暑假作业04 条件概率与事件的独立性（巩固培优）高二数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 条件概率与事件的独立性 1．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥． 2．计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用样本点法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数． 3．P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率． 4．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为 A．0.28 B．0.12 C．0.42 D．0.16 2．高三（1）班数学老师和同学们进行一个游戏，游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的名同学并按顺序排好，每位同学手里均有张除颜色外无其他区别的卡片，第位同学手中有张红色卡片，张白色卡片；老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则老师获胜，否则学生获胜.则老师获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 3．吃青团是清明时节的习俗之一.这天小亮的妈妈送来5个青团，其中3个豆沙馅､2个蛋黄馅的，小亮随机取出两个青团，若事件“取到的两个青团为同一种馅”，事件“取到的两个青团都是蛋黄馅”，则（    ） A． B． C． D． 4．某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（    ） A． B． C． D． 5．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为，做对两道题的概率为，则预估计做对第二道题的概率为（ ） A． B． C． D． 6．设A，B为随机事件，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则A，B独立 C．若A，B独立，则 D． 8．掷两枚质地均匀的骰子，用事件A表示“第一枚出现点数2”，用事件B表示“第二枚出现偶数点”，则下列结论正确的有（    ） A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件A与事件B是独立事件 C． D． 三、填空题 9．在一次知识竞赛中，共有20道题，两名同学独立竞答，甲同学对了12个，乙同学对了8个，假设答对每道题都是等可能的，那么任选一道题，恰有一人答对的概率 ． 10．已知事件和事件相互独立，，则 ． 四、解答题 11．某公司有三个制造厂，全部产品的由甲厂生产，由乙厂生产，由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为．求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率． 一、单选题 1．高二某班共有名学生，其中女生有名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（    ） A． B． C． D． 2．2024年斯诺克武汉公开赛前夕，肖国栋与斯佳辉两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设肖国栋在每局中获胜的概率为，斯佳辉在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．某高中一年级有3个班级，（1）班、（2）班、（3）班的学生人数之比为.在某次数学考试中，（1）班的及格率为，（2）班的及格率为，（3）班的及格率为，从该校随机抽取一名高一学生.记事件“该学生本次数学为试及格”，事件“该学生在高一（i）班”，则（    ） A． B．与均不相互独立 C． D．若从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率最大 三、填空题 4．已知盒子中有大小、形状都相同的4个红球和2个白球，每次从中取一个球，取到红球记1分，取到白球记2分.如果有放回的抽取2次，则“2次所得分数之和为3分”的概率是 . 5．某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为，，. （1）求组员甲至少分配到一项任务的概率； （2）设甲、乙两人分配到的任务数分别为项和项，求. 6．某商场举办购物抽奖活动，规则如下：每次抽奖时，从装有2个白球和3个红球（球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，不放回地依次随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则不中奖；商场根据购物金额给予顾客一次或多次抽奖机会，每次抽奖之间相互独立. (1)若某顾客有一次抽奖机会，求其中奖的概率； (2)若某顾客有两次抽奖机会，求其至少有一次中奖的概率. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 条件概率与事件的独立性 1．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥． 2．计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用样本点法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数． 3．P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率． 4．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为 A．0.28 B．0.12 C．0.42 D．0.16 【答案】B 【分析】两人考试相互独立，所以是相互独立事件同时发生的概率，按照公式求即可. 【详解】甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为．选B. 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题. 2．高三（1）班数学老师和同学们进行一个游戏，游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的名同学并按顺序排好，每位同学手里均有张除颜色外无其他区别的卡片，第位同学手中有张红色卡片，张白色卡片；老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则老师获胜，否则学生获胜.则老师获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分情况讨论取不同值是老师获胜的概率. 【详解】当时，连续取出两张卡片的种数为种，第二张为白色的种数为种，概率为； 当时，连续取出两张卡片的种数为种，第二张为白色的种数为种，概率为； 当时，连续取出两张卡片的种数为种，第二张为白色的种数为种，概率为； 当时，连续取出两张卡片的种数为种，第二张为白色的种数为种，概率为； 当时，连续取出两张卡片的种数为种，第二张为白色的种数为种，概率为； 又老师选每位学生的概率均为， 故老师获胜的概率为， 故选：B. 3．吃青团是清明时节的习俗之一.这天小亮的妈妈送来5个青团，其中3个豆沙馅､2个蛋黄馅的，小亮随机取出两个青团，若事件“取到的两个青团为同一种馅”，事件“取到的两个青团都是蛋黄馅”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题事件的所有可能情况的数目以及事件的所有可能情况的数目得出结果. 【详解】事件的所有可能情况的数目为， 事件的所有可能情况的数目为， 则， 故选：A. 4．某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，求，，结合条件概率公式求解结论. 【详解】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，则 ，， ， 故选：B. 5．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为，做对两道题的概率为，则预估计做对第二道题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：记做对第一道题为事件，做对第二道题为事件，因为做对第一道、第二道题这两个事件是相互独立的，所以，选. 考点：相互独立事件的概率. 6．设A，B为随机事件，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互斥事件和独立事件的概念可判断AB；取特例可判断C；由，可判断D. 【详解】对于A，由可知A，B为互斥事件，概率不一定相等，A错误； 对于B，由可知A，B相互独立，与概率大小无关，B错误； 对于C，抛掷一颗骰子，记掷出点数为事件A，掷出点数为事件B， 则事件表示掷出点数为，为不可能事件， 所以，，， 显然，由推不出，C错误； 对于D，， ， 若，则， 即，反之亦然， 故的充要条件是，D正确. 故选：D 二、多选题 7．已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则A，B独立 C．若A，B独立，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据随机事件的概率、独立事件、条件概率等知识确定正确答案. 【详解】A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确. B选项，根据独立事件的知识可知，，则相互独立，B选项正确. C选项，若独立，则，C选项错误. D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 所以，所以D选项正确. 故选：ABD 8．掷两枚质地均匀的骰子，用事件A表示“第一枚出现点数2”，用事件B表示“第二枚出现偶数点”，则下列结论正确的有（    ） A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件A与事件B是独立事件 C． D． 【答案】BC 【分析】根据互斥事件，独立事件的概念，结合相应的概率公式即可求解判断. 【详解】依题意，事件与事件是独立事件，不是互斥事件，故A错误，B正确， 又 故，则C正确， 又，则D错误. 故选：. 三、填空题 9．在一次知识竞赛中，共有20道题，两名同学独立竞答，甲同学对了12个，乙同学对了8个，假设答对每道题都是等可能的，那么任选一道题，恰有一人答对的概率 ． 【答案】/ 【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求得正确答案. 【详解】依题意，恰有一人答对的概率为. 故答案为： 10．已知事件和事件相互独立，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据独立事件的性质可得事件和事件相互独立，再根据独立事件概率乘法公式求解即可. 【详解】因为事件和事件相互独立，所以事件和事件相互独立， 则. 故答案为：. 四、解答题 11．某公司有三个制造厂，全部产品的由甲厂生产，由乙厂生产，由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为．求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率． 【答案】 【分析】设=“抽到甲厂的产品”，=“抽到乙厂的产品”，=“抽到丙厂的产品”，B=“抽到不合格品”，则由题意可得，然后结合已知条件可求得结果. 【详解】设=“抽到甲厂的产品”，=“抽到乙厂的产品”，=“抽到丙厂的产品”，B=“抽到不合格品”， 则，，两两互斥，且． 于是． 由题意可知，，两两互斥，因而有 ． 又，，， ，，， 所以 ． 一、单选题 1．高二某班共有名学生，其中女生有名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算“三好学生”人数，女“三好学生”与男“三好学生”人数，再利用条件概率计算公式即可得出结论． 【详解】“三好学生”人数是全班人数的， “三好学生”人数是人，男生人数为人， “三好学生”中女生占一半，女“三好学生”与男“三好学生”各是人． 现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下， 选上的学生是“三好学生”的概率， 故选：D． 2．2024年斯诺克武汉公开赛前夕，肖国栋与斯佳辉两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设肖国栋在每局中获胜的概率为，斯佳辉在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意得到的可能取值，再根据独立事件乘法公式和加法概率公式求出对应的概率即可. 【详解】依题意知，的所有可能值为2，4，6， 设每两局比赛为一轮，可以得到该轮结束时比赛停止的概率为 如果该轮结束时比赛还将继续，那么肖国栋与斯佳辉在该轮中必是各得一分， 此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响， 从而有 故选：D. 二、多选题 3．某高中一年级有3个班级，（1）班、（2）班、（3）班的学生人数之比为.在某次数学考试中，（1）班的及格率为，（2）班的及格率为，（3）班的及格率为，从该校随机抽取一名高一学生.记事件“该学生本次数学为试及格”，事件“该学生在高一（i）班”，则（    ） A． B．与均不相互独立 C． D．若从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率最大 【答案】AC 【分析】根据全概率公式计算判断A，根据独立事件的概率乘法公式计算判断B，根据条件概率公式计算判断C，根据古典概型概率公式计算判断D. 【详解】由题意，， ， 则，故A正确； 由，则，所以与相互独立，故B错误； 因为，所以，所以，故C正确； 由题意这次高一年级数学考试中，（1）班、（2）班、（3）班学生中及格人数之比为， 所以从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率为， 该同学来自（2）班的概率为，该同学来自（3）班的概率为， 所以该同学来自（3）班的概率最大，故D错误. 故选：AC 三、填空题 4．已知盒子中有大小、形状都相同的4个红球和2个白球，每次从中取一个球，取到红球记1分，取到白球记2分.如果有放回的抽取2次，则“2次所得分数之和为3分”的概率是 . 【答案】 【分析】根据相互独立事件概率乘法公式计算即可. 【详解】由题意，2次所得分数之和为3分， 则第1次取出红球第2次取出白球或第1次取出白球第2次取出红球, 由于有放回抽取，两次抽取为相互独立事件， 其概率为. 故答案为： 四、解答题 5．某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为，，. （1）求组员甲至少分配到一项任务的概率； （2）设甲、乙两人分配到的任务数分别为项和项，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求甲一项任务都没有被分配的概率，利用对立事件的概率求法求组员甲至少分配到一项任务的概率. （2）由题意知，或，，可得三项任务可分配情况：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，再应用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求概率即可. 【详解】（1）记事件为甲一项任务都没有被分配，则， ∴组员甲至少分配到一项任务的概率为； （2）满足，即，或，， ∴三项任务的具体分配对象依次为：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲， 故所求概率. 6．某商场举办购物抽奖活动，规则如下：每次抽奖时，从装有2个白球和3个红球（球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，不放回地依次随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则不中奖；商场根据购物金额给予顾客一次或多次抽奖机会，每次抽奖之间相互独立. (1)若某顾客有一次抽奖机会，求其中奖的概率； (2)若某顾客有两次抽奖机会，求其至少有一次中奖的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可； （2）设在第次抽奖时中奖为事件，则由（1）可知，设两次抽奖至少有一次中奖为事件，则,然后利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设2个白球为，3个红球为，则不放回地依次摸出两个球的情况有： , 共有20种情况， 其中摸出的2个球颜色相同的有：，共8种情况， 所以某顾客有一次抽奖机会，其中奖的概率为； （2）设在第次抽奖时中奖为事件， 由于每次抽奖的情况相同，由（1）可知， 设两次抽奖至少有一次中奖为事件，则, 其中为互斥事件，则， 因为每次抽奖之间相互独立， 所以, ， ， 所以， 即若某顾客有两次抽奖机会，则至少有一次中奖的概率为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$