暑假作业15 空间中的垂直关系（巩固培优）高一数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业15 空间中的垂直关系 1．两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． 2．三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 3．三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 4．三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 5．如图，如果二面角α－AB－β的大小为θ，则cosθ＝． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．下列说法不是线面位置关系的性质定理的是（  ）. A． B． C． D． 2．已知所在的平面为，，是两条不同的直线，，，，，则直线，的位置关系是（      ） A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定 3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（   ） ① 若 ，则       ②若，则    ③若，则         ④若，则 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．已知直线平面，表示直线，表示平面，有以下四个结论：①；②；③；④若与相交，则与相交.其中正确的结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知球的半径为4，在中，，，且的三个顶点都在球的表面，所在平面将球分为较大部分和较小部分，点是较大部分球面上的一个动点，当二面角的余弦值为时，所在平面与球面的交线长为（   ） A． B． C． D． 7．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等 8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有 个. 10．已知，若直线，直线，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是 . 11．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.证明平面PAB； 1．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 2．已知矩形ABCD，AB=1，AD=2，点E为BC边的中点将△ABE沿AE翻折，得到四棱锥B-AECD，且平面BAE⊥平面AECD，则四面体B-ECD的外接球的表面积为（    ） A． B．4π C． D．5π 3．如图、在正四棱柱中，点为线段上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为 C．三棱锥外接球的表面积为 D．存在点使直线与平面所成角为 4．如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，沿着将折起，使得点与点重合．若二面角为120°，则点到直线的距离是 ． 5．如图,在四棱锥中，四边形是平行四边形, 且,,平面. (1)为棱的中点,求证: 平面； (2)求证: 平面平面； (3)若,,求四棱锥的体积. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，∠BAD=，AB=4，BC=1， M是AB的中点，AD⊥PD. （1）证明：平面PDM⊥平面PBC； （2）求PC的中点N到平面PDM的距离. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业15 空间中的垂直关系 1．两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． 2．三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 3．三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 4．三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 5．如图，如果二面角α－AB－β的大小为θ，则cosθ＝． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．下列说法不是线面位置关系的性质定理的是（  ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面位置关系的性质定理判断即可. 【详解】A选项为线面垂直的性质定理，所以A正确； B选项为线面平行的性质定理，所以B选项正确； D选项为面面垂直的性质定理，所以D选项正确； 故选：C. 2．已知所在的平面为，，是两条不同的直线，，，，，则直线，的位置关系是（      ） A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定 【答案】C 【解析】由，根据线面垂直的性质定理，可得结果 【详解】因为，， 又，所以， 同理可证，所以//. 故选：C 【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，属基础题. 3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（   ） ① 若 ，则       ②若，则    ③若，则         ④若，则 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】① 面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面;②面内的一条直线垂直另外一个平面，则线面垂直;③面面平行，面内的直线平行另外一个平面； ④面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直. 【详解】① 面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面, 不在同一平内，有可能平行，所以不正确;②面内的一条直线垂直另外一个平面，则线面垂直，所以命题正确;③面面平行，面内的直线平行另外一个平面，所以命题正确； ④面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直，没出与交线垂直，所以命题不正确. 故选：C. 4．已知直线平面，表示直线，表示平面，有以下四个结论：①；②；③；④若与相交，则与相交.其中正确的结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据线线，线面的位置关系，线面垂直的性质，面面的位置关系及面面垂直的判定定理，逐项分析即得. 【详解】对于①，或，故①错误； 对于②，，，又，所以，故②正确； 对于③，，，故③正确； 对于④，若与相交，则与相交或平行，故④错误. 故正确的结论的个数是2. 故选：C. 5．已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由点线面位置关系、定理及性质即可判断. 【详解】对于A，如图，若，则或与异面，故A错误； 对于B，，若，则由线面垂直定义，故B错误； 对于C，如图，，此时，故C错误； 对于D，若，则由线面平行性质定理，故D正确. 故选：D. 6．已知球的半径为4，在中，，，且的三个顶点都在球的表面，所在平面将球分为较大部分和较小部分，点是较大部分球面上的一个动点，当二面角的余弦值为时，所在平面与球面的交线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由正弦定理可得，结合条件可得为二面角的平面角，再结合余弦定理，代入计算，即可得到结果. 【详解】 如图所示，设的外接圆圆心为，半径为，的外接圆圆心为，半径为，记所在平面为，所在平面为，连接，则.在中，，则，平面与球面的交线为圆，该圆就是的外接圆，由正弦定理知；取的中点为，根据垂径定理知，则平面，故为二面角的平面角，即；在中，，由勾股定理得，易知四点共面，在中，，由勾股定理得，如图在四边形中，，知四点共圆，记该圆为圆，则为圆的直径，在中，由正弦定理得，解得，由余弦定理得，解得，在中，，由勾股定理得，即圆的半径为，故交线长为， 故选：D. 7．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等 【答案】BCD 【分析】对于A，运用长方体举反例证明其错误；对于B，利用直线与平面平行的性质定理得到线线平行，再得到线线垂直；由平面与平面平行的性质定理判断C；由平行的传递性及线面角的定义判断D. 【详解】对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，不妨设为直线为直线， 四边形所在的平面为，四边形所在的平面为， 显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，A错误； 对于B，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线， 则，由 知，从而；B正确 对于C，由平面与平面平行的定义知，如果，那么C正确； 对于D，由平行的传递性及线面角的定义知，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确． 故选：BCD． 8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用线面平行的性质、线面垂直的性质推理判断A，B，C；举例说明判断D作答. 【详解】对于A，因，则存在过直线的平面，使得，于是得， 而，即有，因此，A正确； 对于B，因，则，B正确； 对于C，因，则，C正确； 对于D，当，，且时，满足，显然没有，D不正确. 故选：ABC 9．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有 个. 【答案】 【分析】结合线线、线面垂直的知识求得正确答案. 【详解】由于平面，所以， 所以三角形和三角形是直角三角形. 由于，所以，三角形是直角三角形. 由于，所以平面， 所以，所以三角形是直角三角形. 所以三棱锥四个面中，是直角三角形的个数有个. 故答案为： 10．已知，若直线，直线，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是 . 【答案】平行 【分析】根据线面垂直的判定定理可得到平面，平面，由此可得答案. 【详解】依题意知，平面， 故平面， 又，平面， 故平面，∴. 故答案为：平行 11．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.证明平面PAB； 【答案】证明见解析 【分析】由勾股定理证得，由矩形得，进而证得AD⊥平面PAB. 【详解】∵ABCD为矩形 ∴ ∵PA=2，AD=2， ∴ ∴ 又∵ ，平面PAB ∴AD⊥平面PAB. 1．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据直线与平面的平行、垂直的判定定理与性质定理依次分析每个选项的正误即可. 【详解】对于选项A，若，，则与平行，相交或者异面，故A错误； 对于选项B，若，，则，故B正确； 对于选项C，若，，，则与也可以平行，故C错误； 对于选项D，若，，所以，因为，则与垂直，故D错误. 【点睛】本题主要考查直线与平面的平行的判定定理与性质定理，直线与平面的垂直的判定定理与性质定理，属于基础题. 2．已知矩形ABCD，AB=1，AD=2，点E为BC边的中点将△ABE沿AE翻折，得到四棱锥B-AECD，且平面BAE⊥平面AECD，则四面体B-ECD的外接球的表面积为（    ） A． B．4π C． D．5π 【答案】B 【分析】取AE，DE中点分别为G，H，得四边形BGIH为矩形，设外接球球心为O，半径为，可得BG⊥平面AECD，且IH⊥平面DEC，可得球心O在IH上，利用，求得可得答案. 【详解】如图所示，取AE，DE中点分别为G，H，连结BG， 作HI=BG，且HI//BG，所以四边形BGIH为矩形，且， 设外接球球心为O，半径为，因为，，所以， 由平面BAE⊥平面AECD，平面，易知BG⊥平面AECD， 则有IH⊥平面DEC，因为，，所以是的外心， 且易知球心O在IH上，因为AB=1，AD=2， 所以，，且， 设OH=，则有，解得，所以=1， 此时点I与点O重合，外接球表面积为. 故选：B. 【点睛】本题考查了三棱锥外接球的问题，解题的关键点是找到球心、求出半径，考查了学生的空间想象能力和计算能力. 3．如图、在正四棱柱中，点为线段上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为 C．三棱锥外接球的表面积为 D．存在点使直线与平面所成角为 【答案】BC 【分析】对A，判断不垂直即可；对B，先判断平面平面，再根据等体积计算判断；对C，根据三棱锥外接球即长方体的外接球，再求得表面积即可；对D，先根据等体积法求得到平面的距离，进而可得直线与平面所成角的正弦值判断即可. 【详解】对A，若直线平面，则因为平面，则，矛盾，故A错误； 对B，作辅助线如图，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，面，面，故面， 同理得，面，面，故面， 又因为面，面，， 所以平面平面， 又因为P点在平面内， 所以，故B正确； 对于C，三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确； 对D，设到平面的距离为，又， 故，又三棱锥的体积为， 则，解得，设直线与平面所成角为， 则，又，即， 故，即，故不存在使得， 即不存在点使直线与平面所成角为，故D错误. 故选：BC 4．如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，沿着将折起，使得点与点重合．若二面角为120°，则点到直线的距离是 ． 【答案】 【分析】作出二面角的平面角，求出点P到平面的距离，再求出PB长，求边BD上的高即可作答. 【详解】在等腰梯形中，，是线段的中点，四边形为平行四边形， 则，是菱形，连接AE，则、都是正三角形， 取DE中点O，连接AO，PO，如图， 则有，是二面角的平面角，有，且平面， 又平面，则平面平面，在平面内过P作于H，连BH， 因平面平面，于是得平面，而平面，即有， ，而，则有，，又，， ，中，，由余弦定理得： ，从而得， 所以边BD上的高， 所以点到直线的距离是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线， 两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 5．如图,在四棱锥中，四边形是平行四边形, 且,,平面. (1)为棱的中点,求证: 平面； (2)求证: 平面平面； (3)若,,求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得为中点，又为中点，由三角形中位数定理可得，再由线面平行的判定可得平面； （2）由平面，得，再由，可得平面,进一步得到平面平面； （3）由已知求出四边形的面积，先求出高，再由棱锥的体积公式得答案. 【详解】（1）因为点为棱的中点 又因为四边形是平行四边形， 所以点为的中点，是的中位线 所以 ,又因为平面且平面 所以平面. （2）证明:因为平面,又平面 所以,又因为 所以平面,又因为平面 所以平面平面 （3）因为,又 所以四边形的面积为4 因为,点为的中点 所以 所以四棱锥的体积为: 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，∠BAD=，AB=4，BC=1， M是AB的中点，AD⊥PD. （1）证明：平面PDM⊥平面PBC； （2）求PC的中点N到平面PDM的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）1. 【分析】（1）先利用平面几何知识和余弦定理得到是直角三角形和线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和性质定理得线面垂直，进而得到面面垂直；（2）先作出点，利用三角形全等求出，再利用面及中位线进行求解. 【详解】（1）证明：因为是的中点，， 所以， 在中，，， 由余弦定理得， 所以是直角三角形，即； 又，且， 所以平面， 因为是平行四边形，有， 所以平面，且平面， 故平面平面. （2）解：在底面平行四边形中，分别延长，使它们相交于点（如图所示）.   则≌. . 且平面. 由（1）知平面， 点到平面的距离为2， 又是中点， 点到平面的距离为1. / 学科网（北京）股份有限公司 $$