第03讲 二次函数的性质（知识清单+14大题型+好题必刷）-【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第03讲 二次函数的性质（知识清单+14大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型二 画y=ax²+bx+c的图象 题型三 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型四 二次函数图象与各项系数符号 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 题型六 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型七 根据二次函数的图象判断式子符号 题型八 待定系数法求二次函数解析式 题型九 二次函数图象的平移 题型十 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型十一 根据二次函数的对称性求函数值 题型十二 y=ax²+bx+c的最值 题型十三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型十四 抛物线与x轴的交点问题 知识清单 知识点1．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点2．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点3．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点4．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 题型方法 【题型一】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若抛物线平移后经过原点，则下列平移方案不正确的是（   ） A．向上平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移4个单位 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）将二次函数通过配方转化为，则 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1． (1)求的值． (2)已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，求的值． 【题型二】画y=ax²+bx+c的图象 【例2】（浙江温州·二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（    ） A．1 B． C．﹣ D．﹣ 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质 ． 2．（九年级上·浙江宁波·期末）已知函数，则使成立的值恰好有三个，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）已知函数． (1)请在下边网格内，画出该函数的大致图象； (2)请根据该函数图象写出时的取值范围． 【题型三】y=ax²+bx+c的图象与性质 【例3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）设二次函数为实数）的图象过点，，设．（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设函数，．（   ） A．若，则函数和的图象有两个交点 B．若函数和的值互为相反数，则 C．当时，函数和的值相等 D．函数和的图象必经过同一个定点 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知两个不同的点，都在二次函数．的图象上，则代数式的值为 ． 3．（2025·浙江杭州·二模）在直角坐标系中，设函数（m是常数）． (1)当时，求该函数图象与x轴的交点坐标． (2)若点，，都在该函数图象上，点A不与点B，C重合． ①比较，的大小． ②若，，直接写出n的取值范围． 【题型四】二次函数图象与各项系数符号 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的图象与轴的交点为和，且，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数（a，b，c为常数，且），满足，则以下结论正确的是（   ） A．若，该函数图象经过点 B．若，该函数图象经过点 C．若a，b，c的绝对值相等，则该函数图象可能经过点 D．若a，b，c中有两数相等，则该函数图象可能经过点 2．（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论中，①；②；③；④；⑤．正确的序号是 ． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）综合实践：测量拱形门建筑的高度． 素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且．在点A右侧1的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离为3.8． 任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． 任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离． 【题型五】一次函数、二次函数图象综合判断 【例5】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·浙江·专题练习）直线与y轴交于点P，直线绕点P顺时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则 ． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)若该函数的图象经过和两点，则函数的表达式为________． (2)当时，写出一个的值，使函数图象的顶点坐标始终在直线的下方，并说明理由． (3)当，时，函数图象上有点，直线上有点，若，试求的取值范围． 【题型六】反比例函数、二次函数图象综合判断 【例6】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于x的方程，它的实数解的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是图中的（    ） A． B． C． D． 2．（九年级上·浙江·期末）如果把函数的图象和函数的图象组成一个图象，并称作图象E，若直线（m为常数）与图象E有三个不同的交点，则常数m的取值范围是 ． 3．阅读下面解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图像（如图1）．由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是（    ）； A．换元思想    B．数形结合思想    C．整体思想 (2)如图2，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解是______； (3)判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由． 【题型七】根据二次函数的图象判断式子符号 【例7】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点．下列说法： ①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中说法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）抛物线（，，为常数，且）开口向下且过点，，其中，下列结论： ①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的是 ． 3．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a， b，c是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与x轴有两个交点，，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值． 【题型八】待定系数法求二次函数解析式 【例8】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）若函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知抛物线的对称轴是直线，且经过点，则该抛物线的函数表达式是 ． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 【题型九】二次函数图象的平移 【例9】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，则平移方式可以是（   ） A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）为使抛物线与抛物线重合，下列平移能实现的是（　　） A．把先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．把先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．把先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．把先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）设函数与轴的交点坐标为．若函数，则时自变量的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和二次函数的对称轴． (2)若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值． 【题型十】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例10】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，若，，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）设二次函数（是常数），部分对应值如下表：当时，（　　） ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． A．5 B． C． D．0 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数图象上有两个不同点，则 ． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的图像经过点，． (1)求该二次函数的表达式及对称轴． (2)当时，求该函数的最大值． 【题型十一】根据二次函数的对称性求函数值 【例11】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知二次函数的图象过，对称轴直线，那么这个二次函数的图象一定经过除外的另一点，这点的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）设抛物线与直线交于点． (1)求抛物线的解析式及其对称轴． (2)设点是抛物线上两点，且位于对称轴两侧，． ①若，求的值． ②直线与直线交于点，且，直接写出的取值范围． 【题型十二】y=ax²+bx+c的最值 【例12】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．二次函数的最小值为1 C．该函数的对称轴为 D．当时，随的增大而减小 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C．4 D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）规定：，设，则y的最大值是 ． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点在该抛物线上，已知当点在点处时，点恰与点重合．    (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当点在第二象限内时，求的取值范围． (3)若点也在该抛物线上，且恒有，求的取值范围． 【题型十三】已知二次函数的函数值求自变量的值 【例13】（21-22九年级上·浙江宁波·期末）点是二次函数的图象上的点，当（a为整数）时，点P到x轴的距离小于15，则a的值可以的是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三】 1．（浙江台州·一模）三个方程的正根分别记为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，一条形状一定的抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段上移动．若点M、N的坐标分别为，点A的横坐标的最小值为，则点B横坐标的最大值为 ．    3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（m，n为常数，）， (1)若函数图像与x轴的一个交点坐标为，求另一个交点坐标； (2)若函数图像经过，其中；，若，求a的值； (3)若函数图像经过，且顶点在第三象限，求t的取值范围． 【题型十四】抛物线与x轴的交点问题 【例14】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知抛物线（且都是常数）经过点，且对于符合，的任意实数，其对应的函数值始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是（    ） 1 2 3 4 0 5 A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）将抛物线向下平移个单位后与轴只有一个交点，则 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数，，为实数，且的图象经过点． (1)求的值； (2)若，当时，此二次函数恒满足随着的增大而减小，求的取值范围； (3)设是该函数图象与轴的一个交点，且满足，求的取值范围． 好题必刷 一、单选题 1．抛物线的顶点在轴上，则等于(    ) A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值2，有最小值 D．有最大值1.5，有最小值 4．已知抛物线过四点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 5．在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值 6．已知，则函数（    ） A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．无最小值，也无最大值 7．已知某函数图象如下图所示，则时自变量的取值范围是（ ） A．x<-1或x>2 B．x>-1 C．-1<x<2 D．x<2 8．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是(   ) A．b≤-2 B．b<-2 C．b≥-2 D．b>-2 9．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的是（     ） ①abc＞0；   ②3a+b＞0；   ③﹣1＜k＜0；  ④4a+2b+c＜0；  ⑤a+b＜k． A．①②③ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④⑤ 10．若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的图象上②M、N关于原点对称，则称点对是函数y的一个“共生点对”（点对与看作同一个“共生点对”），已知函数，则函数y的“共生点对”有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等时，m＝ 12．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，则当0≤x≤3时，函数值y的范围是 ． 13．已知点在二次函数（的常数）的图象上． （1）该二次函数的图像的对称轴为 ；    （2）当时，n的取值范围是 14．如图，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)经过点A（-3，0），对称轴为直线x= -1，则(a+b)(4a-2b+1)的值为 ． 15．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：①，②，③，④．其中错误的是 ．    16．如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有 （填序号）． 三、解答题 17．已知二次函数． （1）求抛物线开口方向及对称轴． （2）写出抛物线与y轴的交点坐标． 18．已知二次函数的图象经过点和点，且有最小值为. （1）求这个函数的解析式、函数的开口方向、对称轴； （2）当时，x的取值范围. 19．已知点均在抛物线上，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．佳佳觉得①③说法正确，李华觉得②④说法正确．请你判断佳佳和李华两人谁的判断正确，并说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABO，其中∠OAB=90°，AO=4，BO=5，求经过点O、A、B抛物线的解析式． 21．已知抛物线，当时，的最小值为，求的值． 22．二次函数的图象与轴只有一个交点；另一个二次函数的图象与轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且是小于的整数． 求： (1)的值； (2)二次函数的图象与轴交点的坐标． 23．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点与点C，与y轴交于点B． （1）求此二次函数关系式和点B的坐标； （2）计算的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 24．抛物线过点，顶点为M点． （1）求该抛物线的解析式； （2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM＝90˚．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标； （3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK＝90˚，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次函数的性质（知识清单+14大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型二 画y=ax²+bx+c的图象 题型三 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型四 二次函数图象与各项系数符号 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 题型六 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型七 根据二次函数的图象判断式子符号 题型八 待定系数法求二次函数解析式 题型九 二次函数图象的平移 题型十 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型十一 根据二次函数的对称性求函数值 题型十二 y=ax²+bx+c的最值 题型十三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型十四 抛物线与x轴的交点问题 知识清单 知识点1．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点2．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点3．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点4．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 题型方法 【题型一】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据题意求得抛物线向下平移2个单位后得到抛物线，故点P向下平移2个单位得到Q，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线：向下平移2个单位后得到抛物线：， ∴点平移后的对应点Q的坐标是， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若抛物线平移后经过原点，则下列平移方案不正确的是（   ） A．向上平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移4个单位 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，先把化为顶点式，再根据每个选项的平移情况得出对应的解析式，再把代入进行计算求解即可． 【详解】解：依题意，， A、向上平移个单位，得， 把代入得，经过原点，故该选项不符合题意； B、向右平移个单位，得， 把代入得，不经过原点，故该选项符合题意； C、向左平移个单位，得， 把代入得，经过原点，故该选项不符合题意； D、向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得， 把代入得，经过原点，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）将二次函数通过配方转化为，则 ． 【答案】1 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】 故答案为： 1 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1． (1)求的值． (2)已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，求的值． 【答案】(1) (2)①有最大值为；② 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，结合题意得出，计算即可得解； （2）①由题意可得，，结合，得出，最后由二次函数的性质即可得解；②由题意可得，从而可得，整理可得，解得，，结合时，始终有，即可得解． 【详解】（1）解：∵二次函数，， ∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为， ∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1， ∴， ∴； （2）解：①点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵时，始终有， ∴的值不会随的变化而变化， ∴． 【题型二】画y=ax²+bx+c的图象 【例2】（浙江温州·二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（    ） A．1 B． C．﹣ D．﹣ 【答案】D 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x＝2， 又∵当x≤1时，y随x的增大而增大， ∴a＜0， ∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4， ∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4， 解得a＝﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质 ． 【答案】对称轴都为（答案不唯一） 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】首先画出两个函数的图象，然后根据图象求解即可． 【详解】如图所示， 由图象可得，两个函数的图象的对称轴都为， 故答案为：对称轴都为（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 2．（九年级上·浙江宁波·期末）已知函数，则使成立的值恰好有三个，则的值为 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、坐标与图形变化——轴对称 【分析】画出函数图像，结合函数图像可得的值． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 如图：点关于轴的对称点为， ∵成立的值恰好有三个， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质．涉及顶点坐标，图像的对称变换等知识点。利用图像变换画出函数图像，数形结合解题是关键． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）已知函数． (1)请在下边网格内，画出该函数的大致图象； (2)请根据该函数图象写出时的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了画抛物线的图象，利用图象法求不等式解集，熟练掌握画抛物线的图象的方法和利用图象法求不等式解集． （）利用列表，描点，再连线即可画图； （）根据图象进行求解即可； 【详解】（1）解：列表： 描点； 连线，如图所示， （2）解：由函数图象得：当时，的取值范围是． 【题型三】y=ax²+bx+c的图象与性质 【例3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）设二次函数为实数）的图象过点，，设．（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解不等式，先根据题意，用分别表示出和，再根据得出和之间的关系，最后根据所给选项依次进行分析即可，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数为实数）的图象过点，， ∴，， ∵， ∴， 即， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设函数，．（   ） A．若，则函数和的图象有两个交点 B．若函数和的值互为相反数，则 C．当时，函数和的值相等 D．函数和的图象必经过同一个定点 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．当时，得到，则当时，，即可判断A，D；函数和的值互为相反数时，，则，所以，所以或，即可判断B；当时，则，那么，那么当时，，即可判断C． 【详解】解：A、当时，，则，此时，当时，，所以此时函数和的图象有两个交点，故A正确，符合题意； B、函数和的值互为相反数时，，则，所以，所以或，故B错误，不符合题意； C、当时，则，那么，那么当时，，所以时，函数和的值不相等，故C错误，不符合题意； D、当时，，则，此时，由于判断不了的符号，故不能判断过定点问题，故不符合题意， 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知两个不同的点，都在二次函数．的图象上，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意得到，，由二次函数得到，即可得到答案． 【详解】解：点，都在二次函数．的图象上， 是方程， ， 点，纵坐标相等， ， 即， 点，都在二次函数．的图象上， ， 即， ． 故答案为：． 3．（2025·浙江杭州·二模）在直角坐标系中，设函数（m是常数）． (1)当时，求该函数图象与x轴的交点坐标． (2)若点，，都在该函数图象上，点A不与点B，C重合． ①比较，的大小． ②若，，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②当时，或；当时，或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）当时，代入函数解析式，进而可求顶点坐标即可； （2）①根据题意确定点B为顶点坐标，函数值最小，即可求解；②将点C代入函数解析式得出或，然后分情况分析即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得：， ∴与x轴的交点坐标为； （2）①， ∴对称轴为：， ∵抛物线开口向上， ∴点B为顶点坐标，函数值最小， ∴； ②当时，， 将点C代入函数解析式为：， 解得：或， 当时，， ∴，解得：或； 当时，， ∴，解得：或； ∴当时，或；当时，或． 【题型四】二次函数图象与各项系数符号 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的图象与轴的交点为和，且，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、求抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据二次函数的图象与轴的交点为和，且，可得对称轴直线，从而得出；根据抛物线与x轴有两个交点，从而得出，可得出；根据，，得出时，，从而得出；当时和时两种情况可以判断D． 本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式、判别式、对称轴的性质解题是关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和，且， ∴，， ∴，故A错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故B错误； ∵，， ∴当时，，即， ∴，故C正确； 当时，，即； 当时，，即；故D错误． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数（a，b，c为常数，且），满足，则以下结论正确的是（   ） A．若，该函数图象经过点 B．若，该函数图象经过点 C．若a，b，c的绝对值相等，则该函数图象可能经过点 D．若a，b，c中有两数相等，则该函数图象可能经过点 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象与系数关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象与系数关系是解题的关键． 根据条件逐一判断即可解答． 【详解】解：A、当时，，解得，，，当，，故A不符合题意； B、当时，，假设经过，则当，，即，又，故，此时与相矛盾，故B不合题意； C、若，，的绝对值相等，，，，则，不合题意，故C不合题意； D、若，则，，当，，当，；故D符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论中，①；②；③；④；⑤．正确的序号是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】由抛物线开口向上可得，由对称轴为直线可得，由抛物线与y轴交点在原点下方可得，据此即可判断结论①；由抛物线与x轴有两个交点可知一元二次方程有两个不相等的实数根，于是可得，据此即可判断结论②；由图象可知，当时，据此即可判断结论③；由图可知，当时，即，根据对称轴在和之间可得，，再结合即可判断结论④；根据，可得，再结合即可判断结论⑤． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴a与b同号，， ∵抛物线与y轴交点在原点下方， ∴， ∴，故结论①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即：，故结论②正确； ∵当时，， ∴， 故结论③错误； 由图可知，当时，， 即：， ∵对称轴在和之间，即：，且， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论④正确； ∵，， ∴， ， ∴， ∴，故结论⑤正确； 综上所述，正确的序号为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，一元二次方程根的判别式，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）综合实践：测量拱形门建筑的高度． 素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且．在点A右侧1的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离为3.8． 任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． 任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离． 【答案】任务1：；任务2：20 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键． 任务1：以点A为原点，点所在直线为x轴，建立直角坐标系，设．根据题意得到，再利用待定系数法求解，即可解题； 任务2：利用顶点纵坐标为求解，即可解题． 【详解】解：任务1：以点A为原点，点所在直线为x轴，建立直角坐标系，则可设． 将点代入上式，得． ．                 任务2：由可知，拱形门建筑最高点到地面的距离为20． 【题型五】一次函数、二次函数图象综合判断 【例5】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象的综合判断，分别判断各个选项中两个函数的、的符号，看是否一致，即可得解，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，，函数的图象开口向上，对称轴在轴左边，故，，即，故不符合题意； B、由图可得，函数经过一、二、四象限，故，，函数的图象开口向下，对称轴在轴右边，故，，即，故不符合题意； C、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，，函数的图象开口向上，对称轴在轴右边，故，，即，故符合题意； D、由图可得，函数经过一、三、四象限，故，，函数的图象开口向下，对称轴在轴左边，故，，即，故不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数图象，二次函数图象的性质，掌握一次函数中与图象的关系与二次函数中与图象的关系是解题的关键． 在一次函数一次函数中，当，图象经过第一、二、三象限；当，图象经过第一、三、四象限；当，图象经过第二、三、四象限；当，图象经过第一、二、四象限；在二次函数中，当，图象开口向上；当，图象开口向下；由此即可求解． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，二次函数图象开口向上， ∴A选项符合，B选项不符合； 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，二次函数图象开口向下， ∴C，D选项不符合题意； 故选：A ． 2．（2024九年级上·浙江·专题练习）直线与y轴交于点P，直线绕点P顺时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则 ． 【答案】或/或 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数与直线的交点问题，根据直线解析式可得都经过点，分别讨论直线与y轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线上的点坐标，进而求解，利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由，可得直线与抛物线交于点， ①直线与y轴重合满足题意，则直线与y轴交点为，如图， ， 为等腰直角三角形， ， ∴点B坐标为， 将代入得， 解得； ②直线不与y轴重合时，设直线解析式为， 令， ， 当时满足题意． ， 把代入得， ∴直线与x轴交点D坐标为，即， 作交直线于点E，过点E作轴于点F， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ∴点E坐标为． 将代入直线解析式得， 解得． ， ． 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)若该函数的图象经过和两点，则函数的表达式为________． (2)当时，写出一个的值，使函数图象的顶点坐标始终在直线的下方，并说明理由． (3)当，时，函数图象上有点，直线上有点，若，试求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象经过和两点，从而，且，进而求出，后可以判断得解； （2）依据题意，当时，函数为，从而可得对称轴是直线，则顶点为，，结合顶点坐标始终在直线的下方，可得，进而求出的范围； （3）依据题意，当，时，函数为，从而，结合，故，进而或，最后计算可以判断得解． 【详解】（1）解：函数的图象经过和两点， ，且． ，． 二次函数的表达式为． 故答案为：． （2）解：由题意，当时，函数为． 对称轴是直线． 顶点为，． 又顶点坐标始终在直线的下方， ． ． 或． （3）解：由题意，当，时，函数为． ． 又， ． ． 或． 或． 【题型六】反比例函数、二次函数图象综合判断 【例6】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于x的方程，它的实数解的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的交点问题，把方程的解的情况转化为二次函数，以及的交点个数问题，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 令，， 则：的解的个数，即为两个函数的交点的个数， 画出函数图象如图： 由图象可知，两个图象只有一个交点， ∴关于x的方程，只有1个实数解． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得出的范围，看看是否相同即可．本题考查了反比例函数和二次函数的图象和性质的应用，能理解反比例函数和二次函数的图象和性质是解此题的关键． 【详解】解：A、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的正半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； B、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； C、∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； D、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的正半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围相同，故本选项正确； 故选：D． 2．（20-21九年级上·浙江·期末）如果把函数的图象和函数的图象组成一个图象，并称作图象E，若直线（m为常数）与图象E有三个不同的交点，则常数m的取值范围是 ． 【答案】0＜m＜2 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】在同一直角坐标系中，画出函数y=x2（x≤2）和函数的图象，根据函数图象即可根据直线y=m与图象E的交点个数得到常数m的取值范围． 【详解】解：在同一直角坐标系中，画出函数y=x2（x≤2）和函数的图象， ∵直线y=m（m为常数）与图象E有三个不同的交点， ∴直线y=m在直线y=2的下方，且在x轴的上方， ∴常数m的取值范围是0＜m＜2， 故答案为：0＜m＜2． 【点睛】本题主要考查了反比例函数以及二次函数的图象，解决问题的关键是在同一直角坐标系中，画出函数y=x2（x≤2）和函数的图象，依据函数图象进行判断． 3．（2024·江苏扬州·一模）阅读下面解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图像（如图1）．由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是（    ）； A．换元思想    B．数形结合思想    C．整体思想 (2)如图2，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解是______； (3)判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由． 【答案】(1)B (2) (3)只有一个实数根，理由见解析 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、反比例函数、二次函数图象综合判断、图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查二次函数与不等式(组)及一次函数与二元一次方程(组)，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． （1）根据题中所给解题过程，可得出其中运用了数形结合的数学思想，据此可解决问题． （2）将所给方程组的解转化为所对应函数解析式图象的交点问题即可． （3）将所给一元三次方程转化为二次函数图象与反比例函数图象的交点问题即可， 【详解】（1）解：由题知，上述解题过程中还运用了数形结合的思想， 故选：B （2）方程组的解可看成函数与图象的交点坐标， ∵直线：与直线：交于点， 则， ∴两条直线的交点为， ∴方程组的解是， 故答案为：． （3）一元三次方程有1个实数根． 由方程得 ， ∴， ∴原方程的实数根的情况可看成函数与函数图象的交点问题， 如图所示： ， 两个函数图像只有一个交点， ∴一元三次方程只有一个实数根． 【题型七】根据二次函数的图象判断式子符号 【例7】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点．下列说法： ①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中说法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，与轴的交点位置分别得到，，再利用对称轴为得到，可判断①和②；根据图象过点，利用二次函数的对称性可得图象也过点，可判断③；由二次函数图象可得，当时，随的增大而增大，结合关于直线的对称点为，得到也是抛物线上的点，比较大小可判断④，即可得出结论． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为， ， ， ，，故①正确，②错误； 图象过点，对称轴为， 由二次函数的对称性得，图象也过点， 代入，得，，故③正确； 由图象可知，当时，随的增大而增大， 又关于直线的对称点为， 也是抛物线上的点， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的是①③④，正确的个数是3． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查根据抛物线的图象，判定系数和式子符号，熟练掌握抛物线的图象性质是解题的关键．根据抛物线的开口向下，得出，根据抛物线的对称轴在y轴右侧，求得，根据抛物线与x轴有两个交点，得出，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 综上，，，． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）抛物线（，，为常数，且）开口向下且过点，，其中，下列结论： ①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的是 ． 【答案】①②③ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数的系数，二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质，并根据题意画出大致图象是解题的关键．利用开口向下，得出，利用二次函数的对称性得出，结合，得出，则，画出大致图象，即可得，则可判断①；由图可知当时，，代入则可判断②；利用，其中，，则可判断③；利用 有两个不相等的实数根，即二次函数的图象与直线的图象有两个不同的交点，结合图象则可判断④． 【详解】解：∵（，，为常数，且）开口向下， ∴， ∵抛物线过点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据抛物线开口向下且过点，，其中，画出大致图象，如图， ∴， ∴， 故①正确； 由图可知当时，， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故③正确； ∵有两个不相等的实数根， 则有两个不相等的实数根， 即二次函数的图象与直线的图象有两个不同的交点，如图， 只需满足二次函数的顶点纵坐标大于即可， ∴， ∵， ∴， 故④错误． 综上，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 3．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a， b，c是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与x轴有两个交点，，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并准确计算是解题的关键． （1）根据，函数图象经过点和，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数开口向下，当时，函数值大于，建立不等式，对不等式进行变形，即可证明； （3）根据题意得到，函数图象在时取得最小值，即，以及，联立这三个式子求解，即可解题． 【详解】（1）解：，函数图象经过点和， ， 解得， 二次函数解析式为， 整理得， 函数图象的顶点坐标为：． （2）证明：， 二次函数开口向下， 函数图象与x轴有两个交点，，且， 当时，函数值大于， 即， ； （3）解：函数图象经过点， ①， 当时，；当时，， 函数图象在时取得最小值，即②， ， 在的左侧， 当时，，即③， 由①②③解得． 【题型八】待定系数法求二次函数解析式 【例8】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）若函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由函数的图象经过点和，从而，可得，从而函数为，再由二次函数的性质，结合，进而可以判断得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，函数的图象经过点和， ． ． 函数为． 当时，当时，最大值为1；当时，取最小值为． 函数的最大值与最小值之和是：． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知抛物线的对称轴是直线，且经过点，则该抛物线的函数表达式是 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据抛物线的对称轴是直线，且经过点，建立方程组求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，且经过点， ， 解得， 则该抛物线的函数表达式是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)和； 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据解析式求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 本题考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点． ∴， 解得， ∴． （2）解：由， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和． 【题型九】二次函数图象的平移 【例9】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，则平移方式可以是（   ） A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可得到答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，平移抛物线得到， 抛物线向上平移3个单位得到， 平移方式是向上平移3个单位， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）为使抛物线与抛物线重合，下列平移能实现的是（　　） A．把先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．把先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．把先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．把先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是．则由抛物线的图象向左平移2个单位，向下平移4个单位即可得到二次函数的图象． 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）设函数与轴的交点坐标为．若函数，则时自变量的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的对称轴求出，从而可得两个函数的解析式，再根据二次函数图象的平移可得函数与轴的交点坐标，然后根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：∵函数与轴的交点坐标为， ∴这个函数的对称轴为直线， ∴， ∴，， 观察两个函数的解析式可知，函数是由函数的图象向右平移2个单位长度所得到的， ∴函数与轴的交点坐标为，，即为，， 又∵， ∴抛物线的开口向上， ∴时自变量的取值范围是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和二次函数的对称轴． (2)若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值． 【答案】(1)，二次函数的对称轴为直线 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出的值以及二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得出对称轴； （2）由平移的性质可得平移后的二次函数的解析式为，再由题意可得，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式， ∵， ∴二次函数的对称轴为直线； （2）解；把该函数图象向上平移个单位长度后得到的二次函数的解析式为， ∵平移后的解析式与轴恰好只有一个交点， ∴， 解得：． 【题型十】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例10】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数的对称性．根据，求出函数的对称轴，再结合对称轴的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数的对称轴为直线，即直线， ∵， 故与关于对称轴对称， 即． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）设二次函数（是常数），部分对应值如下表：当时，（　　） ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． A．5 B． C． D．0 【答案】D 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以求出该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性，即可求得当对应的函数值． 【详解】解：由表格可得， 该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数图象上有两个不同点，则 ． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先判定点关于抛物线的对称轴对称，再求解抛物线的对称轴为直线，从而可得答案. 【详解】解：点在二次函数的图象上， ∴点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的图像经过点，． (1)求该二次函数的表达式及对称轴． (2)当时，求该函数的最大值． 【答案】(1)该二次函数的表达式为，对称轴为 (2)当时，该函数的最大值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、求二次函数解析式、已知抛物线上对称的两点求对称轴、求二次函数最值，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）把，代入得出方程组，求解得出、的值，即可得出该二次函数的表达式，根据对称点求出对称轴即可； （2）由（1）得，该二次函数的表达式为，对称轴为，根据二次函数的图象与性质，得出该函数图像抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，计算得出当时，取得到该函数的最大值，求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得：， ∵，纵坐标相同，是关于抛物线对称轴的对称点， ∴对称轴为， ∴该二次函数的表达式为，对称轴为； （2）解：∵由（1）得，该二次函数的表达式为，对称轴为， ∴该函数图像抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大， ∵当时，可有， ∵，，且， ∴当时，取得到该函数的最大值． 【题型十一】根据二次函数的对称性求函数值 【例11】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】由可知函数图象开口向下，由的图象与性质可知对称轴是直线，当时，随的增大而减小，设点关于抛物线对称轴的对称点是，则由二次函数的对称性可得，由点，，都在对称轴的右侧且，即可得出答案． 【详解】解：函数解析式为， ， 函数图象开口向下，对称轴是直线，当时，随的增大而减小， 设点关于抛物线对称轴的对称点是， 由二次函数的对称性可知：， 根据轴对称的性质可得：， 解得：， ， 点，，都在对称轴的右侧，且， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，根据二次函数的对称性求函数值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先判断抛物线的开口方向，对称轴，即可知其增减性，再根据各点与对称轴的距离可得答案． 【详解】∵抛物线中，对称轴是， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，离对称轴越近函数值越小． ∵， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知二次函数的图象过，对称轴直线，那么这个二次函数的图象一定经过除外的另一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数图象的对称性．先确定点关于直线的对称点的坐标为，然后根据抛物线的对称性求解． 【详解】解：点关于直线的对称点的坐标为， 所以根据对称性，二次函数的图象一定还过点， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）设抛物线与直线交于点． (1)求抛物线的解析式及其对称轴． (2)设点是抛物线上两点，且位于对称轴两侧，． ①若，求的值． ②直线与直线交于点，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线为，对称轴为直线 (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】（1）先得出点A的坐标，然后再利用待定系数法求二次函数解析式，进而可得对称轴； （2）①由题意易得点B、C关于对称轴对称，然后根据二次函数的对称性可进行求解；②根据①可知当时，则有，当当时，则，然后根据点B、D、C在直线上，且，所以，可进行求解． 【详解】（1）解：把点代入直线得：， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线； （2）解：①∵点是抛物线上两点，且， ∴点B、C关于对称轴对称， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ②由题意得：点B、D、C在直线上，且，所以， 由①可知当时，则有， 联立二次函数与直线可得：， 解得：或， ∴二次函数与直线的另一个交点坐标为， ∴当时，则， ∴要使，则的取值范围为． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． 【题型十二】y=ax²+bx+c的最值 【例12】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．二次函数的最小值为1 C．该函数的对称轴为 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的图象及性质等．根据题意利用二次函数图象及性质逐一对选项进行分析即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴函数图象开口向上，故A不符合题意， ∵函数图象的对称轴为：，故C符合题意， ∵函数图象的顶点坐标是，函数图象开口向上， ∴函数有最小值为5，故B不符合题意， ∵函数图象的对称轴为， ∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，故D不符合题意． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 由题意可知，点在二次函数（m为常数）的图象上，且，代入解得或（舍去），因为抛物线的对称轴为直线，当时，二次函数有最小值，当时，二次函数有最大值，即二次函数的最大值与最小值的差为． 【详解】解：将代入得： ， ， ， 解得：或（舍去） ， 即， ， ∴， 抛物线的对称轴为直线， 当时，二次函数有最小值， 当时，二次函数有最大值， 即二次函数的最大值与最小值的差为． 故选D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）规定：，设，则y的最大值是 ． 【答案】4 【知识点】比较一次函数值的大小、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了新定义的理解，绝对值函数，二次函数，熟练掌握函数的性质是解题的关键，注意数形结合思想的应用． 先根据新定义求得，再根据一次函数与二次函数的性质求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴当时，， ∵当时，y随x增大而增大 ， ∴当时，y有最大值为， ∵当时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值为， 当时，函数无最大值， 当时，， ∵， ∴当时，函数有最大值为4， 综上，y的最大值为4． 故答案为：4． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点在该抛物线上，已知当点在点处时，点恰与点重合．    (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当点在第二象限内时，求的取值范围． (3)若点也在该抛物线上，且恒有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数点的坐标特征、二次函数得增减性、二次函数最值等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得，再代入二次函数求解即可； （2）由P在第二象限可知，进而得到，再根据增减性求解即可； （3）由易得0，再分类讨论，根据点P和点Q在对称轴同侧和异侧问题，利用增减性和对称性建立不等式求解即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵在该抛物线上，当点在点处时，点恰与点重合， ∴，点Q的横坐标为3， ∴， 将代入得，，   抛物线的函数表达式； （2）解：令，则． 或． 解得，． 所以抛物线与轴的交点坐标为，． 点在第二象限，   ，   ，   点在对称轴直线的右侧，随的增大而减小，   当时，，当时，，   ； （3）令，   解得或，   ，   ，   解得，   ， 所以符合条件的两种情况如图所示：   ①当点、位于对称轴两侧时，如图1，    ∴ 解得， ∴； ②当点P、Q位于对称轴同侧时，如图2    ， 解得：， 综上所述：或． 【题型十三】已知二次函数的函数值求自变量的值 【例13】（21-22九年级上·浙江宁波·期末）点是二次函数的图象上的点，当（a为整数）时，点P到x轴的距离小于15，则a的值可以的是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】先求得抛物线的开口向下，顶点为（4，16），然后根据图象上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：∵y=-x（x-8）=-（x-4）2+16， ∴图象开口向下，顶点为（4，16）， 把y=15代入y=-x（x-8）得15=-x2+8x， 解得x=3或5， ∴当1≤x＜3时，点P到x轴的距离小于15， ∴a可以是3， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得函数值为15时的x值是解题的关键． 【举一反三】 1．（浙江台州·一模）三个方程的正根分别记为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】分别设： ，，，三个方程的根即为三个二次函数与直线 的交点，画出图像，即可求解． 【详解】解：设，，， 将三个函数画在同一个直角坐标系中，如图： 则三个方程的正根 即为：直线 分别与 在第一象限交点的横坐标， 则由图可知： ． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图像画法，熟练掌握二次函数和一元二次方程的关系以及数形结合的方法是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，一条形状一定的抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段上移动．若点M、N的坐标分别为，点A的横坐标的最小值为，则点B横坐标的最大值为 ．    【答案】3 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】根据题意可知当图象顶点在点M时，点A的横坐标的最小值为，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在N点时，点B的横坐标最大，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论． 【详解】当图象顶点在时，点A的横坐标的最小值为， 则可设此时抛物线的解析式为：， 将点A的坐标代入得：，解得． 当图像顶点在时，点B的横坐标最大，此时抛物线的解析式为：， 令，则，解得， 即点B横坐标的最大值为3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式，解题关键是当图象顶点在点M时，点A的横坐标最大；当图象顶点在点N时，点B的横坐标最大． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（m，n为常数，）， (1)若函数图像与x轴的一个交点坐标为，求另一个交点坐标； (2)若函数图像经过，其中；，若，求a的值； (3)若函数图像经过，且顶点在第三象限，求t的取值范围． 【答案】(1)另一个交点为 (2) (3) 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、抛物线与x轴的交点问题、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】（1）将代入抛物线的解析式中可得，配方后求对称轴即可解答； （2）根据对称性可知：抛物线的对称轴是；直线，再将后两点分别代入解析式中即可解答； （3）先将代入抛物线的解析式中得∶，再将代入可得∶．最后由顶点在第三象限即可解答． 【详解】（1）解：函数图象与轴的一个交点坐标为， ， ， ， ， 抛物线的对称轴是：直线， 函数图象与轴的另一个交点为； （2）解：函数图象经过， 抛物线的对称轴是直线， 的对称轴是：， ， 得， ， 当时，， ， ， 或， ， ； （3）解：函数图象经过点，， ，， ，， ， ， ， ，， 顶点在第三象限， ， 与同号， 由题意得：，， ， 即， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，顶点坐标公式，会利用对称性解决问题，明确二次函数与方程，不等式之间的转换是解题的关键． 【题型十四】抛物线与x轴的交点问题 【例14】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知抛物线（且都是常数）经过点，且对于符合，的任意实数，其对应的函数值始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质．先求出抛物线的对称轴为直线 ，不妨设该抛物线的函数表达式为，代入求得，进一步即可求得顶点的纵坐标． 【详解】解：当时，， 则抛物线经过点和， 该抛物线的对称轴为直线 ． 点关于该对称轴对称的点的坐标是． 由题意，得： 恒正， 恒负． 该抛物线经过点和． 设该抛物线的函数表达式为 ． 代入，得 ， 解得 ． 当 时， ， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是（    ） 1 2 3 4 0 5 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，掌握二者之间的关系是解本题的关键． 由表格信息得出当时的函数值为0，再利用二次函数与一元二次方程的关系即可得出结果． 【详解】解：由表格信息可得：当时的函数值为0， ∴当时，则，即， ∴是的一个解， 故选：B 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）将抛物线向下平移个单位后与轴只有一个交点，则 ． 【答案】3 【知识点】二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，与横轴交点的计算，掌握平移规律，理解只有一个交点的含义是解题的关键． 根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到解析式，再根据二次函数与轴只有一个交点得到，即可求解． 【详解】解：抛物线向下平移个单位得到的解析式为， ∵平移后的二次函数与轴只有一个交点， ∴， 解得，， 故答案为：3 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数，，为实数，且的图象经过点． (1)求的值； (2)若，当时，此二次函数恒满足随着的增大而减小，求的取值范围； (3)设是该函数图象与轴的一个交点，且满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将点代入函数关系变换形式即可得； （2）根据对称轴关系式与的取值范围即可确定的取值范围； （3）根据根与系数关系确定二次函数与轴的两个交点位置，再根据的取值范围确定的取值范围． 【详解】（1）解：的图象经过点， ， ， ， ； （2）解：， 二次函数的图象开口向上， 在对称轴的左侧，随的增大而减小， 当时，二次函数随的增大而减小， ，即， ， ； （3）解：是二次函数图象与轴的一个交点， 当时，， ， 此二次函数与轴的交点一个在正半轴，一个在负半轴， ， ， 当时，， 当时，， ， ， ． 好题必刷 一、单选题 1．抛物线的顶点在轴上，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】顶点在轴上，所以顶点的纵坐标是．根据顶点公式即可求得的值． 【详解】抛物线的顶点纵坐标是： 则 得到：   解得． 故选：D． 【点睛】考查了二次函数的性质，熟记二次函数顶点的坐标公式是解题的关键． 2．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据二次函数的平移可直接进行求解． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键． 3．已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值2，有最小值 D．有最大值1.5，有最小值 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】直接根据函数的图象顶点坐标及最低点求出该函数在所给自变量的取值范围内的最大及最小值即可． 【详解】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，2）， ∵此抛物线开口向下， ∴此函数有最大值，最大值为2； ∵0≤x≤3.4， ∴当x=3.4时，函数最小值为-2． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象，解答此题时要注意应用数形结合的思想求解． 4．已知抛物线过四点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意先求出抛物线的对称轴为直线，可得抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，即可求解． 【详解】解：∵抛物线过， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 故选：A 5．在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、把y=ax²+bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【详解】由题意可得6＝m2－m，解得m1＝3，m2＝－2， ∴二次函数图象的对称轴在y轴左侧， ∴，即m＞0，∴m＝3，∴， ∴二次函数有最小值为． 6．已知，则函数（    ） A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．无最小值，也无最大值 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】首先利用配方法求出二次函数最值，再利用x的取值范围得出函数最值． 【详解】∵y=x2+x+1=（x+）2+ ∴当x=0时，y有最小值为1， 当x=时，有最大值，y= 故选C． 7．已知某函数图象如下图所示，则时自变量的取值范围是（ ） A．x<-1或x>2 B．x>-1 C．-1<x<2 D．x<2 【答案】A 【分析】根据图象可知，当y＞0时，图象在x轴上方，故x＜-1或x＞2． 【详解】由图象可知： ①当y>0时， ∵图象在第二象限内， ∴x<−1， ②当y>0时， ∵图象在第一象限内， ∴x>2， ∴x<−1或x>2. 故答案选A. 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象的相关知识. 8．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是(   ) A．b≤-2 B．b<-2 C．b≥-2 D．b>-2 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据y=x2+bx+1与y轴交于点（0，1），且与点C关于x=1对称，则对称轴x≤1时，二次函数y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，据此可求出b的取值范围. 【详解】当二次函数y=x2+bx+1的图象经过点B（1，0）时，1+b+1=0.解得b=-2，故排除B、D； 因为y=x2+bx+1与y轴交于点（0，1），所以（0，1）与点C关于直线x=1对称，当对称轴x≤1时，二次函数y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，所以-≤1，解得b≥-2，故选C. 【点睛】本题考查二次函数图象，解题的关键是利用特殊值法进行求解. 9．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的是（     ） ①abc＞0；   ②3a+b＞0；   ③﹣1＜k＜0；  ④4a+2b+c＜0；  ⑤a+b＜k． A．①②③ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【详解】试题解析：∵抛物线开口向上， ∴a＞0． ∵抛物线对称轴是x=1， ∴b＜0且b=-2a． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0． ∴①abc＞0错误； ∵b=-2a， ∴3a+b=3a-2a=a＞0， ∴②3a+b＞0正确； ∵b=-2a， ∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0， ∴④4a+2b+c＜0错误； ∵直线y=kx+c经过一、二、四象限， ∴k＜0． ∵OA=OD， ∴点A的坐标为（c，0）． 直线y=kx+c当x=c时，y＞0， ∴kc+c＞0可得k＞-1． ∴③-1＜k＜0正确； ∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点， ∴ax2+bx+c=kx+c， 得x1=0，x2= 由图象知x2＞1， ∴＞1 ∴k＞a+b， ∴⑤a+b＜k正确， 即正确命题的是②③⑤． 故选B． 10．若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的图象上②M、N关于原点对称，则称点对是函数y的一个“共生点对”（点对与看作同一个“共生点对”），已知函数，则函数y的“共生点对”有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】设点函数y的图象上，且坐标为，当时，，其关于原点对称的点为，不在函数y的图象上，不符合题意，则令，点关于原点对称的点为，则，由“共生点对”的定义可得方程，该方程的解的个数可知函数的“共生点对”的个数，即研究函数，两个函数图象的交点个数，画出函数的草图如图，由图象的交点个数即可求解． 【详解】解：函数， 设点函数y的图象上，且坐标为，当时，，其关于原点对称的点为，不在函数y的图象上，不符合题意，则令， 点关于原点对称的点为，则， 若也在函数y的图象上，则点对是函数y的一个“共生点对”， ∵，，在函数y的图象上， ∴，则， ∵也在函数y的图象上， ∴， 则，该方程的解的个数可知函数的“共生点对”的个数， 即研究函数，两个函数图象的交点个数， 当时，，，即画出函数的草图如图，    由图可知，与有两个交点，故方程有两个解， ∴此函数的“共生点对”有2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数函数的图象的对称性和函数图象的交点个数，还考查了新定义问题，本题难度适中，属于中档题． 二、填空题 11．对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等时，m＝ 【答案】5 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【详解】已知二次函数，当时的函数值与时的函数值相等，由此可得二次函数图象的对称轴为，即，可得． 12．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，则当0≤x≤3时，函数值y的范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】观察图象即可得到结果． 【详解】解：根据二次函数的图像可得：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图像，利用数形结合求解问题是解题的关键． 13．已知点在二次函数（的常数）的图象上． （1）该二次函数的图像的对称轴为 ；    （2）当时，n的取值范围是 【答案】 直线 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）化为顶点式求解即可； （2）判断出与a的大小即可求出n的取值范围． 【详解】（1）∵， ∴该二次函数的图像的对称轴为直线． 故答案为：直线； （2）∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∵时，， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线． 14．如图，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)经过点A（-3，0），对称轴为直线x= -1，则(a+b)(4a-2b+1)的值为 ． 【答案】-1 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【详解】【分析】由“对称轴是直线x=-1，且经过点P（-3，0）”可知抛物线与x轴的另一个交点是（1，0），代入抛物线方程即可解得． 【详解】因为抛物线对称轴x=-1且经过点P（-3，0）， 所以抛物线与x轴的另一个交点是（1，0）， 代入抛物线解析式y=ax2+bx+1中，得a+b+1=0． 所以a+b=-1， 又因为， 所以2a-b=0, 所以(a+b)(4a-2b+1)=-1(0+1)=-1 故正确答案为：-1 【点睛】本题考核知识点：二次函数的对称轴. 解题关键：利用抛物线的对称性，找出抛物线与x轴的另一个交点. 15．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：①，②，③，④．其中错误的是 ．    【答案】②④/④② 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】利用二次函数的开口方向，对称轴，图象与坐标轴的交点逐项判断即可． 【详解】∵二次函数的图象开口向上， ∴， 故①正确， ∵对称轴直线在y轴的左边， ， ∴， 故②正确， ∵二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴， 故③正确， ∵对称轴直线， ∴， ∴， 故④错误， 故答案为：②④ 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16．如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有 （填序号）． 【答案】①②④ 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根、根据二次函数的对称性求函数值、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），即可判断①；由抛物线的对称轴为直线x=1，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，即可判断④，由抛物线开口向下，得到a<0，再由当x=-1时，，即可判断③． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3）， ∴c=3，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴，即，故②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在2到3之间，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴a<0， ∵当x=-1时，， ∴即，故③错误， 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质． 三、解答题 17．已知二次函数． （1）求抛物线开口方向及对称轴． （2）写出抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】（1）开口向上，直线；（2） 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据二次函数的顶点式进行解答即可； （2）令x=0，求出y的值即可． 【详解】（1）∵， ∴抛物线开口向上， ∵=， ∴对称轴是直线； （2）∵， ∴， ∴与y轴交点坐标是． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 18．已知二次函数的图象经过点和点，且有最小值为. （1）求这个函数的解析式、函数的开口方向、对称轴； （2）当时，x的取值范围. 【答案】（1），抛物线开口向上，对称轴为：；（2）或． 【知识点】根据交点确定不等式的解集、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）由题意得：函数的对称轴为，此时，则函数的表达式为：，即可求解． （2）根据函数图象即可得出结论. 【详解】解：（1）∵和点是抛物线与x轴的交点， ∴函数的对称轴为， 又因为有最小值为. ∴抛物线的顶点为（1，-2），则函数的表达式为：， 把点坐标代入上式得，解得：， 则函数的表达式为： ，抛物线的开口向上， 对称轴为：； （2）由函数图象可知： 当时，的取值范围为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数基本性质和二次函数与不等式的关系.二次函数的开口方向、对称轴、的取值范围都是函数的基本属性，是一道基本题． 19．已知点均在抛物线上，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．佳佳觉得①③说法正确，李华觉得②④说法正确．请你判断佳佳和李华两人谁的判断正确，并说明理由． 【答案】佳佳的判断错误，李华的判断正确．理由见解析． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据题意作图，由函数图像即可判断正误． 【详解】佳佳的判断错误，李华的判断正确． 理由：如图所示，说法①，若，则或； 说法②，若，则； 说法③，若，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则； 说法④，若，则在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则， 故②④说法正确． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意作图进行分析求解． 20．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABO，其中∠OAB=90°，AO=4，BO=5，求经过点O、A、B抛物线的解析式． 【答案】y=﹣x2+x． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】过点A作AC⊥BO于点C，先根据勾股定理求出AB的长度，进而可求出AC、CO的长度，即可求出A点坐标，根据O、B两点坐标设抛物线的解析式为y=ax(x-5)，把A点坐标代入求出a的值即可. 【详解】如图所示： 过点A作AC⊥BO于点C， ∵AO=4，BO=5，∠OAB=90°， ∴AB=3， ∴AC==， ∴CO==， 则A（，）， 设经过点O、A、B抛物线的解析式为：y=ax（x﹣5）， 则=a××（﹣5）， 解得：a=﹣， 则y=﹣x2+x． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）熟练掌握二次函数的三种形式是解题关键. 21．已知抛物线，当时，的最小值为，求的值． 【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、因式分解法解一元二次方程、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，分3种情况进行讨论求解即可． 分为①当，②当，③当时，分别解答即可； 【详解】解：对于，当时，， 当时，； 抛物线的对称轴为直线，开口向下， ①当，即时，抛物线在时，取得最小值，即， 解得（舍去）或，故； ②当，即时， 当时，抛物线在时，取得最小值， 即，解得（舍去）或（舍去）， 当时，抛物线在时，取得最小值， 即，解得（舍去）或（舍去）； ③当时，抛物线在时，取得最小值，即， 解得（舍去）或，即， 综上所述，或． 22．二次函数的图象与轴只有一个交点；另一个二次函数的图象与轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且是小于的整数． 求： (1)的值； (2)二次函数的图象与轴交点的坐标． 【答案】(1)； (2)， 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（）利用抛物线图象与轴交点个数得出求出即可； （）根据（）中所求以及，得出的取值范围，进而利用图象与轴交点的横坐标都是整数得出的值，进而得出答案； 此题主要考查了抛物线与轴交点问题与判别式的关系和一元二次方程的解法等知识，熟练掌握时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点是解题的关键． 【详解】（1）∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得：； （2）将代入二次函数解析式得：， ∵二次函数的图象与轴交于两点， ∴， 解得：， ∵是小于的整数， ∴， ∴或， ∵二次函数的图象与x轴交点的横坐标都是整数， ∴当时，即与轴交点坐标为：，， 当时，，与轴交点坐标为，不合题意舍去， ∴二次函数与轴交点坐标为：，． 23．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点与点C，与y轴交于点B． （1）求此二次函数关系式和点B的坐标； （2）计算的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=-16+4b+3，解得b=，进而求解； （2）先求出C点坐标，利用面积公式求△ABC的面积=×AC•OB=×（4+）×3=； （3）分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况构造方程，分别求解即可． 【详解】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为， 令，则， ∴点B的坐标为； （2）令， 解得或， ∴点C的坐标为， 连接AB、BC， 则；     （3）设点P的坐标为， 由题意得： ，，， 当时，则， 解得或， 当时，则， 解得（舍去）或， 当时，则， 解得可得， ∴点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查抛物线解析式，两轴交点坐标，三角形面积，等腰三角形的性质，解一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，会利用函数解析式求两轴交点坐标，会求三角形面积，会利用等腰三角形的性质构造方程是解题关键． 24．抛物线过点，顶点为M点． （1）求该抛物线的解析式； （2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM＝90˚．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标； （3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK＝90˚，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，理由见解析. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b、c的值，得出抛物线解析式； （2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90˚．设（a，a2-4a），过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可； （3）抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N，在Rt△OMN中，利用互余关系证明△OFM∽△MFN，利用相似比求N点坐标，再求直线MN解析式，将直线MN解析式与抛物线解析式联立，可求K点坐标． 【详解】（1）根据题意，得 解得 ∴ 抛物线的解析式为． （2）抛物线上存在一点P，使∠POM＝90˚． . ∴ 顶点M的坐标为． 设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为． 过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F． 则 ∠POE＋∠MOF＝90˚，∠POE＋∠EPO＝90˚． ∴ ∠EPO＝∠FOM． ∵ ∠OEP＝∠MFO＝90˚， ∴ Rt△OEP∽Rt△MFO． ∴ OE∶MF=EP∶OF． 即． 解，得（舍去），． ∴ P点的坐标为． （3） 过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N．则 ∠FMN＋∠OMF＝90˚． ∵ ∠MOF＋∠OMF＝90˚， ∴ ∠MOF＝∠FMN． 又∵ ∠OFM＝∠MFN＝90˚， ∴ △OFM∽△MFN． ∴ OF∶MF＝MF∶FN． 即 4∶2＝2∶FN．∴ FN＝1． ∴ 点N的坐标为（0，-5）．       设过点M，N的直线的解析式为． 解，得直线的解析式为． ∴把①代入②，得． ． ∴ 直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）． ∴ 抛物线上必存在一点K，使∠OMK＝90˚． 【点睛】解答本题的关键关键是通过已知三点求抛物线解析式，根据垂直关系证明三角形相似，得出线段长及点的坐标，利用直线解析式及抛物线解析式求满足条件的点的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$