专题02 平面直角坐标系（考点串讲，3考点+2突破+5新考向+4易错）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（冀教版）

八年级数学下学期·期末复习大串讲 专题02 平面直角坐标系 （3考点+2突破+5新考向+4易错） 冀教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理+针对训练 二大专项突破+五大新考向 四大易错易混经典例题+针对训练 精选3道期末真题对应考点练 横坐标 知识结构 3 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴 y 轴 + + + - - - + - 纵坐标为 0 横坐标为 0 知识梳理 知识点一：象限、坐标符号、坐标轴上的点的坐标特点 向左平移 a 个单位对应点 P2___________ 向右平移 a 个单位对应点 P1___________ 向上平移 b 个单位对应点 P3____________ 向下平移 b 个单位对应点 P4_____________ 图形上的点 P(x，y) (x - a，y) (x，y - b) (x + a，y) (x，y + b) 知识点二：平面直角坐标系的点的平移规律 考点1 平面直角坐标系 1.[2025· 淮北月考] 老师在纸上写了第二象限的一点的坐标 ，小 明不小心把纵坐标给弄脏了，则☆处的数可能是( ) D A. B. C.0 D.2 针对训练 2.[2024· 北京西城区期中] 若点位于第一象限，则点 在 ( ) C A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 6 3.在平面直角坐标系中，第一象限内的点到 轴的距离是5， 则 的值为( ) C A. B.5 C.2 D.8 4. 若点在轴的上方、 轴的左方，到每条坐标轴的距 离都是5，则点 的坐标为( ) A A. B. C. D. 5.如图，在长方形中，， ， ，则点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 7 6.[2025· 西安碑林区月考] 已知点，点 ，直线 轴，则 的值是( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 7.[2024· 广州黄浦区期中] 已知点，，点在 轴上，且三 角形的面积为10，则点 的坐标是( ) D A. B. C.或 D.或 8 8.已知点 . （1）若点在轴上，求出点 的坐标； 解： 点在轴上，， ， ， 点的坐标为 . （2）若点的坐标为，直线轴，求出点 的坐标； 解： 点的坐标为，直线轴， ， ，， 点的坐标为 . （3）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求 的值. 解： 点在第二象限，且它到轴、 轴的距离相等， ， . 9 考点2 用坐标表示位置 （第9题） 9. 如图是一首古诗《登飞 来峰》，若“云”用表示，“千”用 表示，则“升”可以表示为( ) B A. B. C. D. 10 10.如图，小明从学校出发，步行去少年宫，行走路线正确的是( ) B （第10题） A.向南偏东 方向行走 B.向南偏西 方向行走 C.向南偏东 方向行走 D.向南偏西 方向行走 11 11. 如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在 点，，处有目标出现.按某种规则，点， 的位置可以分别表示为 ，，则点 的位置可以表示为________. 12 12.如图是一所学校的平面示意图，图中小 方格都是边长为1个单位长度的正方形，每 个主要位置恰好落在格点处.若实验楼的坐 标为，图书馆的坐标为 . （1）请在图中画出平面直角坐标系，并写 出校门的坐标： 13 解：平面直角坐标系如图，校门的坐标为 . （第12题） 14 （2）若食堂的坐标为 ，请在坐标系中标出食堂的位置. 解：食堂的位置如图所示. （第12题） 15 考点3 用坐标表示平移 13.[2024· 海南] 平面直角坐标系中，将点 向右平移3个单位长度得到 点，则点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 14.在平面直角坐标系中，点，分别在轴的正半轴和 轴的负半轴 上，，.将线段平移至线段，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为( ) D A. B. C. D. 16 15.已知三角形 在平面直角坐标系中 的位置如图所示.将三角形 向右平移 6个单位长度，再向下平移6个单位长度 得到三角形 （图中每个小方格 的边长均为1个单位长度）. 17 （1）在图中画出平移后的三角形 ； 解：如图，三角形 即为所求. （第15题） 18 （2）直接写出三角形各顶点的坐标：________， _______， ________； （3）求出三角形 的面积. 解：三角形的面积为 . 19 16.[2024· 深圳龙岗区模拟] 在平面直角坐标系中，将三角形 进行 平移变换，变换前后点的坐标的情况如下表： 平移前 三角形 平移后 三角形 （1）平移后点 的坐标是______，并在 如下的平面直角坐标系中画出三角形 ； 解：如图，三角形 即为所求. 20 （2）若是三角形内一点，通过上述平移变换后，点 的对 应点 的坐标可表示为______________； （3）连接，，则四边形 的面积为____. 20 21 平面直角坐标系中图形面积的求法 专项突破一 22 方法1 直接利用点的坐标求图形的面积 方法指导 当一个规则图形有边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可直接将点的 坐标转化为线段长，再利用面积公式求解. 1.如图，在平面直角坐标系中，三角形 的顶点坐 标分别为，， ，则三角形 的面积是( ) B A.16 B.32 C.18 D.20 23 2.如图，在平面直角坐标系中，三角形 的三 个顶点分别是，，，点 的 坐标为，且三角形的面积等于三角形 的面积. （1）三角形 的面积为_ _； （2）求点 的坐标. 解：，， 轴. 三角形的面积等于三角形 的面积， ，解得或 ， 点的坐标为或 . 24 方法2 利用分割法求图形的面积 模型展示 25 3.如图，在平面直角坐标系中，点， ， ，则四边形 的面积为( ) C A.9 B.10 C.11 D.12 4.如图，在平面直角坐标系中，四边形 各顶 点的坐标分别是，， ， ，则四边形 的面积为( ) D A.14 B.11 C.10 D.9 26 [解析] 点拨：如图，过点作于点 ， 过点作于点 ， ，， ， ，，， ， ， ， 四边形的面积为 . 27 方法3 利用补形法求图形的面积 模型展示 28 29 5.如图,在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点，则三角形 的面积是 ( ) B A.19 B.20 C.21 D.21.5 [解析] 点拨：如图，过点作轴，过点 作 轴，过点作轴，过点作 轴， 点，点 ，点 ， ,,,,,， 三角形 的面积是 . 30 6.如图，已知点，，，则三角形 的面积是 ( ) C （第6题） A.2 B. C.3 D.4 31 平面直角坐标系中点的坐标规律的探究 专项突破二 32 类型一 沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 1.在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点出发，按“向上 向右 向 下 向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线 如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点， ，第 次移动 到点，则点 的坐标是( ) B A. B. C. D. 33 （第2题） 2.如图，一个点在第一象限及轴、 轴上移动，在 第一秒，它从原点移动到点 ，然后按照图中 箭头所示方向移动，即 ， 且每秒移动1个单位长度，那么第2 025秒时，点所 在位置的坐标是( ) B A. B. C. D. 34 类型二 沿斜线运动的点的规律探究 （第3题） 3.[2025· 驻马店月考] 如图，在平面直角坐标系中， 有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，即 ，，，，， ， ， ，根据规律探索可得，第2 025个点的坐 标为( ) B A. B. C. D. 35 [解析] 点拨：第1列有1个点，点的横坐标为0;第2列有2个点，点的横坐 标为1;第3列有3个点，点的横坐标为2;…,依次类推，第列有 个点，点 的横坐标为 ，且偶数列点由下到上进行运动，奇数列（除第1列） 点从上到下进行运动，列所有点的总数为 ， ， ， 第2 025个点在第64列，该点的横坐标为63. ，64为偶数列， 第2 025个点位于第64列从下往上数第9个， 纵坐标为8， 第2 025个点的坐标为 . 36 4.如图，在平面直角坐标系中，动点 按图中箭头所示方向依次运动， 第1次从点运动到点，第2次运动到点 ，第3次运动到 点， ，按这样的运动规律，动点 第2 025次运动到点 __________. 37 [解析] 点拨：由题意知第1次运动到点，第2次运动到点 ，第 3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点， 第次运动到点的横坐标为 ，纵坐标4次一循环，循环规律为 ， 易得动点 第2 025 次运动到点 . 38 类型三 绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究 （第5题） 5.[2025· 汕头金平区期中] 如图，正方形 ，正方形 ，正方形 ， （每个正方形从第三象限 的顶点开始，按顺时针方向依次为， ， ，，，，，，， ， ，）的中心均为坐标原点 ，各边 均与轴或 轴平行，若它们的边长依次是2， 4，6， ，则顶点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 39 [解析] 点拨：根据题意得到如下规律：点 位于第三象限，点 位于第二象限，点位于第一象限，点 位于第四象限，且 各点纵坐标、横坐标的绝对值等于正方形的序数， ， 易得顶点 是第507个正方形的第一个 顶点，位于第三象限， 其坐标为 . 40 （第6题） 6.[2024· 张家口万全区期末] 如图，在平面直角 坐标系中，点 向上平移1个单位长度至点 ，然后向左平移2个单位长度至点 ，再 向下平移3个单位长度至点 ，再向右平移4个单 位长度至点 ，再向上平移5个单位长度至点 ， ，按此规律，则点 的坐标是 ____________. [解析] 点拨：由题意可知，， ， ， 第三象限中点的坐标是 ， . 41 类型一 情境题 （第1题） 1.2024年巴黎奥运会见证了中国体育代表团创造 夏奥会境外参赛最佳战绩.如图所示是巴黎部分景 点的平面示意图，每个小正方形的边长表示1个单 位长度，如果将凯旋门的位置记为 ，卢浮 宫的位置记为 ，那么埃菲尔铁塔的位置是 ( ) C A. B. C. D. 新考向 42 类型二 传统文化 （第2题） 2.象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具 简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游 戏.如图是一局象棋残局，若在中国象棋盘上建 立平面直角坐标系，使表示棋子“車”和“馬”的 点的坐标分别为， ，则表示“炮”的 点的坐标为( ) A A. B. C. D. 43 类型三 跨学科综合 （第3题） 3.小民和小泽两姐弟拿着如图的密码表玩听声 音猜汉字的游戏，若听到“咚咚-咚咚咚咚，咚 咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“ ”，则 听到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示 的汉字可能为( ) C A.汉 B.华 C.盐 D.音 44 （第4题） 4. 北京东城区期末 小静同学 观察台球比赛，从中受到启发，抽象 成如下数学问题：如图，已知长方形 ，小球从 出发，沿如图 所示的方向运动，每当碰到长方形的 边时便反弹，反弹时反射角等于入射 角，第一次碰到长方形的边时的位置 C A. B. C. D. 为，若不考虑阻力，当小球 第2 025次碰到长方形的边时，点 的坐标是( ) 45 类型四 新考法 5.若想在如图的方格纸上沿着网格线画出坐标平面的 轴、 轴并标记原点，且以小方格边长作为单位长度，则 下列哪一种画法可在方格纸的范围内标出 ， ，， 四点？( ) D A. B. C. D. 46 类型五 新定义题 6.[2024· 威海] 定义新运算： ①在平面直角坐标系中，，表示动点从原点出发，沿着 轴正方向 或负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向 或负方向平移个单位长度.例如，动点从原点出发，沿着 轴 负方向平移2个单位长度，再沿着 轴正方向平移1个单位长度，记作 . ②加法运算法则：，，，，其中，， ， 为实数. 若，，， ，则下列结论正确的是( ) A.， B.， C.， D.， B 47 7.[2024· 枣庄改编] 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1； 若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后， 必进入循环圈 ，这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系 中，将点中的， 分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新 的点的横、纵坐标，其中，均为正整数.例如，点 经过第1次运 算后得到点，经过第2次运算后得到点 ，以此类推.则点 经过第2 025次运算后得到点______. 48 [解析] 点拨：点经过第1次运算后得到点 ，即 ， 经过第2次运算后得到点，即 ， 经过第3次运算后得到点，即 ， ， 由此发现规律：点经过3次运算后还是 ， ， 点经过第2 025次运算后得到点 . 49 8.在平面直角坐标系中，对于任意三点，， 的“矩面积”，给出 如下定义：“水平底”任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高 ”：任 意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积” .例如：三点坐标分别为 ，，，则“水平底”，“铅垂高” ， “矩面积”.若，， 三点的“矩面积”为 18，求 的值. 解：由题意得“水平底” ， 当时，，则，解得 ； 当时， ，此种情况不符合题意； 当时，，则，解得 . 50 易错点1.混淆点到坐标轴的距离与坐标的关系 【例1】点P（m，-n）到x轴的距离为　　　.  错解：n（或m） 错解分析：错解认为m表示正数，-n表示负数，从而得点P到x轴的距离为n；得到点P到x轴的距离为m，把横、纵坐标的意义搞反了. 正解：点P（m，-n）到x轴的距离为. 故填. 易混易错 【针对训练】（1）点A（-5，-4）到x轴的距离是　　；到y轴的距离是　　；  （2）点B（3m，-2n）到x轴的距离是　 　；到y轴的距离是　 .  4 5 2 3　 易错点2.因考虑不周而漏解 【例2】已知点A（1+2a，a-7）到两坐标轴的距离相等，求点A的坐标. 错解：由题意，得1+2a=a-7. 解得a=-8. ∴1+2a=a-7=-15. ∴点A的坐标为（-15，-15）. 错解分析：错解认为一个点到两坐标轴的距离相等，那就是横、纵坐标相等，而忽略这个点横、纵坐标的符号，出现了漏解. 正解：根据题意，分两种情况讨论： ①当点A在第一、三象限的角平分线上时，得1+2a=a-7.解得a=-8. ∴1+2a=a-7=-15. ∴点A的坐标为（-15，-15）； ②当点A在第二、四象限的角平分线上时，得1+2a+a-7=0.解得a=2. ∴1+2a=5，a-7=-5. ∴点A的坐标为（5，-5）. 综上所述，点A的坐标为（-15，-15）或（5，-5）. 【针对训练】已知点Q（2-a，3），且点Q到x轴、y轴的距离相等.求a的值及点Q的坐标. 解：∵点Q（2-a，3）到x轴、y轴的距离相等， ∴2-a=3或2-a=-3. 解得a=-1或a=5. 当a=-1时，点Q的坐标为（3，3）； 当a=5时，点Q的坐标为（-3，3）. 易错点3.对特殊位置上点的坐标特征不熟悉 【例3】已知点P（m，2m-2）在x轴上，则点P的坐标为　　　.  错解：∵点P在x轴上， ∴m=0.∴2m-2=-2. ∴点P的坐标为（0，-2）. 错解分析：错解把x轴、y轴上点的坐标特征搞混了，x轴上的点的纵坐标为0，而不是横坐标为0. 正解：∵点P在x轴上，∴2m-2=0.解得m=1. ∴点P的坐标为（1，0）. 故填（1，0）. 【针对训练】点M（a+1，a+3）在y轴上，则a=　　，点M的坐标为　 　.  -1 （0，2） 易错点4.对平行（或垂直）于坐标轴的直线上点的坐标特征不熟悉 【例4】过点A（-3，5）和点B（-3，2）作直线，则直线AB （　　） A.平行于x轴 B.平行于y轴 C.与y轴相交 D.垂直于y轴 错解：A. 错解分析：错解看到A，B两点的横坐标相等从而得出直线AB平行于x轴导致错误.平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上，所有点的纵坐标相等；平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上，所有点的横坐标相等. 正解：B. 【针对训练】过点A（2，-4）和点B（-4，-4）作直线，则直线AB （ ） A.平行于y轴 B.平行于x轴 C.与x轴相交 D.垂直于x轴 B 押题预测 1.[2024· 资阳] 在平面直角坐标系中，将点沿 轴向上平移1个单 位长度后，得到的点的坐标为( ) B A. B. C. D. 2. 《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》是唐代大诗人李白 的诗作，笑笑默写该诗如图所示.如果用 表示“杨”字的位置，那么 图中错别字的位置表示为_______. 3.如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，三点，其中，， 满足关系式 ， . （1）求，， 的值； 解：， ， ，，， ， ， . 61 （2）如果在第二象限内有一点，请用含 的式子表示四边形 的面积； 解：由（1）得,， ， , ， . 62 （3）在（2）的条件下，是否存在点，使四边形 的面积与三角 形的面积相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.由（1）得， . 要使，则 ， 点的坐标为 . 63 $$