备战2025年浙江中考数学高频热点专题突破讲义 专题4 一次函数与反比例函数

专题4 一次函数与反比例函数 【热点1函数的图象】 1．（2025•温州模拟）已知A（﹣6，a+3），B（3，a），C（4，a+1），D（6，a+3）均在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•上城区一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x … a﹣1 a a+1 … y … b+2 b b﹣2 … 则这个函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•钱塘区二模）数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 4．（2025•湖州一模）某地区某天的气温变化较大，如图表示该地区这天24小时的气温变化情况．下列说法正确的是（　　） A．正午12点时，该地气温最高 B．这一天早上6点之后，该地气温一直在升高 C．该地这一天只有一个时刻的气温达到20℃ D．该地这一天的最高与最低气温差大约是25℃ 5．（2025•定海区三模）为了准备参加深圳市马拉松比赛，茗茗和清清约定每周六同时从A地到相距6000米的B地匀速往返跑（中途不休息），茗茗的速度大于清清的速度．图中的折线表示从开始到第二次相遇截止时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的关系的图象，下列结论错误的是（　　） A．a＝1200 B．b＝1500 C．c＝45 D． 【热点2一次函数的图象与性质】 1．（2025•浙江一模）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 2．（2025•黄岩区二模）已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数且k≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是　 　 ． 3．（2025•绍兴二模）已知y1和y2均是关于x的一次函数，对于任意的实数a，b，当点（a，b）在y1的图象上时，点（b，a）就在y2的图象上，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2不具有性质P的是（　　） A．y1＝x+1和y2＝x﹣1 B．y1＝﹣2x+1和 C．y1＝2x﹣2和 D．y1＝﹣x+1和y2＝﹣x﹣1 4．（2025•龙港市二模）已知点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且kb≠0）的图象上，x1＜x2＜0，则下列说法一定正确的是（　　） A．若kb＜0，则y1y2＞0 B．若kb＜0，则y1y2＜0 C．若kb＞0，则y1y2＞0 D．若kb＞0，则y1y2＜0 5．（2025•湖州一模）在平面直角坐标系中，有A（﹣1，1），B（1，7），C（4，11），D（7，17）四个点，一次函数y＝kx+b的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（　　） A．（﹣1，1） B．（1，7） C．（4，11） D．（7，17） 6．（2025•宁波一模）在平面直角坐标系中，点（a，a2+1）一定位于（　　） A．一次函数y＝x+1图象的上方 B．一次函数y＝﹣x+1图象的下方 C．一次函数y＝x图象的上方 D．一次函数y＝﹣x图象的下方 7．（2025•萧山区一模）已知点A是正比例函数y＝kx图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移k（k＞0）个单位后的点仍在这个正比例函数的图象上，则k＝ 　 　 ． 8．（2025•拱墅区一模）若一次函数y＝kx+b的图象过点（1，m），（m，1），其中m≠1，则k＝ 　 　 ． 9．（2025•富阳区一模）已知一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为﹣1≤y≤8，则b的值是（　　） A． B． C．或 D． 【热点3一次函数的应用】 1．（2025•定海区一模）世界各国的天气预报主要使用摄氏或华氏温标，学生查阅资料，得到两种温标计量值如表： 摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122 请推算当摄氏温度为35℃时，华氏温度为　 　 ℉． 2．（2025•文成县二模）小文和小成两人从同一地点出发跑步前往某风景区游览，小文全程匀速跑，5分钟后小成才开始出发，第一次与小文相遇时，原地休息片刻，第二段速度比第一段速度提高30米/分钟，结果小成比小文提前4分钟到达．小文和小成的行程相关信息如表所示；离出发地的距离s（米）与小文、小成跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 行程里程（米） 小文 9：00﹣10：00 不分段 5400 小成 9.05﹣9：56 第一段（休息前） 1800 休息 第二段（休息后） 3600 （1）分别求出小文匀速和小成第一段的跑步速度． （2）求小成中间休息的时间． （3）在a分钟时两人第二次相遇，求a的值． 3．（2025•东阳市二模）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热100℃后自动进入保温模式．现有一壶20℃的水经过8分钟烧至100℃后进入保温模式，数学实验小组对这一过程进行了观察与记录，并绘制出水温y（℃）与时间x（分）的关系如图所示． 该款电热水壶保温模式说明： 1．智能控制：当水温降至60℃时，控制电路启动微加热元件短暂工作，将水重新加热至目标温度72℃后，关闭； 2．循环启停：以上过程周期性重复，保持水温在设定范围内． （1）求a的值为　 　 ． （2）已知x＝20时，y＝66，求当18≤x≤n时水温y与时间x之间的函数关系式，并求出n的值． （3）当x＝30时，求此时电热水壶中水的温度是多少℃． 4．（2025•浙江一模）甲、乙两同学在400米的环形跑道上参加1000米跑步训练，时间少于或等于3分40秒为满分．前800米的路程s（米）和时间t（秒）的函数关系如图． （1）乙同学按照当前的速度继续匀速跑，那么他能否得到满分？请说明理由． （2）求甲同学跑第2圈时的路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式． （3）若最后200米甲同学按第1圈的速度冲刺，乙同学保持原速不变，当乙同学跑到终点时，甲同学离终点还有多远？ 5．（2025•湖州一模）已知甲、乙两地相距120千米，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，线段OC分别表示小明、小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： （1）求小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式； （2）当时间t（h）为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20千米． 6．（2025•衢州一模）2024年“有礼杯”衢州马拉松于11月24日开跑，小明和小聪一起报名参加了“迷你跑”的比赛．小明以一定的速度跑到3000米处的补给点休息了一段时间后，继续以原速前行，在距离终点500米处因体力不支，最终以100米/分的速度坚持跑到终点；小聪在途中休息了5分钟后，以原来的倍的速度冲向终点．如图是小明和小聪在比赛过程中所跑的路程s（米）和跑步时间t（分）的函数关系图．根据图象回答下列问题： （1）求a的值； （2）求图中线段BC对应的函数表达式； （3）求小聪休息前的速度． 【热点4反比例函数系数k的几何意义】 1．（2025•定海区一模）如图，点B，C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结AB交y轴于点E，延长BC交x轴于点D．已知点A（﹣2，0），且BC＝CD，AE＝BE．若△ABC面积为10，则k的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2025•浙江模拟）如图，已知CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交反比例函数的图象于点A，B．若OA＝AC，则△OBC的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2025•绍兴一模）如图，已知点A在函数y＝（k是常数，k＞0，x＞0）图象上，点C在函数y＝﹣（x＞0）图象上，连结AC交x轴于点B，D是x轴上的点，若OA＝AB，BC＝CD，且△BCD的面积为1，则△AOB的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•杭州一模）如图，矩形ABCO的两边分别在坐标轴上，OA＝a，OC＝b，点P在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，且在矩形ABCO内部，其横坐标为c．过点P作PE∥x轴交AC于点E，作PF∥y轴交AB于点F，连结EF，FC．记△EFC的面积为S，以下说法正确的是（　　） A．S的值仅与a，b有关 B．S的值仅与c，k有关 C．S的值仅与k有关 D．S的值与a，b，c，k都有关 【热点5反比例函数图象与性质】 1．（2025•上虞区二模）若点A（n﹣4，y1），B（n﹣1，y2），C（n+4，y3）（其中1＜n＜4）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1 2．（2025•黄岩区二模）已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论中一定成立的是（　　） A．若x1x2＞0，则y3＞y4 B．若x1x3＞0，则y4＜y2 C．若y3＞y4＞0，则x1x2＜0 D．若y4＜y2＜0，则x1x3＞0 3．（2025•拱墅区一模）反比例函数的图象上有A（x1，m），B（x2，2m），C（x3，3m）三点，（　　） A．若x1＞0，则x1﹣x2＞x2﹣x3 B．若x1＜0，则x1﹣x2＞x2﹣x3 C．若x1＞0，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3| D．若x1＜0，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3| 4．（2025•绍兴二模）已知点A（m，6m）是反比例函数图象上一点，将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点仍在这个反比例函数图象上，则k＝　 　 ． 5．（2025•杭州二模）已知点A（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上．当1＜x＜4时，y的取值范围是 　 　 ． 6．（2025•台州一模）函数（k为常数）的图象过点A（4，2），B（1，m）． （1）求k，m的值； （2）小明说：“该函数图象上的任意一点（a，b），若a＜4，则b＞2”，你赞同小明的说法吗？请说明理由． 【热点6反比例函数与一次函数的交点问题】 1．（2025•富阳区一模）如图，一次函数y1＝x﹣1与反比例函数y2＝的图象交于点A（2，1），B（﹣1，﹣2），则使y1＜y2的x的取值范围是　 　 ． 2．（2025•浙江模拟）如图，一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，4）． （1）求b和k的值． （2）横坐标为3的点B是反比例函数图象上的一点，现将点B向下平移．当点B落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 3．（2025•临安区一模）如图，反比例函数图象过点A（﹣2，a），直线x＝4与该反比例函数图象和x轴分别交于点B和点D，连结AD． （1）求△ADB的面积． （2）若点P（m，n）（m＞0）在反比例函数图象上，当PD⊥AD，求点P的坐标． 4．（2025•新昌县一模）设函数，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）； （1）若函数y1和函数y2的图象交于A（2，m），B（6，1）两点． ①求函数y1，y2的表达式． ②当3＜x＜5时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）． （2）若点C（4，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移6个单位，得到点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值． 【热点7反比例函数的应用】 1．（2025•杭州模拟）综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤10cm时，该液体的密度ρ≥2g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 2．（2025•瓯海区二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从30℃加热到60℃需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． （1）求材料加热到90℃的时间． （2）求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． （3）已知该工艺品操作时温度需保持在60～90℃（包括60℃，90℃），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温60℃工作 间歇加热工作 过程 ①从30℃加热到60℃； ②保持60℃进行加工． ①从30℃加热到90℃； ②自然降温到60℃； ③再次加热到90℃； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） 3．（2025•上城区一模）某项目学习小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力F（单位：N）一定时，木板面积S（单位：m2）与人和木板对地面的压强P（单位：Pa）成反比例．当木板面积为0.2m2时，人和木板对地面的压强为3000Pa． （1）求P关于S的函数表达式； （2）当木板面积为0.3m2时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过1200Pa，木板面积至少要多大？请说明理由． 4．（2025•萧山区一模）科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？ 5．（2025•滨江区一模）某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）设运输公司平均运送速度y（单位：m3/天），完成运送任务所需时间为t（单位：天）． ①求y关于t的函数表达式． ②当t≤80时，求y的取值范围． （2）若1辆卡车，每天可运送土石方102m3，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆卡车？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 一次函数与反比例函数 【热点1函数的图象】 1．（2025•温州模拟）已知A（﹣6，a+3），B（3，a），C（4，a+1），D（6，a+3）均在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】由点A（﹣6，a+3），B（3，a），C（4，a+1），D（6，a+3）在同一个函数图象上，可得A与D关于y轴对称；由点B（3，a），C（4，a+1），可知当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案． 【解析】解：∵点A（﹣6，a+3），D（6，a+3）， ∴A与D关于y轴对称， 即这个函数图象关于y轴对称，故选项A不符合题意； ∵B（3，a），C（4，a+1）， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 2．（2025•上城区一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x … a﹣1 a a+1 … y … b+2 b b﹣2 … 则这个函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据函数增减性解答即可． 【解析】解：由题意可知，y随x的增大而减小， 所以选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图形，函数的表示方法以及函数值，根据题意得出函数增减性是解答本题的关键． 3．（2025•钱塘区二模）数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 【思路点拨】由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断m的正负，由x＞0时的函数图象判断n的正负． 【解析】解：∵， ∴x的取值范围是x≠﹣m，由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧， ∴m＜0，由图可知，当x＞0时的函数图象位于x轴的下方， ∴当x＞0时，y＜0， 又∵当x＞0时，（x+m）2＞0， ∴n＜0， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，掌握函数图象与点的坐标的关系是解题的关键． 4．（2025•湖州一模）某地区某天的气温变化较大，如图表示该地区这天24小时的气温变化情况．下列说法正确的是（　　） A．正午12点时，该地气温最高 B．这一天早上6点之后，该地气温一直在升高 C．该地这一天只有一个时刻的气温达到20℃ D．该地这一天的最高与最低气温差大约是25℃ 【思路点拨】从图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【解析】解：由图象可知： A、15点时，该地气温最高，原选项说法错误，不符合题意； B、这一天早上6点至9点，该地气温在下降，原选项说法错误，不符合题意； C、该地在12时至19时的气温达到20℃，原选项说法错误，不符合题意； D、该地这一天的最高与最低气温差大约是：30﹣5＝25（℃），说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是函数的图象，能根据函数图象在坐标系中的增减性判断出函数的增减性是解答此题的关键． 5．（2025•定海区三模）为了准备参加深圳市马拉松比赛，茗茗和清清约定每周六同时从A地到相距6000米的B地匀速往返跑（中途不休息），茗茗的速度大于清清的速度．图中的折线表示从开始到第二次相遇截止时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的关系的图象，下列结论错误的是（　　） A．a＝1200 B．b＝1500 C．c＝45 D． 【思路点拨】分析各个转折点所表示的实际意义即可得解． 【解析】解：如图所示， 先分析图象，A点之前两人距离一直变大，A点之后两人距离变小， 则说明A点表示茗茗达到B地的时间为40分钟，此时两人的距离为a米， ∴茗茗的速度为：＝150米/分； C点表示在茗茗返回过程中，两人相遇时的时间； 很明显CB段比BE段更陡，则可说明CB段是相遇之后茗茗从往A地返回，清清继续往B地去， ∴B点表示清清达到B地的时间为50分钟，此时两人相距b米， ∴清清的速度为＝120米/分； E点则表示茗茗返回A时间，D点第二次相遇时的时间， ∴a＝（150﹣120）×40＝1200， 故A选项正确； 当清清到达B地时，茗茗距离B地：（50﹣40）×150＝1500米， 即b＝1500， 故B选项正确； 两人第一次相遇时：150（x﹣40）+120x＝6000， 解得x＝，即c＝， 故C选项错误； ∴d＝2c＝， 故D选项正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数图象分析等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【热点2一次函数的图象与性质】 1．（2025•浙江一模）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【思路点拨】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜1＜3，即可得出y1＞y3＞y2． 【解析】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，且﹣2＜1＜3， ∴y1＞y3＞y2． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 2．（2025•黄岩区二模）已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数且k≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是　x＞2　 ． 【思路点拨】依据题意，由函数的图象，可以得到该函数y＝0时x的值和该函数的增减性，从而可以得到当y＜0时，x的取值范围． 【解析】解：由题意，根据函数的图象可得，一次函数y＝kx+b中y随x的增大而减小， 又∵当x＝2时，y＝0， ∴当y＜0时，x的取值范围是x＞2， 故答案为：x＞2． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，利用数形结合的思想解答． 3．（2025•绍兴二模）已知y1和y2均是关于x的一次函数，对于任意的实数a，b，当点（a，b）在y1的图象上时，点（b，a）就在y2的图象上，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2不具有性质P的是（　　） A．y1＝x+1和y2＝x﹣1 B．y1＝﹣2x+1和 C．y1＝2x﹣2和 D．y1＝﹣x+1和y2＝﹣x﹣1 【思路点拨】根据所给定义，对选项依次进行判断即可． 【解析】解：由y1＝x+1得， 点（a，a+1）在此函数的图象上． 将x＝a+1代入y2＝x﹣1得， y2＝a+1﹣1＝a， 所以点（a+1，a）在函数y2的图象上， 则函数y1和y2具有性质P． 故A选项不符合题意． 由y1＝﹣2x+1得， 点（a，﹣2a+1）在此函数图象上． 将x＝﹣2a+1代入得， ， 所以点（﹣2a+1，a）在函数y2的图象上， 则函数y1和y2具有性质P． 故B选项不符合题意． 由y1＝2x﹣2得， 点（a，2a﹣2）在此函数图象上． 将x＝2a﹣2代入得， ， 所以点（2a﹣2，a）在函数y2的图象上， 则函数y1和y2具有性质P． 故C选项不符合题意． 由y1＝﹣x+1得， 点（a，﹣a+1）在此函数图象上． 将x＝﹣a+1代入y2＝﹣x﹣1得， y2＝﹣（﹣a+1）﹣1＝a﹣2≠a， 所以点（﹣a+1，a）不在函数y2的图象上， 则函数y1和y2不具有性质P． 故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，理解题中所给定义是解题的关键． 4．（2025•龙港市二模）已知点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且kb≠0）的图象上，x1＜x2＜0，则下列说法一定正确的是（　　） A．若kb＜0，则y1y2＞0 B．若kb＜0，则y1y2＜0 C．若kb＞0，则y1y2＞0 D．若kb＞0，则y1y2＜0 【思路点拨】对k、b的正负进行分类讨论，并分别根据一次函数的性质求解即可． 【解析】解：当k＞0，b＞0时，kb＞0，且y随x的增大而增大，y1＜y2当x1＜x2＜0，不能确定y1、y2的正负，则y1y2＜0或y1y2＞0，故C、D错误； 当k＞0，b＜0时，kb＜0，且y随x的增大而增大，y1y2＞0，故A选项正确； 当k＜0，b＞0时，kb＜0，且y随x的增大而减小，y1y2＜0，故B选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 5．（2025•湖州一模）在平面直角坐标系中，有A（﹣1，1），B（1，7），C（4，11），D（7，17）四个点，一次函数y＝kx+b的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（　　） A．（﹣1，1） B．（1，7） C．（4，11） D．（7，17） 【思路点拨】根据题意，分别求出满足要求的一次函数的解析式，即可得出答案． 【解析】解：由题意，当一次函数y＝kx+b的图象经过点A和点B时， ， 解得， 一次函数的解析式为y＝3x+4；同理可得， 当一次函数y＝kx+b的图象经过点A和点C时，一次函数的解析式为y＝2x+3； 当一次函数y＝kx+b的图象经过点B和点C时，一次函数的解析式为y＝x+； 当一次函数y＝kx+b的图象经过点B和点D时，一次函数的解析式为y＝x+； 当一次函数y＝kx+b的图象经过点C和点D时，一次函数的解析式为y＝2x+3； 所以A、C、D都在一次函数y＝2x+3的图象上，该函数图象没有经过的点的坐标是B（1，7）． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，分别求出满足要求的一次函数的解析式是解题的关键． 6．（2025•宁波一模）在平面直角坐标系中，点（a，a2+1）一定位于（　　） A．一次函数y＝x+1图象的上方 B．一次函数y＝﹣x+1图象的下方 C．一次函数y＝x图象的上方 D．一次函数y＝﹣x图象的下方 【思路点拨】根据点（a，a2+1）在二次函数y＝x2+1的图象上，画出函数图象判断即可． 【解析】解：点（a，a2+1）在二次函数y＝x2+1的图象上，画出函数图象如下： A、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点（a，a2+1）不一定位于一次函数y＝x+1图象的上方，故A选项不符合题意； B、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点（a，a2+1）不一定位于一次函数y＝﹣x+1图象的下方，故B选项不符合题意； C、二次函数的图象在一次函数y＝x的上方，所以点（a，a2+1）一定位于一次函数y＝x图象的上方，故C选项符合题意； D、二次函数的图象在一次函数y＝﹣x的上方，所以点（a，a2+1）一定位于一次函数y＝x图象的上方，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象，数形结合是关键． 7．（2025•萧山区一模）已知点A是正比例函数y＝kx图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移k（k＞0）个单位后的点仍在这个正比例函数的图象上，则k＝ 　2　 ． 【思路点拨】设出点A的坐标，再表示出平移后所得点的坐标，代入正比例函数解析式即可解决问题． 【解析】解：由题知， 设点A的坐标为（m，mk）， 则把点A向上平移4个单位，向右平移k（k＞0）个单位后所得点的坐标为（m+k，mk+4）． 因为此点在y＝kx的图象上， 所以k（m+k）＝mk+4， 解得k＝2（舍负）． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 8．（2025•拱墅区一模）若一次函数y＝kx+b的图象过点（1，m），（m，1），其中m≠1，则k＝ 　﹣1　 ． 【思路点拨】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于k的方程组，解之即可得出结论． 【解析】解：∵一次函数y＝kx+b的图象过点（1，m），（m，1），m≠1， ∴， 解得：k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键． 9．（2025•富阳区一模）已知一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为﹣1≤y≤8，则b的值是（　　） A． B． C．或 D． 【思路点拨】本题分情况讨论①x＝1时对应y＝8，x＝﹣3时对应y＝﹣1；②x＝1时对应y＝﹣1，x＝﹣3时对应y＝8；将每种情况的两组数代入即可得出答案． 【解析】解：①将x＝1，y＝8代入得：8＝k+b，将x＝﹣3，y＝﹣1代入得：﹣1＝﹣3k+b， 解得：k＝，b＝；函数解析式为y＝x+，经检验验符合题意； ②将x＝1，y＝﹣1，代入得：﹣1＝k+b，将x＝﹣3，y＝8代入得：8＝﹣3k+b， 解得：k＝﹣，b＝，函数解析式为y＝﹣x+，经检验符合题意； 综上可得b＝或． 故选：C． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，注意本题需分两种情况，不要漏解． 【热点3一次函数的应用】 1．（2025•定海区一模）世界各国的天气预报主要使用摄氏或华氏温标，学生查阅资料，得到两种温标计量值如表： 摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122 请推算当摄氏温度为35℃时，华氏温度为　95　 ℉． 【思路点拨】根据题意判断出函数的类型，再用待定系数法求解求出解析式，再代入数据计算即可． 【解析】解：由题意可得．x每增加10℃，y增加18℉，是一个均匀变化的过程，所以函数为一次函数， 设y＝kx+b． 将（0，32）（10，50）代入解析式可得： ， 解得：． ∴y＝1.8x+32， 当x＝35°时，y＝1.8×35+32＝95， 故答案为：95． 【点睛】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 2．（2025•文成县二模）小文和小成两人从同一地点出发跑步前往某风景区游览，小文全程匀速跑，5分钟后小成才开始出发，第一次与小文相遇时，原地休息片刻，第二段速度比第一段速度提高30米/分钟，结果小成比小文提前4分钟到达．小文和小成的行程相关信息如表所示；离出发地的距离s（米）与小文、小成跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 行程里程（米） 小文 9：00﹣10：00 不分段 5400 小成 9.05﹣9：56 第一段（休息前） 1800 休息 第二段（休息后） 3600 （1）分别求出小文匀速和小成第一段的跑步速度． （2）求小成中间休息的时间． （3）在a分钟时两人第二次相遇，求a的值． 【思路点拨】（1）根据速度＝路程÷时间求出小文匀速的跑步速度，根据时间＝路程÷速度求出小文跑1800米时所用时间，从而根据速度＝路程÷时间求出小成第一段的跑步速度即可； （2）求出小成第二段的速度，从而求出小成跑步过程所用时间，进而求出小成中间休息的时间； （3）根据两人相遇时所跑路程相等列关于a的方程并求解即可． 【解析】解：（1）小文匀速的跑步速度为5400÷60＝90（米/分钟）， 小文跑1800米用时1800÷90＝20（分钟）， 则小成第一段的跑步速度为1800÷（20﹣5）＝120（米/分钟）． （2）当t＝60﹣4＝56时小成到达风景区， 小成第二段的速度为120+30＝150（米/分钟），则小成跑第二段用时（5400﹣1800）÷150＝24（分钟）， 56﹣20﹣24＝12（分钟）． 答：小成中间休息12分钟． （3）当两人第二次相遇时，得90a＝1800+150（a﹣20﹣12）， 解得a＝50． 【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度、路程之间的关系是解题的关键． 3．（2025•东阳市二模）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热100℃后自动进入保温模式．现有一壶20℃的水经过8分钟烧至100℃后进入保温模式，数学实验小组对这一过程进行了观察与记录，并绘制出水温y（℃）与时间x（分）的关系如图所示． 该款电热水壶保温模式说明： 1．智能控制：当水温降至60℃时，控制电路启动微加热元件短暂工作，将水重新加热至目标温度72℃后，关闭； 2．循环启停：以上过程周期性重复，保持水温在设定范围内． （1）求a的值为　72　 ． （2）已知x＝20时，y＝66，求当18≤x≤n时水温y与时间x之间的函数关系式，并求出n的值． （3）当x＝30时，求此时电热水壶中水的温度是多少℃． 【思路点拨】（1）由题意可得a的值； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出第一次降温时y与x的函数解析式，然后根据降温升温的周期性求出第三次降温时y与x的函数解析式，然后把x＝30代入解析式求出y的值即可． 【解析】解：（1）由题意可知，a＝72， 故答案为：72； （2）设当18≤x≤n时水温y与时间x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由题意知，当x＝18时，y＝60，当x＝20时，y＝66， ∴， 解得， ∴当18≤x≤n时水温y与时间x之间的函数关系式为y＝3x+6， 当y＝72时，3x+6＝72， 解得x＝22， 即n＝22； （3）设第一次降温时y与x的函数解析式为y＝mx+n（m≠0）， 把（8，100），（18，60）代入解析式得：， 解得， ∴第一次降温时y与x的函数解析式为y＝﹣4x+132（8≤x≤18）， 当y＝72时，﹣4x+132＝72， 解得x＝15， ∴18﹣15＝3（分钟），22﹣18＝4（分钟）， ∴第二次降温时y与x的函数解析式为y＝﹣4（x﹣7）+132＝﹣4x+160（22≤x≤25）， 第二次保温时y与x的函数解析式为y＝3（x﹣7）+6＝3x﹣15（25≤x≤29）， 第三次降温时y与x的函数解析式为y＝﹣4（x﹣7）+160＝﹣4x+188（29≤x≤32）， ∴当x＝30时，y＝﹣4×30+188＝68， 答：当x＝30时，求此时电热水壶中水的温度是68℃． 【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是求出每段线段所对应的函数解析式． 4．（2025•浙江一模）甲、乙两同学在400米的环形跑道上参加1000米跑步训练，时间少于或等于3分40秒为满分．前800米的路程s（米）和时间t（秒）的函数关系如图． （1）乙同学按照当前的速度继续匀速跑，那么他能否得到满分？请说明理由． （2）求甲同学跑第2圈时的路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式． （3）若最后200米甲同学按第1圈的速度冲刺，乙同学保持原速不变，当乙同学跑到终点时，甲同学离终点还有多远？ 【思路点拨】（1）求出乙同学路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式，然后令s＝1000，求出t的值即可解答； （2）设s＝kt+b，用待定系数法求解即可； （3）求出最后200米，乙跑到终点时，甲同学跑的时间是215﹣180＝35（秒），速度是（米/秒），进而可求出甲同学离终点还有多远． 【解析】解：（1）设s＝kt， 将（172，800）代入可得，800＝172k， 解得：， ∴． 令s＝1000， 解得：t＝215． ∵3分40秒＝220秒，215＜220， ∴乙同学能够得到满分． （2）由图象可知s是t的一次函数，设s＝kt+b， 由题意可得： 解得： ∴． （3）由（1）可知乙同学到终点的时间是215秒， 由图象可知甲同学跑前800米的时间是180秒， 所以最后200米，乙跑到终点时，甲同学跑的时间是215﹣180＝35（秒）． 速度是（米/秒）． 路程是（米）． ∴甲离终点的距离是（米）． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． 5．（2025•湖州一模）已知甲、乙两地相距120千米，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，线段OC分别表示小明、小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： （1）求小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式； （2）当时间t（h）为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20千米． 【思路点拨】（1）依据题意，设OC为S＝kt，又过点（3，80），求出k后即可判断得解； （2）依据题意，设小明的路程为S'＝kt+b（k≠0，k，b为常数），把 （1，0），（3，120）代入得则从而S＝60t﹣60，进而分相遇前和相遇后列式计算可以得解． 【解析】解：（1）由题意，设OC为S＝kt， 又过点（3，80）， ∴80＝3k． ∴k＝． ∴． （2）由题意，设小明的路程为S'＝kt+b（k≠0，k，b为常数），把 （1，0），（3，120）代入得 ∴ ∴S＝60t﹣60． ∴相遇前，，解得；相遇后，，解得． ∴小红出发1.2h或2.4h后两人相距20km，即当 t＝1.2或2.4h时，都在行驶中两人恰好相距 20km． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 6．（2025•衢州一模）2024年“有礼杯”衢州马拉松于11月24日开跑，小明和小聪一起报名参加了“迷你跑”的比赛．小明以一定的速度跑到3000米处的补给点休息了一段时间后，继续以原速前行，在距离终点500米处因体力不支，最终以100米/分的速度坚持跑到终点；小聪在途中休息了5分钟后，以原来的倍的速度冲向终点．如图是小明和小聪在比赛过程中所跑的路程s（米）和跑步时间t（分）的函数关系图．根据图象回答下列问题： （1）求a的值； （2）求图中线段BC对应的函数表达式； （3）求小聪休息前的速度． 【思路点拨】（1）根据时间＝路程÷速度求出CD所用时间，从而求出a的值即可； （2）根据速度＝路程÷时间求出小明在OA段的速度，亦即BC段的速度，设B（m，3000），根据路程＝速度×时间列关于m的方程并求解，再根据路程＝速度×时间求出线段BC对应的函数表达式即可； （3）将t＝32.5代入线段BC对应的函数表达式，求出对应s的值，设小聪休息前的速度为v米/分，则小聪休息后的速度为v米/分，用含v的代数式将点B的横坐标表示出来，再由路程＝速度×时间列关于v的方程并求解即可． 【解析】解：（1）小明在跑完CD段用时500÷100＝5（分）， 37.5+5＝42.5（分）， ∴a＝42.5． （2）小明OA段和BC段的速度均为3000÷15＝200（米/分）， 设B（m，3000），则200（37.5﹣m）＝5500﹣3000， 解得m＝25， s＝3000+200（t﹣25）＝200t﹣2000， ∴线段BC对应的函数表达式为s＝200t﹣2000（25≤t≤37.5）． （3）当t＝32.5时，s＝200×32.5﹣2000＝4500， 设小聪休息前的速度为v米/分，则小聪休息后的速度为v米/分， ∴点A的横坐标为， ∴点B的横坐标为+5， 根据图象，得4500+v[42.5﹣（+5）]＝6000， 解得v＝150． 答：小聪休息前的速度为150米/分． 【点睛】本题考查一次函数的应用、函数的图象，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． 【热点4反比例函数系数k的几何意义】 1．（2025•定海区一模）如图，点B，C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结AB交y轴于点E，延长BC交x轴于点D．已知点A（﹣2，0），且BC＝CD，AE＝BE．若△ABC面积为10，则k的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【思路点拨】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【解析】解：如图，连接CE、OC， ∵AE＝BE．△ABC面积为10， ∴S△AEC＝S△ABC＝＝5， ∵BC＝CD，AE＝BE． ∴CE是△ABD的中位线， ∴CE∥AD， ∴S△AEC＝S△OEC＝5， ∴k＝2S△OEC＝2×5＝10， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 2．（2025•浙江模拟）如图，已知CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交反比例函数的图象于点A，B．若OA＝AC，则△OBC的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【思路点拨】过点A作AE⊥x轴于点E，则S△OAE＝×4＝2，再由CD⊥x轴可知S△OBD＝×4＝2，AE∥CD，故可得出△OAE∽△OCD，再由OA＝AC得出＝，根据相似三角形的性质可得出△OCD的面积，由S△OBC＝S△OCD﹣S△OBD即可得出结论． 【解析】解：过点A作AE⊥x轴于点E， ∵CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交反比例函数的图象于点A，B， ∴S△OAE＝S△OBD＝×4＝2，AE∥CD， ∴△OAE∽△OCD， ∵OA＝AC， ∴＝， ∴＝＝， ∴S△OCD＝8， ∴S△OBC＝S△OCD﹣S△OBD＝8﹣2＝6． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变是解题的关键． 3．（2025•绍兴一模）如图，已知点A在函数y＝（k是常数，k＞0，x＞0）图象上，点C在函数y＝﹣（x＞0）图象上，连结AC交x轴于点B，D是x轴上的点，若OA＝AB，BC＝CD，且△BCD的面积为1，则△AOB的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，则AE∥CF，由题意设点A（m，），点C（n，﹣），则BE＝OE＝m，AE＝，DF＝BF＝n﹣2m，CF＝，通过证得△ABE∽△CBF，得到n＝（+1）m，然后根据△BCD的面积为1，即可求得k的值． 【解析】解：作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，则AE∥CF， ∵OA＝AB，BC＝CD， ∴OE＝BE，BF＝DF， 由题意设点A（m，），点C（n，﹣），则BE＝OE＝m，AE＝，DF＝BF＝n﹣2m，CF＝， ∴BD＝2（n﹣2m）， ∵AE∥CF， ∴△ABE∽△CBF， ∴，即， ∴m2＝n2﹣2mn， ∴2m2＝（n﹣m）2， ∴n＝（+1）m或n＝（1﹣）m（舍去）， ∴BD＝2（）m，CF＝， ∵△BCD的面积为1， ∴＝， ∴k＝3+2， ∵S△AOE＝， ∴S△AOB＝2S△AOE＝k＝3+2． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键． 4．（2025•杭州一模）如图，矩形ABCO的两边分别在坐标轴上，OA＝a，OC＝b，点P在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，且在矩形ABCO内部，其横坐标为c．过点P作PE∥x轴交AC于点E，作PF∥y轴交AB于点F，连结EF，FC．记△EFC的面积为S，以下说法正确的是（　　） A．S的值仅与a，b有关 B．S的值仅与c，k有关 C．S的值仅与k有关 D．S的值与a，b，c，k都有关 【思路点拨】根据题意，先确定各点的坐标，C（b，0），B（b，a），A（0，a），P（c，），F（c，a），利用S△CEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BCF＝得到结论即可． 【解析】解：如图， 由条件可知C（b，0），B（b，a），A（0，a）， ∵点P在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，且横坐标为c， ∴P（c，），F（c，a）， ∴S△AEF＝•AF•（a﹣）＝（ac﹣k）， S△BCF＝＝＝， S△ABC＝＝， ∴S△CEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BCF＝， ∴△EFC的面积为S仅与k值有关． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 【热点5反比例函数图象与性质】 1．（2025•上虞区二模）若点A（n﹣4，y1），B（n﹣1，y2），C（n+4，y3）（其中1＜n＜4）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1 【思路点拨】k＝1＞0可得函数图象第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，进而得到y1、y2、y3的大小关系． 【解析】解：∵反比例函数z中，k＝1＞0， ∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小． 又∵1＜n＜4， ∴n﹣4＜0＜n﹣1＜n+4， ∴点A（n﹣4，y1）在第三象限，点B（n﹣1，y2），C（n+4，y3）在第一象限， ∴y1＜0，y2＞y3＞0， ∴y1＜y3＜y2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 2．（2025•黄岩区二模）已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论中一定成立的是（　　） A．若x1x2＞0，则y3＞y4 B．若x1x3＞0，则y4＜y2 C．若y3＞y4＞0，则x1x2＜0 D．若y4＜y2＜0，则x1x3＞0 【思路点拨】根据所给反比例函数的解析式，得出反比例函数的图象位于第一、三象限，再结合反比例函数的性质对所给选项依次进行判断即可． 【解析】解：由题知， 因为反比例函数的解析式为y＝， 所以反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小． 当x1x2＞0时， 点（x1，y1）和（x2，y2）可能都在第三象限， 则当点（x3，y3）在第三象限，点（x4，y4）在第一象限时，y3＜y4． 故A选项不符合题意． 当x1x3＞0时， 点（x1，y1）和（x3，y3）可能都在第三象限， 则点（x2，y2）在第三象限，点（x4，y4）在第一象限时，y4＞y2． 故B选项不符合题意． 当y3＞y4＞0时， 点（x3，y3）和（x4，y4）都在第一象限， 当点（x1，y1）和（x2，y2）也都在第一象限时，x1x2＞0． 故C选项不符合题意． 当y4＜y2＜0时， 点（x2，y2）和（x4，y4）都在第三象限， 则点（x1，y1）和（x3，y3）也必定都在第三象限， 所以x1x3＞0． 故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 3．（2025•拱墅区一模）反比例函数的图象上有A（x1，m），B（x2，2m），C（x3，3m）三点，（　　） A．若x1＞0，则x1﹣x2＞x2﹣x3 B．若x1＜0，则x1﹣x2＞x2﹣x3 C．若x1＞0，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3| D．若x1＜0，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3| 【思路点拨】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解析】解：分别将点A（x1，m），B（x2，2m），C（x3，3m）坐标代入解析式得： x1＝，x2＝，x3＝， ∴x1﹣x2＝，x2﹣x3＝， 若x1＞0，则＞0， ∴x1﹣x2＞x2﹣x3＞0， ∴|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|， ∴A正确，C错误； 若x1＜0，则＜0， ∴x1﹣x2＜x2﹣x3＜0， ∴|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|， ∴B，D均错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 4．（2025•绍兴二模）已知点A（m，6m）是反比例函数图象上一点，将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点仍在这个反比例函数图象上，则k＝　6　 ． 【思路点拨】根据平移的特性写出平移后的点A的坐标为（m+2，6m﹣4），由点（m，6m）和点（m+2，6m﹣4）均在反比例函数图象上，即可得出k＝m•6m＝（m+2）（6m﹣4），解得即可． 【解析】解：∵点A（m，6m）， ∴将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后得到点为（m+2，6m﹣4）， 依题意得：k＝m•6m＝（m+2）（6m﹣4）， 解得：m＝1， ∴k＝1×6＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由A点坐标表示出平移后的点的坐标． 5．（2025•杭州二模）已知点A（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上．当1＜x＜4时，y的取值范围是 　﹣8＜y＜﹣2　 ． 【思路点拨】先求出反比例函数解析式，在将x＝1和4时代入求出函数值，就可得到函数的取值范围． 【解析】解：∵点A（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上． ∴k＝﹣8， ∴反比例函数解析式为：y＝﹣， ∵当x＝1时，y＝﹣8，当x＝4时，y＝﹣2， ∴当1＜x＜4时，y的取值范围是：﹣8＜y＜﹣2． 故答案为：﹣8＜y＜﹣2． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数性质是关键． 6．（2025•台州一模）函数（k为常数）的图象过点A（4，2），B（1，m）． （1）求k，m的值； （2）小明说：“该函数图象上的任意一点（a，b），若a＜4，则b＞2”，你赞同小明的说法吗？请说明理由． 【思路点拨】（1）根据反比例函数系数k＝xy求得即可； （2）利用反比例函数的性质即可判断小明的说法不正确． 【解析】解：（1）∵函数（k为常数）的图象过点A（4，2），B（1，m）， ∴k＝1•m＝4×2， ∴k＝8，m＝8； （2）不赞同小明的说法， ∵k＝8， ∴函数（k为常数）的图象在第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∵该函数图象上的任意一点（a，b）， ∴若0＜a＜4，则b＞2，若a＜0，则b＜0， ∴小明的说法不正确． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【热点6反比例函数与一次函数的交点问题】 1．（2025•富阳区一模）如图，一次函数y1＝x﹣1与反比例函数y2＝的图象交于点A（2，1），B（﹣1，﹣2），则使y1＜y2的x的取值范围是　0＜x＜2或x＜﹣1　 ． 【思路点拨】求得一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值即可． 【解析】解：∵一次函数y1＝x﹣1与反比例函数y2＝的图象交于点A（2，1），B（﹣1，﹣2）， ∴从图象可知：使y1＜y2的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2， 故答案为0＜x＜2或x＜﹣1． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键． 2．（2025•浙江模拟）如图，一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，4）． （1）求b和k的值． （2）横坐标为3的点B是反比例函数图象上的一点，现将点B向下平移．当点B落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 【思路点拨】（1）把A（﹣1，4）代入一次函数，反比例函数解析式即可求解； （2）根据题意得到，根据点的平移得到平移后，代入一次函数解析式即可求解． 【解析】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+b的图象过点A（﹣1，4）， ∴﹣2×（﹣1）+b＝4， 解得b＝2， ∴一次函数解析式为y＝﹣2x+2， ∵与反比例函数的图象过点A（﹣1，4）， ∴， 解得k＝﹣4； （2）由（1）知，k＝﹣4， ∴反比例函数解析式为， ∵点B的横坐标为3，且点B在反比例函数图象上， ∴，即， 设点B向下平移了m个单位， ∴， ∴， 解得， ∴向下平移的距离为． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，掌握以上知识是解题的关键． 3．（2025•临安区一模）如图，反比例函数图象过点A（﹣2，a），直线x＝4与该反比例函数图象和x轴分别交于点B和点D，连结AD． （1）求△ADB的面积． （2）若点P（m，n）（m＞0）在反比例函数图象上，当PD⊥AD，求点P的坐标． 【思路点拨】（1）待定系数法求出a值，再利用解析式求出点B、D坐标，代入三角形面积公式计算即可． （2）先求出直线AD的解析式得到kAD值，根据两直线垂直得到KPD，待定系数法求出直线PD解析式再与反比例函数解析式联立方程组即可求出点P的坐标． 【解析】解：（1）∵反比例函数图象过点A（﹣2，a）， ∴a＝＝﹣2， ∴A（﹣2，﹣2）， ∵直线x＝4与该反比例函数图象和x轴分别交于点B和点D， ∴B（4，1），D（4，0）， ∴S△ABD＝（4+2）＝3； （2）如图， 设直线AD的解析式为y＝kx+b，代入点AD坐标可得： ，解得， ∵PD⊥AD， ∴kPD＝﹣3， 设直线PD的解析式为y＝﹣3x+m，代入点D坐标可得：m＝12， ∴直线PD的解析式为y＝﹣3x+12， 联立方程组得，解得，， 点P的坐标为（，6﹣2）或（，6+2）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、三角形面积的计算，熟练掌握交点坐标求法是解答本题的关键． 4．（2025•新昌县一模）设函数，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）； （1）若函数y1和函数y2的图象交于A（2，m），B（6，1）两点． ①求函数y1，y2的表达式． ②当3＜x＜5时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）． （2）若点C（4，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移6个单位，得到点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值． 【思路点拨】（1）①待定系数法求出两个函数解析式即可； ②由两个函数增减性和交点坐标可知，2＜x＜6时，y1＜y2，据此解答即可； （2）根据平移性质解答即可． 【解析】解：（1）①∵函数y1和函数y2的图象交于A（2，m），B（6，1）两点， ∴k1＝6×1＝6．m＝3， ∴反比例函数解析式为：， ∵A（2，3），B（6，1）在函数y2＝k2x+b图象上， 解得 ∴一次函数解析式为：． ②由两个函数增减性和交点坐标可知，2＜x＜6时，y1＜y2， ∴当3＜x＜5时，y1＜y2， （2）根据题意和平移性质可得点D的坐标为（﹣2，n﹣3）， ∵点D在函数y1的图象上， ∴4n＝﹣2（n﹣3）， 解得：n＝1． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求两个函数解析式是关键． 【热点7反比例函数的应用】 1．（2025•杭州模拟）综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤10cm时，该液体的密度ρ≥2g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 【思路点拨】根据图象和反比例函数性质逐项分析判断即可． 【解析】解：根据题意得，反比例函数解析式为：h＝， A、当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故原说法错误，不符合题意； B、当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝10cm，故原说法错误，不符合题意；， C、当浸在液体中的高度0＜h≤10cm时，该液体的密度ρ≥2g/cm3，正确，符合题意； D、当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm，故原说法错误，不符合题意；， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． 2．（2025•瓯海区二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从30℃加热到60℃需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． （1）求材料加热到90℃的时间． （2）求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． （3）已知该工艺品操作时温度需保持在60～90℃（包括60℃，90℃），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温60℃工作 间歇加热工作 过程 ①从30℃加热到60℃； ②保持60℃进行加工． ①从30℃加热到90℃； ②自然降温到60℃； ③再次加热到90℃； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） 【思路点拨】（1）利用待定系数法求出解析式，然后把 y＝90时代入即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【解析】解：（1）由题意，结合图象，从30℃加热到60℃是一次函数的图象， ∴可设函数解析式为y＝kx+b． 又图象过（0，30），（10，60）， ∴． ∴． ∴函数的解析式为y＝3x+30． ∴令y＝3x+30＝90，则x＝20． ∴材料加热到90℃的时间为20min． （2）由题意，设所求函数为y＝， 又∵材料自然降温时图象过（20，90）， ∴m＝20×90＝1800． ∴所求函数为y＝． （3）由题意可知，加热时长为10分钟．恒温阶段8×60﹣10＝470（分钟）， 费用为：10×100+470×60＝29200（元）． 间加热工作：对于， 令y＝60， ∴x＝30． ∴除第一次加热到60℃需要10分钟，后续60℃加热到90℃，自然降温到60℃一轮需要20分钟，一天8小时中，加热时间为10+23×10+10＝250（分钟）． ∴费用为：250×100＝25000（元），25000＜29200． ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 3．（2025•上城区一模）某项目学习小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力F（单位：N）一定时，木板面积S（单位：m2）与人和木板对地面的压强P（单位：Pa）成反比例．当木板面积为0.2m2时，人和木板对地面的压强为3000Pa． （1）求P关于S的函数表达式； （2）当木板面积为0.3m2时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过1200Pa，木板面积至少要多大？请说明理由． 【思路点拨】（1）压力一定时，压强和受力面积成反比，根据压力为600N写出解析式即可； （2）在（1）的基础上可求出函数值p； （3）压强不超过1200Pa，即p≤1200时，求相对应的自变量的范围． 【解析】解：（1）压力一定时，压强和受力面积成反比； ∵F＝3000×0.2＝600N， ∴P关于S的函数表达式为p＝（s＞0）； （2）当S＝0.3时，p＝＝2000（Pa）， 故当木板面积为0.3m2时，压强为2000Pa； （3）把p≤1200Pa代入解析式得： ≤1200， 解得：S≥0.5， ∴如果要求压强不超过1200Pa，木板面积至少要0.5m2． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及反比例函数的定义，反比例函数图象上点的特征以及反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的相关性质且能读懂题意，学以致用是解题的关键． 4．（2025•萧山区一模）科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？ 【思路点拨】（1）利用待定系数法先求出反比例函数解析式，再求出第4个月的利润，设出函数式，根据待定系数法即可求出函数解析式； （2）把100万元代入函数解析式即可求出． 【解析】解：（1）根据图象，反比例函数图象经过（1，200）， 设反比例函数为y＝（k≠0）， 则＝200， ∴k＝200， ∴反比例函数为y＝（1≤x≤4）， 把x＝4代入y＝得，y＝50， 当x＝6时，y＝110， 设改造工程完工后函数解析式为y＝mx+b， 则， 解得m＝30，b＝﹣70， ∴改造工程完工后函数解析式为y＝30x﹣70（x＞4且x取整数）； （2）当y＝100时，30x﹣70＝100， 解得x≈6． 6﹣2＝4． ∴当月利润不高于100万元时共经历了4个月． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式和根据函数值求自变量，读懂图象信息对解本题比较关键． 5．（2025•滨江区一模）某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）设运输公司平均运送速度y（单位：m3/天），完成运送任务所需时间为t（单位：天）． ①求y关于t的函数表达式． ②当t≤80时，求y的取值范围． （2）若1辆卡车，每天可运送土石方102m3，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆卡车？ 【思路点拨】（1）①根据平均运送速度＝土石方总量÷完成运送任务所需时间作答即可； ②根据反比例函数的增减性计算即可； （2）设公司安排x辆卡车，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集即可． 【解析】解：（1）①y＝， ∴y关于t的函数表达式为y＝． ②∵106＞0， ∴y随t的增大而减小， ∵t≤80， ∴当t＝80时y值最小，y最小＝＝12500， ∴当t≤80时，y的取值范围为y≥12500． （2）设公司安排x辆卡车， 根据题意，得≤80， 解得x≥125． 答：公司至少要安排125辆卡车． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的增减性和一元一次不等式的解法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$