专题10 函数的实际应用（讲义） - 河北省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第10个专题函数的实际应用。本专题涵盖一次函数、二次函数、反比例函数、分段函数等的应用问题等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题10 函数的实际应用（讲义） 1. 一次函数 一次函数． 2. 二次函数 (1)解析式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0). 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). (2)图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 [，＋∞) (－∞，] 单调性 在x∈(－∞，－)上是减函数， 在x∈[－，＋∞) 上是增函数 在x∈ (－∞，－)上是增函数， 在x∈[－，＋∞)上是减函数 最值 当x=－时，y有最小值 当x=－时，y有最大值 奇偶性 当b＝0时为偶函数 顶点 (－，) 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 3. 反比例函数 反比例函数． 4. 分段函数 函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应的法则也不同，需要用不同的解析式来表示的函数称为分段函数． 分段函数是一个函数，而不是几个函数。 分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集。 求分段函数的函数值时，应该首先判断所属的取值范围，再把代入到相应的解析式中进行计算． 【考点1】最大收益问题 1．（2024年河北）某物业管理公司有75套公寓对外出租，经市场调查发现，每套公寓租价为2500元时，可以全部租出，租价每上涨100元，就会少租出一套公寓，问每套公寓租价为多少元时，租金总收入最大？最大收入为多少元？ 【答案】当每套公寓租价为元时，租金总收入最大，最大收入为元 【分析】根据题意，分析得租出公寓的套数与租价的关系式，进而得到租金总收入关于租价的表达式，再利用二次函数的性质即可得解. 【详解】依题意，设每套公寓租价为元，总收入为元， 则，租出公寓套， 则， 所以当时，取得最大值，最大值为元， 即当每套公寓租价为元时，租金总收入最大，最大收入为元. 2．（2021年河北）某网点购进一批单价为10元的商品，经过一段时间的经营发现，当售价为12元时，每天可售出100件，当售价为14元时，每天可售出80件，假设每天的销售量（件）是售价（元/件）的一次函数. （1）试写出y与的函数关系式； （2）假定商品无积压，并且不考虑其他因素的影响，当售价为多少时，商家每天的利润最大，并求最大利润. 【答案】（1） （2）当时，利润最大为（元） 【解析】 【分析】（1）根据已知函数为一次函数假设出函数解析式，结合已知条件用待定系数法即可求解; （2）利用已知条件求出利润与售价的关系式，再结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 设（为常数）， 由题意可知， 所以. 【小问2详解】 设利润为（元）， 根据题意，得 ， 则该函数是关于的二次函数，开口向下，对称轴是， 所以当时，利润最大，此时（元）. 【考点2】最大面积问题 3．（2023年河北）如图，已知等腰直角三角形ABC中，米，现在切去三个角，使剩余部分是一个矩形，问当矩形的长和宽各多少米时，矩形的面积最大?最大面积是多少? 【答案】当矩形的长为20米，宽为10米时，矩形的面积最大，最大面积是平方米 【分析】根据矩形的面积公式即可求出矩形的面积，再根据二次函数的性质即可求出最大面积. 【详解】设矩形的长FG为x米，宽EF为y米， 因为切去的三个角都是等腰直角三角形， 所以， 因为， 所以， 所以矩形的面积， 所以当时，函数有最大值， 即当矩形的长为20米，宽为10米时，矩形的面积最大， 最大面积是平方米. 4．(2022年河北）如图，已知，米，米，动点和同时从点分别沿路径和方向匀速移动.已知动点的速度为米/秒，动点的速度为米/秒.在动点向点移动过程中，当移动时间为多少时，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】当移动时间秒时，面积最大，最大面积为平方米. 详解见解析. 【解析】 【分析】由题设移动时间为秒时，知米，米，由面积可得二次函数，二次函数在对称轴处取得最值即可得结果. 【详解】解：由题可知移动时间为秒时，知米，米，由三角形面积公式知 ，可知当时， 面积最大，最大为. 5．(2020年河北) 某火车站计划使用36米长的栅栏材料在靠墙（墙足够长）的位置设置一块平行四边形的临时隔离区域，如图所示，由于地形条件所限，要求，问AB长为多少米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大的面积是多少平方米？ 【答案】AB的长为18米，最大面积为平方米． 【解析】 【分析】根据设的长为x米，所围成的隔离区域的面积为y平方米，列出关于的二次函数，再求解函数的最值来求最大面积即可. 【详解】设的长为x米，所围成的隔离区域的面积为y平方米， 易知，， 因为，所以， 所以平行四边形高， 则平行四边形的面积 ． 故当AB的长为18米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大面积为平方米． 1．在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 （单位：m）与起跳后的时间（单位：） 存在函数关系，该运动员在运动过程中的重心相对于水面的最大高度为（   ） A．11 B．11.4 C．12 D．12.6 【答案】B 【分析】对于二次函数，求出对称轴为，将其代入函数解析式中即可求得最大值. 【详解】由题意得，函数关系为开口向下的二次函数， 对称轴为， 所以当时，高度最大为， 故选：. 2．某公司生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产一台需增加投入20万元，若年销售收入（单位：万元）关于年产量（单位：台）满足函数：则当该公司所获年利润最大时，年产量为（   ） A．50 B．80 C．100 D．120 【答案】B 【分析】根据利润为总收入减去总成本，得到关于利润的解析式，借助函数的性质即可求解. 【详解】由题意，设该公司所获年利润为（单位：万元）， 当时，， 所以当时，取到最大值； 当时，， 单调递减， 所以. 综上所述，当时，该公司所获年利润最大. 故选：B 3．江苏无锡成为2025年央视春晚的分会场后，旅游业迎来了新的机遇．为了促进旅游业的发展，当地某景区推出了一个特色文化展览项目．该项目每天最多能接待的游客数为1500人，当票价为50元时，当天游客数达到上限．鉴于市场需求旺盛，景区欲提高票价，经市场调查发现，每天的票价每提高5元，游客数将减少100人．该项目每天的维护成本（元）是当天游客数的5倍，在不考虑其他因素的前提下，问： (1)当天的游客数为1000人时，当天的票价应为多少元？ (2)当天的票价为多少元时，当天的收益最大？并求最大收益． 【答案】(1)75元 (2)65元；72000元 【分析】（1）我们可以根据票价和游客数的变化关系来计算当游客数为1000人时的票价． （2）需要先建立收益与票价的函数关系，再通过函数性质求出最大收益以及对应的票价. 【详解】（1）当天的游客数为1000人时，当天的票价设为元． 所以，解得， 即当天的游客数为1000人时，当天的票价应为75元． （2）设票价为元，利润为元．票价相对于50元的提高量为元， 票价每提高5元，游客数减少100人， 因此游客数减少量为人， 游客数为人． 收益为票价乘以游客数：， 维护成本为游客数的5倍：成本， 利润为收益减去成本： 一成本， 这是一个关于的二次函数，开口向下，其最大值出现在顶点处．顶点的横坐标为：元， 计算最大利润： 此时，游客数人． 即当天的票价应为65元时，最大收益为72000元． 4．某公司打算用长24米的木板围成展室的隔板，墙厚可以忽略不计，有一面靠墙，如图所示． (1)请写出展室总面积与隔板边长的函数解析式和自变量的取值范围． (2)当隔板取多少时，展室总面积最大，最大为多少？ 【答案】(1) (2)取时，展室总面积最大，最大为 【分析】（1）根据题意表示与墙平行的边长，结合矩形的面积公式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，利用配方法，即可求解. 【详解】（1）由题意，当一边长为时，与墙平行的边长为， 则，解得， 所以展室总面积， 所以展室总面积与隔板边长的函数解析式为. （2）由（1）得， 所以 所以当时，S取到最大值，即， 即隔板取时，展室总面积最大，最大为． 5．某工厂生产某种产品的固定成本为万元，且每生产一吨该产品成本增加万元.若该产品一次性出售，其销售价格（单位：万元/吨）与销售量（单位：吨）的函数关系为：. (1)求该产品的利润（利润＝销售收入－总成本）与的函数解析式； (2)当为多少时利润最大，并求出最大利润. 【答案】(1)， (2)当为50时，利润最大，最大利润160万元 【分析】（1）由题可知，销售收入为万元，总成本为万元，据此可求解； （2）根据二次函数的性质可求最值. 【详解】（1）由题意可得， ，其中； （2）由（1）可得 ， 所以，当时，. 即当为50时，利润最大，最大利润160万元. 6．某宾馆有相同标准床位100张，根据经验，当宾馆每天的床价不超过100元时，床位可以全部租出去；当床价超过100元时，每提高10元将有5张床空闲．为了提高效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，而且该宾馆每天支出的费用是5000元． (1)当床价为150元时，当天有多少张空床？ (2)写出该宾馆一天出租床位的纯收入y与床价x之间的函数关系式． (3)宾馆床价多少时，纯收入最多？ 【答案】(1)75张 (2) (3)宾馆床价为150元时，纯收入最多，最多为6250元. 【分析】（1）由每提高10元将有5张床空闲，即可计算床价为150元时，当天的空床数. （2）先得到床价x和空闲的床数之间的关系，再由纯收入y等于床价乘床数减支出的费用列式即可. （3）由二次函数的对称轴求解最值即可求解最多纯收入时的床价. 【详解】（1）因为当床价超过100元时，每提高10元将有5张床空闲， 所以当床价为150元时，相当于提高了50元， 所以将有25张床空闲， 所以当天有75张床空闲. （2）因为床价为x， 又因为当床价超过100元时，每提高10元将有5张床空闲， 所以床数为张， 又因为该宾馆每天支出的费用是5000元， 所以， 即纯收入y与床价x之间的函数关系式. （3）由（2）知，， 当元时，纯收入最多，为6250元， 即宾馆床价为150元时，纯收入最多，最多为6250元. 7．某城市夜间景观照明中，一盏装饰灯的亮度L（单位：）关于开启时间t（单位：）在区间内呈现二次函数关系．技术人员记录的六次测试数据如下： 开启时间 1 2 3 4 5 6 亮度 120 215 280 200 320 295 (1)技术人员发现，数据中有1对开启时间与亮度的数据错误，请根据数据变化规律，指出错误的数据； (2)根据正确的数据，求灯光亮度L关于开启时间t的二次函数关系式； (3)求开启时间为时的灯光亮度，及灯光亮度达到峰值时的开启时间． 【答案】(1) (2) (3)开启时间为时的灯光亮度为；灯光亮度达到峰值时的开启时间为 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的单调性，即可判断求解； （2）根据题意，设出函数解析式，利用待定系数法，即可求解； （3）根据题意，结合函数解析式，将代入，即可求得开启时间为时的灯光亮度，结合二次函数求最值，利用配方法，即可求解. 【详解】（1）观察数据可知，在二次函数中，若函数图像开口向下，函数先递增后递减， 从到，亮度逐渐增加，从到，亮度逐渐减小， 因为时的数据不符合这个“递增-递减”的趋势， 所以错误的数据是. （2）由题意，设二次函数关系式为，， 将数据代入函数解析式得， 消元化简得，两式相减得，解得， 所以， 所以函数关系式为； （3）由（2）知， 所以当时，， 即开启时间为时的灯光亮度为； 因为， 所以当时，函数取得最大值，即， 即灯光亮度达到峰值时的开启时间为. 8．某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为42万元，且每生产100台的生产成本为15万元（总成本固定成本生产成本）．销售收入（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述条件，完成下列问题： (1)写出总利润函数的解析式（利润销售收入总成本）； (2)要使工厂有盈利，求产量x的范围； (3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？ 【答案】(1) (2)大于100台，小于820台 (3)400台 【分析】（1）根据题意表示出总成本，再利用销售收入减去总成本，即为利润. （2）利用二次函数的图像和性质以及分段函数，即可求解. （3）根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】（1）由题意得， 所以. （2）由（1）知， 当时，由，得， 解得，所以， 当时，由，解得，所以， 综上得当时有， 所以当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利. （3）当时，函数，在定义域上单调递减， 所以（万元）， 当时，函数， 当时，有最大值为54（万元）． 所以，当工厂生产400台时，可使赢利最大为54万元. 9．6世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖，火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行到水平距离9 km，高度为3.6 km时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程，如图所示，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，得到抛物线方程. (1)请求出a 的值； (2)求火箭在运行时的最大高度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入抛物线方程中，即可求解； （2）根据一元二次函数的最值公式，即可求解. 【详解】（1）抛物线经过点，， ， 解得. （2）由题意可知抛物线方程，，存在最大值， ， 即火箭在运行时的最大高度为． 10．“好风凭借力，送我上青天”这句古诗描绘了放风筝的美妙情境．现有一种风筝的设计，其骨架搭建形状如图1所示，箏面可以抽象为图2中的四边形，其中，，风筝的骨架由3条竹棒AC，BD，EF组成，点E，F分别是CB和CD的中点．现将一根总长为120cm的竹棒截成三段做风筝的骨架．设骨架BD的长度为，箏面的面积为． (1)求S关于x的函数关系式； (2)当骨架BD长度取何值时，风筝筝面的面积最大，最大面积是多少？ (3)在图3中画出S关于x的函数图象． 【答案】(1) (2)，最大面积是． (3)答案见解析 【分析】（1）利用三角形面积公式求解析式即可； （2）化简二次函数利用配方式求最值即可； （3）利用二次函数的图像作图即可. 【详解】（1），，， ，，是的垂直平分线， ． （2）因为 ， 当时，． 即当骨架时，风筝的筝面的面积最大，最大面积是． （3）由解析式与可知， 其为二次函数，且过，，， 又因为其定义域为， 则图像为， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第10个专题函数的实际应用。本专题涵盖一次函数、二次函数、反比例函数、分段函数等的应用问题等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题10 函数的实际应用（讲义） 1. 一次函数 一次函数． 2. 二次函数 (1)解析式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0). 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). (2)图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 [，＋∞) (－∞，] 单调性 在x∈(－∞，－)上是减函数， 在x∈[－，＋∞) 上是增函数 在x∈ (－∞，－)上是增函数， 在x∈[－，＋∞)上是减函数 最值 当x=－时，y有最小值 当x=－时，y有最大值 奇偶性 当b＝0时为偶函数 顶点 (－，) 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 3. 反比例函数 反比例函数． 4. 分段函数 函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应的法则也不同，需要用不同的解析式来表示的函数称为分段函数． 分段函数是一个函数，而不是几个函数。 分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集。 求分段函数的函数值时，应该首先判断所属的取值范围，再把代入到相应的解析式中进行计算． 【考点1】最大收益问题 1．（2024年河北）某物业管理公司有75套公寓对外出租，经市场调查发现，每套公寓租价为2500元时，可以全部租出，租价每上涨100元，就会少租出一套公寓，问每套公寓租价为多少元时，租金总收入最大？最大收入为多少元？ 2．（2021年河北）某网点购进一批单价为10元的商品，经过一段时间的经营发现，当售价为12元时，每天可售出100件，当售价为14元时，每天可售出80件，假设每天的销售量（件）是售价（元/件）的一次函数. （1）试写出y与的函数关系式； （2）假定商品无积压，并且不考虑其他因素的影响，当售价为多少时，商家每天的利润最大，并求最大利润. 【考点2】最大面积问题 3．（2023年河北）如图，已知等腰直角三角形ABC中，米，现在切去三个角，使剩余部分是一个矩形，问当矩形的长和宽各多少米时，矩形的面积最大?最大面积是多少? 4．(2022年河北）如图，已知，米，米，动点和同时从点分别沿路径和方向匀速移动.已知动点的速度为米/秒，动点的速度为米/秒.在动点向点移动过程中，当移动时间为多少时，的面积最大，最大面积是多少？ 5．(2020年河北) 某火车站计划使用36米长的栅栏材料在靠墙（墙足够长）的位置设置一块平行四边形的临时隔离区域，如图所示，由于地形条件所限，要求，问AB长为多少米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大的面积是多少平方米？ 1．在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 （单位：m）与起跳后的时间（单位：） 存在函数关系，该运动员在运动过程中的重心相对于水面的最大高度为（   ） A．11 B．11.4 C．12 D．12.6 2．某公司生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产一台需增加投入20万元，若年销售收入（单位：万元）关于年产量（单位：台）满足函数：则当该公司所获年利润最大时，年产量为（   ） A．50 B．80 C．100 D．120 3．江苏无锡成为2025年央视春晚的分会场后，旅游业迎来了新的机遇．为了促进旅游业的发展，当地某景区推出了一个特色文化展览项目．该项目每天最多能接待的游客数为1500人，当票价为50元时，当天游客数达到上限．鉴于市场需求旺盛，景区欲提高票价，经市场调查发现，每天的票价每提高5元，游客数将减少100人．该项目每天的维护成本（元）是当天游客数的5倍，在不考虑其他因素的前提下，问： (1)当天的游客数为1000人时，当天的票价应为多少元？ (2)当天的票价为多少元时，当天的收益最大？并求最大收益． 4．某公司打算用长24米的木板围成展室的隔板，墙厚可以忽略不计，有一面靠墙，如图所示． (1)请写出展室总面积与隔板边长的函数解析式和自变量的取值范围． (2)当隔板取多少时，展室总面积最大，最大为多少？ 5．某工厂生产某种产品的固定成本为万元，且每生产一吨该产品成本增加万元.若该产品一次性出售，其销售价格（单位：万元/吨）与销售量（单位：吨）的函数关系为：. (1)求该产品的利润（利润＝销售收入－总成本）与的函数解析式； (2)当为多少时利润最大，并求出最大利润. 6．某宾馆有相同标准床位100张，根据经验，当宾馆每天的床价不超过100元时，床位可以全部租出去；当床价超过100元时，每提高10元将有5张床空闲．为了提高效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，而且该宾馆每天支出的费用是5000元． (1)当床价为150元时，当天有多少张空床？ (2)写出该宾馆一天出租床位的纯收入y与床价x之间的函数关系式． (3)宾馆床价多少时，纯收入最多？ 7．某城市夜间景观照明中，一盏装饰灯的亮度L（单位：）关于开启时间t（单位：）在区间内呈现二次函数关系．技术人员记录的六次测试数据如下： 开启时间 1 2 3 4 5 6 亮度 120 215 280 200 320 295 (1)技术人员发现，数据中有1对开启时间与亮度的数据错误，请根据数据变化规律，指出错误的数据； (2)根据正确的数据，求灯光亮度L关于开启时间t的二次函数关系式； (3)求开启时间为时的灯光亮度，及灯光亮度达到峰值时的开启时间． 8．某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为42万元，且每生产100台的生产成本为15万元（总成本固定成本生产成本）．销售收入（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述条件，完成下列问题： (1)写出总利润函数的解析式（利润销售收入总成本）； (2)要使工厂有盈利，求产量x的范围； (3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？ 9．6世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖，火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行到水平距离9 km，高度为3.6 km时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程，如图所示，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，得到抛物线方程. (1)请求出a 的值； (2)求火箭在运行时的最大高度. 10．“好风凭借力，送我上青天”这句古诗描绘了放风筝的美妙情境．现有一种风筝的设计，其骨架搭建形状如图1所示，箏面可以抽象为图2中的四边形，其中，，风筝的骨架由3条竹棒AC，BD，EF组成，点E，F分别是CB和CD的中点．现将一根总长为120cm的竹棒截成三段做风筝的骨架．设骨架BD的长度为，箏面的面积为． (1)求S关于x的函数关系式； (2)当骨架BD长度取何值时，风筝筝面的面积最大，最大面积是多少？ (3)在图3中画出S关于x的函数图象． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$