8.6.1直线与直线垂直课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.1直线与直线垂直 学习目标 1.借助正方体，通过直观感知，类比相交直线所成角，归纳出异面直线所成角的概念，培养数学抽象能力； 2.能利用异面直线所成角的定义找出或作出异面直线所成角，并在三角形中求出角，培养数学运算能力； 3.会用异面直线所成角证明异面直线垂直，培养逻辑推理能力. 第八章 立体几何初步 第八章 立体几何初步 问题1：空间中两条直线有哪些位置关系？ 共面直线 异面直线： 平行直线： 相交直线： 在同一平面内，有且只有一个公共点； 在同一平面内，没有公共点； 不同在任何一个平面内，没有公共点. 温故知新 第八章 立体几何初步 第八章 立体几何初步 问题2：平面内两条相交直线不同的相对位置是如何刻画的呢? a1 b a2 b 平面内两条直线相交形成4个角,其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角) 夹角刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度. 温故知新 第八章 立体几何初步 第八章 立体几何初步 追问1：若不同，如何刻画这种差异? 问题3：在正方体 中直线 与直线 ，直线 与直线 都是异面直线，这两条直线相对于直线 的位置关系相同吗? 夹角 探究新知 第八章 立体几何初步 第八章 立体几何初步 问题4：两条异面直线没有交点，他们所成的角没有办法直接度量，大家能想个办法吗？ · O 探究新知 可行性 第八章 立体几何初步 第八章 立体几何初步 已知两条异面直线，经过空间任一点O，分别作 ,我们把直线 与 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 空间 平面 学习新知 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 第八章 立体几何初步 第八章 立体几何初步 问题5：直线a、b所成角的大小与点O的位置有关吗? 无关 注意：为了简便，常把点O取在两条异面直线中的一条上 1 2 空间等角定理： 如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． · O3 学习新知 第八章 立体几何初步 第八章 立体几何初步 问题6：根据异面直线所成角的形成过程，判断异面直线所成角的范围？ 追问2：空间中两条直线所成角的范围又是多少？ 当两条直线a、b相互平行时，我们规定它们所成的角为0° 学习新知 第八章 立体几何初步 第八章 立体几何初步 例1.如右图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (1)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？ (2)求直线BA1与CC1所成角的大小. (3)求直线BA1与AC所成角的大小. 解：(1)棱AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、D1A1 例题讲解 问题7：空间中，如果两条直线垂直，它们一定相交吗？ 问题8：空间中，垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 不一定 不一定 注意：平面中成立的结论不一定能推广到空间中！ 第八章 立体几何初步 第八章 立体几何初步 例1.如右图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (1)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？ (2)求直线BA1与CC1所成角的大小. (3)求直线BA1与AC所成角的大小. 解： (2) 45° (3) 60° 例题讲解 第八章 立体几何初步 第八章 立体几何初步 （4）求直线AC与BD1所成角的大小. 解：连接BD交AC于点O,取DD1中点E,连接EO、EA、EC. ∵O为BD的中点,∴OE∥BD1.故∴∠EOA或其补角即为所求角. ∵∠EDA＝90°＝∠EDC, ED＝ED,AD＝DC, ∴△EDA≌△EDC. ∴EA＝EC. 在等腰△EAC中, ∵O是AC的中点 ∴EO⊥AC, ∴∠EOA＝90°. ∴AC与BD1所成的角为90°. 例题讲解 警惕直观感知带来的错误判断！ 第八章 立体几何初步 1.如图正方体ABCD—­A1B1C1D1中，E、F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成的角的大小是 ． 60° 快问快答 第八章 立体几何初步 第八章 立体几何初步 2.已知正方体ABCD­—A′B′C′D′中： (1)BC′与CD′所成的角为 ；(2)AD与BC′所成的角为 ． 60° 45° 快问快答 第八章 立体几何初步 第八章 立体几何初步 3.如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，则直线DB1与直线EF所成的角为 . 90° 快问快答 第八章 立体几何初步 第八章 立体几何初步 例2.如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1 为底面A1B1C1D1的中心, 求证:AO1⊥BD. 例题讲解 第八章 立体几何初步 第八章 立体几何初步   解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG. 课堂练习 练习1.如图所示,在三棱锥A­-BCD中,AB＝CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成的角. 第八章 立体几何初步 课堂练习 练习2.如图所示,在三棱锥A­-BCD中, AC=2,BD= , 异面直线AC与BD所成的角为45°,E、F分别为CD、AB的中点，求线段EF的长度. B D 第八章 立体几何初步 1.求两异面直线所成角的一般步骤 ①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角； ②证：证明作出的角就是要求的角； ③计算：求角的值，常利用解三角形求解． 课堂小结 2.求异面直线所成角，可通过多种方式平移产生 ①直接平移法(可利用图中已有的平行线)； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 3.证明两异面直线垂直 4.数学思想——转化 第八章 立体几何初步 $$