模拟卷01 高一期末真题汇编-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

高一数学期末汇编 （一） 时间:120分钟 满分:150分 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高一下·北京朝阳·期中）已知向量，，若，则实数（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】因为，所以，解得. 故选：C. 2．（23-24高一下·北京丰台·期末）已知复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】，则其共轭复数为， 其在复平面内对应的点为，位于第一象限， 故选：A. 3．（12-13高一上·北京·期末）平行四边形中，点是的中点，点是的一个三等分点 （靠近），则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意：是的中点，点是的一个三等分点， ∴. 故选：D. 4．（24-25高一下·北京·阶段练习）在单位正方体内任取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分成个小长方体，则这些小长方体中体积不大于的长方体的个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该正方体的长宽高分别被切成长度为和,和,和的两段, 设,且根据据对称性，可不妨设, 此时，8个长方体的体积分别是 由,可知， 因为, 所以, 又因为, 所以和中至少有一个数不超过, 所以这8个长方体中至少有4个的体积不超过. 当时，8个长方体的体积分别是0.0625;0.061875;0.061875;0.075625;0.151875;0.185625;0.185625;0.226875; 此时这8个长方体中恰有4个的体积不超过. 综上，这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值为4. 故选:B. 5．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化简得， ， ，， ， 故选:C. 6．（24-25高一上·北京·期末）函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，因为在区间上恰有2个零点， 所以，所以的取值范围为， 故选：B. 7．（20-21高一下·北京·期末）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】因为，由正弦定理可得，即， 所以，可得或， 所以或，所以的形状为等腰或直角三角形. 故选：D． 8．（23-24高一下·北京·期末）将边长为4的正方形沿对角线折起，折起后点D记为．若，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    在边长为4的正方形中，连接交于点， 可得， 由于，所以，则， 又因为，平面， 所以平面， 即四面体的体积为， 故选：A. 9．（2025·北京丰台·一模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】 如图，在正方体中分析选项A、B、C. A.平面，平面，平面平面，但，A错误. B.，平面，但平面，B错误. C.平面平面，平面，，但平面，C错误. D.取直线的方向向量，直线的方向向量， ∵，，∴分别为平面的法向量， ∵，∴，∴，选项D正确. 故选：D. 10．（24-25高一下·北京·阶段练习）如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得到，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法错误的是（    ） A．在翻折过程中，存在某个位置使得 B．若，则与平面所成角的正切值为 C．三棱锥体积的最大值为 D．当时，的最小值为 【答案】D 【详解】对于A，当平面与平面垂直时， ，平面与平面的交线为，平面, 平面，又平面， ，，故A正确； 对于B，连接， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为为的中点， 所以， 又平面， 所以平面， 则即为与平面所成角的平面角， 在中，，则， ， 所以， 即与平面所成角的正切值为，故B正确； 对于C，三棱锥的体积（为点到平面的距离）. . 当平面平面时，最大，的最大值为，此时，所以三棱锥体积的最大值为，选项C正确. 对于D，当时，因为为的中点， 所以，则， 又因为的中点，所以， 又，所以， 所以， 如图将沿旋转，使其与在同一平面内， 则当三点共线时，最小， 即的最小值为， 在中，， 则， 所以， 所以的最小值为，故D错误. 故选：D. 二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分． 11．（23-24高一下·北京·期末）设是等差数列，且，，则数列的前项和 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以的公差，又， 所以. 故答案为： 12．（23-24高一下·北京·期末）已知点是半径为3的圆上三点，，点是的垂直平分线上任意一点，则 的最小值为 . 【答案】 【详解】    以圆心为坐标原点，线段的垂直平分线所在直线作为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设， 根据题意得，，， 所以， 因为，所以当时，取得最小值为， 故答案为：. 13．（23-24高一下·北京通州·期末）已知分别是的角的对边，若，，，则= ，的面积为 ． 【答案】 【详解】依题意，，在中，， 所以；的面积. 故答案为：； 14．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知正四面体中，分别在棱上. 若, ，则 ． 【答案】3或 【详解】 当时，是等边三角形，因此. 在中，由余弦定理可得， 则，解得. 当时，不妨设. 在中分别使用余弦定理可得 由可知是关于的方程的两个相异正实根， 所以 可写为，因此，解得. 即， 故答案为：或. 15．（24-25高一下·北京·期中）如图，中，，为的三等分点，为边上的动点． ①当时，则 ； ②的最小值为 ． 【答案】 4 【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示： 设，易知， ①由可得，即， 因此； ②因为为边上的动点，可得，且， 则 ， 当时，的最小值为. 故答案为：4；. 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（24-25高一上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点 (1)求的值； (2)求的值、 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为角的终边与单位圆交于点 所以解得． 因为，所以． 由三角函数的定义知，． （2）原式= 17．（23-24高一下·北京海淀·期末）已知复数. (1)求复数； (2)若，求实数a，b的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）； （2），则有， 解得. 18．（21-22高一下·北京丰台·期末）在复平面内，是坐标原点，向量，对应的复数分别为，． (1)求的最小值； (2)若，求实数的值； (3)若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），， 故的最小值为 （2）由题设知， ，，解得 （3） 由题知，解得 所以实数的取值范围是 19．（23-24高一下·北京通州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱的中点．求证： (1)平面； (2)平面； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，，， 且， 四边形为平行四边形， ， 又平面，不在平面， 平面； （2）证明：四边形为正方形， ， ， ， 平面，平面， ， ，，又，，平面， 平面； （3）到平面距离为三棱锥的高， ， 故三棱锥的体积． 20．（23-24高一下·北京·期末）对给定的正整数，设数列，若存在，使得，则将数列进行操作变换，得到数列，且为，或之一，记为. 设（个），从开始进行次操作变换，依次得到数列，即，. (1)当时，分别判断从开始进行次操作变换，是否可以得到如下数列？若不可以，直接判断即可；若可以，请写出相应的及； ①；②；③； (2)当时，从开始进行次操作变换，是否可能得到数列？若不可以，请说明理由；若可以，求出与的所有可能取值. (3)给定正奇数，为使的各项均不相同，求操作变换次数的最小值. 【答案】(1)①可以，，，，；②不可以；③不可以 (2)， (3) 【详解】（1）对于①，可令，且，，，，即可得到所求数列； 对于②，显然无论怎样变换，数列的各项之和是不变的，因此从开始进行有限次变换后，数列的各项之和必定为零， 故②中的不可能得到； 对于③，假设当时，通过若干次变换后得到了包含的数列，那么设数列第一次出现， 由于这个必定是由变得的，从而必定包含两个. 但由于数列的各项之和必定为零，故另外两项或者都是，或者包含一个不大于的项. 若另外两项都是，则可以不妨设（因为各项的顺序并不重要）， 直接验证即知，从该数列中任意挑选一项加，再任意挑选另一项减后，得到的两个新项不可能相等， 所以不可能由某个数列变换得到，这导致矛盾； 所以另外两项必定包含一个不大于的项，这就说明，若通过若干次变换后得到了包含的数列， 则在第一次出现之前就必定已经出现过. 但同理可证，若通过若干次变换后得到了包含的数列，则在第一次出现之前就必定已经出现过. 所以二者结合即知，和都是不可能出现的，故③中的不可能得到. （2）当时，若能从数列经过有限次变换得到数列，由于在变换的过程中数列的各项之和保持不变， 故，从而必有，故. 由于，故在每次变换后，数列的各项平方和会比变换之前增加， 而的各项平方和为，的各项平方和为，故必定有，即. 下面的变换过程表明，能够实现： ，，，，，. 故与的所有可能取值为，. （3）先证明一个公式：对正整数，有. 证明：考虑在中从小到大取出三个不同的数的取法数目. 一方面，取法显然有种； 另一方面，的全部可能选择为，当取定为后，有种可能的选择， 有种可能的选择，且和的选择互不影响，故所有的取法一共有种. 综合两方面就得到 ， 所以. 这就得到. 回到原题. 对正奇数，设，由于在变换的过程中数列的各项之和保持不变，且在每次变换后， 数列的各项平方和会比变换之前增加，故，. 若两两不等，不妨设，由于，故不可能都非负，也不可能都非正， 所以一定存在，使得. 由于都是整数，故有 ，. 所以 ， 从而，且 . 将两个不等式相加，得到 ， 所以就得到 ， 故. 至此，我们得到. 下面使用数学归纳法证明：对正奇数，可以对数列（个）进行次变换， 得到各项互不相同的数列. 当时，令，，，，，. 则对数列进行次变换后得到了各项互不相同的数列. 故结论对成立. 对正奇数，假设结论已经对成立，则根据归纳假设，可以对数列（个）进行次变换， 得到数列. 然后继续进行如下变换过程： 以此类推，可得 然后继续进行如下变换： . 最终就得到了满足条件的数列. 而由于， 故最终就得到数列. 从而结论对也成立. 综上，对正奇数，可以对数列（个）进行次变换， 得到各项互不相同的数列. 所以，操作变换次数的最小值 21．（23-24高一下·北京·期末）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为. (1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； (2)写出函数的“伴随向量”为，并求； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为. ①若，求的取值范围； ②求证：向量的充要条件是. 【答案】(1)， (2)， (3)①；②证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以的最大值为； （2）因为， 所以“伴随向量”为，所以； （3）设， ①因为，所以， 所以 ， 所以 ， 因为，所以的取值范围是； ②因为， 所以 ， 所以， 充分性：， 当且仅当，即时，等号成立，所以. 必要性：当时，， 所以， 综上所述，向量的充要条件是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学期末汇编 （一） 时间:120分钟 满分:150分 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高一下·北京朝阳·期中）已知向量，，若，则实数（   ） A．1 B．2 C． D．4 2．（23-24高一下·北京丰台·期末）已知复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（12-13高一上·北京·期末）平行四边形中，点是的中点，点是的一个三等分点 （靠近），则 （    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·北京·阶段练习）在单位正方体内任取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分成个小长方体，则这些小长方体中体积不大于的长方体的个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·北京·期末）函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（20-21高一下·北京·期末）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 8．（23-24高一下·北京·期末）将边长为4的正方形沿对角线折起，折起后点D记为．若，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·北京丰台·一模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 10．（24-25高一下·北京·阶段练习）如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得到，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法错误的是（    ） A．在翻折过程中，存在某个位置使得 B．若，则与平面所成角的正切值为 C．三棱锥体积的最大值为 D．当时，的最小值为 二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分． 11．（23-24高一下·北京·期末）设是等差数列，且，，则数列的前项和 . 12．（23-24高一下·北京·期末）已知点是半径为3的圆上三点，，点是的垂直平分线上任意一点，则 的最小值为 . 13．（23-24高一下·北京通州·期末）已知分别是的角的对边，若，，，则= ，的面积为 ． 14．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知正四面体中，分别在棱上. 若, ，则 ． 15．（24-25高一下·北京·期中）如图，中，，为的三等分点，为边上的动点． ①当时，则 ； ②的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（24-25高一上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点 (1)求的值； (2)求的值、 17．（23-24高一下·北京海淀·期末）已知复数. (1)求复数； (2)若，求实数a，b的值． 18．（21-22高一下·北京丰台·期末）在复平面内，是坐标原点，向量，对应的复数分别为，． (1)求的最小值； (2)若，求实数的值； (3)若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 19．（23-24高一下·北京通州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱的中点．求证： (1)平面； (2)平面； (3)求三棱锥的体积． 20．（23-24高一下·北京·期末）对给定的正整数，设数列，若存在，使得，则将数列进行操作变换，得到数列，且为，或之一，记为. 设（个），从开始进行次操作变换，依次得到数列，即，. (1)当时，分别判断从开始进行次操作变换，是否可以得到如下数列？若不可以，直接判断即可；若可以，请写出相应的及； ①；②；③； (2)当时，从开始进行次操作变换，是否可能得到数列？若不可以，请说明理由；若可以，求出与的所有可能取值. (3)给定正奇数，为使的各项均不相同，求操作变换次数的最小值. 21．（23-24高一下·北京·期末）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为. (1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； (2)写出函数的“伴随向量”为，并求； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为. ①若，求的取值范围； ②求证：向量的充要条件是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$