核心素养综合测评卷(二)-【数理报期末复习】2024-2025学年高一数学必修第二册升级突破（人教A版2019）

数理极 参 考答案 21 8×4=16. 提示： 取OC的中点P,取CD的 18.解：(1)存在如图3所示 连接AC,BP.设AC交BP于点F 1依题意可得-1=0， 中点Q,连接EP,EQ,PQ, la+1≠0， 所以PQ∥OD,EP∥OB 因为CP∥AB,且CP=AB, 解得a=, 所以AC⊥EP,AC⊥PQ 2.从随机数表的第1行第5列开始从左至右依次选 又EP n PO=P,EP,PQ 答·紧 取两个数字， C平面EPQ, 则选取的个体编号依次为08,02,14,07,01,04（重 所以AC⊥平面EPQ. 取C靠近点G的三等分点公.侣·青 复和不在01~20内的端号别除)，第6个缩号为04 所以在三棱推B'-ACD表面上，满足AC⊥EF的点 3.因为a=(1,3),b=(22), 连接EF,PE,BE,则EF∥AD F轨迹为△EPQ(除E外)， 所以a+b■(3,5)，a-b=(-1,1). 又EFC平面PBE,AD文平面PBE. 所以eom(a+b,a-)=a+:a-b 因为EP=0B,PN=D,E0=BD. 所以AD∥平面PBE l a b l l a bl 故存在满足条件的点E,且E是线段DG上靠近点C -3+5 所以△EP0的周长为号×(，6-2+2+2)： 的三等分点， 高得 4+6-迈 (2)易知AP=BP=2,AB=2, 4.记五人分别为1,2,3，甲，乙. 2 所以AP+BP=AB,所以AP⊥BP 任选两人有(1,2)，(1.3)，(1，甲)，(1，乙)，(2,3) 所以点F轨迹的长度为4+石-区 又平面ADP⊥平面ABCP.平面ADPn平面ABCP(2,甲)，(2，乙)，(3.甲)，(3，乙)，（甲，乙），共10个样 =AP,BPC平面ABCP, 本点， 二、多项选择避 所以BP⊥平面ADP 其中甲、乙均未入选的情况有(1.2).(1,3).(23). 9.AC:10.CD:11.ABD. 因为DPC平面ADP,所以BP⊥DP. 共3个样本点， 提示： 所以BD2=DP2+BP=1+2=3. 则甲，乙均未人选的概率为品=03 9因为B=号a+6=原， 在△ADB中，因为AB=AT+BD,所以AD⊥DB 所以甲，乙至少有一人人选的概率为1-0.3=0.7. 所以(g+e)2=g3+e2+2e=36, ① 又PD⊥AD,PDC平面ADP.BDC平面ADB,平面 5.如图1. ADPO平面ADB=AD, 由愿意得AE⊥BC 由余装定理可得d+d-2aeo号=从， 所以∠PDB即为二面角P-AD-B的平面角. 所以正，成=0， 联立①②可得2a2-5ac+2c2=0, 在△Pm中，P-方·是 则.配=(A+E·BC 即2(）-5(）+2=0， 所以二面角P-4D-B的平面角的余装值为 =正，配+E序，配=D呢，配= 解得：-2成兰：号 19.解：(1)记事件A,B,分别表示元件A,B正常工作， 子花（花-商=分衣-分，店=子花 故选(A)(G). 则PA)=号P(B)=子， 10对A).设：2 事件E表示G正常工作，由元件A,B工作是相互独 6.由题可知，球形冰块内切于 立的， 高脚杯圆锥，圆推轴做面正三角形 P代=P代AB)=P4)PR)=子×号= 所以了■年+c, 48 是球面大圆的外切三角形，如图2， 作0D⊥AC,垂足为D, 因为c≠0，所以了，所以(A)错误： (2)设方案一二三正常工作的率分别为P,P,P 则球的半径r=OD=4cm, 对于B),因为为=x+c(i=1,2,…,n), 设新增的两个元件为元件C,D, 此时01=2,8cm,水面半 所以，…水的中位数是，名…，x,的中位数 记件6么分到表示新增的两个元件正微工作。径R=0心=8xm0=8(✉m 加c,所以(B)错误： 则P(C)=P(D》= 设加人小球后水面以下的体积为”，原来水的体积 对于(C),设=2任-居=2 事件A,.B,C,D,分别表示元件A,B.C,D不正常 工作， 为人，球的体积为所以水的体积为V=”一= 所以店2国*e习别， 由于四个元件工作相互轨立. 所以=，所以两组数据的方差相同，从而这两组 则P,=P[(AUC,UD,)B,J ()×8-子×4. 数据的标准差相问，所以(C)正确： =P(A,UG,UD)P(B】 7.由题知两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色 对于(D),设《<…<。，则第一组数据的极 =[1-P(A,CD)]P(B) 若第一次取球甲，乙机取红球概率为5×之=子、 差为x。一， =[1-P(A,)P(C,)P(D)]P(B) 则第一次取球后甲的袋子中有3个红球和2个白 设，<为<…<y。,则第二组数据的极差为y。- 球，乙的袋子中有1个红球和2个白球， =(。+c)-(+e)=x。-x, 所以B=-青×1-p]×号 第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为 所以两组数据的极差相同，所以(D)正确 专-p 故选(C)(D). 11.如图4所示 同理得：A=子×[1-号1-p)门 故第一次取球甲，乙都取到红球且两次取球后，甲 对于(A),记正六边形 7 ABCDEF的中心为点O,由正棱 =号--p 的袋子中有6个球的服事为好×石·司 锥的几何性质可得P0⊥宝面 同理，第一次取球甲，乙都取到白球且两次取球后， ABCDEF. B=-1-pm]x[-1-p)] 甲的袋子中有6个球的概率为品 易知△A0B是边长为2的等 边三角形， =3p+2)p+4), 故所束概率为品+石·品 则SE大山ae 义因为0.8≤p<1, 8.如图3，连接AC,BD,交于点0，连接OB, 则A-月=后1->0， ABCD为菱形，∠ABC=120°， =6Sm=6x4x2=65 所以AC⊥BD,OB°⊥AC,OD⊥AC, 所以∠B'OD为二面角B-AC-D的平面角 -ag=子>Ear·P0=3X65×Pm A-A=-2+=(-5p+2)<0 于是∠B0D=30°， =23·P0=43. 所以选择方案三可以使部件G正常工作的概率最大 又因为0B=0D=4B=2. 所以P0=2,故0P=0A=0B=0C=0D=0E =OF=2,故O为正六棱锥P-ABCDEF的外接球球心. 高中数学必修第二册核心素养综合测评卷（二】 所以B'D=√OB+0D-20B·ODu%30 且该球的半径为2，因此P-ABCDEF的外接球的表面积 一、单项选择题 V22-2x2x2号6-， 为4T×2=16m,(A)对： I-4 CBBD 5-8 BAAA 对于(B),因为AB=AF=0B=0F=2. 22 参考答案 数理极 四边形ABOF为菱形， 所以正方体的棱长为2+22， B2,B, 所以AB∥OF,即AB∥CF 则00，=1+2,0,42=(1+2)2+1， 则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有10种： 因为AB丈平面PCF,CFC平面PCF,所以AB∥平 设该战角立方体的外接球的半径为R, AA:A B AB:A.B:A.B A:BA:B BB:BBBB. 面PGF, 则R■0A2■0+0，A2 中质量均小于2000克的仅有A,4,这1种情况： 因为ABC平面a,平面a《O平面PCF=MN,所以 =(1+2)2+(1+2)+1=7+42, AB∥MN,(B)对： 故所求概率为。 对于(G),因为PO⊥平面ABCDEF.BEC平面 所以外接球的表面积S=4aR=(28+162)π， (2)由题中频率分布直方图可知，蜜柚质量在区问 ARCDEF.则BE⊥PO, 四、解答题 [1500,1750)内的频率为250×0.0004=0.1， 若BE⊥CN.因为PO.CN是平面PCF内的两条相交 l5.解：(1)AB=2a+b=(4,1),BC=a+mb= 同理，蜜柚质量在区间[1750,2000)，[2000， 直线，则BE⊥平面PCF, (2m+1,m）, 2250).[2250,2500).[2500,2750),[2750,3000]内 因为CFC平面PCF,则BE⊥CF 因为A,B,C三点共线，所以A店∥BC 的顾率依次为0.1.0.15.0.4.0.2,0.05 半实上，∠BOC=60°，即直线BE,CF所成角为60°， 即BE,CF不垂直， 所以4m-(2m+）=0,解得m=宁 按方案A收购：由题意知各区间的蜜柚个数依次为 500.500,750.2000,1000,250, 故假设不成立，《C)错： (2)a-b=(k-2.-1).a+2h=(5.2). 对于(D),因为P0⊥平面ABCDEF,OAC平面 若a-b与4+2b共线， 所以总收益为(501750×50+750+200 2 ABCDEF,则PO⊥OA, 则2(k-2)+5=0,解得k= ×50+200042250×750+22504250×200+ 所以PA=√PT+0F=√22+2=2，互， 2 16.(1)证明：如图7，连接AE, 设∠APB=8.在△PAB中PA=PB=22,AB=2. 因为四边形ABED是正方形 250,27530x1000+2750+300x250）×10÷1000 2 2 由余弦定理可得8：四P哈。且F是D的中点， 2PA·PB =114375(元). 所以F也是AE的中点 8生及g=子则日为悦角， 按方案B收购：由域忽知蜜抽质量低于2250克的个 因为G是EC的中点： 2×8 所以GF∥AG 数为(0.1+0.1+0.5)×5000=1750. 因为GFd平面ABC,AGC平面ABC 蜜抽质量高于或等干2250克的个数为5000-1750 所以GF∥平面ABC =3250. 所以sin29=2 sin dcos0=2× (2)解：由(1》可知GF∥AC 所以总收益为1750×15+3250×20=91250（元）. 闻以∠DCA(或其补角)是异面直线GF与CD的夹角 因为91250<114375， m2=2o0-1=2x()-1=g 因为AD⊥平面ABC,ACC平面ABC, 所以方案A的收益比方案B的收旅高，应该选择方 所以AD⊥AC 所以s30=s(20+)=os2k0s0-sin2in8 案A 因为AB■2AC,四边形ABED是正方形. 9 19.(1)证明：依题意.A4'∥BB 所以AD=2AC. 故A.A”,B,B共面 将平面PAB,平面PBC,平面 令AC=1,则AD=2,CD=+2=5, 因为面ABCD∥面a,面ABCD面A4'BB=AB, PCD延展成一个平而.如图5 面A4'BB∩面a=A'B, 所示 所以mC-%- 所以AB∥A'B,同理CD∥CD, 在△PAD中，PA=PD= 所以异面直线6F与cD夹角的余弦信为号 又平行四边形ABCD,则AB∥CD, 22.mLAPm-0 所以A'B∥C'D',同理A'D'∥B'C 7.解：)选择①：由eo(受-C）=3acoB得 所以四边形A'B矿CD)是平行四边形 由余弦定理可得 AD=√P2+PD-2PA·PDs∠APD bsin C =3ccoe B, (2)解：如图8，直线EF为平面ABCD与平面a的交线 由正弦定理可知ein Bsin C=√3 sin Ceoe B, =√8+8-2x8x()=5, 在△ABC中，B,Ce(0.m).所以imC≠0. 所以inB=3eosB. AC) 所以从点A沿正大棱锥侧面到点D的最短路径长为 5,(D)对. 即nB=万，所以B=号 故选(A)(B)(D). 选择②：由2Sr=万，C得2×子sinB= (3)解：猜想：B= 三、填空题 216:B号：14(28+16,2)= 不妨将平行四边形ABCD平移，使C与C重合，如图9 3cacos B. 所示 提示： 即sinB=3csB, 则面ABCD与面a的交线I即为CF 12,将840名学生的成绩按照由小到大的序排列， 所以anB=万， 过点A作AM⊥CF于点M,连接A'M,过点B作BN 85分为80%分位数，则成情小干或等干85分的学生人 数至少占80%，且成绩大于或等于85分的学生人数至少 在△ABC中，Be(0,m,所以B=于 ⊥CF于点N,连接B"'N 由正投影，则AM'⊥面a,又CFC面，故AA'⊥CF 占20%，故成绩大于或等于85分的学生人数至少为840 (2)由(1)知B=号 又AM⊥CF,AMnA=A,AM,AM'C面A3MA', ×20%=168 3.由题意得d。(店+心=丹矿+号不 在△ABc中，由余弦定理得公=d+2-2ams号 则CF⊥面AMA', 而AMC面AMA',故CF上A'M,又AM⊥CF 因为.0.N三点共线 因为b=25 所以∠AA'是二面角A-1-A'的平面角8， 所以号+号=山 所以12=a2+e2-ae=(n+c)2-3r, 同理∠BNB'是二面角A-1-A'的平面角a 所以a+e-2=3ac≤3×(）， LB'N.CF Sr 所以a+c≤43. 所以cs&= BN B.CF 当且仅当a=e=2,存时，等号成立， 所以a+b+e≤63. 且eos=4'」 3u.c :要即0=2加=号时，等号成立 所以△ABC周长的最大值为6. AM w.cF 4.如图6，将该截角立方体补 18.解：(1)由题图可得蜜抽质量在区间[1750 全为正方体， 2000)和[2000,2250)内的数量之比为2：3， 由对性知，该截角立方体的 所以应分则在质量为[1750.2000)，[2000,2250】 外接球的球心即为正方体的中心， 内的蜜柚中抽取2个和3个， 28+S 因为该截角立方体的棱长 记抽取的质量在区间[1750.2000)内的蜜柚分别 为2. 为A,,A2,质量在区间I2000,2250)内的蜜抽分别为B, 所·即0:高中数学必修第二册 核心素养综合测评卷（二） ◎数理报社试题研究中心 第I卷选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 高 1.已知复数z=a2-1+(a+1)i,其中a∈R,i是虚数单位.若 z为纯虚数，则a= ( ) 数 (A)-1 (B)0 (C)1 (D)-1或1 2.总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下列随 机数表，从20个个体中选取6个的选取方法：从随机数表的第1行第 第 5列开始，从左至右依次选取两个数字（作为个体编号），则选出的第 册 6个个体编号是 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 49350807 36234869 A 6938 7481 版 (A)08 (B)04 (C)02 (D)01 核 3.已知向量a=(1,3),b=(2,2),则cosa+b,a-b〉= 素养综 ( (A)7 (B) 17 17 (C) 5 (D) 5 4.从甲、乙等五人中任选两人参加某公司的剪彩仪式，则甲、乙 卷 至少有一人入选的概率为 ( (A)0.3 (B)0.4 (C)0.6 (D)0.7 5.已知△ABC是边长为1的等边三角形，D,E分别是边AB,BC 的中点，连接DE并延长到点F,使得DE=EF,则A,BC= ()-4 (B) (c)2 (D)1 6.在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰 块降温，如图1是一个高脚杯，它的轴截面是正三角 形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个 半径为4cm的球形冰块后，冰块没有开始融化前水 面所在的平面恰好经过冰块的球心O(水没有溢 出)，则原来高脚杯内水的体积是 ( 图1 (A)128cm 9 32cm (B) (C)19=en (D)em 7.甲、乙两人各有一个袋子，且每人的袋子中均装有除颜色外 其他完全相同的2个红球和2个白球，每人从各自袋子中随机取出 一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放人甲的袋 子中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放人乙的袋子 中.则两次取球后，甲的袋子中恰有6个球的概率是 () (A品 (®)S 8.如图2，在边长为4的菱形ABCD中， ∠ABC=120°.将菱形沿对角线AC折叠成大 小为30°的二面角B'-AC-D.若点E为B'C 的中点，F为三棱锥B'-ACD表面上的动点， 且总满足AC⊥EF,则点F轨迹的长度为 图2 ( (A)4+6-2 (B)4+6+2 2 2 (C)4+6-2 (D)4+6+2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足B= a+e=3b,则g= T (A)2 (B)3 D号 10.有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据 y1,y2,…,ym,其中y:=x:+c(i=1,2,…,n),c为非零常数，则 (A)两组样本数据的样本平均数相同 (B)两组样本数据的样本中位数相同 (C)两组样本数据的样本标准差相同 (D)两组样本数据的样本极差相同 11.已知正六棱锥P-ABCDEF的底面边长为2，体积为4√3，过 AB的平面与PC,PF分别交于点M,N.则下列说法正确的有 (A)P-ABCDEF的外接球的表面积为16π (B)AB∥MN (C)BE⊥CW (D)从点A沿正六棱锥侧面到点D的最短路径长为5 第Ⅱ卷非选择题（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.高一年级共840名同学参加了数学单元测验，已知所有学生 成绩的80%分位数是85分，则至少有 名学生的成绩大于或 等于85分 13.如图3所示，在△ABC中，0是BC的中点，过点0的直线分 别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nA(m, n>0),则+4的最小值为 m 高中数学·必修第一 图3 图4 14.在几何学中，截角立方体是一种十四面体，由八个正三角形 册 与六个正八边形组成，共有14个面，24个顶点以及36条边，是一种 阿基米德立体，属于半正多面体.如图4是一个所有棱长均为2的截 (人教 角立方体，则该截角立方体的外接球的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分）已知a=(1,0),b=(2,1). (1)若AB=2a+b,BC=a+mb,且A,B,C三点共线，求m的值； (2)当k为何值时，ka-b与a+2b共线？ 核心素养综 测评卷 16.（15分)如图5所示，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是 正方形，点G,F分别是线段EC,BD的中点， (1)证明：GF∥平面ABC; (2)若AD⊥平面ABC,且AB=2AC,求异面直线GF与CD夹 角的余弦值 D 图5 高中数学·必修第二册( 教 17.(15分)在①bcos(罗-C）=3 ecos B;②2sAm=5B A ·BC这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答， 版)核心素养综 问题：在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (1)求角B; (2)在△ABC中，b=2√3，求△ABC周长的最大值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 评卷 18.(17分)某村为提高村民收益，种植了一批蜜柚，现为了更好 地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚，测得其质量（单 位：克)均分布在区间[1500,3000]内，并绘制了如图6所示的频率 分布直方图. (1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间[1750,2000)， [2000,2250)内的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽 取2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率； (2)以各组数据的中间值代表这组数据的平均水平，以频率代 表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商 提出两种收购方案： 方案A:所有蜜袖均以10元/千克收购： 方案B:低于2250克的蜜柚以15元/个的价格收购，高于或等 于2250克的蜜柚以20元/个的价格收购 请你通过计算为该村选择收益最好的方案， 频率 A组距 0.0016- 0.0008-------- 0.0006 0.0004 0.0002- 015017502000225025002750300质量/克 图6 19.(17分)用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物 体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫作投影面.由平 行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影 叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投 影线不垂直于投影面产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状、 大小与它相对于投影面的位置和角度有关.已知平行四边形ABCD 在平面内的平行投影是四边形A'B'CD'. (1)若平行四边形ABCD平行于投影面（如图7），证明：四边形 A'B'C'D'是平行四边形； (2)在图8中作出平面ABCD与平面的交线（保留作图痕迹， 不需要写出过程)： 高 (3)如图9，已知四边形A'B'C'D'和平行四边形ABCD的面积分 别为S1,S2,平面ABCD与平面α的交线是直线l,且这个平行投影是 数学 正投影.设二面角A-1-A'的平面角为(0为锐角)，猜想并写出角 0的余弦值（用S1,S2表示），再给出证明， D 光线 D/光线 D光线 C 'c D B B 图 图8 图9 ·必修第二册（人教A版）核心素养综合测评卷（一二） (参考答案见21~22版)