专题2 函数的单调性及最值（讲义）- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第2个专题：函数的单调性及最值。本专题涵盖集合的概念与表示、集合之间的关系、集合的运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 函数的单调性及最值（讲义） 知识点1 函数的单调性 1. 增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．(如图(2)所示) 2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质． 如若f(x)、g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 为减函数(f(x)>0)；③ 为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数． (3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数． (4) 图象法 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 一、单选题 1．（23-24高三下·河北·对口/职教高考）函数在上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．存在最小值 D．存在最大值 【答案】A 【分析】根据函数解析式的单调性分析选项即可. 【详解】， 所以，即， 所以函数在上单调递增，故A正确，B错误， 既不存在最大值，也不存在最小值，故C，D错误. 故选：A. 2．（22-23高三下·山东·职教高考）若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数是减函数的性质，分析m的取值范围即可. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 3．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知函数，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可求得结果. 【详解】易知幂函数是奇函数且在上单调递增， 所以可化为， 所以，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A 4．（23-24高三下·山东青岛·职教高考）已知是定义在上的减函数，若，则x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由函数单调性的性质可得若，则有，解可得x的取值范围，即可得答案． 【详解】因为是定义在上的减函数，若， 则，解得. 所以x的取值范围. 故选：B. 5．（23-24高二下·广东汕头·期末）已知函数的图象与单调递减函数的图象相交于点，给出下列四个结论：则（1）；（2）；（3）；（4）当时，；其中正确的结论共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性，指数式与对数式的互化，函数单调性的定义，结合题意，即可判断. 【详解】因为函数的图象与单调递减函数的图象相交于点， 所以将点代入得，故（3）正确； 所以，故（1）正确，（2）错误； 因为是单调减函数，故当时，，即， 又函数在R上是单调增函数，故当时，，即， 所以，故（4）正确； 所以正确的结论有3个. 故选：C. 一、单选题 1．若函数满足：对任意，，，必有，则称有性质，下列函数中，有性质的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性的定义分析函数在上单调递增，结合基本一次函数、正弦函数、二次函数和对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为对任意，，，必有， 若，即，则，得到， 若，即，则，得到， 故函数在上单调递增， 选项A中，一次函数在上单调递减，错误， 选项B中，正弦函数是周期函数，在上不具备单调性，错误， 选项C中，二次函数在上单调递增，正确， 选项D中，对数函数在上单调递减，错误， 故选：C. 2．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数与二次函数的单调性确定实数的取值范围即可. 【详解】已知函数是上的减函数， 当时，， 若此时为减函数，则， 当时，， 若此时为减函数，则，即， 若使是上的减函数，则， 即  ， 则实数的取值范围是. 故选：C. 3．已知是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，是定义在上的增函数， 又， 所以，解得， 即则实数的取值范围是. 故选：B. 4．某函数图像如图所示，则该函数的减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据减函数的概念，结合函数图像即可求解. 【详解】根据函数图像可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以选项D符合题意，选项ABC均不符合题意， 故选：D. 5．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性以及幂函数的单调性以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】函数的定义域为， 解得或. 函数图像开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递增. 进而函数在上单调递增. 因为在其定义域内单调递增，根据复合函数的单调性， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C. 6．已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意知函数是定义在上的减函数，且， 所以， 即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 7．若函数在上单调递减，则下列式子正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性定义求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，且， 所以. 故选：C. 8．已知函数的图像如下图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．函数在区间上是增函数 B．函数在区间上是单调函数 C．函数只有一个单调减区间 D．区间是函数的单调增区间 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义可判断结果. 【详解】由图可知，函数在区间上是减函数，故A错误； 函数在区间上有增，有减，不是单调函数，故B错误； 函数的单调减区间为：和，故C错误； 函数在区间上是增函数，即区间是函数的单调增区间，故D正确. 故选：D 二、填空题 9．已知在定义域R上是增函数．若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由函数单调性去对应法则，再由一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为函数在定义域R上是增函数，且， 所以，解得或，即. 故答案为：. 10．已知函数是定义上的减函数，如果在上恒成立，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意知函数是定义上的减函数， 所以， 又因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 解得：. 故答案为：. 知识点2 函数的最值 1.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)； (2) 存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大(小)值． 2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. 一、单选题 1．（23-24高三·山东·职教高考）已知二次函数在区间上是减函数，在区间是增函数，则函数的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由二次函数的单调区间确定的值，再由单调区间求其最小值即可. 【详解】因为二次函数 在区间上是减函数，在区间是增函数， 所以其对称轴为，解得， 当时，取最小值，最小值为. 故选：B. 2．（23-24高三·湖南·职教高考）已知不等式的解集为，则函数在区间上的最大值与最小值的差为（    ） A．18 B． C． D． 【答案】A 【分析】先用韦达定理求出a，b的值，再由二次函数的性质即可求解最大值和最小值. 【详解】因为不等式的解集为， 所以方程的两个根为和， 由韦达定理可知， 解得，， 所以函数为， 因为函数的对称轴为， 又因为，所以函数图象开口向下， 所以可知函数在区间上为增函数，上为减函数， 当时函数有最大值，最大值为， 当时函数有最小值，最小值为， 所以最大值与最小值差为. 故选:A. 3．（22-23高三·浙江·职教高考）函数在区间上的最大值与最小值的差是2，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．或 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论，根据单调性确定最值，列式可求解. 【详解】设函数， ①当时，函数在区间上单调递增，由题知， ， 解得； ②当时，函数在区间上单调递减，由题知， 解得； ③当时，不符合题意； 综上所述，a的值为或. 故选：D 4．（24-25高三下·湖北·职教高考）已知函数的定义域为，图像关于原点对称，部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的单调递增区间为 D． 【答案】A 【分析】根据图像关于原点对称，结合图像确定对称区间的单调性和最值即可. 【详解】已知函数的定义域为，且图像关于原点对称 由图可知，函数在和上单调递减， 在区间上单调递增，故C错误， 因为，所以，故A正确，D错误， 由图可知在区间上，函数的最大值为， 则在区间上，函数有最小值为，故B错误， 故选：A. 5．（24-25高三·广东·职教高考）函数在区间上为增函数，则在该区间的最大值为（    ） A．0 B．1 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用函数的单调性求最值即可. 【详解】函数在区间上为增函数， 则为最大值； 故选：D. 一、单选题 1．设函数的定义域是，则的最大值和最小值分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据一次函数的单调性结合定义域即可得解. 【详解】函数的定义域是，为减函数， 所以当时，函数值最大为， 当时，函数值最小为， 故选：. 2．已知函数的图像关于原点对称，且当时，其图像如图所示，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意,结合图像,由奇函数的性质即可求出. 【详解】解：函数的图像关于原点对称, 为奇函数, 在区间上最大值为4, 在区间上最小值为, 在区间上最小值为. 故选：B 3．已知函数在区间上的最大值与最小值的和为3，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析函数的对称轴和单调性，再分析计算. 【详解】将函数配方可得，. 根据二次函数的性质，可知函数关于对称，且开口向上. 当时，在区间上单调递减， 故，， 此时，即， 得到或，均不满足. 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴， ∵函数关于对称，∴. 故当时，，此时，不满足. 当时，，此时， 得到，解得或（舍去.） 故选：B. 4．二次函数的最大值是3，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据二次函数有最大值，确定，再由二次函数的最值公式列方程求解即可. 【详解】已知二次函数的最大值是3， 因为二次函数有最大值，所以， 又二次函数的最大值为， 由题意得，整理为， 解得或， 因为，所以. 故选：A. 5．设函数，若对于恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分离参数法，利用二次函数的性质求出函数在上的最大值，从而得解. 【详解】由题意，，可得， 因为，其图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，则， 所以不等式等价于， 又， 所以要使不等式恒成立，则必须， 因此实数的取值范围为. 故选：D. 二、填空题 6．，当时，函数的最大值为 ． 【答案】2 【分析】先研究的单调性，再求最值. 【详解】画出函数的图象如图： ∵，当时，函数在给定区间是递减的， 因此其最大值为． 故答案为：2. 7．定义新运算“”：当时，；当时，．则函数在区间上的最大值是 ． 【答案】6 【分析】根据新运算的定义，将自变量分类讨论，求解. 【详解】题目已知，根据新运算的定义可知， 当时，，，则； 当时，，，则， 此时函数在上单调递增，. 综上，故的最大值为6． 故答案为：6. 8．已知函数，，若对任意的时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质求得的值域，然后利用不等式恒成立的解法求解. 【详解】因为，则，即， 所以. 因为函数，，若对任意的时，不等式恒成立， 所以有：对任意的时，不等式恒成立，即恒成立， 所以有：对任意的时，不等式恒成立， 所以. 故答案为：. 9．若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】由题可知对任意都成立，根据函数的单调性列示即可求解. 【详解】因为不等式对任意都成立，则， 因为函数、在上均为增函数， 则函数在上为增函数， 所以当时，，所以，， 因此，实数的最大值为. 故答案为：. 10．已知函数，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】求出分段函数中两部分的最大值易得答案. 【详解】因为, 它是单调递增的一次函数, 当时,, 因为, 它是单调递减的对数函数, 当时,所以, 所以的最大值为. 故答案为:. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第2个专题：函数的单调性及最值。本专题涵盖集合的概念与表示、集合之间的关系、集合的运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 函数的单调性及最值（讲义） 知识点1 函数的单调性 1. 增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．(如图(2)所示) 2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质． 如若f(x)、g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 为减函数(f(x)>0)；③ 为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数． (3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数． (4) 图象法 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 一、单选题 1．（23-24高三下·河北·对口/职教高考）函数在上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．存在最小值 D．存在最大值 2．（22-23高三下·山东·职教高考）若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知函数，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·山东青岛·职教高考）已知是定义在上的减函数，若，则x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·广东汕头·期末）已知函数的图象与单调递减函数的图象相交于点，给出下列四个结论：则（1）；（2）；（3）；（4）当时，；其中正确的结论共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一、单选题 1．若函数满足：对任意，，，必有，则称有性质，下列函数中，有性质的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．某函数图像如图所示，则该函数的减区间是（    ） A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 7．若函数在上单调递减，则下列式子正确的是（      ） A． B． C． D． 8．已知函数的图像如下图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．函数在区间上是增函数 B．函数在区间上是单调函数 C．函数只有一个单调减区间 D．区间是函数的单调增区间 二、填空题 9．已知在定义域R上是增函数．若，则实数a的取值范围是 . 10．已知函数是定义上的减函数，如果在上恒成立，那么实数的取值范围是 ． 知识点2 函数的最值 1.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)； (2) 存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大(小)值． 2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. 一、单选题 1．（23-24高三·山东·职教高考）已知二次函数在区间上是减函数，在区间是增函数，则函数的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（23-24高三·湖南·职教高考）已知不等式的解集为，则函数在区间上的最大值与最小值的差为（    ） A．18 B． C． D． 3．（22-23高三·浙江·职教高考）函数在区间上的最大值与最小值的差是2，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．或 4．（24-25高三下·湖北·职教高考）已知函数的定义域为，图像关于原点对称，部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的单调递增区间为 D． 5．（24-25高三·广东·职教高考）函数在区间上为增函数，则在该区间的最大值为（    ） A．0 B．1 C．16 D．25 一、单选题 1．设函数的定义域是，则的最大值和最小值分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．已知函数的图像关于原点对称，且当时，其图像如图所示，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D．0 3．已知函数在区间上的最大值与最小值的和为3，则（    ） A．3 B． C． D． 4．二次函数的最大值是3，则（    ） A． B．1 C． D． 5．设函数，若对于恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．，当时，函数的最大值为 ． 7．定义新运算“”：当时，；当时，．则函数在区间上的最大值是 ． 8．已知函数，，若对任意的时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 9．若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 . 10．已知函数，则的最大值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$