期末专题02 一元一次不等式和一元一次不等式组（知识梳理+6大题型+2种易错+2种解题秘籍）讲义-2024-2025学年下学期八年级期末试题调研与押题预测（北师大版，山西地区适用）

期末专题02 一元一次不等式和一元一次不等式组 不等式的基本性质的简单应用 1．将不等式化为 或 为常数)的形式的依据 对于不等式两边多余的项，用不等式的基本性质1消去，而不等式的基本性质 2、基本性质3可将不等式中 的系数化为 1 ． 2．利用不等式的基本性质将不等式变形的步骤 （1）用不等式的基本性质1将不等式变成 或 的形式； （2）用不等式的基本性质2或基本性质3将不等式变成 或 的形式． 特别解读 1. 利用不等式的基本性质1，可使含未知数的项在不等号的一边，常数项在不等号的另一边 2.利用不等式的基本性质2 或基本性质3 可把未知数的系数化为 1. 不等式的解与解集 1.不等式的解能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 判断一个数是否为不等式的解，就是用这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立，若成立，则该数就是不等式的一个解，若不成立，则该数就不是不等式的解 2.不等式的解集一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 特别提醒 不等式的解集必须符合两个条件:(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立 (2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.解不等式，求不等式解集的过程叫做解不等式 特别解读 不等式的解与不等式的解集的区别与联系:1.区别:不等式的解集是能使不等式成立的未知数的所有取值，是所有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知数的值2.联系:解集包括所有的解，所有的解组成了解集. 一元一次不等式的定义 1. 定义左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式 一元一次不等式的“三要素”:(1)不等号的两边都是整式;(2)只含一个未知数;(3)未知数的最高次数是1. 特别警示 判断一个不等式是否为一元一次不等式，必须化简整理后再判断只含有一个未知数，隐含着未知数的系数不为零. 2. 一元一次不等式与一元一次方程间的关系: 项目 一元一次方程 一元一次不等式 相同点 未知数个数 1 1 未知数最高次方 1 1 式子特点 含有未知数的式子均为整式 含有未知数的式子均为整式 不同点 表示关系 相等 不等 一元一次不等式的解法 1．解一元一次不等式，要根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为 或 的形式。解一元一次不等式的步骤如下： 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 ． 特别提醒 解一元一次不等式时，五个步骤不一定都要用到，并且不一定都要按照这个顺序求解应根据不等式的特点灵活求解 2.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 项目 一元一次方程 一元一次不等式 解法步骤 ①去分母;②-去括号③移项;④合并同类项;⑤系数化为 1. ①去分母;②去括号③移项;;④合并同类项:系数化为 1.去分母、系数化为1时，若两边同时乘(或除以)一个负数，则不等号的方向改变 依据 等式的基太性质 不等式的基本性质 解的个数 只有一个解 有无数多个解 解(集)的形式 一元一次不等式的应用 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解 列不等式解决实际问题的步骤 (1)审:认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系; (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系列出不等式;(4)解:解不等式，求出其解集; (5)验:检验所求出的不等式的解集是否符合题意; (6)答:写出答案 警示误区 1.设未知数时，表示不等关系的文字(如至少或最多)不能写! 2.检验时，要注意实际问题中的隐含条件，结果必须满足两个方面:一是不等式的解集: 二是要符合实际意义。 一次函数与一元一次不等式 1． 一次函数 为常数，且 与一元一次不等式 或 为常数，且 的关系 数：函数 中，函数值 时自变量 的取值范围是不等式 的解集，函数值 时自变量 的取值范围是不等式 的解集． 形：函数 的图象中，位于 轴上方的部分对应的自变量 的取值范围是不等式 的解集，位于 轴下方的部分对应的自变量 的取值范围是不等式 的解集． 2．拓展 直线 与直线 的交点的横坐标即为方程 的解；不等式 （或 的解集就是直线 在直线 上（或下）方部分对应的 的取值范围。 一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的综合应用 1.一次函数、一元一次方程与一元一次不等式这三者之间的关系常用来解决比较型的方案决策问题，即对两种不同的方案进行比较，从而判断或选择某种合算的方案:常见的问题有购物问题、利润问题、支出问题等 2.解答方案决策问题的一般步骤 （1）根据条件中两组独立的变量关系，列出相关的两个一次函数表达式 和 ； （2）根据 与 之间的大小关系 或 或 ，分情况求得相应的 的值或取值范围； （3）比较所得结果，根据问题的要求进行判断或决策． 重点剖析 实际问题中，未知数(函数自变量)往往具有隐含条件，如表示物体个数时，要求必须都是非负整数，表示距离、时间、速度等，要求都是非负数，詹解题时一定要结合实际问题进行取值 一元一次不等式组的解集 1. 定义一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集 特别解读 “公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的部分，如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解不等式组的解集中的每一个解满足不等式组中的每一个不等式。 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 不等式组 不等式组的解集在数轴上的表示 不等式组 的解集 无解 解一元一次不等式组 1. 定义 求不等式组解集的过程叫做解不等式组 特别提醒 解一元一次不等式组的实质就是寻找不等式组中所有不等式解集的公共部分 2. 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)分别解每一个不等式;(2)利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集;(3)写出不等式组的解集 一元一次不等式组的应用 基本步骤:审→设→列→解→验→答 (1)审:认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的不等关系: (2)设:恰当地设未知数: (3)列:依据题中的不等关系列出不等式组: (4)解:解不等式组，求出解集; (5)验:检验所求得的解集是否符合题意和实际意义 (6)答:写出答案 题型一、不等式的性质 1．（22-23八年级下·山西太原·期末）若，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴、、、 A、B、C选项正确，不符合题意，D选项错误，符合题意， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质． 2．（22-23八年级下·山西晋中·期末）已知，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可求解． 【详解】解：∵， A、则，故A成立，不符合题意； B、则，故B成立，不符合题意； C、则，故C成立，不符合题意； D、当 时，成立，当或时，不成立，故D项不一定成立，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3．（22-23八年级下·山西运城·期末）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式的性质，依次分析各个选项，选出不等式的变形不正确的选项即可 【详解】解：A．若，则，选项不正确，故不符合题意； B．若，则，选项不正确，故不符合题意； C．若，当时，，选项不正确，故不符合题意； D．若，则，选项正确，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，正确掌握不等式的性质是解题的关键．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向． 题型二、求一元一次不等式的解集 4．（23-24八年级下·山西太原·期末）不等式的解集为 ． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键． 根据不等式得基本性质：“基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变”，解不等式即可； 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）要使代数式有意义，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数大于等于零进行解答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·山西晋中·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照解一元一次不等式的步骤解不等式即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 故选：A． 题型三、用一元一次不等式解决实际问题 7．（23-24八年级下·山西临汾·期末）学校综合实践活动小组针对货物销售量最大化开展项目化学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：在保证获利的前提下，怎样使得销售量最大化 驱动问题：数学来源于生活，也服务于生活．请你运用所学数学知识帮助玩具店王老板的玩具销售量最大化 分步探究： 任务一：市场调查 某玩具店王老板以元/个的价格新购进一种新益智玩具，项目组同学帮王老板调查了附近五家玩具店近期该种益智玩具的售价与日销售量情况，记录如下： 玩具店 售价（元/个） 日销售量（个） B 61 280 E 60 300 A 59 320 D 58 340 C 56 380 任务二：模型建立 (1)根据调查记录表中的信息可知，该益智玩具的日销售量（个）是销售定价（元）的______函数（选填“一次”“正比例”“反比例”），与的函数关系式是_______； 任务三：问题解决 (2)玩具店王老板考虑房租、运费、人工费等方面开支，销售这种益智玩具的利润率不得低于，当这种益智玩具每个销售定价为多少元时，每天的销售量最大？最大销售量为多少个？ 【答案】(1)一次， (2)当这种益智玩具每个销售定价为元时，每天的销售量最大，最大销售量为个 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数，不等式与销售问题的综合运用，利润率的计算方法， （1）根据表格信息可得是一次函数，运用待定系数法即可求解函数解析式； （2）根据利润率利润成本，再根据不等式，函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息可得，日销售量（个）是销售定价（元）的一次函数， 设该一次函数解析式为，把代入得， ， 解得，， ∴与的函数关系式是：， 故答案为：一次，； （2）解：根据题意，这种益智玩具每个销售定价为元，日销售量为， ∴，整理得，， ∵，即随的增大而减小，且， ∴， 解得，， ∴当这种益智玩具每个销售定价为元时，每天的销售量最大，最大销售量为个． 8．（23-24八年级下·山西长治·期末）综合与实践 某街道办事处积极落实国家垃圾分类政策，预在所辖小区内安装垃圾分类宣传版面及分类垃圾箱，旨在提升居民垃圾分类意识与参与度．为评估这一举措的有效性，并进一步优化方案，现邀请友谊班同学作为小小环保员，运用数学知识与方法，研究如何购买这批物资性价比更高．同学们首先走访调查了居民对垃圾分类的了解程度、日常分类行为及对现有宣传版面、垃圾箱的满意程度，同时实地记录各商场和垃圾生产厂家对垃圾箱的定价，得到如下方案： 方案一：从垃圾箱加工厂直接购买，购买所需的费用与垃圾箱个数(个)满足如图①所示的函数关系； 方案二：租赁机器自己加工，所需费用(包括租赁机器的费用和生产垃圾箱的费用)与垃圾箱个数(个)满足如图②所示的函数关系． 问题解决： 根据图象回答下列问题： (1)①方案一中每个垃圾箱的价格是______元； ②方案二中租赁机器的费用是______元，生产一个垃圾箱的费用是______元； (2)请分别求出，关于的函数关系式； (3)试说明该街道办事处购买垃圾箱时，选择哪种方案更优惠？ (4)若该街道办事处购买垃圾分类宣传版面和垃圾箱共个，购买个垃圾分类宣传版面的单价是元，个垃圾箱的单价是元，且购买垃圾箱的个数不多于垃圾分类宣传版面个数的倍，问：该街道购买多少个垃圾分类宣传版面时，所需总费用最少？ 最少是多少元？ 【答案】(1)①；②，； (2)，； (3)当时，选择方案一更优惠；当时，两种方案一样；当时，方案二优惠； (4)购买个垃圾分类宣传版面时，所需总费用最少，最少费用为元． 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、从函数的图象获取信息 【分析】（）根据函数图象即可求解； （）利用待定系数法解答即可求解； （）分三种情况：，和解答即可求解； （）设购买垃圾分类宣传版面，则购买垃圾箱个，所需总费用为元，列出不等式求出的取值范围，再求出与的一次函数解析式，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题查考查了一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：①由函数图象可得，方案一中每个垃圾箱的价格是元， 故答案为：； ②由函数图象可得，方案二中租赁机器的费用是元，生产一个垃圾箱的费用是元， 故答案为：，； （2）解：设，把代入得，， ∴， ∴， 设，把和代入得， ， 解得， ∴； （3）解：当，即时， 解得； 当，即时， 解得； 当，即时， 解得； ∴当时，选择方案一更优惠；当时，两种方案一样；当时，方案二优惠； （4）解：设购买垃圾分类宣传版面个，则购买垃圾箱个，所需总费用为元， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ∵， ∴当时，的值最小，， 即购买个垃圾分类宣传版面时，所需总费用最少，最少费用为元． 9．（23-24八年级下·山西朔州·期末）项目化学习 项目主题：哪一款手机资费套餐更合适． 项目背景：做一件事情、有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的．手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用．某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究“哪一款手机资费套餐更合适”． 研究步骤： （1）实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐； （2）查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐； （3）数据分析，形成结论． 收集数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 通话 流量 通话 A 60元 30GB 500分钟 5元/GB 0.1元/分钟 B 180元 60GB 1000分钟 3元/GB 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费+通话超时费）；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． (1)建立模型：据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究流量与手机资费的关系： ①小明妈妈5月份的通话时长为480分钟，使用流量，若使用A套餐，这个月她的手机资费是______元； ②设小明妈妈每月手机资费为y（元），每月使用流量为，通过分析数据，完成下面的填空． A套餐：当时，______；B套餐：当时，______． (2)图象表示：为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出A套餐和B套餐每月手机资费y（元）关于每月使用流量的函数图象．下面已给出部分图象，请你补充完整． (3)应用模型：结合上面信息，请你为小明妈妈提出一条套餐使用建议． 【答案】(1)①110；②； (2)见解析 (3)当每月使用流量不足时，使用A套餐，当每月使用流量等腰时，使用A套餐和B套餐均可以，当每月使用流量超过时，使用B套餐．（答案不唯一） 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数应用和不等式的应用，解题的关键是理解题意，求出一次函数解析． （1）①根据题干提供的信息列式计算即可； ②根据题干提供的信息，列出函数解析式即可； （2）根据解析（1）②得出的函数解析式，画出函数图象即可； （3）分别求出，，时，x的取值范围，然后再提出建议即可． 【详解】（1）解：①（元）， 这个月她的手机资费是110元； ②当时，， 即； 当时，， 即； （2）解：函数图象，如图所示： （3）解：令， 解得：， 令， 解得：， 令， 解得：， 建议：当每月使用流量不足时，使用A套餐，当每月使用流量等于时，使用A套餐和B套餐均可以，当每月使用流量超过时，使用B套餐． 题型四、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 10．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系中，直线经过点． (1)求该函数的解析式 (2)请在平面直角坐标系中画出该函数的图象 (3)根据图象写出不等式的解集 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】求一次函数解析式、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、画一次函数图象 【分析】本题考查一次函数，掌握待定系数法和函数图像是解题的关键． （1）待定系数法，求出k的值即可； （2）描点法画出函数图象即可； （3）图象法求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ∴函数的解析式为； （2）当时，， 当时，， 该函数的图象为： （3）令，则，解得， 由图象可得不等式的解集为． 11．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）已知，一次函数的图象如图所示，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数与一元一次不等式，关键是利用数形结合解题． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标是， ∴当时，, 故选D． 12．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，一次函数（a，b为常数．）的图象分别与x轴，y轴交于点，，则关于x的不等式的解集为 ．    【答案】/ 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握函数值即为直线在x轴上方是解题的关键； 不等式就是函数值大于等于0时x的取值范围，可以由函数图象在x轴上方的部分得出x的取值范围． 【详解】解：一次函数的图象与与x轴，y轴交于点，， 由图象可知：当时，直线在x轴的上方， ∴不等式的解集是； 故答案为：． 题型五、根据两条直线的交点求不等式的解集 13．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图所示，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2，则不等式的解集是 ． 【答案】/ 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是根据函数图象找到所求的解集．解法一：观察图象即可求解．解法二：将、两点代入一次函数，解得，，解得一次函数解析式；将点代入正比例函数，解得，易得正比例函数的解析式，再运用解一元一次不等式的过程解出的取值范围． 【详解】解：解法一： ∵一次函数的图象与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2 由图象可得：当时，则 ∴不等式的解集为， 解法二：将，代入 得： 解得： 一次函数的解析式为： 把代入 解得： 点的坐标为 把代入得： 正比例函数的解析式为： 不等式的解集即为的解集 ∴ 故答案为：． 14．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集即可． 【详解】解：观察函数图象可知：当时，直线在直线的上方， 不等式的解集为． 故选：A． 15．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的解析式为：，直线（，为常数，）交轴于点，交轴于点，直线与交于点.    (1)求直线的解析式； (2)直接写出满足的的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，根据函数图象求不等式的解集； （1）把点A和点B的坐标代入，即可求出的解析式； （2）先求得点的坐标，根据图象，找出的图象低于的图象且在轴的上方，自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解∶把，代入得： ∴解得 ∴直线解析式为． （2）解：联立，解得： 则 由图可知，当时，． 题型六、求不等式组的解集 16．（22-23八年级下·山西运城·期末）将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 在数轴上表示为：   ， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 17．（22-23八年级下·山西太原·期末）解不等式组并将其解集表示在如图所示的数轴上．    【答案】原不等式组的解集为，在数轴上表示见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示确定不等式组的解集． 【详解】解不等式①，得 解不等式②，得 所以，原不等式组的解集为 在数轴上表示如下：    【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．（22-23八年级下·山西太原·期末）将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式，得，； 解不等式，得， 所以，不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：B 【点睛】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键． 【例1】解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】根据解一元一次不等式的方法即可得出不等式的解集即可． 本题考查的是解一元一次不等式，熟知求解的步骤是解题的关键． 【详解】解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【例2】解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，满足条件的整数解为，0，1，2，3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】此题考查了求不等式组的解集和整数解．求出每个不等式的解集，找到解集的公共部分即可得到不等式组的解集．再写出整数解即可． 【详解】解： 解①，得， 解②，得， 所以，不等式组的解为． 满足条件的整数解为，0，1，2，3． 利用图象法解一元一次不等式的一般步骤 1．将不等 式转化为 或 的形式； 2．画出函数 的图象，并确定函数图象与 轴的交点坐标； 3．根据函数图象确定对应不等式的解集． 利用数轴找不等式组整数解的步骤 1.解不等式组; 2.将不等式组的解集在数轴上表示出来； 3.观察解集在数轴上的区间范围； 4.确定其整数解。 1．在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，根据函数图象得出当时，，当时，，然后进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象交点坐标为， ∴根据函数图象可得：当时，，当时，，故C正确． 故选：C． 2．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图直线与直线相交于点，根据图象可知，关于的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据图象可知关于的不等式的解集． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， 根据图象可知关于的不等式的解集是， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 3．若不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出的范围即可． 【详解】解：不等式组无解， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是不等式的解集，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． 4．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的性质和解不等式，根据不等式的性质求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．如图，直线经过点，，则不等式的解集为 ．    【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】先数待定系数法求出解析式，再结合图象求解． 【详解】解：∵直线经过点，， ∴， 解得：， ， 当时，， 解得：， 由图象得：的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，图像法解不等式，求得一次函数与坐标轴的交点坐标，数形结合是解题的关键． 6．每年3月12日是植树节，晋中某校组织学生植树，购买A，B两种树苗共200棵，已知A种树苗每棵18元，B种树苗每棵22元，购买A种树苗的金额不少于购买B种树苗的金额，至少应购买A种树苗 棵． 【答案】110 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗棵，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可作答． 【详解】设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗棵， 根据题意有：， 解得， 即至少应购买A种树苗110棵， 故答案为：110． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，明确题意，列出一元一次不等式，是解答本题的关键． 7．清徐葡萄产于山西省太原市清徐县，其特点是皮薄、粒大、糖分高，色彩鲜艳．某水果店销售，两种盒装清徐葡萄，其进价和售价如下表： 种 种 进价/（元/盒） 45 60 售价/（元/盒） 70 90 该店计划购进这两种清徐葡萄共盒，且计划购进种葡萄的盒数不多于种葡萄的倍，假设所购进的葡萄全部售完（损耗忽略不计），如何安排进货，才能使销售葡萄的总利润最大？最大总利润为多少元？ 【答案】当购进种清徐葡萄盒，种清徐葡萄盒时，才能使销售葡萄的总利润最大，最大总利润为元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据题意可以列出相应的不等式，求出的取值范围，再根据题意可以写出利润与清徐葡萄的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 【详解】解：设购进种清徐葡萄盒，销售葡萄的总利润为元． 由题意，得 ， 随的增大而减小 购进种葡萄的盒数不多于种葡萄的倍， ，解得 当时，有最大值，为 种清徐葡萄为：（盒） 答：当购进种清徐葡萄盒，种清徐葡萄盒时，才能使销售葡萄的总利润最大，最大总利润为元． 【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质进行解答． 8．为庆祝中华人民共和国成立周年，某平台店计划购进，两种纪念币，进价和售价如下表所示： 品名 进价（元/枚） 售价（元/收） (1)第一次购进种纪念币枚，种纪念币枚，全部售完后获利元，求种纪念币的售价是多少元？ (2)第二次计划购进两种纪念币共枚，且种纪念币的进货数量不少于种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)第二次购进种纪念币枚，购进种纪念币枚，利润最大，最大利润为元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程、一次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设种纪念币的售价是元，由题意得，即可求解； （2）设第二次计划购进种纪念币枚，则购进种纪念币枚，设利润为，由题意得，结合即可求解. 【详解】（1）解：设种纪念币的售价是元， 由题意得：， 解得： ∴种纪念币的售价是元 （2）解：设第二次计划购进种纪念币枚，则购进种纪念币枚，设利润为 由题意得： ∵， ∴随的增大而减小． ∵， ∴ ∴当时，利润最大，最大利润为 此时 故：第二次购进种纪念币枚，购进种纪念币枚，利润最大，最大利润为元 9．如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，与轴相交于点B． (1)求a，b的值； (2)在轴上存在点C，使得的面积等于的面积，求点C的坐标． (3)请根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是： （1）利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出b的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合的面积等于的面积，即可得出点C的坐标； （3）根据A、D的坐标，结合图象即可求得． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴； （2）解：由（1）知， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， 设， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得， ∴C的坐标为或； （3）解：设与y轴相交于D， 当时，， ∴， 由图象得， 当时，一次函数 的图象在正比例函数的图象的上方，且在直线的下方， ∴不等式的解集为． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题02 一元一次不等式和一元一次不等式组 不等式的基本性质的简单应用 1．将不等式化为 或 为常数)的形式的依据 对于不等式两边多余的项，用不等式的基本性质1消去，而不等式的基本性质 2、基本性质3可将不等式中 的系数化为 1 ． 2．利用不等式的基本性质将不等式变形的步骤 （1）用不等式的基本性质1将不等式变成 或 的形式； （2）用不等式的基本性质2或基本性质3将不等式变成 或 的形式． 特别解读 1. 利用不等式的基本性质1，可使含未知数的项在不等号的一边，常数项在不等号的另一边 2.利用不等式的基本性质2 或基本性质3 可把未知数的系数化为 1. 不等式的解与解集 1.不等式的解能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 判断一个数是否为不等式的解，就是用这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立，若成立，则该数就是不等式的一个解，若不成立，则该数就不是不等式的解 2.不等式的解集一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 特别提醒 不等式的解集必须符合两个条件:(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立 (2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.解不等式，求不等式解集的过程叫做解不等式 特别解读 不等式的解与不等式的解集的区别与联系:1.区别:不等式的解集是能使不等式成立的未知数的所有取值，是所有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知数的值2.联系:解集包括所有的解，所有的解组成了解集. 一元一次不等式的定义 1. 定义左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式 一元一次不等式的“三要素”:(1)不等号的两边都是整式;(2)只含一个未知数;(3)未知数的最高次数是1. 特别警示 判断一个不等式是否为一元一次不等式，必须化简整理后再判断只含有一个未知数，隐含着未知数的系数不为零. 2. 一元一次不等式与一元一次方程间的关系: 项目 一元一次方程 一元一次不等式 相同点 未知数个数 1 1 未知数最高次方 1 1 式子特点 含有未知数的式子均为整式 含有未知数的式子均为整式 不同点 表示关系 相等 不等 一元一次不等式的解法 1．解一元一次不等式，要根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为 或 的形式。解一元一次不等式的步骤如下： 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 ． 特别提醒 解一元一次不等式时，五个步骤不一定都要用到，并且不一定都要按照这个顺序求解应根据不等式的特点灵活求解 2.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 项目 一元一次方程 一元一次不等式 解法步骤 ①去分母;②-去括号③移项;④合并同类项;⑤系数化为 1. ①去分母;②去括号③移项;;④合并同类项:系数化为 1.去分母、系数化为1时，若两边同时乘(或除以)一个负数，则不等号的方向改变 依据 等式的基太性质 不等式的基本性质 解的个数 只有一个解 有无数多个解 解(集)的形式 一元一次不等式的应用 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解 列不等式解决实际问题的步骤 (1)审:认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系; (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系列出不等式;(4)解:解不等式，求出其解集; (5)验:检验所求出的不等式的解集是否符合题意; (6)答:写出答案 警示误区 1.设未知数时，表示不等关系的文字(如至少或最多)不能写! 2.检验时，要注意实际问题中的隐含条件，结果必须满足两个方面:一是不等式的解集: 二是要符合实际意义。 一次函数与一元一次不等式 1． 一次函数 为常数，且 与一元一次不等式 或 为常数，且 的关系 数：函数 中，函数值 时自变量 的取值范围是不等式 的解集，函数值 时自变量 的取值范围是不等式 的解集． 形：函数 的图象中，位于 轴上方的部分对应的自变量 的取值范围是不等式 的解集，位于 轴下方的部分对应的自变量 的取值范围是不等式 的解集． 2．拓展 直线 与直线 的交点的横坐标即为方程 的解；不等式 （或 的解集就是直线 在直线 上（或下）方部分对应的 的取值范围。 一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的综合应用 1.一次函数、一元一次方程与一元一次不等式这三者之间的关系常用来解决比较型的方案决策问题，即对两种不同的方案进行比较，从而判断或选择某种合算的方案:常见的问题有购物问题、利润问题、支出问题等 2.解答方案决策问题的一般步骤 （1）根据条件中两组独立的变量关系，列出相关的两个一次函数表达式 和 ； （2）根据 与 之间的大小关系 或 或 ，分情况求得相应的 的值或取值范围； （3）比较所得结果，根据问题的要求进行判断或决策． 重点剖析 实际问题中，未知数(函数自变量)往往具有隐含条件，如表示物体个数时，要求必须都是非负整数，表示距离、时间、速度等，要求都是非负数，詹解题时一定要结合实际问题进行取值 一元一次不等式组的解集 1. 定义一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集 特别解读 “公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的部分，如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解不等式组的解集中的每一个解满足不等式组中的每一个不等式。 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 不等式组 不等式组的解集在数轴上的表示 不等式组 的解集 无解 解一元一次不等式组 1. 定义 求不等式组解集的过程叫做解不等式组 特别提醒 解一元一次不等式组的实质就是寻找不等式组中所有不等式解集的公共部分 2. 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)分别解每一个不等式;(2)利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集;(3)写出不等式组的解集 一元一次不等式组的应用 基本步骤:审→设→列→解→验→答 (1)审:认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的不等关系: (2)设:恰当地设未知数: (3)列:依据题中的不等关系列出不等式组: (4)解:解不等式组，求出解集; (5)验:检验所求得的解集是否符合题意和实际意义 (6)答:写出答案 题型一、不等式的性质 1．（22-23八年级下·山西太原·期末）若，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·山西晋中·期末）已知，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·山西运城·期末）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二、求一元一次不等式的解集 4．（23-24八年级下·山西太原·期末）不等式的解集为 ． 5．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）要使代数式有意义，则的取值范围是 . 6．（23-24八年级下·山西晋中·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型三、用一元一次不等式解决实际问题 7．（23-24八年级下·山西临汾·期末）学校综合实践活动小组针对货物销售量最大化开展项目化学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：在保证获利的前提下，怎样使得销售量最大化 驱动问题：数学来源于生活，也服务于生活．请你运用所学数学知识帮助玩具店王老板的玩具销售量最大化 分步探究： 任务一：市场调查 某玩具店王老板以元/个的价格新购进一种新益智玩具，项目组同学帮王老板调查了附近五家玩具店近期该种益智玩具的售价与日销售量情况，记录如下： 玩具店 售价（元/个） 日销售量（个） B 61 280 E 60 300 A 59 320 D 58 340 C 56 380 任务二：模型建立 (1)根据调查记录表中的信息可知，该益智玩具的日销售量（个）是销售定价（元）的______函数（选填“一次”“正比例”“反比例”），与的函数关系式是_______； 任务三：问题解决 (2)玩具店王老板考虑房租、运费、人工费等方面开支，销售这种益智玩具的利润率不得低于，当这种益智玩具每个销售定价为多少元时，每天的销售量最大？最大销售量为多少个？ 8．（23-24八年级下·山西长治·期末）综合与实践 某街道办事处积极落实国家垃圾分类政策，预在所辖小区内安装垃圾分类宣传版面及分类垃圾箱，旨在提升居民垃圾分类意识与参与度．为评估这一举措的有效性，并进一步优化方案，现邀请友谊班同学作为小小环保员，运用数学知识与方法，研究如何购买这批物资性价比更高．同学们首先走访调查了居民对垃圾分类的了解程度、日常分类行为及对现有宣传版面、垃圾箱的满意程度，同时实地记录各商场和垃圾生产厂家对垃圾箱的定价，得到如下方案： 方案一：从垃圾箱加工厂直接购买，购买所需的费用与垃圾箱个数(个)满足如图①所示的函数关系； 方案二：租赁机器自己加工，所需费用(包括租赁机器的费用和生产垃圾箱的费用)与垃圾箱个数(个)满足如图②所示的函数关系． 问题解决： 根据图象回答下列问题： (1)①方案一中每个垃圾箱的价格是______元； ②方案二中租赁机器的费用是______元，生产一个垃圾箱的费用是______元； (2)请分别求出，关于的函数关系式； (3)试说明该街道办事处购买垃圾箱时，选择哪种方案更优惠？ (4)若该街道办事处购买垃圾分类宣传版面和垃圾箱共个，购买个垃圾分类宣传版面的单价是元，个垃圾箱的单价是元，且购买垃圾箱的个数不多于垃圾分类宣传版面个数的倍，问：该街道购买多少个垃圾分类宣传版面时，所需总费用最少？ 最少是多少元？ 9．（23-24八年级下·山西朔州·期末）项目化学习 项目主题：哪一款手机资费套餐更合适． 项目背景：做一件事情、有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的．手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用．某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究“哪一款手机资费套餐更合适”． 研究步骤： （1）实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐； （2）查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐； （3）数据分析，形成结论． 收集数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 通话 流量 通话 A 60元 30GB 500分钟 5元/GB 0.1元/分钟 B 180元 60GB 1000分钟 3元/GB 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费+通话超时费）；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． (1)建立模型：据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究流量与手机资费的关系： ①小明妈妈5月份的通话时长为480分钟，使用流量，若使用A套餐，这个月她的手机资费是______元； ②设小明妈妈每月手机资费为y（元），每月使用流量为，通过分析数据，完成下面的填空． A套餐：当时，______；B套餐：当时，______． (2)图象表示：为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出A套餐和B套餐每月手机资费y（元）关于每月使用流量的函数图象．下面已给出部分图象，请你补充完整． (3)应用模型：结合上面信息，请你为小明妈妈提出一条套餐使用建议． 题型四、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 10．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系中，直线经过点． (1)求该函数的解析式 (2)请在平面直角坐标系中画出该函数的图象 (3)根据图象写出不等式的解集 11．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）已知，一次函数的图象如图所示，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，一次函数（a，b为常数．）的图象分别与x轴，y轴交于点，，则关于x的不等式的解集为 ．    题型五、根据两条直线的交点求不等式的解集 13．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图所示，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2，则不等式的解集是 ． 14．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的解析式为：，直线（，为常数，）交轴于点，交轴于点，直线与交于点.    (1)求直线的解析式； (2)直接写出满足的的取值范围. 题型六、求不等式组的解集 16．（22-23八年级下·山西运城·期末）将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   17．（22-23八年级下·山西太原·期末）解不等式组并将其解集表示在如图所示的数轴上．    18．（22-23八年级下·山西太原·期末）将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　） A． B． C． D． 【例1】解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】根据解一元一次不等式的方法即可得出不等式的解集即可． 本题考查的是解一元一次不等式，熟知求解的步骤是解题的关键． 【详解】解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【例2】解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，满足条件的整数解为，0，1，2，3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】此题考查了求不等式组的解集和整数解．求出每个不等式的解集，找到解集的公共部分即可得到不等式组的解集．再写出整数解即可． 【详解】解： 解①，得， 解②，得， 所以，不等式组的解为． 满足条件的整数解为，0，1，2，3． 利用图象法解一元一次不等式的一般步骤 1．将不等 式转化为 或 的形式； 2．画出函数 的图象，并确定函数图象与 轴的交点坐标； 3．根据函数图象确定对应不等式的解集． 利用数轴找不等式组整数解的步骤 1.解不等式组; 2.将不等式组的解集在数轴上表示出来； 3.观察解集在数轴上的区间范围； 4.确定其整数解。 1．在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图直线与直线相交于点，根据图象可知，关于的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 3．若不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是 ． 5．如图，直线经过点，，则不等式的解集为 ．    6．每年3月12日是植树节，晋中某校组织学生植树，购买A，B两种树苗共200棵，已知A种树苗每棵18元，B种树苗每棵22元，购买A种树苗的金额不少于购买B种树苗的金额，至少应购买A种树苗 棵． 7．清徐葡萄产于山西省太原市清徐县，其特点是皮薄、粒大、糖分高，色彩鲜艳．某水果店销售，两种盒装清徐葡萄，其进价和售价如下表： 种 种 进价/（元/盒） 45 60 售价/（元/盒） 70 90 该店计划购进这两种清徐葡萄共盒，且计划购进种葡萄的盒数不多于种葡萄的倍，假设所购进的葡萄全部售完（损耗忽略不计），如何安排进货，才能使销售葡萄的总利润最大？最大总利润为多少元？ 8．为庆祝中华人民共和国成立周年，某平台店计划购进，两种纪念币，进价和售价如下表所示： 品名 进价（元/枚） 售价（元/收） (1)第一次购进种纪念币枚，种纪念币枚，全部售完后获利元，求种纪念币的售价是多少元？ (2)第二次计划购进两种纪念币共枚，且种纪念币的进货数量不少于种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？ 9．如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，与轴相交于点B． (1)求a，b的值； (2)在轴上存在点C，使得的面积等于的面积，求点C的坐标． (3)请根据图象直接写出不等式的解集． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$