第四章 3 公式法-【支点·同步系列】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版）

3公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 要点提示 平方差公式的逆用：把来法公式(a十b)(a一b)=a一？反过来，就得到a2一=(a+b)(a一b). 语言叙述：两个数（式）的平方差等于这两个数（式）的和乘这两个数（式）的差， O1固基础念 6.（2024绥化)分解因式：2m.x2一8my2 知识点1直接用平方差公式因式分解 7.把下列各式因式分解： 1.课堂上老师在黑板上布置了四道用平方差 (1)2.x2y-2xy3; 公式分解因式的题目：①a2一b:②49x2一 y2:③-x2-y:④16mn2-25p.小华发 现其中有一道题目错了，则错误的是( (2)x2(a-b)十4(b-a). A.① B.② C.③ D.① 2.若x-16=(x-a)(.x十a),则a等于 r A.16 B.±4C.4 D.±2 知识点3用平方差公式因式分解的应用 3.小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了 8.若一个正整数能表示为两个正整数的平方 二项式☐.x2一y(“☐”表示漏抄的部分)中 差，则称这个正整数为“智慧数”.如52一3 x2前的式子，若该二项式能因式分解，则 =16,则16是一个“智慧数”，5和3称为16 “☐”不可能是 ( 的一对“智慧分解数”，则32的“智慧分解 A.y B.4 C.-4 D.16 数”有 4.把下列各式因式分解： 9.(教材变式)如下图，在边长为a的大正方形 (1)49a2-36b: 纸片中剪去一个边长为b的小正方形(a> b). (1)阴影部分的面积为 (用代 (2)-16+25m2; 数式表示)： (2)先将上述代数式因式分解，再计算当a= 6.75cm,b=3.25cm时，阴影部分的面积. (3)(.x-3)2-9. 知识点2先提取公因式再利用平方差公式 因式分解 5.把a一ab因式分解，结果正确的是( 》易错点分解不彻底导致出错 A.(a+ab)(a-ab)B.a(a2-B) 10.因式分解：(2x-y)-(4x+3y)2 C.a(a-b)2 D.a(a-b)(a+b) 下册第四章 …02提能力 …… 运用平方差公式因式分解，得m(2x+ 4y)(2x-4y). 11.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码 (1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错 手册中，有这样一条信息：a一b,x一y,x十 误的原因是 y,a十b,x2一y2,a2-分别对应下列六个 (2)请给出这个问题的正确解法。 字：春、爱、我、宜、游、美.现将(x一y)a 一(x一y)因式分解，结果呈现的密码 信息可能是 A.我爱美 B.宜春游 18.已知a,b,c为三角形的三边长，且满足ac C.我爱宜春 D.美我宜春 bc2=a一b.试判断该三角形的形状， 12.(2024抚州临川区期中)已知a,b,c是一个 并说明理由. 三角形三边的长，则代数式(a一b)2一c2的 值 ( A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定是零 D.可能是零 13.两个连续奇数的平方差一定是 A.6的倍数 B.8的倍数 C.12的倍数 D.16的倍数 14.已知m十n=3,m一n=12,则(m一5)2一(n +5)2= …… O3拓思维念 15.运用因式分解计算：50×1252-50×25= 19.几何直观如右图，四边形 B M ABCD与四边形DEFG都G FH N 16.把下列各式因式分解： 是正方形.设AB=a,DE= E C (1)9(a+b)-25(a-b)2: b(a>b).将四边形EFHC剪下来拼到四边 形HNMB处. (1)观察图形，当用不同的方法表示图形中 阴影部分的面积时，能得出一个因式分解 的公式.这个公式为 (2)(x十1)(x-9)+8x. (2)如果正方形ABCD的边长比正方形 DEFG的边长多16，且它们的面积相差 960,试利用(1)中的公式，求a,b的值. 17.下面是嘉淇同学把多项式-16my2+4m.x 因式分解的具体步骤： 利用加法交换律变形，得4mx2一16my, 提取公因式m,得m(4.x2-16y2), 逆用积的乘方公式，得m[(2x)一(4y)2门， 致学八年级BS版 第2课时 运用完全平方公式因式分解 要点提示 完全平方公式的逆用：把乘法公式(a十b)°=a2+2ah+,(a一b)=a-2ab+反过来，就得到a2+2ab+b= (a+b),a2-2ab+6=(a-b)2. 因式分解的一般思路：“一提”“二套”“三检查” (1)“一提”：先看是否有公因式，若有，先提取公因式：(2)“二套”：看能否运用公式法固式分解：(3)“三检查”：检查 因式分解是不是彻底，要分解到每一个因式都不能再分解为止 之O1固基础 知识点3先提公因式再利用完全平方公式 因式分解 知识点1完全平方式 6.把式子a.x2一4ax十4a因式分解，结果正确 1.(教材变式)下列各式中，是完全平方式的是 的是 ( A.a(x-2)2 B.a(x+2)2 A.16.x2+1 B.x2+2x+1 C.a(x-4) D.a(x-2)(x十2) C.x2-x+1 D.a2+2ab-4b2 7.(2024达州)分解因式：3.x2-18.x+27= 2.填空： (1)已知y2一my+1是完全平方式，则m的 8.把下列各式因式分解： 值是 (1)x2-2xy+xy: (2)如果x十8.x十n是一个完全平方式，那 么n的值是 (2)-3ma2+12ma-12m. 知识点2直接运用完全平方公式因式分解 3.多项式9x2一6x十1因式分解的结果是 A.(3.x+1) B.(3x-1) 9.已知a十b=3,ab=2,求代数式ab+2ab C.(9x+1) D.(9x-1) 十ab的值. 4.已知一个长方形的长和宽分别为a和b,其 周长为8，则a2+2ab+b的值为 ( A.2 B.4 C.8 D.16 5.把下列各式因式分解： 知识点4用完全平方公式分解因式的应用 (1)4a2-20ab+25b: 10.若正方形的面积是25x2+10xy+y2(x> 0,y>0),则该正方形的边长为 (2)(m-n)2+6(m-n)十9： 》易错点对完全平方式的特征理解不透 彻导致出错 11.在多项式x2+1中添加一个单项式，使 (3)9(a-b)+42(a-b)+49. 其成为一个完全平方式，则添加的单项 式是 下册第四章 …02提能力 …… 18.(教材变式)已知x+y=3,x一y=一2，求 (x2+y)2-4x2y2的值. 12.多项式(a+b)2-4(a2-b)+4(a-b)2因 式分解的结果为 A.(3a-b) B.(3b+a) C.(3b-a)2 D.(3a+b)9 13.已知代数式一a十2a一1，无论a取何值， 它的值一定是 A.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数 19.已知a2+6a+b一10b+34=0,求代数式 14.利用因式分解计算：303一606×297+297 (2a+b)(3a-2b)+4ab的值. 15.(2024九江柴桑区期末)如图，有三种卡片， 其中边长为a的正方形卡片有1张，长和 宽分别为a,b的长方形卡片有8张，边长 为b的正方形卡片有16张.用这25张卡片 拼成一个无重叠、无空隙的大正方形，则这 个大正方形的边长为 … O3拓思维)◆ 。。。。 20.先阅读下面的内容，再解答问题， 例题：求多项式m2+2mn+22-61十13 第15题图 的最小值。 16.若|p十2与g-8q十16互为相反数，则多 解：m2+2mn十2n2-6n+13 项式x2+y一(pxy+q)因式分解的结果 =(m2十2mn十n2)十(n2-61十9)十4 是 =(m+n)2十(n-3)2+4. 17.把下列各式因式分解： (m+n)2≥0，(n-3)2≥0， (1)a'-18a2+81b: .多项式m2+2mn+2n2一6n+13的最小 值是4. (1)在例题的解答过程中，因式分解时运用 的公式为 (2)求多项式-2.x+4.xy-3y2一6y+7的 最大值. (2)x2(y2-1)+2.x(y2-1)+y2-1. 致学八年级BS版-a(a-2)(a-b) .a-2..a-2-0. '原式一0.心.杨力说得对。 3 公式法 16& 第1课时 运用平方差公式因式分解 1.C 2.B 3.C 4.解:(1)原式-(7a+6b)(7a-6b). (2)原式-25r-16-(5m+4)(5m-4). (3)原式-(x-3+3)(x-3-3)=r(-6). 14.解:(答案不唯一)(1)如图①所示即为所求作. 5.D 6.2m(x+2y)(r-2y) (2)如图②所示即为所求作 7.解:(1)原式-2xy(x-y)=2ry(r+y)(ry). (2)原式=(a-b)(xi-4)-(a-b)(r+2)(r-2). 8.6.2和9.7 9.解:(1)- ($2)--(a+b)(a-b). 图① 图② 当a-6.75em,b-3.25cm时. 第四章 因式分解 阴影部分的面积-6.75-3.25-(6.75+3.25)X(6.75- 因式分解 1 3.25)-10×3.5-35(cm). 1.B 2. B 3.a+2ab-a(a+26) 10.-4(3x+)(r+2y)11.C 12.A 13.B 14.6 15.750000 4.解:(1)被墨水污染的部分是(x-2)(2x+5)-(2-+3r-6 -2r+5r-4r-10-2--3x+6 16.解:(1)原式-[3(a+b)+5(a-b)[[3(a+b-5(a-b] --2-4. -(8a-26)(8-2a) (2)根据题意,得一2x-4-2,解得x=-3. -4(4a-b)(4b-a). 5.A 6.-35 7.3 (2)原式-x-8r-9+8x 8.解:(1)2 -:-9 -(r+3)(r-3) (2)由题意,得当x+2-0,即x=-2时,2x+a+7x+ -0.·-16+4a-14+b-0;① 17.解:(1)公因式没有提取完 当-1-0,即r-1时,2+ar+7r+b-0.2+a+7+ (2)原式-4m(r-4y)-4m(r+2y)(r-2y). b-0.② 18.解:.---b, .(。-)-a+)(a-b). 联立①②,得 2+a+7十-0. --22. '(+)(-)-(a-b)-0 '(-)(a+-)-0. 2 提公因式法 '.(a+b)(a-b(a+b-)-0. 第1课时 公因式是单项式的提公因式法 .:a>0,b0...+b>0. 1.B 2.(1)r (2)4b(3)xy 3.A 4.a(a+2) .a-b-0或a+--0. 5.-2nn(5mn-4u+1) 6.证明:原式-3*×(3-3-1) .-b或。+一. -3×5-15×3--. '.该三角形为等腰三角形或直角三角形 .3--3--3-*能被15整除。 19.解:(1)a--(a+b)(a-b) (2)由题意,得a-b-16,① 7.-b(ab -3a+3) 8.A 9.B 10.(1)9 (2)2” 11.-8 a-=(a+b)(a-b)-960. $2.证明:,3-+3”-3×3+3-3×(3+1-28×3”-4 '.a十b-60.② X7×3*. '3*)与3”的和一定能被4和7整除. b22. 13.解:·'2x-y- 第2课时 运用完全平方公式因式分解 .原式-ry(2r-y)=(ry)(2x-y)-3x1-9 1.B 2.(1)士2 (2)士4 3.B 4.D 5.解:(1)原式-(2a-5b). 第2课时 公因式是多项式的提公因式法 (2)原式-(m-n十3). 1.D 2.m+n+r 3.D 4.A (3)原式-3(a-b)+7-(3a-3+7 5.解:(1)原式=m(a-3)-2(a-3)-(a-3)(m-2). 6.A 7.3(v-3): (2)原式-2x(r-y)-4y(r-y)-2(x-y)(r-2y). 8.解:(1)原式=x(r-2xy+y)-r(x-y). 6.B7.48.-8或 (2)原式--3n(al-4a+4)--3n(a-2). 9.解:原式-ab(a+2ab十)=ab(a+b). 9.解:原式-a(a十b)(a-b-a-b)=-2ab(a+b). :a+b-3,ab-2...原式-2x3-18. “a+b-1.ab-1..原式--2x-x1-- 10.5.π+y 11.+2x或l 12.C 13.B 14.36 10.解;杨力说得对,理由如下; 15.a+4 16.(x+y+2)(r+y-2) 原式-(a-2a)-(ab-2ab) 17.解:(1)原式-(a-9b)* -(-2)-a(a-2) =(a+36)(a-3). -(a-2)(a-ab) (2)原式-(-1)(r*+2x+1) 数学八年级BS版 -(+(-1(r+1 ($)-2a'b+2a^{-2ab+b 18.解:原式-(r+y+2xy)(+y-2xy) -(a+2ab+)-(2a’b+2ab) 一(ry)(r一). -(a+)i-2ab(a+b) 当r+y-3,x-y=-2时, -(+)(a-2ab+) 原式-3-×(-2): -(a十)(a-b)③。 -9X4 .直角三角形的两条直角边长分别是a和b,且ab,斜边 -36. 长是3,小正方形的面积是1,,a+--9,(a-b)= 19.解:''a+6a+b-106+34-0, 1...原式-9. '(+3) +(6-5)=0.=-3,6-. 第五章 分式与分式方程 .2a+b)(3a-2b)+4ab-[2×(-3)+5]x[3x(-3)- 认识分式 $ $5]+4X(-3)X5--1)X(-19)-60--41. 20.解:(1)完全平方公式 第1课时 分式的概念 1.B 2. (2)原式=-2r+4ry-2y--6y-9+16 -(答案不唯一)3.B4.1 --2(x-y)-(y+3)+16. 5.解:.2+1>0. .-2r-y)<0.-(y+3):<0. 4.当:为任何实数时,分式二有意义: *多项式-2x+4xy-3y -6y+7的最大值是16 本章小结 1. D 2. B 3.A 4.-2 5.1 6.A 7. B 8. D 9.A 10.3m(m+2)(m-2) 11.(a-1)12.2 13.解:(1)原式-2ab(4a”-6bc+3ac). (2)原式-5x(y-r)+10(y-) 6.C 7.m-18.2 -(-x)[r+2(y-x)]-5(y-x)(2y-x. (3)原式-[a+b+3(a-b)][a+b-3(a-b] 9.解;当x一2时,分式的值为0; -(4a-2)(-2a+4) $2-b-0且2x2+a0,解得b-2,a-4. -4(2a-b)(2b-a). ,当x二一2时,分式没有意义, (4)原式=-4a(-2xy+)--4a(x-) *2x(-2)+a-0,解得a-4. 14.A 15.A 16.4 17.3080- '2+3-2x4+3×2-14. 18.解:(1)原式-(a+)-2a -(-3):-2×2 -9-4 (2)第n(n为正整数)个分式为(-1). -5. (2)原式=ab(a十) 第2课时 分式的基本性质 -2×5 1.D 2.(1)a+ab(2)6ry-3xy (2) -10. (3)原式-ab(a++2ab) -[ab(a十b)]: 5.解:原式-a(-4) a(a-4ab+46) -[2X(-3)]* -36. -a(a+2b)(a-26) a(a-2): 19.解:(1)原式-(r+y)(r+3ry十y-5xry) 一(十y)(r-y). 当x-6.6.y--3.4时,原式-(6.6-3.4)t(6.6+3.4) -2+2x1 -3.2X100-320. 当=-26-1时,原式-二 (2)原式=(3x+2y)-(2x-3y) 2-2x =(3r+2+2r-3y)(3x+2y-2r+3y) 6.C 7.x>2 =(5r-y)(r+5y). 8.解:(1)①等式 ②代入消元 约分 -1时. (2)设--一 (6≠0),则x=3^,y=4 ,:=6赴 · 原式=(4+-)x(-1) 一-. -21×(-) 2 分式的乘除法 -- 1.B 2.C 17×9. 3.解:(1)原式-一 54X5labry 18 20.解:(l)x-a十x+a=(-a)+(x+a)=(r十a)(x- (2)一 a)十(r十a)-(r+a)(r-a十1). (2)ar+at-2ab-br+r 4.D 5.D -(a-2ab+)+(ar-br) 6.解:(1)原式--(2r'-)·2-y 2xy--2xy. =(a-b) +x(a-b)=(a-b)(a-b+ ) 下册 参考答案