第01讲 二次函数（知识清单+3大题型+好题必刷）-【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第01讲 二次函数（知识清单+3大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 知识清单 知识点1．二次函数的定义 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 题型方法 【题型一】列二次函数关系式 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 3．（九年级上·浙江·期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【题型二】二次函数的识别 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）有下列函数： ①y=5x-4；②；③；④；⑤； 其中属于二次函数的是 （填序号）． 3．（九年级上·全国·专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x—1； （2） ； （3）  ； （4） ； （5） ； （6） 【题型三】根据二次函数的定义求参数 【例3】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．0或4 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 好题必刷 一、单选题 1．二次函数的二次项系数是（    ） A． B． C． D． 2．在二次函数y＝﹣x2+5x﹣2中，a、b、c对应的值为（　　） A．a＝1，b＝5，c＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝5，c＝2 C．a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣5，c＝﹣2 3．对于y＝ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（　　） A．当b＝0时，y＝ax2+c是二次函数 B．当c＝0时，y＝ax2+bx是二次函数 C．当a＝0时，y＝bx+c是一次函数 D．以上说法都不对 4．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 5．某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 6．下列函数：①，②，③，④，是的反比例函数的个数有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 7．若是二次函数，则等于（     ） A． B． C． D．或 8．是二次函数，则m的值为（      ） A．0,-3 B．0,3 C．0 D．-3 9．正方形的边长为3，若边长增加x时，面积增加y，则y关于x的函数表达式为( ) A．y＝x2＋9 B．y＝(x＋3)2 C．y＝x2＋6x D．y＝9－3x2 10．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系 二、填空题 11．已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 12．把函数y＝(2－3x)(6－x)化成y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式为 ，其中a＝ ，b＝ ，c＝ ．当x＝2时，y的值是 ． 13．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 14．已知函数是二次函数，则 ． 15．y=（m+1）﹣3x+1是二次函数，则m的值为 ． 16．已知函数y=（m﹣2）﹣2是关于x的二次函数，则m= ． 三、解答题 17．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 18．已知函数． (1)若是一次函数，求的值； (2)若是二次函数，求的值满足什么条件． 19．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 20．为美化居民小区，需在一块正方形空地上铺设草皮，图中的阴影部分即为铺草皮的区域(单位：米)    （1）计算阴影部分的面积(用含有的字母表示)； （2）若市场上草皮的单价为元米，当时，求购买草皮需多少元？ 21．（1）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围； （2）已知函数y=（m2+m）是二次函数，求m的值． 22．若函数是二次函数． (1)求的值． (2)当时，求的值． 23． 原来公园有一个半径为 1 m 的苗圃，现在准备扩大面积，设当扩大后的半径为x m时,则增加的环形的面积为 y m 2 . (1)写出y与x的函数关系式； (2)当半径增大到多少时面积增大1倍； (3)试猜测半径是多少时，面积是原来的3、4、5、…倍. 24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）． （2）当点Q与点C重合时，求t的值． （3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次函数（知识清单+3大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 知识清单 知识点1．二次函数的定义 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 题型方法 【题型一】列二次函数关系式 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 3．（九年级上·浙江·期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()； (2)() 【知识点】列二次函数关系式、求一次函数解析式 【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为 ． 时，， 时，， ， 解得， ， 根据部门规定，得． （2） 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 【题型二】二次函数的识别 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析． 【详解】解：、是一次函数，故本选项不符合题意； 、，当时不是二次函数，故本选项不符合题意； 、是二次函数，故本选项符合题意； 、，等式右边不是整式，故本选项不符合题意； 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般式，形如（其中是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：A、中，y不是x的二次函数，不符合题意； B、中，y不是x的二次函数，不符合题意； C、中，y是x的二次函数，符合题意； D、中，y不是x的二次函数，不符合题意； 故选：C． 2．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）有下列函数： ①y=5x-4；②；③；④；⑤； 其中属于二次函数的是 （填序号）． 【答案】②④ 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：②y=；④y=﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数； ①y=5x﹣4是一次函数，不属于二次函数； ③y=自变量的最高次数是3，不属于二次函数； ⑤y=的右边不是整式，不属于二次函数． 综上所述，其中属于二次函数的是②④． 故答案为：②④． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 3．（九年级上·全国·专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x—1； （2） ； （3）  ； （4） ； （5） ； （6） 【答案】（2）（4）是二次函数 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解∶（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1． （2）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3． （4）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （5）不是二次函数，因为原式整理后为y=－x． （6）不是二次函数，因为x－2为分式，不是整式． 故（2）（4）是二次函数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a、b、c均为常数，且）的函数关系称为二次函数是解题的关键． 【题型三】根据二次函数的定义求参数 【例3】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：由题意得： 把代入得： 等号两边同除以得： 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于的关系式是解决本题的关键． 【举一反三】 1．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．0或4 【答案】C 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解即可． 【详解】由题意得：，且， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如(a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 3 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数（a、b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求自变量的值或函数值、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值的计算方法是解题的关键． （1）根据二次函数的定义可得，即可求解； （2）由（1）可得二次函数解析式，把代入计算即可． 【详解】（1）解：函数是二次函数， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∴当时，． 好题必刷 一、单选题 1．二次函数的二次项系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 2．在二次函数y＝﹣x2+5x﹣2中，a、b、c对应的值为（　　） A．a＝1，b＝5，c＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝5，c＝2 C．a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣5，c＝﹣2 【答案】C 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的相关定义进行辨别即可． 【详解】解：∵y＝﹣x2+5x﹣2， ∴a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的相关定义，理解二次函数的定义是解题的关键． 3．对于y＝ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（　　） A．当b＝0时，y＝ax2+c是二次函数 B．当c＝0时，y＝ax2+bx是二次函数 C．当a＝0时，y＝bx+c是一次函数 D．以上说法都不对 【答案】D 【知识点】识别一次函数、二次函数的识别 【分析】根据二次函数和一次函数的定义解答即可． 【详解】解：A、当b＝0，a≠0时，y＝ax2+c是二次函数，故A选项错误； B、当c＝0，a≠0时，y＝ax2+bx是二次函数，故B选项错误； C、当a＝0，b≠0时，y＝bx+c是一次函数，故C选项错误； D、以上说法都不对，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的定义，熟记各定义是解题的关键，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）是二次函数，形如y＝kx+b（k、b为常数且k≠0）是一次函数． 4．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式 【分析】先求出原来的圆的面积，再用x表示挖去的圆的面积，相减得到圆环的面积． 【详解】解：圆的面积公式是， 原来的圆的面积=， 挖去的圆的面积=， ∴圆环面积． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的列式，解题的关键是根据题意用x表示各个量，然后列出函数关系式． 5．某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】D 【知识点】函数解析式、二次函数的识别、识别一次函数、根据定义判断是否是反比例函数 【分析】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，则可表示出y与x的函数关系，根据关系式即可作出选择． 【详解】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元， 由题意得：， 这是关于一个二次函数． 故选：D． 【点睛】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式． 6．下列函数：①，②，③，④，是的反比例函数的个数有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、二次函数的识别、识别一次函数 【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】是一次函数，故选项①不符合题意； 是反比例函数，故选项②符合题意； 是二次函数，故选项③不符合题意； 是二次函数，故选项④不符合题意； ∴是的反比例函数的个数有：1个 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、二次函数、一次函数的定义，从而完成求解． 7．若是二次函数，则等于（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义，指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可． 【详解】由题意得,m2+m=2且m2−m≠0， 解得m1=1,m2=−2且m≠0，m≠1， ∴m=−2. 故答案选A. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义. 8．是二次函数，则m的值为（      ） A．0,-3 B．0,3 C．0 D．-3 【答案】D 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【详解】试题解析：∵是关于x的二次函数， ∴m≠0，m2+3m+2=2， 解得：m=-3． 故选D. 9．正方形的边长为3，若边长增加x时，面积增加y，则y关于x的函数表达式为( ) A．y＝x2＋9 B．y＝(x＋3)2 C．y＝x2＋6x D．y＝9－3x2 【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【详解】原正方形的边长为3，增加x，则边长为3＋x，面积为(3＋x)2，∴y＝(3＋x)2－32＝9＋6x＋x2－9＝x2＋6x. 故选C. 10．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系 【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【详解】A、v=，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，根据语句列出函数关系式，并能根据二次函数的定义进行判断是解题的关键. 二、填空题 11．已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义，列出关于的不等式组并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且， 解得． 故答案为：． 12．把函数y＝(2－3x)(6－x)化成y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式为 ，其中a＝ ，b＝ ，c＝ ．当x＝2时，y的值是 ． 【答案】 y＝3x2－20x＋12 3 －20 12 －16 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】把括号展开合并同类项，即可化简出一般式，即可得到a,b,c的值，把x的值带入原式就可得到y的值． 【详解】y＝(2－3x)(6－x)＝12-2 x-18 x+3x2＝3x2－20x＋12 所以a＝3，b＝－20，c＝12 当x＝2时，y＝(2－3×2)(6－2) ＝－4×4＝－16 故答案为： y＝3x2－20x＋12， 3，－20， 12，－16． 【点睛】本题主要考查了二次函数的基本概念，准确的理解记住二次函数一般式的正确形式是解题关键． 13．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【答案】2019 【知识点】根据二次函数的定义求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果． 【详解】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0， ∴m2-m=1， ∴-3m2+3m+2022 =-3（m2-m）+2022 =-3+2022 =2019． 故答案为：2019． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值． 14．已知函数是二次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】直接利用二次函数的概念即可求解． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的概念，熟记形如的函数是二次函数是解题的关键． 15．y=（m+1）﹣3x+1是二次函数，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】二次函数的定义、根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义求解即可得． 【详解】解：， 解得m=2， 故答案为：2． 【点睛】题目主要考查二次函数的定义，深刻理解二次函数的定义是解题关键． 16．已知函数y=（m﹣2）﹣2是关于x的二次函数，则m= ． 【答案】– 3 【知识点】二次函数的定义 【分析】根据二次函数的定义，次数最高项的次数是2，且二次项的系数不等于0即可求得m的值． 【详解】根据题意得：m2+m﹣4=2且m﹣2≠0，解得：m=﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了二次函数的定义．要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，若二次系数等于0就不是二次函数了，而b，c可以是0． 三、解答题 17．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1. 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解． 【详解】解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0 解得m=0或m=1 又∵m﹣1≠0即m≠1； ∴当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0 解得m1≠0，m2≠1 ∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数． 【点睛】考点：二次函数的定义；一次函数的定义 18．已知函数． (1)若是一次函数，求的值； (2)若是二次函数，求的值满足什么条件． 【答案】(1) (2)且 【知识点】根据二次函数的定义求参数、因式分解法解一元二次方程、根据一次函数的定义求参数 【分析】（1）由一次函数的定义求解可得； （2）由二次函数的定义求解可得． 【详解】（1）若这个函数是一次函数， 则且， 解得； （2）若这个函数是二次函数， 则， 解得且． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键． 19．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 20．为美化居民小区，需在一块正方形空地上铺设草皮，图中的阴影部分即为铺草皮的区域(单位：米)    （1）计算阴影部分的面积(用含有的字母表示)； （2）若市场上草皮的单价为元米，当时，求购买草皮需多少元？ 【答案】（1）平方米；（2）元 【知识点】列二次函数关系式、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）根据图形列出阴影面积计算公式，并利用平方差公式求解； （2）根据（1）的结论，计算得到阴影面积从而完成求解． 【详解】（1）右下角图形另一边长为： ∴图中的阴影部分面积为： ∴阴影部分的面积为平方米； （2）由（1）可知，当时 ∴ ∴购买草皮需元． 【点睛】本题考查了二次函数和平方差公式，求解的关键是熟练掌握并运用二次函数和平方差公式求解实际问题． 21．（1）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围； （2）已知函数y=（m2+m）是二次函数，求m的值． 【答案】（1）m≠0且m≠1；（2）m的值为3． 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案； （2）直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式求出即可． 【详解】解：（1）函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1是二次函数， 即m2﹣m≠0， 即m≠0且m≠1， ∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数； （2）由题意得：m2﹣2m﹣1=2，m2+m≠0， 解得：m1=3，m2=﹣1（不合题意舍去）， 所以m的值为3． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键． 22．若函数是二次函数． (1)求的值． (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求自变量的值或函数值、根据二次函数的定义求参数 【分析】（）根据二次函数的定义解答即可求解； （）把代入（）中所得的函数解析式计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，求函数值，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，且， 解得； （2）解：把代入得，， ∴当时，． 23．原来公园有一个半径为 1 m 的苗圃，现在准备扩大面积，设当扩大后的半径为x m时,则增加的环形的面积为y m 2 . (1)写出y与x的函数关系式； (2)当半径增大到多少时面积增大1倍； (3)试猜测半径是多少时，面积是原来的3、4、5、…倍. 【答案】(1)y=πx 2 -π;(2) m;(3) 、、…. 【知识点】列二次函数关系式 【详解】试题分析：（1）利用圆的面积公式分别表示出原来苗圃的面积以及扩大后苗圃的面积，差即为增加的面积，由此即可得函数关系式； （2）面积增大1倍即差与原面积相等，列方程进行求解即可； （3）根据题意列方程进行求解，即可得. 试题解析：（1）y=πx2-π×12=πx2-π； （2）由题意得：πx2-π=π，解得：x=； （3）面积是原来的3倍时，πx2-π=2π，解得：x=， 面积是原来的4倍时，πx2-π=3π，解得：x=2=， 面积是原来的5倍时，πx2-π=4π，解得：x=， …… 面积是原来的n倍时，半径是. 24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）． （2）当点Q与点C重合时，求t的值． （3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 【答案】（1）；（2）；（3）当0＜t≤1时，，当1＜t＜2时，. 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、列二次函数关系式 【分析】（1）先证明 ，再由勾股定理，即可求解； （2）由点Q与点C重合，可得2AD=AC，从而，即可求解； （3）分两种情况讨论：当0＜t≤1时；当1＜t＜2时，即可求解． 【详解】解：（1）∵PD⊥AC， ∴ ， ∵∠A=45°， ∴ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， ∵点P的运动时间为t秒，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动， ∴ ， ∴ ，解得： ， ∵AC=， ∴； （2）∵PD⊥AC，∠A=∠DPQ=45°， ∴∠A=∠PQD=45°， ∴PA=PQ， ∴AD=DQ ，   ∵点Q与点C重合， ∴AD+DQ=AC， ∴2AD=AC， 即， 解得；   （3）①当0＜t≤1时， ，   ②当1＜t＜2时，如图，设PQ交BC于点E，则 ， ， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，动点问题，理解题意，利用方程思想解答问题是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$