精品解析：江苏省苏州市振华中学校2025年九年级数学二模试卷

江苏省苏州市振华中学校2025年九年级数学二模试卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上．） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 为了了解某学校七年级学生周末使用手机娱乐的时间情况，随机对该校七年级40名学生周末使用手机娱乐的时间进行了统计，结果如下表：这40名学生周末使用手机娱乐的时间的众数和中位数分别是（　　） 使用手机娱乐时间（小时） 0 1 2 3 4 人数（人） 6 15 12 5 2 A. 4小时，2小时 B. 1小时，2小时 C. 1小时，1.5小时 D. 1小时，1小时 3. 在人体血液中，红细胞的直径约为，数据0.00077用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 从，cos45°，，0，五个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 平行四边形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A. B. C. D. 7. 甲、乙两电信公司提供了两种移动通讯收费方式，他们各自的费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系如图，若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜（ ）元． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 如图，已知正方形的边长为2，点是正方形内部一点，连接，满足，点是边上一动点，连结，．则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上） 9. 比较大小：________．（填“”、“”或“”号） 10. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 11. 分解因式：___________ 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 13. 如图，正六边形内接于中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为___________________． 14. 如图，在中，平分若则____． 15. 已知两个不同的点，都在二次函数．的图象上，则代数式的值为______． 16. 如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为_____． 三．解答题（本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在四边形中，，点在上，，垂足为． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求和的长． 21. 年1月日，《哪吒2》正式上映，该电影剧情精彩、特效震撼，还精准传递了中国传统文化，从而引起了不同年龄段观众的共鸣，特成为中国动画电影的一部杰出作品．月月为了解本校学生对该电影的关注程度．对她所在学校的学生进行了随机抽样调查，将调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（没有关注）四类，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的学生人数，请补全条形统计图； （2）若该校共有名学生，请求出“B（关注较多）”的学生人数； （3）若“A（实时关注）”中有2名男生和2名女生，现从中随机抽取2人深入了解，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 22. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． （1）求A，B两种水果各购进多少千克； （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 23. 如图，某隧道的横截面可以看作由半圆O与矩形组成，所在直线表示地平面，E点表示隧道内的壁灯，已知，从A点观测E点的仰角为，观测C点的俯角为（参考数据的值取4）． （1）求长； （2）求壁灯的高度． 24. 如图，直线与轴，轴分别交于点，反比例函数的图象经过的顶点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知动点从点到点，同时，动点从点到点，两点均以每秒1个单位的速度运动，任一点到达终点，另一点即停止．求在此过程中，面积的最大值． 25. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义： 若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”． （1）如图，点，， ①在点，，中，弦的“关联点”是______． ②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长； （2）已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围． 26. 在中，，，D为的中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，． （1）如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长； （2）如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证：； （3）如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值． 27. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点． （1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标； （2）点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标； （3）如图，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州市振华中学校2025年九年级数学二模试卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上．） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 为了了解某学校七年级学生周末使用手机娱乐的时间情况，随机对该校七年级40名学生周末使用手机娱乐的时间进行了统计，结果如下表：这40名学生周末使用手机娱乐的时间的众数和中位数分别是（　　） 使用手机娱乐时间（小时） 0 1 2 3 4 人数（人） 6 15 12 5 2 A. 4小时，2小时 B. 1小时，2小时 C. 1小时，1.5小时 D. 1小时，1小时 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一组数据是众数和中位数．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的一个数据（或是最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数． 根据题中的已知表格，结合众数和中位数的定义去解题． 【详解】解：由表可知：阅读时间为1的人数最多，15人，所以这40名学生一周阅读课外书时间的众数是：1小时． 将这40个数据从小到排列，那么处在最中间的两个数是第20和第21个数， ∵第20个数是1，第21个数也是1． ∴这组数据是中位数是：（小时）． 故答选：D． 3. 在人体血液中，红细胞的直径约为，数据0.00077用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 从，cos45°，，0，五个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定这5个数中无理数的个数，再利用概率公式计算得出答案． 【详解】∵cos45°=是无理数， ∴，cos45°，，0，五个数中无理数有，cos45°，，共3个， ∴从，cos45°，，0，五个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是. 故选C. 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确得出无理数的个数是解题关键． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 平行四边形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法以及平行四边形的性质对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本项是真命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本项是假命题； C、平行四边形的对角线互相平分，故本项是假命题； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本项是假命题； 故选：A． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，熟练掌握菱形，矩形以及平行四边形的判定和性质是解题的关键． 6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：A、，则方程没有实数根，所以该选项符合题意； B、方程整理得，，则方程有两个相等的实数根，所以该选项不符合题意； C、，则方程有两个相等的实数根，所以该选项不符合题意； D、整理整理为，，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 7. 甲、乙两电信公司提供了两种移动通讯收费方式，他们各自的费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系如图，若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜（ ）元． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据图中点的坐标，利用待定系数法，可求出、关于的函数关系式，作差后，即可得出结论．本题考查了一次函数的应用，根据图中点的坐标，利用待定系数法求出、关于的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：当时，设，均为常数，且， 将，代入得：， 解得：， ； 当时，设，均为常数，且， 将，代入得：， 解得：， ． 当时，， 若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜12元． 故选：C． 8. 如图，已知正方形的边长为2，点是正方形内部一点，连接，满足，点是边上一动点，连结，．则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，推出∠BEA =90°，得到点E在以AB为直径的半圆上移动，设AB的中点为O，作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形BGFC，则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°， ∴∠ABE+∠CBE=90°， ∵∠BAE=∠CBE， ∴∠BAE+∠ABE=90°， ∴∠BEA=90°， ∴点E在以AB为直径的半圆上移动， 如图，设AB的中点为O，作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形BGFC，则点D的对应点是F， 连接FO交BC于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE=1， ∵∠G=90°，FG=BG=AB=2， ∴OG=3， （勾股定理）， ∴， ∴PD+PE的长度最小值为， 故选择：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上） 9. 比较大小：________．（填“”、“”或“”号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：，， ∵，， ， ∴ ， 即 ． 故答案为：． 10. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 11. 分解因式：___________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分解因式，熟练应用提公因式法分解因式是解题关键． 根据提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 13. 如图，正六边形内接于中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，根据阴影面积总体面积空白面积即可得出答案． 【详解】解：如图，正六边形内接于中，已知外接圆的半径，过作于， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴阴影面积为， 故答案为：． 14. 如图，在中，平分若则____． 【答案】1 【解析】 【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 15. 已知两个不同的点，都在二次函数．的图象上，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意得到，，由二次函数得到，即可得到答案． 【详解】解：点，都在二次函数．的图象上， 是方程， ， 点，纵坐标相等， ， 即， 点，都在二次函数．的图象上， ， 即， ． 故答案为：． 16. 如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 三．解答题（本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再去绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】此方程组为二元一次方程组，可通过消元法消除其中一个未知数，进而求解．方程组中的系数分别为和 ，互为相反数，使用加减消元法较为简便．本题考查二元一次方程组的求解，关键在于利用加减消元法，根据方程组中未知数系数的特点，通过方程相加或相减消除一个未知数，再代入求解另一个未知数． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加，可得： 去括号得， 合并同类项得， 解得． 把代入中， 得到， ∴， ∴原方程组的解为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先化简分式，再代入值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在四边形中，，点在上，，垂足为． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求和的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴AD∥CE， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由可进行求解问题． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得四边形是平行四边形， ∴， ∵，平分，， ∴， ∴EF=CE=AD， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键． 21. 年1月日，《哪吒2》正式上映，该电影剧情精彩、特效震撼，还精准传递了中国传统文化，从而引起了不同年龄段观众的共鸣，特成为中国动画电影的一部杰出作品．月月为了解本校学生对该电影的关注程度．对她所在学校的学生进行了随机抽样调查，将调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（没有关注）四类，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的学生人数，请补全条形统计图； （2）若该校共有名学生，请求出“B（关注较多）”的学生人数； （3）若“A（实时关注）”中有2名男生和2名女生，现从中随机抽取2人深入了解，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）40人，补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据D类人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个小组人数之和等于总人数求出C类别人数，从而补全图形； （2）从抽样调查中可知B(关注较多)的人数占抽样人数的比例可求该校“B(关注较多)”的学生人数； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：依题意得，抽样调查的学生总数：(人) C（关注较少）人数：(人)． 【小问2详解】 解：依题意得： B（关注较多）占抽样调查的学生总数比： B（关注较多）的学生人数：(人) 答：“B（关注较多）”的学生人数为人． 【小问3详解】 解：画树状图为∶ 共有12种等可能的结果，其中1名男生和1名女生的结果数为8种， 所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 22. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． （1）求A，B两种水果各购进多少千克； （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 【答案】（1）A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 （2）A种水果的最低销售单价为元/ 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用， （1）设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可． （2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克， 根据题意有：， 解得：， ∴A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 【小问2详解】 设A种水果的销售单价为元/， 根据题意有：， 解得， 故A种水果的最低销售单价为元/ 23. 如图，某隧道的横截面可以看作由半圆O与矩形组成，所在直线表示地平面，E点表示隧道内的壁灯，已知，从A点观测E点的仰角为，观测C点的俯角为（参考数据的值取4）． （1）求长； （2）求壁灯的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质．解题的关键是添加辅助线构造直角三角形． （1）连接，圆周角定理得到，在中求出的长，求解，再利用弧长公式计算即可； （2）过点作，求出的长，即可得出结果． 【小问1详解】 解：连接，， 由题意，得：为的直径，，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴； ∴的长为． 【小问2详解】 如图，过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∴壁灯的高度为：． 24. 如图，直线与轴，轴分别交于点，反比例函数的图象经过的顶点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知动点从点到点，同时，动点从点到点，两点均以每秒1个单位的速度运动，任一点到达终点，另一点即停止．求在此过程中，面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数表达式的求解、平行四边形的性质、动点问题中三角形面积最大值的计算，解题的关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质确定点的坐标，以及通过建立二次函数模型求面积的最大值。 （1）在中，令，则，得到点的坐标为，再根据平行四边形的性质得到,点的坐标为（6，4），代入反比例函数表达式求出，从而求解； （2）如图，过点作，垂足为点,设动点的运动时间为秒，则，用其表示出三角形的底和高，从而得到面积关于时间的函数关系式，通过求函数的最值来解决问题。 【小问1详解】 解：在中，令，则． 点的坐标为， 四边形ABCD为平行四边形， ．则点的坐标为（6，4）， 将代入，得． 即反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为点, 在中，令，则．则点A的坐标为． ， 在Rt中，可得． 设动点的运动时间为秒，则， ， ， ， ．即． ． ． 面积的最大值为． 25. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义： 若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”． （1）如图，点，， ①在点，，中，弦的“关联点”是______． ②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长； （2）已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1），； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可； （2）根据，两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂线上，运用相似三角形计算即可． 【小问1详解】 解：①由关联点的定义可知，若直线中一经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”， ∵点，，，，， ∴直线经过点O，且与相切， ∴是弦的“关联点”， 又∵和横坐标相等，与都位于直线上， ∴与相切，经过点O， ∴是弦的“关联点”． ②∵，， 设，如下图所示，共有两种情况， a、若与相切，经过点O， 则、所在直线为： ， 解得：， ∴， b、若与相切，经过点O， 则、所在直线为：， 解得：， ∴， 综上，． 【小问2详解】 解：∵线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”， 又∵弦随着S的变动在一定范围内变动，且，，， ∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂线上，如图所示， ①当S位于点时，为的切线，作， ∵，的半径为1，且为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴根据勾股定理得，， 根据勾股定理，，同理，， ∴当S位于点时，的临界值为和． ②当S位于经过点O的的垂线上即点K时， ∵点，， ∴， ∴， 又∵的半径为1，∴， ∴三角形为等边三角形， ∴在此情况下，，， ∴当S位于经过点O的的垂线上即点K时，的临界值为和， ∴在两种情况下，的最小值在内，最大值在， 综上所述，t的取值范围为或， 【点睛】本题主要考查最值问题，题目较为新颖，要灵活运用知识点，明确新概念时解答此题的关键． 26. 在中，，，D为的中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，． （1）如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长； （2）如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证：； （3）如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值． 【答案】（1）2 （2） 如图，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在与中， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， 又， ， , ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得为的中点，证明，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解； （2）过点作交的延长线于点，证明，，可得，进而根据，即可得出结论， （3）根据（2）可知，当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动，根据题意作出图形，根据点到圆上的距离求最值即可求解． 【小问1详解】 如图，连接 将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段， 是等腰直角三角形， P为FG的中点， ， ， ， ，D为的中点，， ，， ， 在中，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知， 则当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动， 将沿翻折至所在平面内，得到， E为的中点， ， ， 则点在以为圆心为半径的圆上运动，当三点共线时，最小， 如图，当运动到与点重合时，取得最小值，． 如图，当点运动到与点重合时，取得最小值， 此时，则． 综上所述，的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称线的性质，点到圆上一点距离最值问题，正确的添加辅助线是解题的关键． 27. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点． （1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标； （2）点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标； （3）如图，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 【答案】（1），顶点坐标； （2）点横坐标为或或或； （3）． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则，，则，由题意可得方程，求解方程即可； （3）由题意可知点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为，由，求出点，作点关于的对称点，连接与交于点，则，利用对称性和，求出，求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程组，可求点，再求． 【小问1详解】 解：将点，代入， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式：， ∵， ∴顶点坐标； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时， 整理得， 解得，， 当时，整理得， 解得，， ∴点横坐标为或或或； 【小问3详解】 解：∵，点与点关于轴对称， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点关于的对称点，连接与交于点， ∵， ∴， 即点Q在线段上时，的最小值为线段的长， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $