上海市八年级数学下学期期末模拟卷03（测试范围：沪教版八下全册）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷03 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷共26题，选择6题，填空12题，解答8题 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 4．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，是二项方程的为（   ） A． B． C． D． 2．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．购买一张彩票中奖一百万元 B．在地球上，上抛的篮球会下落 C．明天太阳从西边出来 D．上海地区明天降水 3．函数的图象不经过第一象限，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．如图是某一次函数的图像，点、为该图像上两点，如果时，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 6．如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．在一个盒子中有张形状、大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着，，，这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之和是的概率是 ． 8．方程的解是 ． 9．直线的截距是 10．分式方程的解为 ． 11．一次函数的图像经过点，且与直线平行，则这个一次函数的解析式是 ． 12．如图，在梯形中，，，，，则中位线 13．已知直线经过点，那么该直线与坐标轴围成的三角形的面积为 14．已知方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程是 ． 15．已知点A是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是 ． 16．我们把一条直线上满足纵坐标是横坐标一半的点称为“横倍点”，那么直线上的“横倍点”坐标是 ． 17．在梯形中，，，，，过点作交边于点，过点作交边于点，交射线于点．连接，当时，求边的长为 ． 18．如图，中，轴，．点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限，点是与轴的交点，点是边上不与点，重合的一个动点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点，将沿直线翻折，当点的对应点落在坐标轴上时，点的坐标为 ． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．解方程组： 20．已知：在梯形中，，，垂足为，．求证：． 21．今年新型“和谐号”高速列车正式投入沪宁线运行，已知上海到南京全程约为300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，问新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要多少分钟？ 22．木盒里有红球和白球，共4个，每个球除了颜色外其他都相同．从盒子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球，继续放回去摇匀后，再摸第3次、第4次… (1)甲同学摸球10次，都没有摸到红球，于是他就判断“摸到红球”是“不可能事件”．他的判断正确吗？ (2)如果盒子里有3个红球、1个白球，乙同学按照摸球的规则，摸球2次，那么摸到一个红球和1个白球的概率是多少？（用列表展现所有等可能的结果） 23．已知：如图，在中，E、F分别为边的中点，是对角线，交的延长线于G． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 24．小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里． 【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表： 碗的个数（个） 1 2 3 4 5 这擦碗的总高度（厘米） 7 10 【建立模型】 （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点； （2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由； 【结论应用】应用上述发现的规律计算： （3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度． （4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 25．已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、． (1)求的面积及点到直线的距离； (2)若第三象限存在一点，如图2所示，使得，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，双曲线图像上有一点，满足，直接写出所有满足条件的点坐标． 26．如图1， 在四边形中， ， ， 点P在边上． (1)判断四边形的形状并加以证明； (2)以过点P的直线为轴，将四边形折叠，使点B，C分别落在点上，且经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q； ①在图2中作出四边形（保留作图痕迹，不必说明作法和理由） （提示：为使折叠后经过点D，可以先考虑边上与点D对应的点）； ②如图3， 如果， 且， 试求的值： ③如图4， 如果， 且， 请直接写出的值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷03 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷共26题，选择6题，填空12题，解答8题 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 4．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，是二项方程的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二项方程的定义，注意二项方程的左边只有两项，一项含未知数，一项是常数，右边为0，熟练掌握二项方程的定义是解决问题的关键． 二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x，另一项是常数项；方程的右边是0，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．不是二项方程，方程右边不等于0，不符合题意； B．不是二项方程，方程左边没有常数项，不符合题意； C．不是二项方程，不符合题意； D．即是二项方程，符合题意； 故选：D． 2．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．购买一张彩票中奖一百万元 B．在地球上，上抛的篮球会下落 C．明天太阳从西边出来 D．上海地区明天降水 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A．购买一张彩票中奖一百万元是随机事件，不符合题意； B．地球上，上抛的篮球会下落是必然事件，符合题意； C．明天太阳从西边出来是不可能事件，不符合题意； D．上海地区明天降水是随机事件，不符合题意； 故选：B． 3．函数的图象不经过第一象限，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质，注意用数形结合的思想解答．根据一次函数的图象不经过第一象限，可知，即可求解． 【详解】∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴， 故选：D． 4．下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解无理方程，算术平方根，解分式方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程和把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 移项，即可判断A；根据平方根的定义可判断B；根据算术平方根的非负性即可判断C；方程两边都乘以，再求出方程的解，进行检验后即可判断D． 【详解】解：A、， 移项，得， 此方程有实数根，故本选项不符合题意； B、， ∴， 则或 即原方程有实数根，故本选项不符合题意； C、， ∴， 此时不存在， 即原方程无实数根，故本选项符合题意； D、， 方程两边都乘以，得， 解得：， 经检验是增根，是原方程的解， 即原方程有实数根，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．如图是某一次函数的图像，点、为该图像上两点，如果时，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数，当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小． 根据一次函数性质求解即可． 【详解】解：根据一次函数的图象可知，y随x增大而减小， ∵， ∴； 故选：A． 6．如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用矩形的性质进一步得出，再根据三角形中位线的判定和性质得出四边形是菱形，再证明为等腰直角三角形，进而可得出，即可证明四边形是正方形． 【详解】解：添加的条件可以是，理由如下∶ ∵点E是的中点， ∴， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点G、F、H分别是、、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，点E是的中点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是正方形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质等知识，掌握正方形的判定是解题的关键． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．在一个盒子中有张形状、大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着，，，这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之和是的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，概率公式等知识点，熟练掌握列举法求概率是解题的关键． 列举出所有可能出现的情况，再用所求情况数除以总的情况数即可得解． 【详解】解：从张卡片中随机抽出两张卡片共有种可能的结果，即： ，，，，，， 所得卡片上的两数之和是的情况共有种，即：，， 所得卡片上的两数之和是的概率是， 故答案为：． 8．方程的解是 ． 【答案】/3 【分析】本题考查解无理方程，由方程得到或，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，， ∵当时，，无意义， ∴该方程的解为． 故答案为：． 9．直线的截距是 【答案】 【分析】结合一次函数，则b就是直线在y轴上的截距，据此进行作答即可；本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟记截距的定义是解题的关键． 【详解】解：由截距定义得：直线的截距是． 故答案为： 10．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母，方程的两边同时乘以得： 移项合并同类项得，， ∴ ∴或 解得， 检验：将代入；将代入，应舍去； ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 11．一次函数的图像经过点，且与直线平行，则这个一次函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，根据一次函数的图像与直线平行，可设该一次函数为，再将点代入，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像与直线平行， ∴设该一次函数为， ∵该函数的图像经过点， ∴， ∴这个一次函数的解析式为． 故答案为： 12．如图，在梯形中，，，，，则中位线 【答案】5 【分析】本题考查了梯形中位线定理、等角对等边，熟练掌握梯形中位线定理是解题的关键．延长与交于点，设，则，利用平行线的性质得到，得到，得出，则有，再由得到，最后利用梯形中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，延长与交于点， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 是梯形的中位线， ． 故答案为：5． 13．已知直线经过点，那么该直线与坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求出当时，，再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在直线中，当时，， ∵直线经过点， ∴该直线与坐标轴围成的三角形的面积为， 故答案为：． 14．已知方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查换元法解分式方程，根据题意，先化成关于的分式方程，再去分母转化为关于的整式方程即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴原方程化为：， 去分母，得：，整理，得：； 故答案为：． 15．已知点A是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查直线上的点的坐标特点，点到坐标轴的距离，解一元一次方程．根据点A是直线在第一象限内的一点，设，其中，，根据点A到两坐标轴的距离相等列出方程，求解即可． 【详解】解：∵点A是直线在第一象限内的一点， ∴设，其中，， ∵点A到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为： 16．我们把一条直线上满足纵坐标是横坐标一半的点称为“横倍点”，那么直线上的“横倍点”坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“横倍点”的定义，得纵坐标是横坐标一半的点，即，解方程组即可求得坐标，理解“横倍点“的定义是解题的关键． 【详解】解：设“横倍点”的横坐标是，则纵坐标是，即，代入， 得：， 解得：， ， ∴直线上的“横倍点”的坐标是， 故答案为：． 17．在梯形中，，，，，过点作交边于点，过点作交边于点，交射线于点．连接，当时，求边的长为 ． 【答案】或 【分析】本题属于四边形综合题，含30度的直角三角形的相关计算，勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．分两种情形：当点P在梯形内部时，当点P在梯形外部时，分别画出图形，构建方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当点P在梯形内部时，设． 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：，负值舍去， ∴，， ∵，即， ∴， 解得：； 当点P在梯形外部时，设． 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：，负值舍去， ∴，， ∵，即， ∴ 解得：； 综上所述，满足条件的长为或． 故答案为：或． 18．如图，中，轴，．点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限，点是与轴的交点，点是边上不与点，重合的一个动点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点，将沿直线翻折，当点的对应点落在坐标轴上时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先求出直线的解析式为，则可求，设，则，可求，，分两种情况讨论：当在轴负半轴时，由折叠可知，在△中，由勾股定理可求，在△中，，，可求，所以，解得，则；当在轴正半轴时，同理可得，，解得，求得． 【详解】解：设直线解析式为，与x轴交于N， 将，代入可得，， 解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ， 点是边上，轴， ∴可设， 轴， ， ，， 当在轴负半轴时，如图，    由折叠可知，， 在中，由勾股定理， 在中，设，， ， ， 解得， ； 当在轴正半轴时，如图， 同理可得，， 解得， ，； 综上所述：点坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数与几何综合， 解题的关键在于求出点G的坐标，进而分点在x正半轴和负半轴两种情况讨论求解． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．解方程组： 【答案】或 【分析】本题考查了解二元二次方程组，正确的计算是解题的关键． 将方程组因式分解后，由②得，分别代入①，解关于x，y的二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 方程组可变形为 由②，得， 把代入①，得，即， 解方程组得． 把代入①，得，即， 解方程组得． ∴方程组的解为或． 20．已知：在梯形中，，，垂足为，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 过点A作于点F，四边形是平行四边形，可得，再由，可得，可证明，即可求证． 【详解】证明：如图，过点A作于点F， ∵，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．今年新型“和谐号”高速列车正式投入沪宁线运行，已知上海到南京全程约为300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，问新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要多少分钟？ 【答案】60分钟 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要x分钟，根据已知上海到南京全程约300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来的“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，可列方程求解． 【详解】解：设新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要x分钟，则原来“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要60分钟． 22．木盒里有红球和白球，共4个，每个球除了颜色外其他都相同．从盒子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球，继续放回去摇匀后，再摸第3次、第4次… (1)甲同学摸球10次，都没有摸到红球，于是他就判断“摸到红球”是“不可能事件”．他的判断正确吗？ (2)如果盒子里有3个红球、1个白球，乙同学按照摸球的规则，摸球2次，那么摸到一个红球和1个白球的概率是多少？（用列表展现所有等可能的结果） 【答案】(1)他的判断不正确 (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． （1）根据概率的可能性进行判断即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出摸到一个红球和1个白球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）他的判断不正确，因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； （2）根据题意画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个白球的有6种结果， 所以摸到一个红球和一个白球的概率是． 23．已知：如图，在中，E、F分别为边的中点，是对角线，交的延长线于G． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，理由见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质，矩形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行四边形的性质得到，，然后证明出四边形是平行四边形，即可得到； （2）首先证明出四边形是平行四边形，如图所示，连接，由菱形得到，然后证明出，即可得到平行四边形是矩形． 【详解】（1）∵在中， ∴， ∵E、F分别为边的中点 ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴； （2）矩形，理由如下： ∵在中， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 如图所示，连接 ∵E为边的中点 ∴点E在上 ∵四边形是菱形 ∴ ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形． 24．小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里． 【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表： 碗的个数（个） 1 2 3 4 5 这擦碗的总高度（厘米） 7 10 【建立模型】 （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点； （2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由； 【结论应用】应用上述发现的规律计算： （3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度． （4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 【答案】（1）见解析；（2）它们在同一条直线上；；（3）22厘米；（4）一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，画一次函数图象，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）根据表格中数据描点即可； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入函数解析式，求出y的值即可； （4）把代入函数解析式，求出x的值，得出答案即可． 【详解】解：（1）描点如图所示： （2）这些点在一条直线上． 设与之间的函数关系式为． 将点、代入，得： ， 解得：， 与之间的函数关系式为． （3）把代入得：， 当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米． （4）把代入得：， 解得：， ∴一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里． 25．已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、． (1)求的面积及点到直线的距离； (2)若第三象限存在一点，如图2所示，使得，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，双曲线图像上有一点，满足，直接写出所有满足条件的点坐标． 【答案】(1)6， (2) (3)或或或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）分别令，求出的坐标，三角形的面积公式求出的面积，等积法求出点到直线的距离即可； （2）过点作轴的平行线，作，证明，进行求解即可； （3）根据，过点作的平行线，等距平移，在的上方作的平行线，两条平行线与双曲线的交点即为点． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点到直线的距离为， 则：， ∴； ∴点到直线的距离为． （2）过点作轴的平行线，作， 则：，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：； （3）①过点作的平行线，设解析式为， 把代入，得：， ∴， ∴， ∴当点在直线上时，， 联立，解得：或， ∴或； ②将直线向上平移个单位，得到直线， 则：当点在直线上时，， 联立，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 26．如图1， 在四边形中， ， ， 点P在边上． (1)判断四边形的形状并加以证明； (2)以过点P的直线为轴，将四边形折叠，使点B，C分别落在点上，且经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q； ①在图2中作出四边形（保留作图痕迹，不必说明作法和理由） （提示：为使折叠后经过点D，可以先考虑边上与点D对应的点）； ②如图3， 如果， 且， 试求的值： ③如图4， 如果， 且， 请直接写出的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形；证明见解析 (2)①见解析；②；③ 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断； （2）①过点P作的垂线，交于点E，截取，在上截取，交于点，再以为圆心，适当长度为半径画弧交于一点，连接点P与该点作射线交于点Q，过点Q作的垂线，作射线，交的垂线于点，连接即可；②先根据折叠得出一些对应边相等，对应角相等，并推导出，再设，，利用解直角三角形将和长用含的代数式表示出来，最后根据列出关于、的关系式，求得、的比值即可；③连接，易得平行四边形是菱形，推出，由折叠的性质得到，再求出，推出四点共线，得到点在上，是等腰直角三角形，得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形； 证明：在四边形中，， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：①作图如下： ②当时，平行四边形是菱形， 由折叠可得，，，，， 当时，由 ，可得， ，， ∵， ∴， ， 设，，则直角三角形中， ，且，， ， ， 直角三角形中，， ∴， ， ， 整理得， ，即； ③连接， 当时，平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四点共线， ∴点在上， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形以及菱形，解题的关键是掌握平行四边形的判定以及菱形的判定与性质．在解题时注意，菱形的四条边都相等，此外在折叠问题中，需要抓住对应边相等，对应角相等这些等量关系，折叠问题的实质是轴对称的性质． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$