期末专题03 图形的平移与旋转（知识梳理+10大题型+2种易错+2种解题秘籍）讲义-2024-2025学年下学期八年级期末试题调研与押题预测（北师大版，山西地区适用）

期末专题03 图形的平移与旋转 平移的性质 1.平移的性质 (1)平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同;(2)对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;(3)对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等 特别警示：“连接各组对应点的线段”和“对应线段是不同的，“连接各组对应点的线段”是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的，而“对应线段”就存在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一部分 特别解读 1.连接对应点的线段的长度就是乎移的距离2.从原图形上一点到其对应点的方向为平移的方向 3.平移前后图形的对应边平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等 平移作图 平移作图的一般步骤 平移作图是平移的性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案，在具体作图时，应抓住作图的“四部曲”--定、找、移、连 (1)定:确定平移的方向和距离 (2)找:找出图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点) (3)移:过关键点作与已知对应点所连线段平行且相等的线段,得到关键点的对应点 (4)连:按原图形顺次连接对应点 特别解读 1.平移的性质是平移作图的依据 2.确定一个图形平移后的位置需要三个条件: (1)图形原来的位置: (2)平移的方向; (3)平移的距离 这三个条件缺一不可。 旋转及其相关概念 1. 定义在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 2.旋转的“三要素 旋转中心、旋转方向和旋转角. 3.对应元素 旋转得到的图形能与原图形重合，我们把能够重合的点叫对应点，能够重合的线段叫对应线段，能够重合的角叫对应角. 特别提醒 1.始终保持不动的点是旋转中心2.旋转方向有顺时针和逆时针两种3.旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角就是旋转角 旋转的性质 1. 旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形中:(1)对应点到旋转中心的距离相等(2)任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;(3)对应线段相等，对应角相等 2.旋转的性质的作用 (1)可以用来判断线段或角是否相等 (2)可以用来计算图形的面积、线段的长度或角的大小(3)可以用来确定旋转中心 特别提醒 因为对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，因此，旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点。 旋转作图 1. 作图依据旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，每组对应点都旋转相同的角度 2. 旋转作图的一般步骤 (1)确定旋转中心、旋转方向和旋转角(2)找出图形的关键点，一般是图形中的转折点。 (3)作旋转后的对应点，方法如下： ①连 连接图形的每个关键点与旋转中心;②转 把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度(作旋转角); ③截在所作的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点 (4)按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形 (5)写出结论，说明作出的图形即为所求作的图形 中心对称 1.定义 如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心)这两个图形在旋转前后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点 特别解读 中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形。 成中心对称的两个图形，只有一个对称中心这个对称中心可能在每个图形的外部，也可能在每个图形的内部或边上 2.中心对称与轴对称的关系 项目 中心对称 轴对称 区别 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴折叠 旋转后与另一个图形重合 折叠后与另一个图形重合 相同点 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 中心对称的性质 1.中心对称的性质 (1)成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分;反之，如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点中心对称，利用这一性质可以识别中心对称. (2)中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行(或在同一直线上)且相等 特别解读 1.由性质可以得到如下结论: (1)对称中心在一对对称点的连线上:(2)对称中心到一对对称点的距离相等2.全等的两个图形不一定成中心对称，而成中心对称的两个图形一定是全等的图形 2.利用中心对称的性质作图的步骤 (1)将原图形上的所有关键点与对称中心连接:(2)将以上连线延长找对称点，使得对称点与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等，(3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形 中心对称图形 1. 中心对称图形把一个图形绕某个点旋转180°如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 2. 中心对称与中心对称图形的区别和联系 项目 中心对称 中心对称图形 区别 (1)是针对两个图形而言的:(2)是指两个图形的(位置)关系;(3)对称点在两个图形上 (1)是针对一个图形而言的(2)是指具有某种性质的一个图形;(3)对称点在一个图形上 联系 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形;若把中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称 图案的形成 1.图案的形成 分析图案的形成过程时，要认真观察整个图案，从中找出基本图形从基本图形的大小、形状、位置距离等方面加以分析，确定由基本图形得到整个图案的变换方式. 特别提醒 基本图形可能是一种图形，也可能是两种或更多种图形的组合图形，一个图案中的基本图形可以有多个 2.平面图案的形成依据平移、旋转和轴对称 3.常见的形成图案类型有 (1)平移变换; (2)旋转变换: (3)轴对称变换: (4)旋转变换与平移变换的组合;(5)旋转变换与轴对称变换的组合; (6)轴对称变换与平移变换的组合 图案设计 1.图案设计的思路设计出基本图形后，利用平移、轴对称和旋转进行图案设计. 2.图案设计的步骤 (1)明确设计意图 (2)确定图案的形状和基本图形 (3)构思图案的形成过程，即分析图案是由基本图形经过怎样的变换(平移、轴对称、旋转)得到的，再作出图案 特别提醒 图案设计的“两要点” 1.选择基本图形(基本图形可以是一个图形，也可以是几个图形的组合):2.进行图案设计时，首先要整体构思，确定再制定出“基本图形”变换“基本图形”，的具体操作过程。 题型一、利用平移的性质求解 1．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，将沿射线平移6个单位长度得到，点分别平移到了点，当点落在线段上时，连接．若，则线段的长度为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．（23-24八年级下·山西晋中·期末）阅读下列项目研究过程，并完成任务． 项目主题 设计并制作桌垫纹饰 驱动任务 纹饰在艺术和历史中扮演着重要的角色．它们不仅是艺术品的美化元素，更是历史和文化传承的载体．为了美化教室， 同学们准备利用平移，旋转，轴对称设计不同风格的桌垫纹饰． 实施步骤 （1） 了解纹饰 “勤学”小组的同学们了解了纹饰的相关知识， 并收集到了许多纹饰图案，如图1，图2．     （2）设计纹饰基本图案 “勤学”小组讨论决定利用如图3的（，，）来设计纹饰基本图案， 步骤如下： 第一步：如图4， 将沿边翻折得到，点B的对应点为点D．   第二步：如图5，取的中点，将图4中的四边形沿射线的方向平移，使点A与点重合，点B，C，D的对应点分别是点，，，与相交于点E，与相交于点F． 第三步：美化图案，将四边形涂色 （3）制作纹饰 “勤学”小组以图5作为基本图案，利用平移，旋转或轴对称制作桌垫纹饰． （4）展示交流 … 问题解决 任务一： 图2可以看作是由其中“一匹马”为基本图案通过_____得到的． A．旋转      B．平移     C．轴对称       D．中心对称 任务二： ①求平移的距离的长； ②直接写出四边形的面积． 3．（22-23八年级下·山西运城·期末）如图1所示的是一副重叠放置的三角板，其中，，，与共线，将沿方向平移，如图2，当经过的中点时，直线交于点，若，则此时的长度为 ．    题型二、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 4．（22-23八年级下·山西晋城·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位，平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·山西晋城·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位，则点的坐标变为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·山西太原·期末）如图,在平行四边形OABC中,已知点A、C两点的坐标为A (,),C (2,0). (1)求点B的坐标. (2)将平行四边形OABC向左平移个单位长度,求所得四边形A′B′C′O′四个顶点的坐标. (3)求平行四边形OABC的面积. 题型三、由平移方式确定点的坐标 7．（22-23八年级下·山西太原·期末）将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点 ． 8．（22-23八年级下·山西运城·期末）在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后得到线段，若点的对应点，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级下·山西晋中·期末）如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（－1，0），（0，）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是 ． 题型四、找旋转中心 10．（23-24八年级下·山西运城·期末）智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是，，． (1)操作与实践：步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的． （要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)应用与求解： ①智慧组成员将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标________． ②在轴上有一点，智慧组成员要求使得的值最小，请直接写出点的坐标________． 11．（22-23八年级下·山西太原·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 12．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到，点A，B，C的对应点分别为，，，若点的坐标为，则旋转中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型五、根据旋转的性质求解 13．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，是等边三角形，点为三角形内一点，连接，且，，，则阴影部分的面积为 ． 14．（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，延长交于点F．若，则线段的长为 ．    15．（22-23八年级下·山西长治·期末）综合与实践 【问题情境】如图1，点是等边内一点，连接，将绕点，逆时针旋转得到线段，连接． 【独立思考】试猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【实践探究】如图2，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】如图3，设，连接，求的最小值（直接写出答案）．      题型六、根据旋转的性质说明线段或角相等 16．（22-23八年级下·山西太原·期末）已知四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．将该四边形绕点O旋转180°，恰好能与原四边形重合，则下列结论不一定正确的是（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD C．AC＝BD D．∠ABC＝∠ADC 17．（22-23八年级下·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点点在轴的正半轴上，，现把绕点顺时针旋转30°得到，点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 18．（23-24八年级下·山西运城·期末）综合与探究 （1）发现 如图1，是等边三角形，点在边上（不与，重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、． 填空： ①的度数是______． ②线段、、之间的数量关系是________． （2）探究 如图2，是等腰直角三角形，，，点在边上（不与、重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、．腾飞学习小组类比问题（1）猜出，请你帮助他们说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，，，请直接写出的长． 题型七、画旋转图形 19．（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出将向下平移4个单位长度得到的点A，B，C的对应点分别为点 (2)请画出将绕点按逆时针方向旋转后的点的对应点分别为点，并直接写出点的坐标． 20．（22-23八年级下·山西晋中·期末）“大风车吱呀吱哟哟地转，这里的风景呀真好看，天好看，地好看，还有一起快乐的小伙伴……”这首欢快的歌，把我们拉回到快乐的童年记忆中．如图小默同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以为基本图形，利用图形的旋转变换绘制风车风轮的平面图形．请根据下列要求解答问题．    (1)绕点逆时针旋转______度得到； (2)在图中画出将绕点顺时针旋转后得到的； (3)完整的风车风轮平面图形的面积______． 21．（22-23八年级下·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是．    (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；平移，若点A的对应点为点C，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标； (3)在x轴上有一点P，使得值最小，请直接写出点P的坐标． 题型八、旋转综合题 22．（22-23八年级下·山西晋城·期末）综合与探究 在中，，的角度记为． (1)操作与证明；如图①，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．求证：； (2)探究与发现：如图②，若，点变为延长线上一动点，连接将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．可以发现：线段和的数量关系是___________； (3)判断与思考；判断（2）中线段和的位置关系，并说明理由． 23．（22-23八年级下·山西晋中·期末）如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是 米．    24．（22-23八年级下·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中，，，点，在的同侧，点，在线段上，连接并延长交于点，已知．将从图1中的位置开始，绕点顺时针旋转（保持不动），旋转角为． 数学思考：（1）“求索小组”的同学发现图1中，请证明这个结论； 操作探究：（2）如图2，当时，“笃行小组”的同学连接线段，． 请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．①猜想，满足的数量关系，并说明理由； ②若，请直接写出时，，两点间的距离； B．①猜想，满足的位置关系，并说明理由； ②若，请直接写出点落在延长线时，，两点间的距离． 题型九、画已知图形关于某点对称的图形 25．（23-24八年级下·山西运城·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）． （1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1； （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；直接写出点B2的坐标； （3）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并直接写出B3的坐标． 26．（22-23八年级下·山西太原·期末）如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出与关于原点成中心对称的，并直接写出点，，的坐标：________，________，________； （2）将点，，的横坐标分别加，纵坐标分别减，依次得到点，，，请在图中画出； （3）若点是内的任意一点，点经过（1）（2）中的两次变换后的对应点为，则点的坐标为________（用含，的式子表示）． 27．（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，．    (1)将绕点旋转，请画出旋转后对应的． (2)将平移，使点的对应点的坐标为，点的对应点为，点的对应点为，请画出平移后对应的． (3)与关于点_______成中心对称． 题型十、中心对称图形的识别 28．（23-24八年级下·山西运城·期末）芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·山西太原·期末）通过手机银行，用户可以随时随地进行各种银行业务操作．下面是某手机银行服务项目的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24八年级下·山西晋中·期末）随着经济的快速发展，地铁越来越受到人们的欢迎，如今已成为大多数人日常出行中重要的交通工具之一．下面各城市的地铁标志中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例1】如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是（    ）      A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】由，，，，可得，，计算求解，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标的平移，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【例2】(1)如图1，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A得到图形B，再由图形B得到图形C(对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度)； (2)如图1，如果点P，P3的坐标分别为(0，0)，(2，1)，写出点P2的坐标； (3)图2是某设计师设计图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图形绕点O顺时针依次旋转90°，180°，270°，依次画出旋转后所得到的图形，你会得到一个美丽的图案，但涂阴影时不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！(注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度) 【答案】(1) 见解析； (2) P2(4，4)；(3)如图所示见解析 【知识点】平移(作图)、画旋转图形 【分析】（1）利用关键点的对应点，仔细观察即可知道B是由A平移得到的，C是由B旋转得到的； （2）利用已知点的坐标，建立坐标系，即可写出答案； （3）先找关键点的对应点，再顺次连接即可． 【详解】解：（1）将图形A向上平移4个单位长度，得到图形B； 将图形B以点P1为旋转中心顺时针旋转90°， 再同右平移4个单位长度得到图形C或将图形B向右平移4个单位长度， 再以P2为旋转中心顺时针旋转90°得到图形C； （2）P2（4，4）； （3）如图： 【点睛】本题的主要思路是利用关键点的对应点来解决问题． 判断中心对称图形的方法 1.中心对称图形的“三要素” (1)对称中心; (2)旋转180°; (3)与本身重合 2.常见的中心对称图形:线段、平行四边形、长方形、边数是偶数的正多边形(如正方形 )、圆等 确定旋转中心的方法 要看旋转中心在不在图形上若在图形上. 哪一点在旋转的过程中位置没有改变，这一点就是旋转中心; 若不在图形上，任意两对对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心 1．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为 ． 5．已知点，，将线段平移至，点的对应点分别为点，若，，则的值是 ． 6．点关于原点对称点的坐标是 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到． (1)画出平移后的，点、、的对应点分别为点、、； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点、） 8．如图，已知四边形和直线，点在直线上．    (1)画出四边形，使四边形与四边形关于直线对称； (2)画出四边形，使四边形与四边形关于点O中心对称． 9．如图，的顶点坐标分别为，，将向右再向下平移后得到，且点A的对应点的坐标是，点B、的对应点分别是． (1)直接写出点的坐标；：________，：_______； (2)请在图中画出； (3)点A，之间的距离是 ． 2 / 40 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题03 图形的平移与旋转 平移的性质 1.平移的性质 (1)平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同;(2)对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;(3)对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等 特别警示：“连接各组对应点的线段”和“对应线段是不同的，“连接各组对应点的线段”是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的，而“对应线段”就存在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一部分 特别解读 1.连接对应点的线段的长度就是乎移的距离2.从原图形上一点到其对应点的方向为平移的方向 3.平移前后图形的对应边平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等 平移作图 平移作图的一般步骤 平移作图是平移的性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案，在具体作图时，应抓住作图的“四部曲”--定、找、移、连 (1)定:确定平移的方向和距离 (2)找:找出图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点) (3)移:过关键点作与已知对应点所连线段平行且相等的线段,得到关键点的对应点 (4)连:按原图形顺次连接对应点 特别解读 1.平移的性质是平移作图的依据 2.确定一个图形平移后的位置需要三个条件: (1)图形原来的位置: (2)平移的方向; (3)平移的距离 这三个条件缺一不可。 旋转及其相关概念 1. 定义在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 2.旋转的“三要素 旋转中心、旋转方向和旋转角. 3.对应元素 旋转得到的图形能与原图形重合，我们把能够重合的点叫对应点，能够重合的线段叫对应线段，能够重合的角叫对应角. 特别提醒 1.始终保持不动的点是旋转中心2.旋转方向有顺时针和逆时针两种3.旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角就是旋转角 旋转的性质 1. 旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形中:(1)对应点到旋转中心的距离相等(2)任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;(3)对应线段相等，对应角相等 2.旋转的性质的作用 (1)可以用来判断线段或角是否相等 (2)可以用来计算图形的面积、线段的长度或角的大小(3)可以用来确定旋转中心 特别提醒 因为对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，因此，旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点。 旋转作图 1. 作图依据旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，每组对应点都旋转相同的角度 2. 旋转作图的一般步骤 (1)确定旋转中心、旋转方向和旋转角(2)找出图形的关键点，一般是图形中的转折点。 (3)作旋转后的对应点，方法如下： ①连 连接图形的每个关键点与旋转中心;②转 把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度(作旋转角); ③截在所作的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点 (4)按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形 (5)写出结论，说明作出的图形即为所求作的图形 中心对称 1.定义 如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心)这两个图形在旋转前后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点 特别解读 中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形。 成中心对称的两个图形，只有一个对称中心这个对称中心可能在每个图形的外部，也可能在每个图形的内部或边上 2.中心对称与轴对称的关系 项目 中心对称 轴对称 区别 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴折叠 旋转后与另一个图形重合 折叠后与另一个图形重合 相同点 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 中心对称的性质 1.中心对称的性质 (1)成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分;反之，如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点中心对称，利用这一性质可以识别中心对称. (2)中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行(或在同一直线上)且相等 特别解读 1.由性质可以得到如下结论: (1)对称中心在一对对称点的连线上:(2)对称中心到一对对称点的距离相等2.全等的两个图形不一定成中心对称，而成中心对称的两个图形一定是全等的图形 2.利用中心对称的性质作图的步骤 (1)将原图形上的所有关键点与对称中心连接:(2)将以上连线延长找对称点，使得对称点与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等，(3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形 中心对称图形 1. 中心对称图形把一个图形绕某个点旋转180°如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 2. 中心对称与中心对称图形的区别和联系 项目 中心对称 中心对称图形 区别 (1)是针对两个图形而言的:(2)是指两个图形的(位置)关系;(3)对称点在两个图形上 (1)是针对一个图形而言的(2)是指具有某种性质的一个图形;(3)对称点在一个图形上 联系 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形;若把中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称 图案的形成 1.图案的形成 分析图案的形成过程时，要认真观察整个图案，从中找出基本图形从基本图形的大小、形状、位置距离等方面加以分析，确定由基本图形得到整个图案的变换方式. 特别提醒 基本图形可能是一种图形，也可能是两种或更多种图形的组合图形，一个图案中的基本图形可以有多个 2.平面图案的形成依据平移、旋转和轴对称 3.常见的形成图案类型有 (1)平移变换; (2)旋转变换: (3)轴对称变换: (4)旋转变换与平移变换的组合;(5)旋转变换与轴对称变换的组合; (6)轴对称变换与平移变换的组合 图案设计 1.图案设计的思路设计出基本图形后，利用平移、轴对称和旋转进行图案设计. 2.图案设计的步骤 (1)明确设计意图 (2)确定图案的形状和基本图形 (3)构思图案的形成过程，即分析图案是由基本图形经过怎样的变换(平移、轴对称、旋转)得到的，再作出图案 特别提醒 图案设计的“两要点” 1.选择基本图形(基本图形可以是一个图形，也可以是几个图形的组合):2.进行图案设计时，首先要整体构思，确定再制定出“基本图形”变换“基本图形”，的具体操作过程。 题型一、利用平移的性质求解 1．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，将沿射线平移6个单位长度得到，点分别平移到了点，当点落在线段上时，连接．若，则线段的长度为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得出，结合得出，即可得出答案，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平移的性质可得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·山西晋中·期末）阅读下列项目研究过程，并完成任务． 项目主题 设计并制作桌垫纹饰 驱动任务 纹饰在艺术和历史中扮演着重要的角色．它们不仅是艺术品的美化元素，更是历史和文化传承的载体．为了美化教室， 同学们准备利用平移，旋转，轴对称设计不同风格的桌垫纹饰． 实施步骤 （1） 了解纹饰 “勤学”小组的同学们了解了纹饰的相关知识， 并收集到了许多纹饰图案，如图1，图2．     （2）设计纹饰基本图案 “勤学”小组讨论决定利用如图3的（，，）来设计纹饰基本图案， 步骤如下： 第一步：如图4， 将沿边翻折得到，点B的对应点为点D．   第二步：如图5，取的中点，将图4中的四边形沿射线的方向平移，使点A与点重合，点B，C，D的对应点分别是点，，，与相交于点E，与相交于点F． 第三步：美化图案，将四边形涂色 （3）制作纹饰 “勤学”小组以图5作为基本图案，利用平移，旋转或轴对称制作桌垫纹饰． （4）展示交流 … 问题解决 任务一： 图2可以看作是由其中“一匹马”为基本图案通过_____得到的． A．旋转      B．平移     C．轴对称       D．中心对称 任务二： ①求平移的距离的长； ②直接写出四边形的面积． 【答案】任务一：B；任务二：①；②四边形的面积为． 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平移性质． 任务一：根据平移性质即可解答； 任务二：利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，①根据点是的中点，据此求解即可；②利用平移的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求得，，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：任务一： 图2可以看作是由其中“一匹马”为基本图案通过平移得到的． 故选：B； 任务二：∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ①∵点是的中点， ∴； ②由平移的性质知，， ∴， ∴，， ∴， 同理， ∴四边形的面积． 3．（22-23八年级下·山西运城·期末）如图1所示的是一副重叠放置的三角板，其中，，，与共线，将沿方向平移，如图2，当经过的中点时，直线交于点，若，则此时的长度为 ．    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平移的性质求解 【分析】如图2，根据已知条件得到，求得，根据含的直角三角形的性质得到，过作于，进而求得、的长，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， ， 点是的中点， ， 过作于， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查了平移的性质，等腰直角三角形及含角的直角三角形的性质，熟练掌握含特殊角的直角三角形的边边关系是解题的关键． 题型二、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 4．（22-23八年级下·山西晋城·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位，平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形、一次函数图象平移问题、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】根据平面直角坐标系内直线的平移规则可知平移之后直线的解析式为，再利用直线与轴和轴的交点坐标解答即可． 【详解】解：∵将直线向上平移个单位， ∴平移之后直线的解析式为， ∴直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， ∴平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积为， 故选． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内直线的平移规则，直线与轴，轴的交点坐标，掌握平面直角坐标系内直线的平移规则是解题的关键． 5．（22-23八年级下·山西晋城·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位，则点的坐标变为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】坐标系中点的平移遵循：上加下减，左减右加的规律，据此解答即可. 【详解】解：在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度后的坐标是； 故选：D. 【点睛】本题考查了坐标系中的点的平移，熟知点的平移规律是解题关键. 6．（22-23八年级下·山西太原·期末）如图,在平行四边形OABC中,已知点A、C两点的坐标为A (,),C (2,0). (1)求点B的坐标. (2)将平行四边形OABC向左平移个单位长度,求所得四边形A′B′C′O′四个顶点的坐标. (3)求平行四边形OABC的面积. 【答案】(1)点B坐标是(3,)；(2) A′(O, )、B′(2，)、C′(，0），O′(－，0）；(3) 6. 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【详解】分析：（1）根据平行四边形的性质AB=OC=2，由此即可解决问题． （2）根据向左平移纵坐标不变，横坐标减去即可． （3）根据平行四边形的面积公式计算即可． 详解：(1)点B坐标是(3,); (2)向左平移个单位长度后,各点的纵坐标不变,横坐标都减少, 所以A′(O, )、B′(2，)、C′(，0），O′(－，0）. (3)平行四边形的面积为2·=2()2=2×3=6. 点睛：本题考查四边形综合题、坐标与点的位置关系、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，记住平行四边形的面积等于底乘高，属于中考常考题型． 题型三、由平移方式确定点的坐标 7．（22-23八年级下·山西太原·期末）将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点 ． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】根据平移中点的变化规律即可解答． 【详解】∵点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平移中点的变化规律，解题的关键是熟记：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 8．（22-23八年级下·山西运城·期末）在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后得到线段，若点的对应点，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【详解】解：∵点A（2，3）的对应点C的坐标为（5，﹣3）， ∴平移规律为向右平移3个单位，向下平移6个单位， ∴B（4，﹣1）的对应点D的坐标为（7，﹣7）． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化（平移），平移过程中，点坐标的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 9．（22-23八年级下·山西晋中·期末）如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（－1，0），（0，）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是 ． 【答案】（1，） 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】根据平移的性质得出平移后坐标的特点，进而解答即可． 【详解】解：因为点A与点O对应，点A（﹣1，0），点O（0，0）， 所以图形向右平移1个单位长度， 所以点B的对应点B'的坐标为（0+1，），即（1，）， 故答案为：． 【点睛】此题考查坐标与图形变化，关键是根据平移的性质得出平移后坐标的特点． 题型四、找旋转中心 10．（23-24八年级下·山西运城·期末）智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是，，． (1)操作与实践：步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的． （要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)应用与求解： ①智慧组成员将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标________． ②在轴上有一点，智慧组成员要求使得的值最小，请直接写出点的坐标________． 【答案】(1)图见解析 (2)① ；② 【知识点】求一次函数解析式、平移(作图)、画旋转图形、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】（1）根据旋转的性质画出即可；根据平移的性质画出即可； （2）①根据中心对称的性质，连接，，，交点即为旋转中心，即可得出答案；②作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，利用待定系数法求出直线的解析式，进而可得出点的坐标． 【详解】（1）解：画出和如图所示． （2）由图可知，旋转中心为点． 故答案为：． ②如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点． 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 将点，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—旋转变换、平移变换，轴对称—最短路线问题，用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数图像与轴的交点坐标．熟练掌握平移、旋转、对称的性质是解答本题的关键． 11．（22-23八年级下·山西太原·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线，两条垂直平分线交于点D，点D即为所求． 【详解】解：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线，两条垂直平分线交点即为点D，如图，旋转中心D的坐标为（3，0）． 故答案为：（3，0）． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键． 12．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到，点A，B，C的对应点分别为，，，若点的坐标为，则旋转中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题主要考查了确定旋转中心的位置，旋转的性质，连接、，分别作和的垂直平分线、，则，交于点D，则点D即为旋转中心，根据图形得出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：连接、，分别作和的垂直平分线、，则，交于点D，如图所示： 则点D为旋转中心，观察图形可知，点D的坐标为， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 同理可得：为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴绕点D逆时针旋转正好得到， ∴旋转中心的坐标为． 故选：B． 题型五、根据旋转的性质求解 13．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，是等边三角形，点为三角形内一点，连接，且，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、勾股定理逆定理，由等边三角形的性质可得，，将绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得：，，，，证明为等边三角形，得出，由勾股定理逆定理得出为直角三角形，作于，则，，再由计算即可得出答案． 【详解】解：三角形为等边三角形， ，， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， ， 由旋转的性质可得：，，，， 为等边三角形， ， ， 为直角三角形， 作于，则，， ， 故答案为：． 14．（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，延长交于点F．若，则线段的长为 ．    【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．连接，利用证明，得到，，再证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：连接，    ∵，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（22-23八年级下·山西长治·期末）综合与实践 【问题情境】如图1，点是等边内一点，连接，将绕点，逆时针旋转得到线段，连接． 【独立思考】试猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【实践探究】如图2，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】如图3，设，连接，求的最小值（直接写出答案）．      【答案】【独立思考】相等，证明见解析；【实践探究】平行四边形，证明见解析；【拓展延伸】 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质可得，即可解答； （2）证明为等边三角形，再根据（1）中结论，证明，同理证明，即可证明四边形是平行四边形； （3）将绕点B逆时针旋转至，连接，交于，可证明，从而得到，可得，解三角形求得，即可解答． 【详解】（1）相等.                          证明：由旋转可知，， ， 即， .                          在与中， ，         . （2）平行四边形. 证明：由旋转可知，     为等边三角形，     即. 由（1）可知， . 同理可得，， ∴四边形为平行四边形. （3）解：如图，将绕点B逆时针旋转至，连接，交于，    同（1）中原理，可得， ， , ，    , ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型六、根据旋转的性质说明线段或角相等 16．（22-23八年级下·山西太原·期末）已知四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．将该四边形绕点O旋转180°，恰好能与原四边形重合，则下列结论不一定正确的是（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD C．AC＝BD D．∠ABC＝∠ADC 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】根据旋转的性质即可作出判断． 【详解】由旋转知：点A与点C重合，点B与点D重合，则OA=OC，OB=OD，AB=CD，∠ABC=∠ADC，但对角线AC与BD不一定相等，故选项C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是关键． 17．（22-23八年级下·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点点在轴的正半轴上，，现把绕点顺时针旋转30°得到，点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】如图，过作轴于，在中，，，求出AB和的长，再利用，，可得到和的长，得到的坐标，代入一次函数即可得出结果． 【详解】如图，过作轴于， 由题意知， ∵在中，，， ∴， 由勾股定理得， 在中． 则． 同理，由勾股定理得，， ∴， 将代入中， 得． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数及应用，涉及旋转、30°的直角三角形性质及勾股定理，比较综合，解题的关键是求出的坐标． 18．（23-24八年级下·山西运城·期末）综合与探究 （1）发现 如图1，是等边三角形，点在边上（不与，重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、． 填空： ①的度数是______． ②线段、、之间的数量关系是________． （2）探究 如图2，是等腰直角三角形，，，点在边上（不与、重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、．腾飞学习小组类比问题（1）猜出，请你帮助他们说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，，，请直接写出的长． 【答案】（1）①60°；②CA=CE+CD；（2）见解析；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（1）①易证△ABD≌△ACE，从而有∠ACE=∠B，根据等边三角形的性质可得∠ACE的度数； ②由①有：△ABD≌△ACE，故有 CE=BD，根据等边三角形的性质可得CA、CE、CD之间的数量关系； （2）易证△ABD≌△ACE，故有 CE=BD，根据等腰直角三角形的性质可得猜想； （3）在线段CD上取CE=BD，连接AE，则可证明△ABD≌△ACE，故有AD=AE，∠DAB=∠EAC，从而可得△ADE是等腰直角三角形，可得AD、BD 、CD之间的数量关系，根据勾股定理可求得BC的长度，从而可求得AD的长． 【详解】（1）①∵AE是AD绕点A逆时针旋转60°而得到的 ∴AD=AE，∠DAE=60° ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC=BC，∠B=∠BAC=60° ∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60° ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD和△ACE中 ∴△ABD≌△ACE(SAS) ∴∠ACE=∠B=60° 故答案为：60° ②由①知：△ABD≌△ACE ∴BD=CE ∴CA=BC=BD+CD=CE+CD 故答案为：CA=CE+CD （2）理由如下： ∵AE是AD绕点A逆时针旋转90°而得到的 ∴AD=AE，∠DAE=90° ∵AB=AC， ∴由勾股定理得： ∵ ∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90° ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD和△ACE中 ∴△ABD≌△ACE(SAS) ∴BD=CE ∴BC=BD+CD=CE+CD ∴ （3）如图，在线段CD上取CE=BD，连接AE，设AB、CD交于点F ∵∠BAC=∠CAE=90°，∠BFD=∠CFA ∴∠DBA=∠ECA 在△ABD和△ACE中 ∴△ABD≌△ACE(SAS) ∴AD=AE，∠DAB=∠EAC ∴∠DAE=∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=90° ∴△ADE是等腰直角三角形 ∴由勾股定理得： ∴ ∵， ∴由勾股定理得： ∵BD=5， ∴在Rt△BDC中，由勾股定理得：CD= ∵ ∴ 解得： 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，三角形全等的判定与性质，图形旋转的性质等知识，关键是三角形全等的证明及辅助线的作法． 题型七、画旋转图形 19．（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出将向下平移4个单位长度得到的点A，B，C的对应点分别为点 (2)请画出将绕点按逆时针方向旋转后的点的对应点分别为点，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，点的坐标为 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、画旋转图形 【分析】本题主要考查作图-旋转变换与平移变换，掌握旋转变换和平移变换的定义与性质并据此得到其变换后对应点是解题的关键． （1）将三个顶点分别向下平移5个单位得到其对应点，然后顺次连接即可； （2）将三个顶点分别绕点逆时针旋转后得到其对应点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． ． 点的坐标为． 20．（22-23八年级下·山西晋中·期末）“大风车吱呀吱哟哟地转，这里的风景呀真好看，天好看，地好看，还有一起快乐的小伙伴……”这首欢快的歌，把我们拉回到快乐的童年记忆中．如图小默同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以为基本图形，利用图形的旋转变换绘制风车风轮的平面图形．请根据下列要求解答问题．    (1)绕点逆时针旋转______度得到； (2)在图中画出将绕点顺时针旋转后得到的； (3)完整的风车风轮平面图形的面积______． 【答案】(1)90 (2)见解析 (3)20 【知识点】画旋转图形、根据旋转的性质求解、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据图形即可得到答案； （2）根据画旋转图形的作图方法求解即可； （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，绕点逆时针旋转90度得到； （2）解：如图所示：即为所求；    （3）解：由图可得，， ∴完整的风车风轮平面图形的面积是20； 【点睛】本题考查坐标与图形，涉及到作旋转图形、求面积等，掌握相关知识点是关键． 21．（22-23八年级下·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是．    (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；平移，若点A的对应点为点C，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标； (3)在x轴上有一点P，使得值最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)旋转中心坐标 (3) 【知识点】求一次函数解析式、平移(作图)、画旋转图形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B以点C为旋转中心旋转的对应点的位置，然后与点C顺次连接即可；再根据网格结构找出点B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质，连接两对对应顶点，交点即为旋转中心，然后写出坐标即可； （3）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A关于x轴的对称点的位置，然后连接与x轴的交点即为点P． 【详解】（1）解：如下图所示：，即为所求；    （2）连接，直线与直线相交，交点即为所求， 设直线的解析式为，将点代入得， ， ， 直线为， ， ， 交点坐标为， 旋转中心坐标； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求点， ， ， 设直线的解析式为，将点，代入得， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ． 【点睛】本题考查了旋转、平移以及一次函数的应用，熟练掌握旋转和平移性质是解题关键． 题型八、旋转综合题 22．（22-23八年级下·山西晋城·期末）综合与探究 在中，，的角度记为． (1)操作与证明；如图①，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．求证：； (2)探究与发现：如图②，若，点变为延长线上一动点，连接将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．可以发现：线段和的数量关系是___________； (3)判断与思考；判断（2）中线段和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理解见解析 【知识点】全等三角形的性质、用SAS证明三角形全等（SAS）、等边对等角、线段问题(旋转综合题) 【分析】（1）由旋转的性质得，，从而证明，即可得到结论； （2）同第（1）小题的方法，证明，即可得到结论； （3）由（2）可得，从而得，进而即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转角度至位置，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， 由旋转可知：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． （3），理由如下： ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．掌握三角形全等的证明是解题的关键． 23．（22-23八年级下·山西晋中·期末）如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是 米．    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、线段问题(旋转综合题) 【分析】过B点作于点D，利用含角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】过B点作于点D，如图，    根据题意有：，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，掌握含角的直角三角形的性质，是解答本题的关键． 24．（22-23八年级下·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中，，，点，在的同侧，点，在线段上，连接并延长交于点，已知．将从图1中的位置开始，绕点顺时针旋转（保持不动），旋转角为． 数学思考：（1）“求索小组”的同学发现图1中，请证明这个结论； 操作探究：（2）如图2，当时，“笃行小组”的同学连接线段，． 请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．①猜想，满足的数量关系，并说明理由； ②若，请直接写出时，，两点间的距离； B．①猜想，满足的位置关系，并说明理由； ②若，请直接写出点落在延长线时，，两点间的距离． 【答案】（1）见解析（2）A． ①，理由见解析；②； B． ①，理由见解析；② 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题(旋转综合题) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可证OB=OC，OE=OF，则OE-OB=OF-OC即可证明； （2）若选A，①通过SAS证明△OBE≌△OAD即得；②过点E作EH⊥CO，交CO的延长线于H，在△COE中，已知两边一角，解三角形即可； 若选B，①如图，延长DA交BE于点P，交EF于点Q，通过SAS证明△OBE≌△OAD即得；②过O点作OQ⊥AF于点Q，则△OCQ为等腰直角三角形，QO=QC=1，在Rt△OQF中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）证明： ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， 又∵AO⊥BC， ∴OB=OC=OA， 同理可证明OE=OF=0D， ∴OE-OB=OF-OC， ∴BE=CF， （2）A①：AD=BE，理由如下： ∵∠AOB=∠EOD=90°， ∴∠BOE=∠AOD， 在△OBE和△OAD中， ∴△OBE≌△OAD（SAS）， ∴AD=BE， A②：过点E作EH⊥CO，交CO的延长线于H， 当旋转角α=45°时，∠BOE=45°，∠COE=135°， ∵AB=AC=2 由勾股定理得：BC＝， ∴OC=， 如图所示，在Rt△EHO中，OE=2， ∴HE=HO=， 在Rt△EHC中，由勾股定理得： CE=； B①：AD⊥BE， 如图2，延长DA交BE于点P，交EF于点Q， ∵∠AOB=∠EOD=90°， ∴∠BOE=∠AOD， 在△OBE和△OAD中， ∴△OBE≌△OAD（SAS）， ∴∠BEO=∠ADO， ∵∠EQP=∠AQO， ∴∠EPQ=∠QOD， ∴AD⊥BE， B②：过O点作OQ⊥AF于点Q， 则△OCQ为等腰直角三角形，QO=QC=1， 在Rt△OQF中，由勾股定理得：FQ=， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△OBE≌△OAD是解题的关键． 题型九、画已知图形关于某点对称的图形 25．（23-24八年级下·山西运城·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）． （1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1； （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；直接写出点B2的坐标； （3）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并直接写出B3的坐标． 【答案】（1）详见解析；（2）图见解析，；（3）图见解析，． 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】（1）将△ABC的每个顶点都向左平移6个单位，即可求解； （2）分别作出，，的对应点，，即可． （3）分别作出，，的对应点，，即可． 【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示． （2）△AB2C2如图所示，点． （3）△A3B3C3如图所示，． ． 【点睛】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 26．（22-23八年级下·山西太原·期末）如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出与关于原点成中心对称的，并直接写出点，，的坐标：________，________，________； （2）将点，，的横坐标分别加，纵坐标分别减，依次得到点，，，请在图中画出； （3）若点是内的任意一点，点经过（1）（2）中的两次变换后的对应点为，则点的坐标为________（用含，的式子表示）． 【答案】（1）作图见详解，（-3，1），（-2，4），（-6，3）；（2）见详解；（3） 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】（1）作的各个顶点关于原点中心对称的对称点，再顺次连接起来，根据图形直接写出，，的坐标即可； （2）作各个顶点平移后的点，再顺次连接起来，即可； （3）根据（1）（2）的图形变换，直接写出的坐标，即可． 【详解】解：（1）即为所求，（-3，1），（-2，4），（-6，3）， 故答案是：（-3，1），（-2，4），（-6，3）； （2）即为所求； （3）关于原点成中心对称后得，然后横坐标加，纵坐标减得， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查图形与坐标，中心对称变换，平移变换，作出图形变换后三角形各个顶点的对称点，是解题的关键． 27．（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，．    (1)将绕点旋转，请画出旋转后对应的． (2)将平移，使点的对应点的坐标为，点的对应点为，点的对应点为，请画出平移后对应的． (3)与关于点_______成中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、画已知图形关于某点对称的图形、画两个图形的对称中心 【分析】（1）在坐标系中作出点A，B，C关于点O的对称点，顺次连接即可得到； （2）由点A与点的坐标可得平移方式为：向左移动2个单位长度，再向下移动4个单位长度，据此平移即可； （3）连接，，所得交点D即为对称中心． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求．    （2）解：如图所示，即为所求．    （3）解：如图，连接，，所得交点D即为对称中心，坐标为．    【点睛】本题考查平面直角坐标系内图形的旋转和平移，解题的关键是根据旋转和平移的性质在坐标系中找出对应点的位置． 题型十、中心对称图形的识别 28．（23-24八年级下·山西运城·期末）芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 29．（23-24八年级下·山西太原·期末）通过手机银行，用户可以随时随地进行各种银行业务操作．下面是某手机银行服务项目的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 中心对称图形，是指把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】A．找不到中心点旋转沿后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．找不到中心点旋转后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．找不到中心点旋转后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．可以找到一中心点旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 30．（23-24八年级下·山西晋中·期末）随着经济的快速发展，地铁越来越受到人们的欢迎，如今已成为大多数人日常出行中重要的交通工具之一．下面各城市的地铁标志中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是中心对称图形，故C符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 【例1】如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是（    ）      A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】由，，，，可得，，计算求解，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标的平移，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【例2】(1)如图1，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A得到图形B，再由图形B得到图形C(对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度)； (2)如图1，如果点P，P3的坐标分别为(0，0)，(2，1)，写出点P2的坐标； (3)图2是某设计师设计图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图形绕点O顺时针依次旋转90°，180°，270°，依次画出旋转后所得到的图形，你会得到一个美丽的图案，但涂阴影时不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！(注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度) 【答案】(1) 见解析； (2) P2(4，4)；(3)如图所示见解析 【知识点】平移(作图)、画旋转图形 【分析】（1）利用关键点的对应点，仔细观察即可知道B是由A平移得到的，C是由B旋转得到的； （2）利用已知点的坐标，建立坐标系，即可写出答案； （3）先找关键点的对应点，再顺次连接即可． 【详解】解：（1）将图形A向上平移4个单位长度，得到图形B； 将图形B以点P1为旋转中心顺时针旋转90°， 再同右平移4个单位长度得到图形C或将图形B向右平移4个单位长度， 再以P2为旋转中心顺时针旋转90°得到图形C； （2）P2（4，4）； （3）如图： 【点睛】本题的主要思路是利用关键点的对应点来解决问题． 判断中心对称图形的方法 1.中心对称图形的“三要素” (1)对称中心; (2)旋转180°; (3)与本身重合 2.常见的中心对称图形:线段、平行四边形、长方形、边数是偶数的正多边形(如正方形 )、圆等 确定旋转中心的方法 要看旋转中心在不在图形上若在图形上. 哪一点在旋转的过程中位置没有改变，这一点就是旋转中心; 若不在图形上，任意两对对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心 1．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可． 【详解】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了， 故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：A． 2．如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键．根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案． 【详解】 解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上， 由图形可知：点在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上， ∴旋转中心是点， 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，解答本题的关键是学会利用图象法解决问题． 根据要求作出图形，利用图象法解决问题即可． 【详解】解：如图，点， 故选：A． 4．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为 ． 【答案】12 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查的平移的性质，先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ， 阴影部分的周长为． 故本题答案为：12． 5．已知点，，将线段平移至，点的对应点分别为点，若，，则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查平移的坐标与图形变化，根据点平移的性质“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”得出平移规律，求出的值即可解答． 【详解】解：由题可得，， 解得：，， ∴ 故答案为：． 6．点关于原点对称点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 根据关于原点的对称点，横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标是． 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到． (1)画出平移后的，点、、的对应点分别为点、、； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点、） 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解； 【知识点】平移(作图)、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、画旋转图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移和旋转，坐标与图形； （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律先得到对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可； （2）根据所给的旋转方式和网格的特点得到对应点、的坐标，再描出、、，最后顺次连接、、即可 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， ． 8．如图，已知四边形和直线，点在直线上．    (1)画出四边形，使四边形与四边形关于直线对称； (2)画出四边形，使四边形与四边形关于点O中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形、画轴对称图形 【分析】本题考查了作图旋转变换，作图轴对称变换． （1）根据轴对称的性质即可画出四边形，使四边形与四边形关于直线成轴对称； （2）根据中心对称性质即可画出四边形，使四边形与四边形关于点成中心对称； 【详解】（1）如图，即为所求；    （2）如上图，即为所求． 9．如图，的顶点坐标分别为，，将向右再向下平移后得到，且点A的对应点的坐标是，点B、的对应点分别是． (1)直接写出点的坐标；：________，：_______； (2)请在图中画出； (3)点A，之间的距离是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、由平移方式确定点的坐标、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了平移变换、勾股定理等知识点，准确判断平移方向和平移距离是解题关键． （1）先根据对应点的坐标变化确定平移方向和平移距离，进而确定，点B、写的对应点的坐标； （2）先描出 、，然后再顺次连接即可解答； （3）根据两点间的距离公式计算即可解答． 【详解】（1）解：∵将平移得到，且点的对应点是， ∴将向右平移4个单位、向下平移1个单位得到， ∴， ∴． 故答案为． （2）解：如图：即为所求． （3）解：． 故答案为． 2 / 40 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$