3.1函数的概念及其表示课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 §3.1 函数的概念及其表示 §3.2 函数的基本性质 §3.3 幂函数 §3.4 函数的应用（一） 索引 必修 第一册 1 问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，如何表示列车行进的路程s（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系？ 3.1.1 函数的概念 s=350t 这里，t和s是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与之对应，所以s是t的函数。 在该问题的情境中，该函数表达式中的自变量和因变量应该存在范围限制。 { t | 0 ≤ t ≤ 0.5 }，{ s | 0 ≤ s ≤ 175 } 索引 §3.1 函数的概念及其表示 2 问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天。如果公司确定的工资标准是每人每天 350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？ w=350d 其中，在该问题中，d的变化范围是集合{ 1，2，3，4，5，6 }，w的变化范围是集合{ 350，700，1050，1400，1750，2100 } 思考：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 不是，该两个函数的自变量和因变量的取值范围不同。 索引 §3.1 函数的概念及其表示 3 问题3 下图是某市某日的空气质量指数（AirQuality Index，简称AQI）变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻t（单位：h）的空气质量指数（AQI）的值I？你认为这里的I是t的函数吗？ 从图中的曲线可知，t的变化范围是集合{ t | 0 ≤ t ≤ 24 }，AQI的值I的变化范围是集合{ I | 0 < I < 150 }。在t的变化范围中的的任一时刻，按照图中曲线所给定的对应关系，都有唯一确定的AQI的值I与之对应。因此，这里的I是t的函数。 索引 §3.1 函数的概念及其表示 4 问题4 国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表是我国城镇居民恩格尔系数变化情况： 你认为按表中给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？ 这里，y的取值范围是集合{ 2012，2013，2014，2015，2016，2017，2018，2019，2020，2021 }；根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是集合{ r | 0 < r < 1 }。对于任意一个年份y，根据表中所给定的对应关系，都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应。所以，r是y的函数。 索引 §3.1 函数的概念及其表示 5 上述问题 1~问题4中的函数有哪些共同特征？你有什么发现？ 上述问题的共同特征有： （1）都包含两个非空数集，用A，B来表示； （2）都有一个对应关系； （3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。 记作： y=f(x)，x∈A 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做数值，数值的集合{ f(x) | x∈A }叫做函数的值域。 函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射。 索引 §3.1 函数的概念及其表示 6 y = f(x) 输入 → x → 自变量 → 取值范围为定义域 运行程序→ f → 对应关系 输出→ y → 因变量 → 取值范围为值域 函 数 的 三 要 素 定义域、对应关系、值域共同构成函数的三要素 两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同 索引 §3.1 函数的概念及其表示 常见函数的定义域和值域： 定义域：R，值域：R （1）函数 ： （2）函数 ： （3）函数 ： （4）函数 ： 定义域：R，值域： 定义域：{ x | x ≠ 0 }，值域：{ y | y ≠ 0 } 定义域：{ x | x ≥ 0 }，值域：{ y | y ≥ 0 } 索引 §3.1 函数的概念及其表示 8 【例1】下列函数中哪个与函数y=x 是同一个函数？ （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 解：函数y=x的定义域为R。 （1）函数 与函数y=x的对应法则相同，定义域却不同，因此两函数不是同一个函数。 （2）函数 与函数y=x的对应法则相同，定义域相同，因此两函数是同一个函数。 索引 §3.1 函数的概念及其表示 9 （3）函数 与函数y=x的对应法则不同，定义域相同，因此两函数不是同一个函数。 （4）函数 与函数y=x的对应法则相同，定义域不同，因此两函数不是同一个函数。 索引 §3.1 函数的概念及其表示 10 区间的表示方法 设a，b是两个实数，而且a < b，我们规定： （1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； 用数轴表示： a b • • （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）； 用数轴表示： a b （3）满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]。 a b a b 用数轴表示： 索引 §3.1 函数的概念及其表示 11 实数集R可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”, “-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。 （4）x≥a可写作x∈[a，+∞）； a （5）x>a可写作x∈（a，+∞）； a （6）x≤b可写作x∈（-∞，b]； b （7）x<b可写作x∈（-∞，b）； b 索引 §3.1 函数的概念及其表示 12 【例2】已知函数 ， （1）求函数的定义域； （2）求 的值； （3）当 时，求 的值。 解：（1）函数 的定义域为[-3，+∞），函数 的定义域为x ≠ -2 ， 所以，函数 的定义域为 （2） ； 索引 §3.1 函数的概念及其表示 13 （3）当 时，满足函数的定义域， 索引 §3.1 函数的概念及其表示 14 抽象函数的定义域求法： 已知f(x)的定义域求解f[g(x)]的定义域，或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同。 【例3】已知函数f(x)的定义域是[-1，2]，求函数f(x-2)的定义域。 解：在函数f(x)中，x∈[-1，2]，则在函数f(x-2)中，x-2∈[-1，2]，即x∈[1，3]，可知，f(x-2)的定义域为[1，3] 【例4】已知函数f(x-2)的定义域是[-1，2]，求函数f(x+3)的定义域。 解：在函数f(x-2)中，x∈[-1，2]，则x-2∈[-3，0]，所以在函数f(x+3)中，x+3∈[-3，0]，即x∈[-6，-3]，可知，f(x+3)的定义域为[-6，-3] 索引 §3.1 函数的概念及其表示 15 1．求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 （1）若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. （2）若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 总结：求函数的定义域 索引 §3.1 函数的概念及其表示 16 3.1.2 函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法。 （1）解析法，就是用解析式表示两个变量之间的对应关系； （2）列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； （3）图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 索引 §3.1 函数的概念及其表示 17 探究1：某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{ 1，2，3，4，5 }）个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数 y=f(x)。 （1）解析法： （2）列表法： （3）图像法： 索引 §3.1 函数的概念及其表示 18 探究2：分析函数 的图像 分析：通过绝对值的概念，我们可以将函数写成 y x 我们就可以在平面直角坐标系中画出函数 像这样，在函数定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。 索引 §3.1 函数的概念及其表示 19 索引 §3.1 函数的概念及其表示 D 解析　因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]， 则－2≤x≤3，所以－5≤2x－1≤5， 所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5]. 索引 §3.1 函数的概念及其表示 【例7】已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； 解　(待定系数法)∵f(x)是一次函数， 可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， 索引 §3.1 函数的概念及其表示 索引 §3.1 函数的概念及其表示 23 3 (－∞，－1)∪(0，＋∞) 所以f(－1)＝(－1)2＋1＝2， 所以f(f(－1))＝f(2)＝3. 当x≤0时，f(x)＝x2＋1>2，则x2>1，解得x<－1； 当x>0时，f(x)＝3>2恒成立， 所以不等式f(x)>2的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞). 索引 §3.1 函数的概念及其表示 【例5】已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________. 解析　因为f(－3)＝＝0，所以f(f(－3))＝f(0)＝. 所以y＝的定义域是(－2，5].故选D. 【例6】已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝的定义域是(　　) A.[－2，5] B.(－2，3] C.[－1，3] D.(－2，5] 要使y＝有意义，则需要解得－2<x≤5， ∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. 函数解析式的求法 （1）配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. （2）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法. （3）换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. （4）方程思想：已知关于f(x)与或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【例8】若函数f(x)＝则f(f(－1))＝________，不等式f(x)>2的解集是_______________________. 解析　因为f(x)＝ $$