专题6 二次函数综合—备战2025年浙江中考数学高频热点专题突破

专题6 二次函数综合 【热点 二次函数综合问题】 1．（2025•新昌县一模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2． （1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时， ①求b，c的值； ②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若x1＝3x2，求证：． 2．（2025•嘉兴模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）． （1）若该二次函数的图象经过点（3，0），（0，﹣3）． ①求该二次函数的表达式； ②将该二次函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y＝﹣2x﹣3上，求m的值． （2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，且当1≤x≤2时，该二次函数的最大值是2，求b的值． 3．（2025•宁波一模）甲、乙、丙三个同学研究了二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a≠0）的图象和性质，并交流了自己的学习成果． （1）甲同学的说法：当x＝0和x＝2时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由． （2）乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3．根据乙同学的发现，求出此时a的值． （3）丙同学的探索：若a＞0，当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出a的取值范围． 4．（2025•绍兴一模）若对于y关于x的函数在t≤x≤t+1范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为d． （1）若y＝2x﹣5，求d的值； （2）若， ①若点A（t，m），B（t+1，n）均在函数y的图象上，当m+n的值最大时，求d的值； ②当d＝4时，求t的值． 5．（2025•杭州一模）已知抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点． ①若k＝1，求a的值． ②点C（x3，y3）在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当y2＝y3时，0≤x3≤1，求a的取值范围． 6．（2025•富阳区一模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+4． （1）若二次函数过点A（3，7）． ①求此二次函数表达式． ②将二次函数向下平移2个单位，求平移后的二次函数与x轴的两个交点之间的距离． （2）如果P（n，a），M（﹣3，b），Q（n+2，a）都在这个二次函数上，且4＜b＜a，求n的取值范围． 7．（2025•拱墅区模拟）已知二次函数y＝x2﹣2bx+5（b为常数）． （1）当二次函数y＝x2﹣2bx+5的图象经过点A（1，0）时，求二次函数的表达式； （2）当x≥﹣1时，y的最小值为1，求b的值； （3）当b＝1时，把抛物线y＝x2﹣2bx+5向下平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线过点B（m，0），且﹣1＜m＜2，请求出n的取值范围． 8．（2025•衢江区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c． （1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ①当函数图象过点A（1，2）时，求该二次函数的关系式； ②当m≤x≤m+2时，函数的最小值为﹣2，求m的最大值． （2）若当y＜h时，x取值范围是k﹣5＜x＜1﹣k，且该二次函数图象经过B（﹣3，y1），C（t，y2）两点，y1＜y2，求t的取值的范围． 9．（2025•宁波一模）在同一平面直角坐标系中，若函数y1与y2的图象只有一个公共点，则称y2是y1的相切函数，公共点称为切点．已知函数，y2＝mx+n（mn≠0），且y2是y1的相切函数，点P为切点． （1）试写出切点P的坐标（　 　 ，　 　 ），及m与n的关系式　 　 ． （2）当x≠1时，试判断以下两组值①m＝2，n＝﹣2；②m＝﹣3，n＝3能否使y1＜y2成立？并说明理由． （3）若函数y1的图象经过点A（a，b1），函数y2的图象经过点B（a，b2），且b1﹣b2＝m，求a的值． 10．（2025•浙江模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣3． （1）当二次函数图象过点（2，﹣3）时，求二次函数的表达式，并求它与y轴的交点坐标； （2）若二次函数图象在直线x＝﹣2的右侧随着x的增大而增大，求m的取值范围； （3）若二次函数图象上存在两点A（a，a）和B（b，b），若﹣1＜a+b＜1，求m的取值范围． 11．（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2kx+4k﹣8（k为实数）的顶点为A． （1）当k＝2时，求抛物线的顶点坐标与对称轴． （2）求证：无论k取任何实数，抛物线与x轴总有两个不同的交点． （3）若以A为一个顶点作抛物线的内接等边三角形AMN（点M，N均在抛物线上），直接写出△AMN的面积． 12．（2025•钱塘区一模）已知二次函数y＝x2+2tx+t﹣3（t为常数）的图象经过y＝﹣x2+2x的图象顶点． （1）求t的值． （2）若二次函数y＝x2+2tx+t﹣3的图象经过点（m+1，n+1），求n的最小值． （3）若二次函数y＝x2+2tx+t﹣3在﹣3≤x≤m时，﹣3≤y≤1，求m的取值范围． 13．（2025•浙江模拟）已知y关于x的二次函数y＝ax2﹣（a是常数，a≠0）． （1）若函数图象经过点（3，0），求该函数图象的对称轴及顶点坐标． （2）在（1）的条件下，当x满足m≤x≤3时，y的取值范围为，求m的取值范围． （3）若，是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小． 14．（2025•乐清市校级模拟）已知二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+c． （1）若点（t，c）在该二次函数的图象上，求t的值； （2）若该二次函数图象的顶点在x轴上，求该二次函数的解析式； （3）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥﹣4． 15．（2025•西湖区校级一模）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数经过（﹣1，4），求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 16．（2025•缙云县二模）定义：平面直角坐标系xOy中，若点P（m，n），点Q（km+1，﹣k﹣1），其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级摆动点”．例如，点（1，2）的“2级摆动点”是点（2×1+1，﹣2×2﹣1），即点（3，﹣5）． （1）点（2，3）的3级摆动点是否在一次函数y＝﹣2x+4的图象上？请说明理由； （2）若函数的图象上存在点（2，5）的“k级摆动点”，求k的值； （3）若关于x的二次函数y＝x2+（b﹣1）x+2c﹣3的图象上恰有两个点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），这两个点的“1级摆动点”都在直线y＝x+1上，并且同时满足：（b﹣1）2＝8c，求证：． 17．（2025•金东区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a，b为常数且a≠0）的图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1． （1）求二次函数的表达式． （2）函数图象上有两个点A（x1，y1），B（x2，y2）． ①当时，求y1﹣y2的最大值． ②若m≤x1≤m+1，m+2≤x2≤m+3时，存在y1﹣y2＝1，求m的取值范围． 18．（2025•婺城区二模）已知点A（t，m）在抛物线（a为常数且a＞0）上，点B（t，n）在直线y2＝（a+1）x﹣1上． （1）求证：抛物线与x轴必有交点． （2）当a＝1时，求满足m≤n+2的整数t的值． （3）若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立，求a的取值范围． 19．（2025•莲都区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（2，2），对称轴为直线x＝1． （1）求二次函数的表达式； （2）若此函数图象上有一点B（m，n）到y轴的距离不大于2，求n的最大值与最小值之差； （3）已知点P（2t﹣1，y1），Q（3﹣t，y2）在该二次函数的图象上且位于y轴的两侧，若y1＞y2恒成立，求t的取值范围． 20．（2025•鹿城区校级一模）已知二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）． （1）求二次函数解析式及其对称轴； （2）将函数图象向上平移m个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（A在原点左侧），当AO：BO＝1：4时，求m的值； （3）当n﹣1≤x≤3时，二次函数的最小值为2n，求n的值． 21．（2025•定海区一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）． （1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式． （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． （3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2≥． 22．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）． （1）若函数图象的顶点为（1，2）且过点（3，10），求该函数表达式． （2）在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点（t，t﹣1）是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由． （3）设函数的对称轴为直线x＝m，点、B（2m，y2）在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点C（x3，y3）在新的函数图象上．当a＞0时，若对于8＜x3＜9，都有y1＜y3＜y2，直接写出m的取值范围：　 　 ． 23．（2025•龙泉市二模）已知x的二次函数y＝x2+2ax﹣3a． （1）当函数图象经过点（2，5）时． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点A（m，n）向左平移5个单位或向右平移4个单位，都恰好落在函数y＝x2+2ax﹣3a的图象上，求m的值． （2）设点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，且x1+x2＝3．求证：． 24．（2025•湖州一模）已知二次函数y＝ax2﹣4x+a2﹣1（a＞0）． （1）若a＝2， ①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标； ②已知该函数图象经过（4，n）和（m，n）两点，求m的值． （2）若该函数图象经过点（0，0），当﹣1≤x≤t时，函数的最大值恰好是4t，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6 二次函数综合 【热点 二次函数综合问题】 1．（2025•新昌县一模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2． （1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时， ①求b，c的值； ②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若x1＝3x2，求证：． 【思路点拨】（1）①由待定系数法求出函数表达式，即可求解； ②当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8，则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，即可求解；当t＞﹣1时，同理可解； （2）x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝﹣b，3x2+x2＝﹣b，则x2＝﹣b，即（﹣b）2+b•（﹣b）+c＝0，即可求解． 【解析】（1）解：①当x1＝2，则抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，0），且b+c＝﹣6， 则，解得： 即b、c的值分别为2、﹣8； ②y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9， 当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小， 当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8， 则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4， 方程无解； 当t＞﹣1时，y的最小值为﹣9，最大值为t2+2t﹣8， 则t2+2t﹣8﹣（﹣9）＝4， 解得：t＝﹣3（舍去）或1； （2）证明：∵x1＝3x2，且x1≠x2， ∴3x2≠x2， ∴x2≠0， ∵x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣b， ∴3x2+x2＝﹣b， ∴x2＝﹣b， ∴（﹣b）2+b•（﹣b）+c＝0， ∴c＝b2， ∴b﹣c＝b﹣b2＝﹣（b﹣4）2+3≤3， ∴． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 2．（2025•嘉兴模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）． （1）若该二次函数的图象经过点（3，0），（0，﹣3）． ①求该二次函数的表达式； ②将该二次函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y＝﹣2x﹣3上，求m的值． （2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，且当1≤x≤2时，该二次函数的最大值是2，求b的值． 【思路点拨】（1）①由题意得：，即可求解； ②新抛物线顶点坐标为：（2﹣m，1），将上述点的坐标代入一次函数表达式得：1+（2﹣m）+3＝0，即可求解； （2）当b≥4时，则函数在x＝2时取得最大值，即y＝﹣4+2b+c＝2，即可求解；当b≤2时、2＜b＜4时，同理可解． 【解析】解：（1）①由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3； ②该二次函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象， 则新抛物线顶点坐标为：（2﹣m，1）， 将上述点的坐标代入一次函数表达式得：1+（2﹣m）+3＝0， 解得：m＝4； （2）纵坐标是横坐标的两倍，则y＝2x， 联立上式和抛物线的表达式得：2x＝﹣x2+bx+c， 则Δ＝（2﹣b）2+4c＝0①； 当b≥4时，则函数在x＝2时取得最大值，即y＝﹣4+2b+c＝2， 将上式和①联立并解得：b＝6+2（不合题意的值已舍去）； 当b≤2时，则函数在x＝1时取得最大值，即y＝﹣1+b+c＝2， 将上式和①联立并解得：b＝4（舍去）； 当2＜b＜4时，则函数顶点取得最大值，即y＝+c＝2， 将上式和①联立并解得：b＝3， 综上，b＝6+2或3． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、函数的最值等，分类求解是解题的关键． 3．（2025•宁波一模）甲、乙、丙三个同学研究了二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a≠0）的图象和性质，并交流了自己的学习成果． （1）甲同学的说法：当x＝0和x＝2时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由． （2）乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3．根据乙同学的发现，求出此时a的值． （3）丙同学的探索：若a＞0，当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出a的取值范围． 【思路点拨】（1）根据函数的对称性即可求解； （2）a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，则这三个点有一个是顶点，进而求解； （3）当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值，则y＝﹣1，0，1，2，当x＝3时，y＝4a﹣1，则2＜4a﹣1≤3，即可求解． 【解析】解：（1）正确， 理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1， 则x＝0和x＝2关于抛物线的对称轴对称，故函数值相同； （2）a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，则这三个点有一个是顶点， 则到x轴的距离和为2， 由抛物线的表达式知，其顶点为（1，﹣1）， 令y＝ax2﹣2ax+a﹣1＝1，则x＝1±，则两个点之间的距离为2， 则3＝（2）×2＝3， 则a＝； （3）当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值，则y＝﹣1，0，1，2， 当x＝0时，y＝a﹣1，当x＝3时，y＝4a﹣1， 则2＜4a﹣1≤3，则＜a≤1． 【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到面积的计算、函数的图象和性质等，熟悉函数的图象和性质是解题的关键． 4．（2025•绍兴一模）若对于y关于x的函数在t≤x≤t+1范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为d． （1）若y＝2x﹣5，求d的值； （2）若， ①若点A（t，m），B（t+1，n）均在函数y的图象上，当m+n的值最大时，求d的值； ②当d＝4时，求t的值． 【思路点拨】（1）这是一次函数，根据k＝2可知：y随x的增大而增大，分别代入x＝t和x＝t+1计算y的值，从而可得d的值； （2）①计算m+n的值，配方后即可解答； ②类比（1）分别计算当x＝t时，y＝﹣t2+2，当x＝t+1时，y＝﹣（t+1）2+2，相减可得d＝4，列方程即可解答． 【解析】解：（1）在y＝2x﹣5中， ∵2＞0， ∴y随x的增大而增大， 当x＝t时，y＝2t﹣5， 当x＝t+1时，y＝2（t+1）﹣5＝2t﹣3， ∴d＝2t﹣3﹣（2t﹣5）＝2t﹣3﹣2t+5＝2； （2）①∵点A（t，m），B（t+1，n）均在函数y＝﹣x2+2的图象上， ∴m＝﹣t2+2，n＝﹣（t+1）2+2， ∴m+n＝﹣t2+2﹣（t+1）2+2＝﹣t2﹣t+＝﹣（t+）2+， ∴当m+n的值最大时，t＝﹣， 此时点A（﹣，），B（，）， ∴函数在t≤x≤t+1范围内有最大值是2，最小值是， ∴d＝2﹣＝； ②当x＝t时，y＝﹣t2+2， 当x＝t+1时，y＝﹣（t+1）2+2， 分四种情况： （i）当t+1＜0时，即t＜﹣1，d＝﹣（t+1）2+2﹣（﹣t2+2）＝4， ﹣（t+1）2+2+t2﹣2＝4， ∴t＝﹣； （ii）当t＞0时，d＝﹣+2﹣[﹣+2]＝4 ﹣+2+﹣2＝4， ∴t＝； （iii）当﹣＜t＜0时，2﹣[﹣+2]＝4， t＝﹣1±2（不符合题意，舍）， （iiii）当﹣1＜t＜﹣时，2﹣（﹣t2+2）＝4， t＝（不符合题意，舍）， 综上，t的值是或﹣． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，在一定范围内计算d的值，函数图象上点的坐标等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 5．（2025•杭州一模）已知抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点． ①若k＝1，求a的值． ②点C（x3，y3）在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当y2＝y3时，0≤x3≤1，求a的取值范围． 【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可； （2）①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论； ②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到x3＝﹣﹣x2，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系求得x2，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解析】解：∵抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）的顶点在x轴上， ∴Δ＝42﹣4a×3＝0， ∴a＝． ∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+4x+3； （2）①若k＝1，则y＝x， ∵A（﹣，y1）为直线y＝x（k≠0）与抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）的交点， ∴， ∴． ∴若k＝1，a的值为． ②抛物线y＝ax2+4x+3的对称轴为直线x＝﹣， ∵B（x2，y2），C（x3，y3）两点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，y2＝y3， ∴B，C两点关于对称轴直线x＝﹣对称， ∴， ∴x3＝﹣﹣x2． ∵直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点， ∴， ∴x1，x2是方程ax2+（4﹣k）x+3＝0（a＞0）的两个根， ∴， ∵x1＝﹣， ∴x2＝﹣3． ∴x3＝+3， ∵0≤x3≤1， ∴0≤﹣+3≤1， ∵a＞0， ∴≤2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线的对称轴，顶点坐标，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2025•富阳区一模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+4． （1）若二次函数过点A（3，7）． ①求此二次函数表达式． ②将二次函数向下平移2个单位，求平移后的二次函数与x轴的两个交点之间的距离． （2）如果P（n，a），M（﹣3，b），Q（n+2，a）都在这个二次函数上，且4＜b＜a，求n的取值范围． 【思路点拨】（1）①将点A的坐标代入函数表达式即可求解； ②平移后的表达式为：y＝﹣x2﹣4x+2，令y＝0，则x＝﹣2±，即可求解； （2）根据对称性求出m和n的关系，将P和M的坐标代入，求出a，b的表达式，在根据4＜b＜a求解n的取值范围即可． 【解析】解：（1）①将点A的坐标代入函数表达式得：7＝﹣9+6m+4，则m＝2， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+4； ②平移后的表达式为：y＝﹣x2+4x+2， 令y＝0，则x＝2±， 则两个交点之间的距离为2； （2）∵P（n，a），Q（n+2，a）在二次函数上， ∴对称轴为直线x＝n+1， ∴﹣＝m＝n+1， ∴y＝﹣x2+（2n+2）x+4 将P（n，a）和M（﹣3，b）代入， a＝﹣n2+（2n+2）n+4＝n2+2n+4， b＝﹣9﹣3（2n+2）+4＝﹣6n﹣11， ∵4＜b＜a， ∴， 解得， 综上所述：﹣3＜n＜﹣或n＜﹣5． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质，解不等式等，数形结合是解题的关键． 7．（2025•拱墅区模拟）已知二次函数y＝x2﹣2bx+5（b为常数）． （1）当二次函数y＝x2﹣2bx+5的图象经过点A（1，0）时，求二次函数的表达式； （2）当x≥﹣1时，y的最小值为1，求b的值； （3）当b＝1时，把抛物线y＝x2﹣2bx+5向下平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线过点B（m，0），且﹣1＜m＜2，请求出n的取值范围． 【思路点拨】（1）将点A的坐标代入函数表达式得：1﹣2b+5＝0，即可求解； （2）当b≤﹣1时，则x＝﹣1时，y＝1+2b+5＝1，则b＝﹣2.5；当b＞﹣1时，则x＝b时，y＝b2﹣2b2+5＝1，即可求解； （3）当抛物线首次和x轴有交点时，即n＝4，此时x＝＝m＝1，符合题意；当x＝﹣1时，y＝（﹣1﹣1）2+4﹣n＝0，则n＝8，即此时m＝﹣1；当x＝2时，y＝（2﹣1）2+4﹣n＝0，则n＝5，即此时m＝2，即可求解． 【解析】解：（1）将点A的坐标代入函数表达式得：1﹣2b+5＝0，则b＝3， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+5； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝b， 当b≤﹣1时，则x＝﹣1时，y＝1+2b+5＝1，则b＝﹣2.5； 当b＞﹣1时，则x＝b时，y＝b2﹣2b2+5＝1，则b＝﹣2（舍去）或2， 故b＝2或﹣2.5； （3）当b＝1时，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4， 抛物线向下平移n个单位时，y＝（x﹣1）2+4﹣n， 当抛物线首次和x轴有交点时，即n＝4，此时x＝1，符合题意； 当x＝﹣1时，y＝（﹣1﹣1）2+4﹣n＝0，则n＝8，即此时m＝﹣1； 当x＝2时，y＝（2﹣1）2+4﹣n＝0，则n＝5，即此时m＝2， 故4≤n＜8． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键． 8．（2025•衢江区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c． （1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ①当函数图象过点A（1，2）时，求该二次函数的关系式； ②当m≤x≤m+2时，函数的最小值为﹣2，求m的最大值． （2）若当y＜h时，x取值范围是k﹣5＜x＜1﹣k，且该二次函数图象经过B（﹣3，y1），C（t，y2）两点，y1＜y2，求t的取值的范围． 【思路点拨】（1）①由待定系数法即可求解； ②当m+2≤﹣1时，即m≤﹣3，此时x＝m+2时，取得最小值，即（m+2+1）2+c﹣1＝﹣2，即（m+3）2+c＝﹣1；当m≥﹣1时，同理可得：（m+1）2+c＝﹣1；当﹣3＜m＜﹣1时，抛物线在顶点时取得最小值，即c﹣1＝﹣2，则c＝﹣1，即c＝﹣1时，抛物线取得最小值﹣2，故m≤﹣1≤m+2，即可求解； （2）当y＜h时，x取值范围是k﹣5＜x＜1﹣k，则抛物线的对称轴为直线x＝（k﹣5+1﹣k）＝﹣2，∵y1＜y2，即|t+2|＞|﹣3+2|，即可求解． 【解析】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1＝﹣，则b＝2，则抛物线的表达式为：y＝x2+2x+c， ①将点A的坐标代入上式得：2＝1+2+c，则c＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣1； ②y＝x2+2x+c＝（x+1）2+c﹣1，顶点为（1，c﹣1）， 当m+2≤﹣1时，即m≤﹣3， 此时x＝m+2时，取得最小值，即（m+2+1）2+c﹣1＝﹣2，即（m+3）2+c＝﹣1； 当m≥﹣1时， 同理可得，此时x＝m时，取得最小值，即（m+1）2+c﹣1＝﹣2，即（m+1）2+c＝﹣1； 当﹣3＜m＜﹣1时， 抛物线在顶点时取得最小值，即c﹣1＝﹣2，则c＝﹣1， 即c＝﹣1时，抛物线取得最小值﹣2， 故m≤﹣1≤m+2， 解得：﹣3≤m≤﹣1， 即m的最大值为﹣1； （2）当y＜h时，x取值范围是k﹣5＜x＜1﹣k，则抛物线的对称轴为直线x＝（k﹣5+1﹣k）＝﹣2， ∵y1＜y2，即|t+2|＞|﹣3+2|， 解得：t＞﹣1或t＜﹣3． 【点睛】本题卡考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质，分类求解是本题解题的关键． 9．（2025•宁波一模）在同一平面直角坐标系中，若函数y1与y2的图象只有一个公共点，则称y2是y1的相切函数，公共点称为切点．已知函数，y2＝mx+n（mn≠0），且y2是y1的相切函数，点P为切点． （1）试写出切点P的坐标（　1　 ，　0　 ），及m与n的关系式　m+n＝0　 ． （2）当x≠1时，试判断以下两组值①m＝2，n＝﹣2；②m＝﹣3，n＝3能否使y1＜y2成立？并说明理由． （3）若函数y1的图象经过点A（a，b1），函数y2的图象经过点B（a，b2），且b1﹣b2＝m，求a的值． 【思路点拨】（1）联立y1与y2，得mx2+nx＝mx+n，整理得mx2+（n﹣m）x﹣n＝0，由题意得Δ＝b2﹣4ac＝0，于是可得m+n＝0，即n＝﹣m，将n＝﹣m代入方程mx2+（n﹣m）x﹣n＝0，得mx2﹣2mx+m＝0，解方程即可求出x的值，进而可求出相对应的y值，于是可得切点P的坐标； （2）由（1）得n＝﹣m，则，y2＝mx﹣m，要使y1＜y2成立，则mx2﹣mx＜mx﹣m，整理得m（x﹣1）2＜0，由x≠1可得（x﹣1）2＞0，进而可得m＜0，据此对m、n的两组值进行验证，即可得出答案； （3）由“函数y1的图象经过点A（a，b1），函数y2的图象经过点B（a，b2）”可得，b2＝ma+n，再结合b1﹣b2＝m，可得ma2+na﹣（ma+n）＝m，由（1）得n＝﹣m，将n＝﹣m代入并整理，得m（a2﹣2a）＝0，由mn≠0可得m≠0，进而可得（a2﹣2a）＝0，解方程即可求出a的值． 【解析】（1）解：已知函数，y2＝mx+n（mn≠0），且y2是y1的相切函数，点P为切点， 联立得：mx2+nx＝mx+n， 整理，得：mx2+（n﹣m）x﹣n＝0， 由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝0， 即（n﹣m）2﹣4m×（﹣n）＝（m+n）2＝0， ∴n＝﹣m， 将n＝﹣m代入方程mx2+（n﹣m）x﹣n＝0，得： mx2﹣2mx+m＝0， 整理，得：m（x﹣1）2＝0， ∵mn≠0， ∴m≠0， ∴x﹣1＝0，即：x＝1， 将x＝1代入，得： y＝m×12+n×1＝m+n＝0， ∴切点P的坐标为（1，0）， 故答案为：1，0，m+n＝0； （2）①不能使y1＜y2成立；②能使y1＜y2成立；理由如下： 由（1）得：n＝﹣m， ∴， y2＝mx+n＝mx﹣m， 要使y1＜y2成立，则mx2﹣mx＜mx﹣m， 整理，得：m（x﹣1）2＜0， ∵x≠1， ∴x﹣1≠0， ∴（x﹣1）2＞0， ∴m＜0， ①当m＝2，n＝﹣2时， ∵m＝2＞0，不满足m＜0， ∴y1＜y2不成立； ②当m＝﹣3，n＝3时， ∵m＝﹣3＜0，满足m＜0， ∴y1＜y2成立， 综上所述，①不能使y1＜y2成立；②能使y1＜y2成立； （3）∵函数y1的图象经过点A（a，b1），函数y2的图象经过点B（a，b2）， ∴，b2＝ma+n， ∵b1﹣b2＝m， ∴ma2+na﹣（ma+n）＝m， 即：ma2+na﹣ma﹣n＝m， 由（1）得：n＝﹣m， 将n＝﹣m代入，得：ma2﹣ma﹣ma﹣（﹣m）＝m， 整理，得：m（a2﹣2a）＝0， ∵mn≠0， ∴m≠0， ∴（a2﹣2a）＝0， 解得：a＝0或2， ∴a的值为0或2． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），一元二次方程的解法（直接开平方法，因式分解法），不等式的性质，完全平方公式等知识点，根据相切函数的定义推出n＝﹣m是解题的关键． 10．（2025•浙江模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣3． （1）当二次函数图象过点（2，﹣3）时，求二次函数的表达式，并求它与y轴的交点坐标； （2）若二次函数图象在直线x＝﹣2的右侧随着x的增大而增大，求m的取值范围； （3）若二次函数图象上存在两点A（a，a）和B（b，b），若﹣1＜a+b＜1，求m的取值范围． 【思路点拨】（1）把点（2，﹣3）代入y＝x2﹣2mx﹣3，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得对称轴为直线x＝m，进而根据二次函数图象开口向上，且当x≥m时y随着x的增大而增大，即可求解． （3）将（a，a），（b，b），代入解析式得出，a+b＝2m+1，根据﹣1＜a+b＜1得出m的取值范围． 【解析】解：（1）∵抛物线过点（2，﹣3）， ∴﹣3＝4﹣4m﹣3， ∴m＝1， ∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）； （2）∵二次函数y＝x2﹣2mx﹣3， ∴对称轴为直线， ∵二次函数图象开口向上，且当x≥m时y随着x的增大而增大， ∴m≤﹣2； （3）∵函数过（a，a），（b，b），且a≠b， ∴a2﹣2ma﹣3＝a，b2﹣2mb﹣3＝b， ∴a2﹣b2﹣2ma+2mb＝a﹣b， ∴（a﹣b）（a+b﹣2m﹣1）＝0， ∵a≠b， ∴a+b＝2m+1， ∵﹣1＜a+b＜1， ∴﹣1＜2m+1＜1， 解得﹣1＜m＜0． 【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 11．（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2kx+4k﹣8（k为实数）的顶点为A． （1）当k＝2时，求抛物线的顶点坐标与对称轴． （2）求证：无论k取任何实数，抛物线与x轴总有两个不同的交点． （3）若以A为一个顶点作抛物线的内接等边三角形AMN（点M，N均在抛物线上），直接写出△AMN的面积． 【思路点拨】（1）抛物线的对称轴为直线x＝k，当x＝k时，y＝x2﹣2kx+4k﹣8＝﹣k2+4k﹣8，即点A（k，﹣k2+4k﹣8），即可求解； （2）由Δ＝（﹣2k）2﹣4（4k﹣8）＝4（k﹣2）2+16＞0，即可求解； （3）由（1）知，点A（k，﹣k2+4k﹣8），则点N（k+m，﹣k2+4k﹣8+m），将点N的坐标代入抛物线表达式得：﹣k2+4k﹣8+m＝（k+m）2﹣2k（k+m）+4k﹣8，进而求解． 【解析】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝k， 当x＝k时，y＝x2﹣2kx+4k﹣8＝﹣k2+4k﹣8，即点A（k，﹣k2+4k﹣8）， 当k＝2时，抛物线的顶点坐标为：（2，﹣4），对称轴为直线x＝2； （2）∵Δ＝（﹣2k）2﹣4（4k﹣8）＝4（k﹣2）2+16＞0， ∴抛物线与x轴总有两个不同的交点； （3）△AMN的位置如下示意图， ∵△AMN为等边三角形，过A作AT⊥MN于点T， 设MT＝NT＝m，则AT＝m， 由（1）知，点A（k，﹣k2+4k﹣8）， 则点N（k+m，﹣k2+4k﹣8+m）， 将点N的坐标代入抛物线表达式得：﹣k2+4k﹣8+m＝（k+m）2﹣2k（k+m）+4k﹣8， 整理得：m2＝m，则m＝0（舍去）或， 则△AMN的面积＝NM×AT＝2m×m＝3． 【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、等边三角形的性质等，正确确定点N的坐标是解题的关键． 12．（2025•钱塘区一模）已知二次函数y＝x2+2tx+t﹣3（t为常数）的图象经过y＝﹣x2+2x的图象顶点． （1）求t的值． （2）若二次函数y＝x2+2tx+t﹣3的图象经过点（m+1，n+1），求n的最小值． （3）若二次函数y＝x2+2tx+t﹣3在﹣3≤x≤m时，﹣3≤y≤1，求m的取值范围． 【思路点拨】（1）先求出y＝﹣x2+2x的顶点坐标，再把顶点坐标代入二次函数y＝x2+2tx+t﹣3中可得t的值； （2）把点（m+1，n+1）代入二次函数y＝x2+2x﹣2中，整理化简可得n关于m的二次函数表达式，配方求最值即可； （3）对于二次函数y＝x2+2x﹣2，其对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣3），令y＝﹣3，此时可得x2+2x﹣2＝﹣3，解得x1＝x2＝﹣1；令y＝1，此时可得x2+2x﹣2＝1，解得x1＝﹣3，x2＝1，画出大致图象根据图象信息可解． 【解析】解：（1）根据y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，可得其顶点坐标为（1，1）， 把（1，1）代入二次函数y＝x2+2tx+t﹣3中，可得1＝1+2t+t﹣3， 解得t＝1． （2）由（1）知t＝1，故二次函数y＝x2+2x﹣2， 又因为y＝x2+2x﹣2图象经过点（m+1，n+1）， ∴n+1＝（m+1）2+2（m+1）﹣2，整理可得n＝m2+4m＝（m+2）2﹣4， 故n是m的二次函数，n的最小值为﹣4． （3）对于二次函数y＝x2+2x﹣2，其对称轴为直线x＝﹣1， 顶点坐标为（﹣1，﹣3）， 令y＝﹣3，此时可得x2+2x﹣2＝﹣3，解得x1＝x2＝﹣1； 令y＝1，此时可得x2+2x﹣2＝1，解得x1＝﹣3，x2＝1， 画出大致图象如下图所示： 由于在﹣3≤x≤m时，﹣3≤y≤1， 故m的取值范围为﹣1≤m≤1． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数配方求最值，二次函数的区间最值，熟练掌握以上内容并能数形结合考虑是解题关键． 13．（2025•浙江模拟）已知y关于x的二次函数y＝ax2﹣（a是常数，a≠0）． （1）若函数图象经过点（3，0），求该函数图象的对称轴及顶点坐标． （2）在（1）的条件下，当x满足m≤x≤3时，y的取值范围为，求m的取值范围． （3）若，是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小． 【思路点拨】（1）将（3，0）代入抛物线表达式得：0＝9a﹣（a+2）×3﹣1＝0，即可求解； （2）y的取值范围为，即在x轴下方部分，则m在x＝﹣和顶点之间，即可求解； （3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝+，则点A、B和对称轴的距离分别为：|+﹣|＝||、|+﹣﹣|＝||，进而求解． 【解析】解：（1）将（3，0）代入抛物线表达式得：0＝9a﹣（a+2）×3﹣1＝0，则a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1， 则抛物线的对称轴为直线x＝， 当x＝时，y＝x2﹣x﹣1＝， 顶点为：（，﹣）； （2）令y＝x2﹣x﹣1﹣0，则x＝﹣或3， 故抛物线和x轴的交点为（﹣，0）、（3，0）， ∵y的取值范围为，即在x轴下方部分， 则m在x＝﹣和顶点之间，即﹣≤m≤； （3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝+， 则点A、B和对称轴的距离分别为：|+﹣|＝||、|+﹣﹣|＝||， 当a＞0时，则||＜||，则y2＞y1； 当a＜0时，则||＜||，则y2＜y1. 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到不等式，熟悉函数的图象和性质以及分类求解是解题的关键． 14．（2025•乐清市校级模拟）已知二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+c． （1）若点（t，c）在该二次函数的图象上，求t的值； （2）若该二次函数图象的顶点在x轴上，求该二次函数的解析式； （3）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥﹣4． 【思路点拨】（1）（t，c）代入y＝x2﹣2x+c，求解一元二次方程即可； （2）先得出顶点式，求出顶点坐标，当顶点坐标的纵坐标为零时即在x轴上，求解即可； （3）先利用二次函数的增减性求出最大值和最小值，再利用配方法判定即可． 【解析】（1）解：已知二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+c．点（t，c）在该二次函数的图象上，将（t，c）代入得： c＝t2﹣2t+c， 解得：t＝0或2； （2）解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1， ∴二次函数的顶点坐标为（1，c﹣1）， ∵该二次函数图象的顶点在x轴上， ∴c﹣1＝0， 解得：c＝1， ∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+1； （3）证明：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1， 其中1＞0，对称轴为直线x＝1， ∴在﹣1≤x≤1时，y随x的增大而减小；在1＜x≤2时，y随x的增大而增大； ∴当x＝1时函数取得最小值n＝c﹣1； 当x＝﹣1时函数取得最大值m＝1+2+c＝c+3； ∴mn＝（c﹣1）（c+3）＝c2+2c﹣3＝（c+1）2﹣4≥﹣4， 即mn≥﹣4． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，配方法的应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 15．（2025•西湖区校级一模）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数经过（﹣1，4），求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 【思路点拨】（1）把（﹣1，4）点的坐标代入函数解析式中求出m即可； （2）根据抛物线开口向上得m＞0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标； （3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围． 【解析】解：（1）把（﹣1，4）代入函数解析式得， m+2m+3＝4， ∴m＝， ∴函数解析式为：y＝x2﹣x+3； （2）∵抛物线开口方向向上， ∴m＞0， ∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m， ∴抛物线的顶点为（1，3﹣m）， ∴当x＜1时y随x增大而减小， 当x≥1时，y随x增大而增大， ∴最低点N（1，3﹣m）， ∵当x＝﹣1时，y＝3m+3， 当x＝2时，y＝3， 且m＞0， ∴3m+3＞3， ∴最高点M（﹣1，3m+3）， ∴3m+3＝9， ∴m＝2， 代入M点和N点坐标得：M（﹣1，9），N（1，1）； （3）①当m＞0时， 则有当x≤1时y随x增大而减小， 当x≥1时，y随x增大而增大， 又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a+2≤1， ∴a≤﹣1， ②当m＜0时， 则有当x≤1时y随x增大而增大， 当x≥1时，y随x增大而减小， 又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a≥1， 综上，当m＞0时a≤﹣1；当m＜0时，a≥1． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键． 16．（2025•缙云县二模）定义：平面直角坐标系xOy中，若点P（m，n），点Q（km+1，﹣k﹣1），其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级摆动点”．例如，点（1，2）的“2级摆动点”是点（2×1+1，﹣2×2﹣1），即点（3，﹣5）． （1）点（2，3）的3级摆动点是否在一次函数y＝﹣2x+4的图象上？请说明理由； （2）若函数的图象上存在点（2，5）的“k级摆动点”，求k的值； （3）若关于x的二次函数y＝x2+（b﹣1）x+2c﹣3的图象上恰有两个点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），这两个点的“1级摆动点”都在直线y＝x+1上，并且同时满足：（b﹣1）2＝8c，求证：． 【思路点拨】（1）求出点（2，3）的3级摆动点是（7，﹣10），进一步得出结果； （2）表示出点（2，5）的“k级摆动点”为（2k+1，﹣5k﹣1），将其代入函数的解析式，进一步得出结果； （3）根据点A（x1，y1）的“1级摆动点”为（x1+1，﹣y1﹣1）在直线y＝x+1上时得出y1＝﹣x1﹣3，根据题意得出﹣x﹣3＝x2+（b﹣1）x+﹣3有两个不等的实数根，整理后根据一元二方程根的判别式大于0，进而得出结论． 【解析】（1）解：点（2，3）的3级摆动点是否在一次函数y＝﹣2x+4的图象上，理由如下： 当m＝2，n＝3，k＝3时， km+1＝2×3+1＝7，﹣kn﹣1＝﹣3×3﹣1＝﹣10， ∴点（2，3）的3级摆动点是（7，﹣10）， 当x＝7时，y＝﹣2×7+4＝﹣10， ∴点（2，3）的3级摆动点是否在一次函数y＝﹣2x+4的图象上； （2）解：点（2，5）的“k级摆动点”为（2k+1，﹣5k﹣1）， ∵函数的图象上存在点（2，5）的“k级摆动点”， ∴﹣5k﹣1＝， ∴k＝﹣或k＝0（舍去）， ∴k＝﹣； （3）证明：点A（x1，y1）的“1级摆动点”为（x1+1，﹣y1﹣1）在直线y＝x+1上时， ∴﹣y1﹣1＝（x1+1）+1， ∴y1＝﹣x1﹣3， ∵（b﹣1）2＝8c， ∴2c＝， ∴y＝x2+（b﹣1）x+2c﹣3＝x2+（b﹣1）x+， 由题意得， ﹣x﹣3＝x2+（b﹣1）x+﹣3有两个不等的实数根， 即：x2+bx+＝0有两个不等的实数根， ∴Δ＞0， ∴， ∴b＞． 【点睛】本题在新定义的基础上，考查了有关一次函数和反比例函数的求值问题，一元二次方程和二次函数之间的关系等知识，解决问题的关键是正确理解题意． 17．（2025•金东区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a，b为常数且a≠0）的图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1． （1）求二次函数的表达式． （2）函数图象上有两个点A（x1，y1），B（x2，y2）． ①当时，求y1﹣y2的最大值． ②若m≤x1≤m+1，m+2≤x2≤m+3时，存在y1﹣y2＝1，求m的取值范围． 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①分别求出y1最大值和y2最小值，即可求出答案；②根据题意列出不等式组进行解答即可． 【解析】解：（1）方法一：∵二次函数y＝ax2+bx+3（a，b为常数且a≠0）的图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1． ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+2x+3； 方法二：∵二次函数y＝ax2+bx+3（a，b为常数且a≠0）的图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴二次函数与x轴的另一个交点为（3，0），且该函数图象与y轴交点为（0，3）， ∴设二次函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 将（0，3）代入得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3； （2）①y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， 当x＜1时，y随着x的增大而增大， 当x＞1时，y随着x的增大而减小， ∴当﹣1≤x1≤0时，当x＝0时，y1最大值为3， 当，当时，y2最小值为， ∴y1﹣y2最大值为； ②x＝m时，y＝﹣m2+2m+3； x＝m+1时，y＝﹣m2+4； x＝m+2时， y＝﹣m2﹣2m+3； x＝m+3时，y＝﹣m2﹣4m； ∴， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的最值等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18．（2025•婺城区二模）已知点A（t，m）在抛物线（a为常数且a＞0）上，点B（t，n）在直线y2＝（a+1）x﹣1上． （1）求证：抛物线与x轴必有交点． （2）当a＝1时，求满足m≤n+2的整数t的值． （3）若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立，求a的取值范围． 【思路点拨】（1）求出Δ＝b2﹣4ac的值即可求证； （2）当a＝1时，m＝2t2+7t+3，n＝2t﹣1，那么2t2+7t+3≤2t﹣1+2成立时，可通过画图方法，求得t值； （3）由题意可知，m＝2at2+（6a+1）t+3，n＝（a+1）t﹣1，那么2at2+（6a+1）t+3≤（a+1）t﹣1+2成立时，可整理为2at2+5at+2≤0，不妨设 y′＝2at2+5at+2，那么其对称轴为，仅存在一个整数t，使得2at2+5at+2≤0成立，那么t＝﹣1时，y′＝2a﹣5a+2≤0且t＝﹣2时，y′＝8a﹣10a+2＞0，从而求得a的取值范围． 【解析】（1）证明：， ∴Δ＝（6a+1）2﹣4×2a×3＝36a2﹣12a+1＝（6a﹣1）2≥0， ∴抛物线与x轴必有交点； （2）解：当a＝1时，，y2＝2x﹣1， ∵点A（t，m）在抛物线上， ∴m＝2t2+7t+3， ∵点B（t，n）在直线y2＝2x﹣1上，将点B的坐标代入得：n＝2t﹣1， ∵m≤n+2， ∴2t2+7t+3≤2t﹣1+2， 即2t2+5t+2≤0， 设w＝2t2+5t+2＝（2t+1）（t+2）， 当或t＝﹣2时，w＝0； 画函数w＝2t2+5t+2如图1： 由图象可知，当w≤0，即m≤n+2，满足条件的整数t的值为﹣2和﹣1； （3）解：依题意得：m＝2at2+（6a+1）t+3，n＝（a+1）t﹣1， 设y′＝m﹣n﹣2， ∴y′＝2at2+5at+2， ∴其对称轴为，如图2： ∵m≤n+2， ∴2at2+5at+2≤0， ∵若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立， ∴t＝﹣1时，y′＝2a﹣5a+2≤0； t＝﹣2时，y′＝8a﹣10a+2＞0， ∴a的取值范围为：． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 19．（2025•莲都区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（2，2），对称轴为直线x＝1． （1）求二次函数的表达式； （2）若此函数图象上有一点B（m，n）到y轴的距离不大于2，求n的最大值与最小值之差； （3）已知点P（2t﹣1，y1），Q（3﹣t，y2）在该二次函数的图象上且位于y轴的两侧，若y1＞y2恒成立，求t的取值范围． 【思路点拨】（1）将A（2，2）代入解析式，并利用对称轴解析式解答即可； （2）由题意得﹣2≤m≤2，由于开口向上，那么当m＝1时，n有最小值1；由于横坐标为﹣2的点到对称轴的距离1﹣（﹣2）＝3大于点A到对称轴的距离1，则当m＝﹣2时，n取得最大值，即可求解； （3）①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，则，由于y1＞y2恒成立，所以，再分别解不等式和不等式组；②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧，则，由于y1＞y2恒成立，则，再分别解不等式和不等式组即可． 【解析】解：（1）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（2，2），对称轴为直线x＝1， 依题意得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+2； （2）∵点B到y轴的距离不大于2，所以﹣2≤m≤2， ∵该函数二次项系数为1大于0， ∴当m＝1时，n有最小值1； ∵横坐标为﹣2的点到对称轴的距离1﹣（﹣2）＝3大于点A到对称轴的距离1， ∴当m＝﹣2时，n取得最大值为（﹣2﹣1）2+1＝10， ∵10﹣1＝9， ∴n的最大值与最小值之差为9； （3）二次函数图象的对称轴为直线x＝1， ①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧， ∴， 解得：， ∵y1＞y2恒成立，所以， 解得t＜0， ∴t＜0； ②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧， ∴，解得：t＞3， ∵y1＞y2恒成立，所以， 解得t＞0， ∴t＞3， 综上所述，t的取值范围是t＜0或t＞3． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，求出函数解析式是解题的关键． 20．（2025•鹿城区校级一模）已知二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）． （1）求二次函数解析式及其对称轴； （2）将函数图象向上平移m个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（A在原点左侧），当AO：BO＝1：4时，求m的值； （3）当n﹣1≤x≤3时，二次函数的最小值为2n，求n的值． 【思路点拨】（1）将（1，﹣4）代入函数表达式，即可求解； （2）当AO：BO＝1：4时，设点A（﹣t，0）、B（4t，0），则平移后抛物线的对称轴仍然为直线x＝1＝（4t﹣t），则t＝，即可求解； （3）当x＝n﹣1＜1时，即n＜2，抛物线在顶点处取得最小值，即﹣4＝2n，则n＝﹣2；当3≥x＝n﹣1≥1时，即2≤n≤4，则抛物线在x＝n﹣1时取得最小值，即（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣3＝2n，即可求解． 【解析】解：（1）将（1，﹣4）代入函数表达式得：﹣4＝1+b﹣3，则b＝﹣2， 即抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3， 则抛物线的对称轴为直线x＝1； （2）当AO：BO＝1：4时，设点A（﹣t，0）、B（4t，0）， 则平移后抛物线的对称轴仍然为直线x＝1＝（4t﹣t），则t＝， 则点A、B的坐标分别为：（﹣，0）、（，0）， 则新抛物线的表达式为：y＝（x+）（x﹣）＝x2﹣2x﹣3+， 即m＝； （3）由（1）知，抛物线的顶点为（1，﹣4）， 当x＝n﹣1＜1时，即n＜2， 抛物线在顶点处取得最小值，即﹣4＝2n，则n＝﹣2； 当3≥x＝n﹣1≥1时，即2≤n≤4， 则抛物线在x＝n﹣1时取得最小值，即（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣3＝2n， 解得：n＝0（舍去）或6（舍去）， 综上，n＝﹣2． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、图形的平移等，熟悉函数的性质和分类求解是解题的关键． 21．（2025•定海区一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）． （1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式． （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． （3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2≥． 【思路点拨】（1）把a＝2代入二次函数的关系式，再把x＝1，y＝1代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式； （2）令y＝0，则ax2+bx+2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标； （3）根据题意得到4a+2b+2＝2a+4b，整理得b＝a+1，则a2+b2＝2a2+2a+1＝2（a+）2+，根据二次函数的性质即可得到a2+b2≥． 【解析】（1）解：把a＝2代入得，y＝2x2+bx+2， ∵当x＝1时，y＝1， ∴1＝2+b+2， ∴b＝﹣3， ∴二次函数的关系式为y＝2x2﹣3x+2； （2）解：令y＝0，则ax2+bx+2＝0， 当Δ＝0时，则b2﹣8a＝0， ∴b2＝8a， ∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点， ∴此时函数为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2， ∴此函数的顶点坐标为（﹣1，0）； （3）证明：∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m）， ∴4a+2b+2＝2a+4b， ∴2a+2＝2b， ∴b＝a+1， ∴a2+b2 ＝a2+（a+1）2 ＝2a2+2a+1 ＝2（a+）2+， ∴a2+b2≥． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：（1）熟知待定系数法；（2）求得b＝a+1；（3）熟知二次函数的性质． 22．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）． （1）若函数图象的顶点为（1，2）且过点（3，10），求该函数表达式． （2）在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点（t，t﹣1）是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由． （3）设函数的对称轴为直线x＝m，点、B（2m，y2）在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点C（x3，y3）在新的函数图象上．当a＞0时，若对于8＜x3＜9，都有y1＜y3＜y2，直接写出m的取值范围：　≤m≤4　 ． 【思路点拨】（1）由题意得y＝a（x﹣1）2+2，把点（3，10）代入可求得a＝2，即可求得答案； （2）由平移得y＝2（x+1）2﹣1，把点（t，t﹣1）代入，整理得2t2+3t+2＝0，利用根的判别式可得Δ＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0，即可得出答案； （3）运用函数图象平移及二次函数的性质列不等式组求解即可． 【解析】解：（1）∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为（1，2）， ∴设y＝a（x﹣1）2+2， 把点（3，10）代入y＝a（x﹣1）2+2，得a（3﹣1）2+2＝10， 解得：a＝2， ∴y＝2（x﹣1）2+2， 即y＝2x2﹣4x+4． （2）将函数y＝2x2﹣4x+4的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新函数的表达式为：y＝2（x﹣1+2）2+2﹣3＝2（x+1）2﹣1， 把点（t，t﹣1）代入y＝2（x+1）2﹣1，得：t﹣1＝2（t+1）2﹣1， 整理得：2t2+3t+2＝0， ∵Δ＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0， ∴原方程没有实数解， ∴点（t，t﹣1）不在新的函数图象上． （3）∵原函数的对称轴为直线x＝m， ∴将函数向右平移两个单位后，新函数的对称轴变为x＝m+2， 又∵点A（m，y1），B（2m，y2）在原函数的图象上，点C（x3，y3）在新的函数图象上， 且当a＞0时，若对于8＜x3＜9，都有y1＜y3＜y2， ∴m+2＜x3＜2m+2， 即， 解得：≤m≤4； 故答案为：≤m≤4． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线的平移变换，一元二次方程根的判别式，不等式组等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 23．（2025•龙泉市二模）已知x的二次函数y＝x2+2ax﹣3a． （1）当函数图象经过点（2，5）时． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点A（m，n）向左平移5个单位或向右平移4个单位，都恰好落在函数y＝x2+2ax﹣3a的图象上，求m的值． （2）设点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，且x1+x2＝3．求证：． 【思路点拨】（1）①依据题意，由函数图象经过点（2，5），可得4+4a﹣3a＝5，求出a后即可判断得解； ②依据题意可得，点A向左平移后的点为（m﹣5，n），点A向右平移后的点为（m+4，n），结合对称轴是直线x＝﹣1，则，求出m后即可得解； （2）依据题意，由x1+x2＝3，则x2＝3﹣x1，又M（x1，y1），N（3﹣x1，y2）是二次函数y＝x2+2ax﹣3a图象上两点，从而＝＝，进而可以判断得解． 【解析】解：（1）①由题意，∵函数图象经过点（2，5）， ∴4+4a﹣3a＝5． ∴a＝1． ∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣3． ②由题意可得，点A向左平移后的点为（m﹣5，n），点A向右平移后的点为（m+4，n）， ∵对称轴是直线x＝﹣1， ∴． ∴． （2）由题意，∵x1+x2＝3， ∴x2＝3﹣x1， ∵M（x1，y1），N（3﹣x1，y2）是二次函数y＝x2+2ax﹣3a图象上两点， ∴ ＝ ＝． ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 24．（2025•湖州一模）已知二次函数y＝ax2﹣4x+a2﹣1（a＞0）． （1）若a＝2， ①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标； ②已知该函数图象经过（4，n）和（m，n）两点，求m的值． （2）若该函数图象经过点（0，0），当﹣1≤x≤t时，函数的最大值恰好是4t，求t的值． 【思路点拨】（1）①根据配方法求解； ②根据抛物线的对称性求解； （2）根据二次函数的性质求解． 【解析】解：（1）①当a＝2时，y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1， ∴该函数的表达式为y＝2x2﹣4x+3，顶点坐标为（1，1）； ②由题意得：， 解得：m＝﹣2； （2）由题意得：a2﹣1＝0， ∴a＝1（取正数解）， ∴y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4， ∴当﹣1≤x≤t≤5时，y的最大值为x＝﹣1时的y值， ∴1+4＝5＝4t， 解得：t＝1.25， 当﹣1≤x≤5≤t时，y的最大值为x＝t时的y值， ∴t2﹣4t＝4t， 解得：t＝8或t＝0（不合题意，舍去）， ∴t的值为1.25或8． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$