为， 乙场比赛得分由低到高分别为， 则甲的极差为，乙的极差为， 故甲得分的极差小于乙得分的极差，故A错误； 甲的平均数，乙的平均数， 则甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故B正确； 甲的中位数为，乙的中位数为， 则甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确； 甲的方差， 乙的方差， 故甲得分的方差小于乙得分的方差，故D错误. 故选：BC 11. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥．设，点E，F分别为棱，的中点．下列说法正确的是（ ）． A. 若平面与平面交于直线l，则平面 B. 当三棱锥体积取得最大值时，与平面成角的正切值为 C. 存在某个位置，使 D. 若M为线段上的动点，当时，的最小值为4 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线面平行的判定和三棱锥体积公式以及线面垂直证明线线垂直和转化共面求最值问题结合余弦定理即可求解. 【详解】 连接，因为点E,F分别为BC，BD中点， 所以， 因为 所以 因为l是平面AEF和平面ACD的交线， 所以,又平面，平面， 所以平面， 故选项A正确； 当三棱锥体积取得最大值时，平面平面， 因为，平面平面平面， 所以平面， 所以与平面成角为， ， 所以与平面成角的正切值为， 故选项B正确； 若AC， 又因为，，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 所以是以为斜边的直角三角形， 而， 所以，这与CD为最长边矛盾， 故选项C错误； 对于 D：当 时, 因为 为 的中点, 所以 , 则 , 又因 为 的中点， 所以 又 ， 所以 ， 所以 , 如图将 沿 旋转，得到 ， 使其与 在同一平面内且 在 内， 则当 三点共线时， 最小， 即 的最小值为 ， 在Rt 中， 则, 所以在 中，由余弦定理得 所以 的最小值为 ，故D 错误， 故选: AB. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用和角的正切公式计算得解. 【详解】由，得. 故答案为： 13. 垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．为进一步在社会上普及垃圾分类知识，某中学学生积极到社会上举行垃圾分类的公益讲座，该校学生会为了解本校高一年级1000名学生课余时间参加公益讲座的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下： 参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7 参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% 12% 4% 2% 下列估计该校高一学生参加公益讲座的情况正确的是______． （1）参加公益讲座次数是3场的学生约为360人； （2）参加公益讲座次数2场和4场的学生约为480人； （3）参加公益讲座次数不高于2场的学生约为280人； （4）参加公益讲座次数不低于4场的学生约为360人． 【答案】（4） 【解析】 【分析】根据列表中参加人数占调查人数的百分比，可估算出参加任意场数的人数，依次逐一判断即可. 【详解】估计该校高一学生参加公益讲座次数是3场的学生约为（人），故（1）错误； 参加公益讲座次数2场和4场的学生约为（人），故（2）错误； 参加公益讲座次数不高于2场的学生约为（人），故（3）错误； 参加公益讲座次数不低于4场的学生约为（人），故（4）正确. 故答案为：（4）. 14. 已知正三棱锥，底面边长为，二面角的正切值为，则正三棱锥的外接球半径为_____，分别为正三棱锥内切球，外接球球面上的动点，则线段长度的最大值为_____． 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】过作面，利用正三棱锥的性质，知是的中心，再利用几何关系和条件，可得，由正三棱锥的性质知外接球球心在上，再利用勾股定理，即可求出外接球的半径，再利用等体积法，求出内切球的半径，根据条件转化成求两球心距和内切球、外接球半径之和，即可求解. 【详解】如图，过作面，因为是正三棱锥，则是的中心， 连接并延长交于，则是的中点，连接， 因为，，所以为二面角的平面角， 又，是中心，则，， 在中，由，得到， 因为是正三棱锥，则的外接球球心在上，设球心为，半径为，连接， 如图，由，得到，解得. 因为，所以， 则，又，， 设正三棱锥内切球的圆心为，半径为，易知在上， 由，得到，所以， 又，， 则线段长度的最大值为， 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 16. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，求的面积S的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换将式子变形即可求解； （2）由正弦定理可得，根据面积公式结合角的范围即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 所以，所以，因为为锐角三角形，所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 由正弦定理得， 所以， 所以， 由可得，所以，所以， 所以，即. 17. 云南师大附中在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； （2）学校要求按照分数从高到低选拔首100名的学生进行培训，试估计这100名学生的最低分数（计算结果保留一位小数）； （3）试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为63分和86分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）． 【答案】（1） （2） （3）；答案见详解 【解析】 【分析】（1）先由各组的频率和为1，求出，然后利用平均数的定义可求出， （2）先求出这100名学生的最低分数就是该次校内测试分数的分位数，然后利用百分位的定义求解即可， （3）先利用方差公式求出方差后再判断即可 【小问1详解】 ，所以， 所以该次校内考试测试分数的平均数的估计值为： 分. 【小问2详解】 因为， 设这100名学生的最低分数为， 则，解得 所以这100名学生最低分数的估计值为分. 【小问3详解】 ， ， 故得分为63分的同学的成绩没有进入到内， 得分为86分的同学的成绩进入到了内. 即：得分为63分的同学的成绩没有进入到范围， 得分为86分的同学的成绩进入到范围了. 18. 如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. （1）求证：平面平面ABC. （2）求四面体ACMN的体积. （3）若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 【答案】（1）证明见解析 （2）. （3）存在，，证明见解析 【解析】 【分析】（1）易证平面ABC，平面ABC，再利用面面平行判定定理证明； （2）由求解； （3）取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF，得到，，取CB的四等分点G，使，得到，，从而四边形DFGE是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明. 【小问1详解】 证明：因为M，N分别是OB，OC的中点，所以， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，同理得平面ABC， 又平面PMN，平面PMN，， 所以平面平面ABC. 【小问2详解】 如图所示： 设圆锥的底面圆半径为r，则，解得. 所以在图中，B，C为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以. ，圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体ACMN的体积为. 【小问3详解】 如图所示： 在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC， 理由如下： 取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF， 所以，. 取CB的四等分点G，使，连接GE，FG. 因为，所以，， 所以，，所以四边形DFGE是平行四边形， 所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC. 19. 已知集合（）.对于，，定义；（）；与之间的距离为． （Ⅰ）当时，设，．若，求； （Ⅱ）（ⅰ）证明：若，且，使，则； （ⅱ）设，且．是否一定，使？说明理由； （Ⅲ）记．若，，且，求的最大值． 【答案】（Ⅰ），或．（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）不存在，使得．见解析（Ⅲ）的最大值为． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知的新定义，代值计算即可； （Ⅱ）（ⅰ）由已知新定义，可将已知转化为，使得，其中，所以与同为非负数或同为负数，进而由与绝对值的性质即可得证； （ⅱ）举特例取，，，即可说明不存在； （Ⅲ）由绝对值的性质对，都有，则所求式子． 【详解】（Ⅰ）当时，由， 得 ，即 ． 由 ，得 ，或． （Ⅱ）（ⅰ）证明：设，，． 因为 ，使 ， 所以 ，使得 ， 即 ，使得 ，其中． 所以 与同为非负数或同为负数． 所以 ． （ⅱ）设，且，此时不一定，使得 ． 反例如下：取，，， 则 ，，，显然． 因为，， 所以不存在，使得． （Ⅲ）解法一：因为 ， 设中有项为非负数，项为负数．不妨设时；时，． 所以 因为 ， 所以 ， 整理得 ． 所以 ． 因为 ； 又 ， 所以 ． 即 ． 对于 ，，有 ，，且，． 综上，的最大值为． 解法二：首先证明如下引理：设，则有 ． 证明：因为 ，， 所以 ， 即 ． 所以 ． 上式等号成立的条件为，或，所以 ． 对于 ，，有 ，，且，． 综上，的最大值为． 【点睛】本题考查向量与绝对值求和的新定义问题，还考查了绝对值的性质的应用，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$