精品解析：2025年河南省周口市商水县九年级中考二模数学试题

2025年河南省普通高中招生考试试卷 方向预判卷（二） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 2. 2025年“五一”假期河南接待游客6450.3万人次，旅游收入371.1亿元．数据“371.1亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 欹（qī）器是古代一种倾斜易覆的盛水器，水少则倾，中则正，满则覆，寓意“满招损，谦受益”．如图是一件欹器，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线c，d被直线a，b所截，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. “体重管理年”三年活动由国家卫健委联合16个部门共同发起，宣传口号是“健康体重，一起行动”．某校组织各班开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报按如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知九（1）班“主题内容”“排版设计”“文字书写”三项的得分分别为9分，7分，8分，则该班的最终得分为（ ） A. 7.5分 B. 8分 C. 8.1分 D. 8.5分 6. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在平面直角坐标系中，放置直角三角板，，点A，C，O，E在x轴上，点B，D在y轴的正半轴上，其中，，，．如图2，把沿x轴向右平移，使得点B恰好落在边上，与y轴交于点G，此时点G的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经应用于社会生活的各个方面．如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 太阳能路灯以太阳能为动力源，白天通过太阳能电池板收集太阳光，将其转化为电能并储存起来，晚上释放电能用于照明．如图记录了某型号太阳能电池板某天从6时到18时之间，发电功率（）随时间（）变化的函数图象，下列说法正确的是（ ） A. 最大发电功率和最小发电功率相差 B. 8时和16时太阳能电池板的发电功率相同 C. 从10时到14时太阳能电池板的发电功率逐渐增大 D. 当天发电功率超过的时长为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写一个比3小的无理数______． 12. 不等式组的解集为______． 13. 如图，某教室的开关控制板上有四个外形完全相同的开关，其中两个分别控制两盏电灯，另两个分别控制两个电扇．已知电灯、电扇均正常，且处于不工作状态，开关与电灯、电扇的对应关系未知．若随机按下两个开关，则恰好打开一盏电灯和一个电扇的概率为______． 14. 如图：在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为均在格点（小正方形的顶点）上，且点在弧上，为弧的中点，连接，则图中阴影部分的面积为_______． 15. 如图，在中，．D是射线上的一个动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段（E，F分别是A，B的对应点）．连接，当是以为腰的等腰三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 17. 我国力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和．“碳达峰”“碳中和”倡导绿色、环保、低碳的生活方式．为调查八、九年级学生对“碳达峰”和“碳中和”的了解程度，某校组织了一次测试，满分100分，测试后随机抽取两个年级各10名学生的成绩．整理、分析如下： 【收集、整理数据】 八年级：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100． 九年级：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100． 【分析数据】 统计量 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 a 80 九年级 86 87.5 b 请根据以上信息，解决下列问题： （1）上表中______，______． （2）根据上表中的统计量，判断哪个年级的学生对“碳达峰”和“碳中和”的了解程度更深，并说明理由． （3）该校八年级有800名学生、九年级有600名学生参加测试，若95分及以上为优秀，估计两个年级测试成绩为优秀的学生共多少名． 18. 如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM． （1）用尺规作∠ABC平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ABCD是菱形． 19. 如图，正方形的两个顶点，都在反比例函数的图象上． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）反比例函数图象经过点，直线分别与反比例函数，的图象交于点，．若，求的长的取值范围． 20. 2024年月日，中央广播电视总台《年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．某商店销售，两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高元，花元购买款吉祥物的数量与花元购买款吉祥物的数量相同． （1）分别求出A，B两款吉祥物的单价． （2）某班级举办爱心义卖活动，准备从该商店购进，两款吉祥物共个进行售卖，且将每个款吉祥物售价定为元，每个款吉祥物的售价定为元．若本次购进款吉祥物的数量不少于款吉祥物数量的倍，则应如何设计购买方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 如图，已知内接于，是的直径，点E在上（不与点B，C重合），过点E作的切线，交的延长线于点F，连接． （1）若要使，需要添加一个条件．请从“条件①：平分；条件②：；条件③：”中选择一个你认为正确条件添加，并写出相应的证明过程． （2）在（1）的条件下，若，求的长． 22 已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． （1）求该抛物线的函数表达式及对称轴． （2）①在如图所示的平面直角坐标系中，先描出该二次函数图象上的三个点，再画出该二次函数的图象； ②在同一坐标系中画出直线，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集． （3）若关于x的一元二次方程在的范围内有实数根，请结合图象直接写出t的取值范围． 23. 综合与探究 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的直角三角形纸片（）折叠，使点C的对应点F落在边上，折痕分别交于点D，E．再将该纸片沿过点E的直线折叠，使点A的对应点H落在的延长线上，折痕交于点G，如图2所示． 数学思考： （1）四边形的形状为______． 深入探究： （2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若F为的中点，试猜想线段与的位置关系和数量关系，并说明理由． （3）“智慧小组”提出问题：若点C的对应点F落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省普通高中招生考试试卷 方向预判卷（二） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. ﹣3绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】根据绝对值性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. 2025年“五一”假期河南接待游客6450.3万人次，旅游收入371.1亿元．数据“371.1亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：371.1亿， 故选：C． 3. 欹（qī）器是古代一种倾斜易覆的盛水器，水少则倾，中则正，满则覆，寓意“满招损，谦受益”．如图是一件欹器，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，解题的关键是掌握：从正面看到的图形是主视图．据此解答即可． 【详解】解：如图是一件欹器，它的主视图为． 故选：A． 4. 如图，直线c，d被直线a，b所截，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，故不符合题意； B、∵，标记，如解图所示， 则． ∴． ∴（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； C、∵．， ∴，不能判定，故不符合题意； D、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故符合题意； 故选：D． 5. “体重管理年”三年活动由国家卫健委联合16个部门共同发起，宣传口号是“健康体重，一起行动”．某校组织各班开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报按如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知九（1）班“主题内容”“排版设计”“文字书写”三项的得分分别为9分，7分，8分，则该班的最终得分为（ ） A. 7.5分 B. 8分 C. 8.1分 D. 8.5分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求加权平均数，理解题意是解题的关键． 根据加权平均数的计算公式，列出算式，计算即可求解． 【详解】解 ：（分）， 故选：C． 6. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．根据题意可得出，进而可求出，结合选项即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴， 故选：A． 7. 我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，同底数幂相乘，根据题意的新定义运算结合同底数幂相乘的运算法则计算即可得解，理解新定义，熟练掌握同底数幂的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 8. 如图1，在平面直角坐标系中，放置直角三角板，，点A，C，O，E在x轴上，点B，D在y轴的正半轴上，其中，，，．如图2，把沿x轴向右平移，使得点B恰好落在边上，与y轴交于点G，此时点G的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，解直角三角形，先求出直线的函数表达式为．再利用一次函数的性质并结合解直角三角形计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：平移前点，， 设直线的函数表达式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线函数表达式为． 当点B在上时，令，则， 解得，即． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴点G的坐标为， 故选：D． 9. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经应用于社会生活的各个方面．如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，过点分别作，，垂足分别为，过点作，垂足为，可得四边形为矩形，即得，再分别解和，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点分别作，，垂足分别为，过点作，垂足为，则， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点距地面的高度为， 故选：． 10. 太阳能路灯以太阳能为动力源，白天通过太阳能电池板收集太阳光，将其转化为电能并储存起来，晚上释放电能用于照明．如图记录了某型号太阳能电池板某天从6时到18时之间，发电功率（）随时间（）变化的函数图象，下列说法正确的是（ ） A. 最大发电功率和最小发电功率相差 B. 8时和16时太阳能电池板的发电功率相同 C. 从10时到14时太阳能电池板的发电功率逐渐增大 D. 当天发电功率超过的时长为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是函数的图象，能根据函数图象判断出函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由图象可知，最大发电功率和最小发电功率相差，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，上午8时和下午16时，发电功率相同，故选项正确，符合题意； C．由图象可知，从早上10点到下午14点发电功率先增大后减小，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，8时至16时，发电功率超过， ∴发电功率超过的时间超过8小时，故选项正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写一个比3小的无理数______． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】根据无理数的定义，结合题目的限定条件，直接写出一个符合条件的无理数即可． 【详解】解：根据无理数的定义，可知为无理数，且． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查无理数的定义，即无限不循环小数叫做无理数，掌握无理数的定义并熟记常见的无理数是解题的关键． 12. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别解两个不等式，再根据：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小取不着，写出公共解集即可． 【详解】解不等式，得： 解不等式，得 不等式组的解集为： 故答案为： 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键． 13. 如图，某教室的开关控制板上有四个外形完全相同的开关，其中两个分别控制两盏电灯，另两个分别控制两个电扇．已知电灯、电扇均正常，且处于不工作状态，开关与电灯、电扇的对应关系未知．若随机按下两个开关，则恰好打开一盏电灯和一个电扇的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：将两盏电灯的开关分别记为，，将两个电扇的开关分别记为，， 根据题意，列表如下： — — — — 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中恰好打开一盏电灯和一个电扇的结果有8种，所以其概率为， 故答案为：． 14. 如图：在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为均在格点（小正方形的顶点）上，且点在弧上，为弧的中点，连接，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，勾股定理及其逆定理，解直角三角形，取格点O，连接，过点D作于F，可证明，，则点O即为弧所在圆的圆心，，据此可得，解直角三角形求出的长，再根据列式计算即可． 【详解】解：如图所示，取格点O，连接，过点D作于F， 由网格的特点和勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴点O即为弧所在圆的圆心， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，在中，．D是射线上的一个动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段（E，F分别是A，B的对应点）．连接，当是以为腰的等腰三角形时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的等腰，先证明不存在，当时， 分图1和图2两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当是以为腰的等腰三角形时，有或两种情况．但是从点D运动轨迹和图形来看，若，则， 而当D是线段的中点时，点E和点B重合，不存在； 当点D在线段的延长线上时，，不存在，故只需讨论即可． ①当点D在线段上时，如解图1所示，记与交于点P． 由旋转的性质，可知．， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， 同理可得， ∴． ∴． ∴E，B，F三点共线． 设，则，． ∵， ∴， 解得．即． ②当点D在延长线上时，如解图2所示． 同理①，可得，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴B，E，F三点共线． 设 ，则，． ∵， ∴， 解得，即． 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，涉及负整数指数幂和零指数幂，二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算负整数指数幂、零指数幂，和二次根式乘法运算，再进行加减计算； （2）先进行括号内分式加法计算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 我国力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和．“碳达峰”“碳中和”倡导绿色、环保、低碳的生活方式．为调查八、九年级学生对“碳达峰”和“碳中和”的了解程度，某校组织了一次测试，满分100分，测试后随机抽取两个年级各10名学生的成绩．整理、分析如下： 【收集、整理数据】 八年级：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100． 九年级：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100． 【分析数据】 统计量 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 a 80 九年级 86 87.5 b 请根据以上信息，解决下列问题： （1）上表中______，______． （2）根据上表中的统计量，判断哪个年级的学生对“碳达峰”和“碳中和”的了解程度更深，并说明理由． （3）该校八年级有800名学生、九年级有600名学生参加测试，若95分及以上为优秀，估计两个年级测试成绩为优秀的学生共多少名． 【答案】（1）85，90 （2）九年级学生对“碳达峰”和“碳中和”的了解程度更深，详见解析 （3）两个年级测试成绩为优秀的学生共约360名 【解析】 【分析】本题考查的是从统计表中获取信息，求解中位数，众数，利用样本估计总体； （1）由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：80，90，从而可得中位数a的值，由九年级被抽取的学生测试得分中90出现的次数最多，可得b的值； （2）从平均数、中位数与众数的角度出发可得答案； （3）由九年级与八年级的总人数分别乘以优秀学生的占比，再求和即可． 小问1详解】 解：对八年级10名学生的成绩按从小到大的顺序排列： 65，70，80，80，80，90，90，95，100，100， 位于中间的两个数为80，90， ∴， 九年级10名学生的成绩中出现次数最多的是90， ∴； 故答案为：85，90； 【小问2详解】 解：九年级学生对“碳达峰”和“碳中和”的了解程度更深． 理由：九年级学生测试成绩的平均数、中位数、众数均高于八年级，所以九年级学生对“碳达峰”和“碳中和”的了解程度更深． 【小问3详解】 解：（名）． 答：两个年级测试成绩为优秀的学生共约360名． 18. 如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM． （1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】(1)利用尺规作图的方式(本质为三角形全等)作出∠ABC的角平分线即可； (2)先证明AB＝BC，AB＝AD，则AD＝BC，则可判断四边形ABCD是平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形ABCD是菱形． 【详解】解：(1)如下图所示，DB、CD为所作； (2)证明：∵AC平分∠BAM， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵AM∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA． ∴∠BAC＝∠BCA． ∴AB＝BC， 同理可证：AB＝AD． ∴AD＝BC． 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查了尺规作图中角平分线的作法，其本质是利用三角形全等的知识来作图；另外本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形判定方法是解决此题的关键. 19. 如图，正方形的两个顶点，都在反比例函数的图象上． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）反比例函数的图象经过点，直线分别与反比例函数，的图象交于点，．若，求的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可推出，求解即可； （2）确定得，推出，，，根据及不等式的性质可得结论． 【小问1详解】 解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， ∵点，是正方形的两个顶点， ∴， ∴， 联立， 解得：， ∴，， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵，是正方形的两个顶点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长的取值范围是． 【点睛】本题考查待定系数法确定反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，二元一次方程及不等式组的应用等知识点．确定反比例函数的解析式是解题的关键． 20. 2024年月日，中央广播电视总台《年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（）升升”，祝福全球华人在新一年如意康宁，好事连连．某商店销售，两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高元，花元购买款吉祥物的数量与花元购买款吉祥物的数量相同． （1）分别求出A，B两款吉祥物的单价． （2）某班级举办爱心义卖活动，准备从该商店购进，两款吉祥物共个进行售卖，且将每个款吉祥物的售价定为元，每个款吉祥物的售价定为元．若本次购进款吉祥物的数量不少于款吉祥物数量的倍，则应如何设计购买方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）款吉祥物的单价为元，款吉祥物的单价为元 （2）购买个款吉祥物和个款吉祥物才能获得最大利润，最大利润是元． 【解析】 【分析】分式方程的应用（根据数量关系列方程求解单价）、一次函数的应用（建立利润函数模型）、一元一次不等式的应用（确定自变量取值范围）．解题关键是找准数量相等关系列分式方程及正确建立利润关于购进数量的一次函数模型，根据函数性质和不等式条件确定最值 ． （1）这是一个通过数量关系建立分式方程求解单价的问题．已知款单价比款单价高元，且花不同金额购买、两款吉祥物数量相同．我们设款单价为未知数，根据“数量总价单价”，利用数量相等这一关系列出分式方程，求解并检验后得到两款吉祥物的单价． （2）这是一个利用一次函数性质结合不等式求最值的问题．先设购进款吉祥物的数量，从而表示出购进款吉祥物的数量以及利润的表达式．利润表达式是一个一次函数，根据一次函数的斜率判断其增减性．再根据款数量不少于款数量的倍这一条件列出不等式，确定自变量的取值范围．最后根据函数增减性和自变量取值范围求出利润最大值以及对应的购买方案． 【小问1详解】 解：设款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元． 根据题意，得，解得． 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意． ∴． 答：款吉祥物的单价为元，款吉祥物的单价为元． 【小问2详解】 解：设该班级本次购进款吉祥物个，则购进款吉祥物个，所获利润为元． 由题意，得． ∵， ∴随的增大而减小． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴当取时，的值最大，最大值为，此时． 答：购买个款吉祥物和个款吉祥物才能获得最大利润，最大利润是元． 21. 如图，已知内接于，是的直径，点E在上（不与点B，C重合），过点E作的切线，交的延长线于点F，连接． （1）若要使，需要添加一个条件．请从“条件①：平分；条件②：；条件③：”中选择一个你认为正确的条件添加，并写出相应的证明过程． （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）选择条件①，详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）选择条件①，证明：连接交于点H．先由切线性质和直径性质证明，，再由等腰三角形性质和角平分线性质证明．．得．或选择条件②，先由切线性质和直径性质证明，．再由等腰三角形性质和，得．即得； （2）设的半径为r，在中，由勾股定理解得．证明．（若选择条件②，此步可替换为“∵，”）得．由平行线分线段性质得．由垂径定理可得为的中位线．由三角形中位线性质得．一题多解：根据．解得． 【小问1详解】 解：（1）选择条件①， 证明：连接交于点H，如解图所示． ∵为的切线， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 或选择条件②， 证明：连接交于点H，如解图所示． ∵为的切线， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：设的半径为r， 则． 在中，， 解得． ∵， ∴． （若选择条件②，此步可替换为“∵，”） ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴为的中位线． ∴． ∵， ∴， 即， 解得． ∴． 一题多解： ∵， ∴． ∴， 即， 解得． 【点睛】本题考查了圆综合．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，切线性质定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定和分线段定理，勾股定理，三角形中位线性质，是解题的关键． 22. 已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． （1）求该抛物线的函数表达式及对称轴． （2）①在如图所示的平面直角坐标系中，先描出该二次函数图象上的三个点，再画出该二次函数的图象； ②在同一坐标系中画出直线，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集． （3）若关于x的一元二次方程在的范围内有实数根，请结合图象直接写出t的取值范围． 【答案】（1）， （2）①详见解析；②或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，画二次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，利用二次函数的性质即可得出对称轴； （2）①利用描点法画出函数图象即可；②画出直线的图象，结合图象即可得解； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为． ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：①描点，画出二次函数的图象如解图所示． ②画出直线如解图所示． 由图象可得：出关于x的不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：∵一元二次方程在的范围内有实数根， ∴在的范围内，抛物线与直线有交点． ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴抛物线在时取得最小值． 当时，，当时，． ∴当时，． ∴t的取值范围为． 23. 综合与探究 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的直角三角形纸片（）折叠，使点C的对应点F落在边上，折痕分别交于点D，E．再将该纸片沿过点E的直线折叠，使点A的对应点H落在的延长线上，折痕交于点G，如图2所示． 数学思考： （1）四边形的形状为______． 深入探究： （2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若F为的中点，试猜想线段与的位置关系和数量关系，并说明理由． （3）“智慧小组”提出问题：若点C的对应点F落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长． 【答案】（1）矩形；（2），详见解析；（3）面积的最大值是6，的长是3 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形判定与性质及二次函数的应用； （1）证明即可证明结论； （2）先证明，再证明，从而证明结论； （3）先证明，设，则，根据相似三角形性质得出，进而求出面积，再根据二次函数性质求出最值． 【详解】解：（1）由折叠得：， ， 四边形矩形； （2）． 理由：如解图，连接． 由（1）知四边形是矩形，则． ∵F为的中点， ∴． ∴． ∴． 由折叠的性质，得． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）面积的最大值为6，此时． 设，则． ， 则． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴当时，取最大值，最大值为6．此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $