精品解析：浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷

浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出的值，由此可知准线方程. 【详解】因为抛物线，所以， 因为准线方程为，所以准线方程为， 故选：D. 2. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量公式可求投影向量. 【详解】因为，故，故， 而在上的投影向量为， 故选：D. 3. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断，再得到加减运算和开算术平方根不影响周期性，最后利用正弦函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】由正弦函数的最小正周期公式得的最小正周期为， 由正弦函数性质得，故加减运算和开算术平方根不影响周期性， 则函数的最小正周期是，故B正确. 故选：B 4. 将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可取0,1,2，分别计算出概率，再用期望公式计算即可. 【详解】根据题意可取0,1,2， ，，， 所以， 故选：A. 5. 当，且时，函数与图象的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】通过函数导数判断函数单调性，根据函数单调性判断函数零点的个数 【详解】设,换底公式变形得， 可知， 因为，且，所以，， 所以在单调递增. 且， 函数必有一个零点. 故选:B. 6. 记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．已知是等比数列且公比为，则“”是“是和有界数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前项和公式推理判断即得.. 【详解】因为是等比数列，由可得: ， 故“公比”是“是和有界数列”的充分条件； 反之，若取，则，即此时是和有界数列， 故“公比”不是“是和有界数列”的必要条件. 故选：A. 7. 已知直线，（其中），当时，直线与直线的位置关系为（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 以上位置关系都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】应用点到直线距离计算判定两条直线位置关系即可. 【详解】直线，（其中）， 当时，在直线的同侧， 所以，所以，所以到直线的距离大于到直线的距离， 所以直线与直线不平行， 所以直线与直线相交， 故选：C. 8. 已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（ ） A. 31 B. 33 C. 41 D. 133 【答案】C 【解析】 【分析】由知，且不能只，中至少还要有1个函数值等于1，然后进行分类列举即可. 【详解】因为，若，则，所以， 若仅，设，则， 所以函数不能仅有，在中至少还要有1个函数值等于1，具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1,又，4个中取3个函数值为1有种，另一个的取值有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，4个中取2个函数值为1有种，另外2个的取值有种，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，4个中取1个函数值为1有种，另3个的取值有1种，此时有种情况； 综上共有， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 设为复数，是复数单位，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若对应的点在第二象限，则对应的点也位于第二象限 D. 若，则的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算判断A；举例说明B错误；由复平面中点的表示方法判断C；由复数模的几何意义求出复数对应的点的轨迹判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，取，，，等式不成立，故B错误； 对于C，设，若对应的点在第二象限， 则，，即对应的点位于第四象限，故C错误； 对于D，若， 则在复平面内复数对应的点到、距离和为常数，且， 则在复平面内复数对应的点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 其中 的最小值就是椭圆上的点到原点的距离最小值，故，故D正确. 故选：AD. 10. 记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 角的最大值为 C. D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A利用余弦定理即可判断，对于B利用余弦定理和均值不等式即可判断，对于C由已知有得，最后利用余弦定理和正弦定理即可判断，对于D令代入 有，由三角不等式有，解出的范围，又，利用二次函数即可求解，进而判断D. 【详解】对于A：由余弦定理有，所以，故A正确； 对于B：由余弦定理得，由基本不等式有，当时，即时等号成立，所以，所以角的最大值为，故B正确； 对于C：由有， 所以， 所以， 即，与题干不符，故C错误； 对于D：令代入 有，由有 得解得， 所以，由， 所以 ，即的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知，若，则下列选项正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 当时， C. 当时， D. 对任意的实数， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，通过求导可得存在两个极值点；对于B、C、D选项，结合集合的定义，即在时的取值范围，结合其单调性和极值点进行判断即可. 【详解】，，，，解得或， 当时，，当时，，当时，， 所以为其极小值点，为其极大值点，故A正确； 当时，，，即为在时的取值范围， 又当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以时，取得最大值， 又，当时，， 所以，故B正确； 当时，，，即， 当时，，单调递减，所以时，取得最大值， 又时，，所以， 所以，故C错误； 对任意的实数，当时， 若，的最大值为，此时； 若，的最大值为，此时； 综上所述，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在点处的切线与直线垂直，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求，进而得，由函数在点处的切线与直线垂直即可求解. 【详解】由题意有，所以， 由函数在点处的切线与直线垂直， 所以，所以. 故答案为：. 13. 已知某种疾病的患病率为，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】设患该种疾病为事件，血检呈阳性为事件，依据题意得，，根据条件概率， 得. 故答案为： 14. 如图，是正四面体棱上的两个三等分点，分别过作同时平行于的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用几何体的特征可知，利用割补法求出即可得答案. 【详解】由题意可知，, 设正四面体的棱长为6，则下部分可以看作一个直棱柱两端截去两个体积相同的四棱锥和，如图， 由题可知，,,; 由直棱柱的性质可知,所以的高为，且为四棱锥的高； , 棱长为6的正四面体高为，其体积为. 所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和年均浓度（）的关系，随机抽取10个城市数据如下： 编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得. （1）求绿化覆盖率与浓度的样本相关系数（精确到）； （2）求y关于x的经验回归方程（精确到），并估计使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）. 参考数据与公式：. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据公式求出可得答案； （2）根据已知求出线性回归方程，由解不等式可得答案 【小问1详解】 因， 故 . 即绿化覆盖率与浓度的样本相关系数约为； 【小问2详解】 因为， 所以，故， 依题意由，可得， 即使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率约为. 16. 已知数列满足：，且． （1）求的通项公式； （2）若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有，即知为等差数列，进而求其公差，再写出其通项公式； （2）根据题意有，可得，则，再应用错位相减法及等比数列的前n项和公式求和. 【小问1详解】 由，即，则为等差数列， 又，则数列的公差为，故. 【小问2详解】 由题设，则， 故， 所以，记， 所以， 两式相减，得， 所以， 所以. 17. 已知直线与双曲线交于两点． （1）若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围； （2）若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）讨论与双曲线交于两支两点或右支交于两点，结合通径即可求解； （2）通过直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合四边形是矩形，求得到渐近线的距离，代入面积公式化简求解即可. 【小问1详解】 若与双曲线交于两支两点，则，与轴重合时， 若与双曲线交于右支两点，则，解得， 综上可知： 【小问2详解】 时，双曲线方程为：，渐近线，垂直， 易知四边形为矩形， 若的斜率不存在，由，可设， 代入，可得：，不妨取， 则，渐近线的距离为， 所以， 若的斜率存在， 设直线AB的方程为， 联立方程得， 整理为：    ① 故           ②              ③ 由， 平方得 将式②、③代入得    ④ 设，于是，    ⑤ .        ⑥ 因为双曲线的两条渐近线相互垂直，所以四边形是矩形， 其面积S等于点P到渐近线距离的乘积， 于是： 将式⑤、⑥代入上式得 由式④代入化简得，因为， 所以且， 所以 综上四边形的面积的最大值为. 18. 已知是异面直线的公垂线段，且，直线上有两个不同的动点，直线上有两个不同的动点． （1）若，，求二面角的余弦值； （2）若分别为的中点．是否存在点使得同时成立？若存在，找出这样的点，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由且是异面直线的公垂线段，所以可以以为轴，其他两个分别平行轴、轴通过建立空间直接坐标系发现，得到就是所求二面角的平面角，通过计算可求； （2）通过建系设点，推出方程组无解得到结论. 【小问1详解】 ，故以M为原点建立空间直接坐标系， ，，，， 直线与轴平行，所以直线的一个方向向量为，， ，所以，又， 所以就是所求二面角的平面角， ， 所以二面角的余弦值为. 【小问2详解】 设，，，， 分别为的中点，，，，又， ， ， 当时，， 当时，， 故无解， 所以不存在点使得同时成立. 19. 给定实数，甲、乙两人玩如下的游戏．首先在黑板上写出一个含有个绝对值的算式：，其中每个绝对值里都有两个空格“□”，所有的空格“□”都尚未填数．每一回合，先由甲选取区间中的一个实数（不同的回合可以选取相同的数），再由乙将其填在某个空格之中．这样个回合之后所有的空格均填了数，的值也随之确定．若，则甲胜，否则乙胜． （1）当时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由； （2）当时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由． 【答案】（1）甲有获胜策略的是不超过的所有实数，理由见解析； （2）甲有获胜策略的是不超过的所有实数，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）由题设，分别讨论甲有策略使，乙有策略使得，结合给定规则确定甲有获胜策略对应的范围，即可得； （2）由题设，分别讨论甲有策略使得，乙有策略使得，同（1）分析研究在不同策略下的范围，确定甲有获胜策略对应的范围，即可得； 【小问1详解】 ，时甲有获胜策略，理由如下： 甲有策略使得， 甲先选0（选1亦可），乙第一步选择无实际意义，， 甲再选1，若乙将其与0填在同一个绝对值中，甲再选0、1，可使， 若乙将其填在另一个绝对值中，甲再选，则某个绝对值得到，最后一个数甲可以使另一个绝对值为1，此时， 乙有策略使得， 若甲的前两个数相差不超过，乙将其填在同一个绝对值中，这样一个绝对值不超过，另一个绝对值不超过1，从而， 若甲的前两个数相差超过，乙将其填在不同绝对值中，设且，，从而， 甲的第三个数必定满足且，或且，从而乙可以使得一个绝对值不超过，另一个绝对值总不超过1，故乙可以使得， 综上，甲有获胜策略的是不超过的所有实数； 【小问2详解】 ，时甲有获胜策略，理由如下： 甲有策略使得， 甲依次选0、1，若乙填在同一个绝对值中，由的讨论知甲可以使得， 若乙填在不同绝对值中，甲再选，乙若填在和0或1同一个绝对值中，由的讨论知甲可以使得，若乙填在第三个绝对值中，则， 甲选，若乙放在第一个绝对值中，甲选0、0，则， 若乙放在第二个绝对值中，甲选1、1，则， 若乙放在第三个绝对值中，由的讨论知甲可以使得前两个绝对值之和不小于，故， 乙有策略使得， 若甲的前两个数差不超过，则将数填在同一个绝对值中，甲选了第三个数， 若三个数中有两个数的差不超过，乙将这两个数放在同一个绝对值中，再由的讨论知乙可以使得， 若甲的前三个数两两相差均大于，则乙将三个数填在不同绝对值中， 现假设，，，， 由对称性，不妨设，甲的第四个数为， 情形一：若，乙将与放在同一个绝对值中，由于，， 而前两个绝对值不超过，为； 情形二：若，乙将与放在同一个绝对值中，则， 剩下，由的讨论知乙可以使得剩下两个绝对值之和不超过，从而； 情形三：若，乙将与放在同一个绝对值中，由于，， 剩下，同情形二可知乙可以使得； 最后注意到，上述三种情形包括了的所有可能性（有可能会重叠，此时可以任意选择某个情形）， 综上，甲有获胜策略的是不超过的所有实数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 4. 将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 5. 当，且时，函数与图象的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．已知是等比数列且公比为，则“”是“是和有界数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知直线，（其中），当时，直线与直线的位置关系为（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 以上位置关系都有可能 8. 已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（ ） A. 31 B. 33 C. 41 D. 133 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 设为复数，是复数单位，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若对应的点在第二象限，则对应的点也位于第二象限 D. 若，则的最小值是 10. 记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 角的最大值为 C. D. 的取值范围是 11. 已知，若，则下列选项正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 当时， C. 当时， D. 对任意的实数， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在点处的切线与直线垂直，则_____． 13. 已知某种疾病的患病率为，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为_____． 14. 如图，是正四面体棱上的两个三等分点，分别过作同时平行于的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为，则_____． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和年均浓度（）的关系，随机抽取10个城市数据如下： 编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得. （1）求绿化覆盖率与浓度的样本相关系数（精确到）； （2）求y关于x的经验回归方程（精确到），并估计使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）. 参考数据与公式：. 16. 已知数列满足：，且． （1）求的通项公式； （2）若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和． 17. 已知直线与双曲线交于两点． （1）若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围； （2）若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值． 18. 已知是异面直线的公垂线段，且，直线上有两个不同的动点，直线上有两个不同的动点． （1）若，，求二面角的余弦值； （2）若分别为的中点．是否存在点使得同时成立？若存在，找出这样的点，若不存在请说明理由． 19. 给定实数，甲、乙两人玩如下的游戏．首先在黑板上写出一个含有个绝对值的算式：，其中每个绝对值里都有两个空格“□”，所有的空格“□”都尚未填数．每一回合，先由甲选取区间中的一个实数（不同的回合可以选取相同的数），再由乙将其填在某个空格之中．这样个回合之后所有的空格均填了数，的值也随之确定．若，则甲胜，否则乙胜． （1）当时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由； （2）当时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $