6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高一数学必修第二册（人教A版2019）

　　平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题,都可以利用向量的线性运算及数量积解决. 6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法　 6.4.2 　向量在物理中的应用举例 必备知识 清单破 知识点 1 用向量研究平面几何问题 1.物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移等都是向量,它们的合成与分解就是向量的 加减及数乘运算. 2.力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力和位移两个向 量的数量积,即W=F·s=|F||s|·cos θ(θ为F和s的夹角). 知识点 2 用向量研究物理问题 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.若 ∥ ,则AB∥CD,对吗? 2.要想以最短航程渡过一条流淌的河流,船头的方向必须垂直于河岸吗? 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不对.也可能A,B,C,D四点共线. 2.不是.考虑到水的流速,要使航程最短,船的速度与水流的合速度必须垂直于河岸,而不是船 头的方向垂直于河岸. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 向量在平面几何中的应用 关键能力 定点破 1.利用向量可以解决平面几何问题,如: (1)利用向量共线定理证明线线平行或点共线; (2)利用向量的模证明线段相等; (3)利用向量的数量积为0证明线线垂直. 2.用向量方法解决平面几何问题的三个步骤 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 3.用向量解决平面几何问题的两种方法 (1)基底法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表 示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算. (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问 题转化为代数运算. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.   第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 证明    证法一(基底法):设 =a, =b,则|a|=|b|,a·b=0. 易得 = + =-a+ , = + =b+ , 所以 · = ·  =- - a·b+ =- |a|2+ |b|2=0. 故 ⊥ ,即AF⊥DE. 证法二(坐标法):如图所示,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,   第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 设正方形ABCD的边长为2, 则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1), 故 =(2,1), =(1,-2), 所以 · =(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 所以 ⊥ ,即AF⊥DE. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 　  用向量方法解决物理问题的步骤 (1)问题转化:把物理问题转化为数学问题; (2)建立模型:建立以向量为载体的数学模型; (3)求解模型:求向量的模、夹角、数量积等; (4)回答问题:把所得的数学结论回归到物理问题中. 定点 2 向量在物理中的应用 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 如图所示,一个物体O受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动 了8 m,其中F1的大小为2 N,方向为北偏东30°,F2的大小为4 N,方向为北偏东60°,F3的大小为 6 N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功.   第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析    以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,   则F1=(1, ),F2=(2 ,2),F3=(-3,3 ), 所以F=F1+F2+F3=(2 -2,2+4 ). 由题意得位移s=(4 ,4 ), 故F·s=(2 -2)×4 +(2+4 )×4  =6 ×4 =24 . 所以合力F所做的功为24  J. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 长江某段南北两岸平行,如图,江面宽度d=1 km,一艘游船从南岸码头A出发航行到北 岸.已知游船的速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和v2的夹角为 θ(0°<θ<180°),北岸的点A'在A的正北方向. (1)当θ=120°时,试判断游船航行到达北岸的位置是在A'的东侧还是西侧,并说明理由; (2)当cos θ多大时,游船能到达A'处?需要航行多长时间?(不必近似计算) (3)当θ=120°时,游船航行到达北岸的实际航程是多少? 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)v1在v2反方向上的分速度的大小为|v1|cos 60°=5 km/h,而|v2|=4 km/h, ∴游船航行到达北岸的位置在A'的西侧. (2)要使游船能到达A'处,则v1在v2反方向上的分速度的大小为|v1|cos(180°-θ)=|v2|=4 km/h, ∴cos(180°-θ)= ,故cos θ=- . 又0°<θ<180°, ∴sin θ= , ∴v1在垂直方向上的分速度的大小为|v1|sin θ=2  km/h, ∴需要航行的时间为 =  h. (3)垂直方向航行的时间为 =  h, 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 ∴水平方向航行的距离为(|v1|cos 60°-|v2|)× =  km, ∴游船航行到达北岸的实际航程为 =  km. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 $$