第16周 二次根式拓展提升 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

八下数学第16周《二次根式拓展提升》 一．试题（共35小题） 1．能使开得尽方n的最小正整数为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 2．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 　 　 ． 3．若3﹣b，则（　　） A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3 4．等式•成立的x的取值范围在数轴上可以表示为（　　） A．B．C． D． 5．把（1﹣a）根号外的因式移入根号内，化简后的结果是　 　 ． 6．写出一个的有理化因式　 　 ． 7．若最简二次根式与3是同类二次根式，则a＝　 　 ． 8．计算的结果是 　 　 ． 9．计算（）的结果是　 　 ． 10．若，则bc的值为 　 　 ． 11．已知a，b都是实数，k为整数，若，则称a与b是关于k的一组“关联数”． （1）﹣2与 　 　 是关于1的一组“关联数”； （2）与 　 　 是关于3的一组“关联数”； （3）若，判断a2与b2是否为关于某整数的一组“关联数”，说明理由． 12．已知，则的值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 13．如果x2﹣3x﹣1＝0，则的值是 　 　 ． 14．已知一等腰三角形的周长为，其中一边长，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A． B． C．或 D．无法确定 15．海伦﹣秦九韶公式告诉我们，若一个三角形ABC三边长分别为a、b、c，记 ，三角形的面积为，如图，请你利用海伦﹣秦九韶公式计算△ABC的面积为（　　） A． B． C． D．10 16．如图，在长方形ABCD中，无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为 　 　 ． 17．如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 18．计算： （1）； （2）． 19．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从40m的高空落到地面的时间． （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）E＝10×物体质量（kg）×高度（m），某质量为0.05kg的鸡蛋经过6s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量） 21．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b． 得：a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）化简：． 22．【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算方法． 如：，这是利用平方差公式进行化简运算的思路． 除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质|a|． 如：对于，设． 由，可知x＞0． 由，解得． 即． 【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简． 23．我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵ 　 　 ， 　 　 ， ∴， ∴． （2）如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 24．阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当a＞0，b＞0时，∵（）2＝a﹣2b≥0． ∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当x＞0时，x的最小值为　 　 ； （2）当x＞0时，求当x取何值，y有最小值，最小值是多少？ （3）当x＞3时，求当x取何值，y有最小值，最小值是多少？ （4）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD的面积的最小值． 25．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： S梯形ABCD＝　 　 ， S△EBC＝　 　 ， S四边形AECD＝　 　 ， 则它们满足的关系式为 　 　 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 　 　 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜16） 26．（1）的最小值为 　 　 ． （2）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图，作一条长为16的线段CD； ②过C在线段CD上方作线段CD的垂线AC，使AC＝3；过D在线段CD下方作线段CD的垂线BD，使BD＝9； ③在线段CD上任取一点O，设CO＝x； ④根据勾股定理计算可得，AO＝　 　 BO＝　 　 （请用含x的代数式表示，不需要化简）； ⑤则AO+BO的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为 　 　 ． （3）请结合第（2）问，直接写出的最小值 　 　 ． 27．成立的条件是（　　） A．k＞﹣8 B．k≥﹣8 C．k≤﹣8 D．k＜﹣8 28．若a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|　 　 ． 29．下列根式中，能与合并的二次根式为（　　） A． B． C． D． 30．计算的结果是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 31．计算的结果是 　 　 ． 32．已知x＝2，则x2﹣4x﹣6的值为　 　 ． 33．不等式的正整数解的个数有　 　 个． 34．计算： （1）（22）； （2）； （3）； （4）． 35．著名数学教育家G•波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如： ． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当1≤x≤2时，化简． 参考答案与试题解析 1．能使开得尽方n的最小正整数为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【解答】解：∵，且是整数， ∴是整数， ∴3n是一个平方数， ∴最小正整数n为3， 故选：B． 2．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 　7　 ． 【解答】解：∵，且是整数， ∴正整数n的最小值为7， 故答案为：7． 3．若3﹣b，则（　　） A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3 【解答】解：∵3﹣b， ∴3﹣b≥0， ∴b≤3． 故选：D． 4．等式•成立的x的取值范围在数轴上可以表示为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， 解得， ∴不等式组的解集为x≥3． 故选：B． 5．把（1﹣a）根号外的因式移入根号内，化简后的结果是　　 ． 【解答】解：由根式可知，1﹣a＜0； 故原式 ． 6．写出一个的有理化因式　（答案不唯一）　 ． 【解答】解：∵•2a+b， ∴的有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一）． 7．若最简二次根式与3是同类二次根式，则a＝　﹣1　 ． 【解答】解：由最简二次根式与3是同类二次根式，得 1﹣a＝2． 解得a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 8．计算的结果是 　　 ． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 9．计算（）的结果是　6　 ． 【解答】解：原式（3） 2 ＝2×3 ＝6． 故答案为6． 10．若，则bc的值为 　﹣3　 ． 【解答】解：∵a﹣6（b+c）2＝b2+2bc2c2＝b2+2c2+2bc， ∴2bc＝﹣6， ∴bc＝﹣3． 故答案为：﹣3． 11．已知a，b都是实数，k为整数，若，则称a与b是关于k的一组“关联数”． （1）﹣2与 　4　 是关于1的一组“关联数”； （2）与 　5　 是关于3的一组“关联数”； （3）若，判断a2与b2是否为关于某整数的一组“关联数”，说明理由． 【解答】解：（1）设﹣2与x是关于1的一组“关联数”， ∴1， 解得：x＝4， ∴﹣2与4是关于1的一组“关联数”， 故答案为：4； （2）设1与y是关于3的一组“关联数”， ∴3， 解得：y＝5， ∴1与5是关于3的一组“关联数”， 故答案为：5； （3）a2与b2是关于3的一组“关联数”， 理由：∵， ∴ ＝3， ∴a2与b2是关于3的一组“关联数”． 12．已知，则的值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 【解答】解：设a，b，则a+b＝10，a2+b2＝49﹣x2+15+x2＝64， ∴（a+b）2＝100， 即a2+b2+2ab＝100， ∴64+2ab＝100， ∴ab＝18， ∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×18＝28， ∴a﹣b＝±±2， 即的值为±2． 故选：C． 13．如果x2﹣3x﹣1＝0，则的值是 　2　 ． 【解答】解：当x＝0时，则0﹣3×0﹣1＝﹣1≠0， 故x≠0， 则x2﹣3x﹣1＝0两边同时除以x， 得， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：2． 14．已知一等腰三角形的周长为，其中一边长，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A． B． C．或 D．无法确定 【解答】解：由题意知，分一边长为腰，一边长为底边两种情况求解； ①当一边长为腰时，则底边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，舍去； ②当一边长为底边时，则腰长为； 综上所述，腰长为， 故选：B． 15．海伦﹣秦九韶公式告诉我们，若一个三角形ABC三边长分别为a、b、c，记 ，三角形的面积为，如图，请你利用海伦﹣秦九韶公式计算△ABC的面积为（　　） A． B． C． D．10 【解答】解：∵三角形ABC三边长分别为4，5，6， ∵p， ∴三角形ABC的面积为：， 故选：C． 16．如图，在长方形ABCD中，无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为 　6　 ． 【解答】解：由条件可知两张正方形纸片边长分别为和， ∴剩余部分的面积为， 故答案为：6． 17．如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为 　225　 ． 【解答】解：三个正方形的边长分别为，，2， 图中阴影部分的面积：（）×2﹣2﹣3＝225． 故答案为：225． 18．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ； （2） ． 19．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 20．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从40m的高空落到地面的时间． （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）E＝10×物体质量（kg）×高度（m），某质量为0.05kg的鸡蛋经过6s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量） 【解答】解：（1）∵，h＝40m， ∴． （2）∵，t＝6s， ∴， ∴h＝5t2＝180m， ∴E＝10×0.05×180＝90（J）， ∴90J＞65J， 对人构成伤害， 故严禁高空抛物． 21．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b． 得：a＝　m2+3n2　 ，b＝　2mn　 ． （2）化简：． 【解答】解：（1）∵， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn， 故答案为：m2+3n2，2mn； （2）∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ ． 22．【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算方法． 如：，这是利用平方差公式进行化简运算的思路． 除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质|a|． 如：对于，设． 由，可知x＞0． 由，解得． 即． 【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简． 【解答】解：设x， ∵， ∴x＜0． ∵x26﹣36+326， ∴x． 原式 ＝5﹣2 ＝5﹣3． 23．我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵ 　18　 ， 　10　 ， ∴， ∴． （2）如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【解答】解：（1）∵2+8+218， 10， 故答案为：18，10； （2）①△ABC为直角三角形； 理由：∵（）2+（）2＝10＝（）2， ∴△ABC为直角三角形； ②． 24．阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当a＞0，b＞0时，∵（）2＝a﹣2b≥0． ∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当x＞0时，x的最小值为　2　 ； （2）当x＞0时，求当x取何值，y有最小值，最小值是多少？ （3）当x＞3时，求当x取何值，y有最小值，最小值是多少？ （4）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD的面积的最小值． 【解答】解：（1）当x＞0时，， ∴的最小值为 2； 故答案为：2； （2）∵x＞0， ∴， 而， 当时，即x＝4时，等号成立， ∴y≥8， ∴当x＝4时，有最小值，为8． （3）∵x＞3， ∴， 而， 当时，即x＝5时，等号成立， ∴y≥4， ∴当x＝5时，有最小值，为4． （4）设S△AOD＝x， ∵△AOD与△AOB同高，△COD与△BOC同高， ∴S△AOB：S△AOD＝BO：OD＝S△BOC：S△COD， 由题知S△AOB＝4，S△COD＝9， ∴4：x＝S△BOC：9， ∴， ∵S四边形ABCD ， ∵， ∴S四边形ABCD≥13+12＝25， ∴四边形ABCD面积的最小值为 25． 25．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： S梯形ABCD＝　a（a+b）　 ， S△EBC＝　b（a﹣b）　 ， S四边形AECD＝　c2　 ， 则它们满足的关系式为 　a（a+b）b（a﹣b）c2　 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 　41　 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜16） 【解答】解：【小试牛刀】S梯形ABCDa（a+b）， S△EBCb（a﹣b）， S四边形AECDc2， 则它们满足的关系式为：a（a+b）b（a﹣b）c2 故答案为：a（a+b），b（a﹣b），c2，a（a+b）b（a﹣b）c2． 【知识运用】（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E， ∵AD⊥AB，BC⊥AB， ∴BC＝AE，CE＝AB， ∴DE＝AD﹣AE＝25﹣16＝9千米， ∴CD41（千米）， ∴两个村庄相距41千米． 故答案为：41． （2）如图2②所示： 设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米， 在Rt△ADP中，DP2＝AP2+AD2＝x2+242， 在Rt△BPC中，CP2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162， ∵PC＝PD， ∴x2+242＝（40﹣x）2+162， 解得x＝16， 即AP＝16千米． 【知识迁移】：如图3， 代数式的最小值为：20． 26．（1）的最小值为 　9　 ． （2）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图，作一条长为16的线段CD； ②过C在线段CD上方作线段CD的垂线AC，使AC＝3；过D在线段CD下方作线段CD的垂线BD，使BD＝9； ③在线段CD上任取一点O，设CO＝x； ④根据勾股定理计算可得，AO＝　　 BO＝　　 （请用含x的代数式表示，不需要化简）； ⑤则AO+BO的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为 　20　 ． （3）请结合第（2）问，直接写出的最小值 　10　 ． 【解答】解：（1）∵， ∴9≥9． 故答案为：9． （2）如图，过B作AC的垂线交AC的延长线于点E， ∵OC2+AC2＝OA2，OD2+BD2＝OB2， OA，OB． 当A，O，B三点共线时，AO+OB的最小值是线段AB的长． △ABE中，AE＝3+9＝12，BE＝16， AB2＝AE2+BE2＝144+256＝400， AB＝20． 所以AO+BO的最小值是20． 故答案为，，20． （3）设x﹣2＝a，， 仿照（2）的作法，的最小值10． 故答案为：10． 27．成立的条件是（　　） A．k＞﹣8 B．k≥﹣8 C．k≤﹣8 D．k＜﹣8 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知：8+k≥0， 解得：k≥﹣8， 故选：B． 28．若a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|　﹣a　 ． 【解答】解：由数轴可知，b＜a＜0＜c， ∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0， ∴， 故答案为：﹣a． 29．下列根式中，能与合并的二次根式为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据二次根式的性质，逐项分析判断如下： A、不能与合并，故此选项不合题意； B、不能与合并，故此选项符合题意； C、能与合并，故此选项不合题意； D、不能与合并，故此选项不合题意． 故选：C． 30．计算的结果是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 【解答】解：原式＝[（3）]2024 ＝（10﹣9）2024 ＝1 ， 故选：B． 31．计算的结果是 　　 ． 【解答】解：原式， 故答案为：． 32．已知x＝2，则x2﹣4x﹣6的值为　0　 ． 【解答】解：当x＝2时， x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10 ＝（22）2﹣10 ＝（）2﹣10 ＝10﹣10 ＝0， 故答案为：0． 33．不等式的正整数解的个数有　3　 个． 【解答】解：， ， ∴正整数解为：1，2，3，有3个， 故答案为：3． 34．计算： （1）（22）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 35．著名数学教育家G•波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如： ． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当1≤x≤2时，化简． 【解答】解：（1）原式 ． ； （2）原式 ． ＝9； （3）原式 ＝2． 第3页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $$