精品解析：2025年广东省深圳市15校中考二模数学试题

深圳市2025年初中学业水平考试阶段性测试 数学试卷 说明：1．答题前，请将姓名、考生号、考点、考场号和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共8页．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答单项选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，且分别交，于点D，E，若，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心为点，号“”与号“”的相似比为．点在号“”上，则点在号“”上的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表 …… …… …… …… 其中的值（　　） A. 21 B. 12 C. 5 D. 6. 如图，是的弦，，，则的直径等于（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 8. 如表是小林填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图 相关数据 根据以上信息，可求出孔子像的高度约为（ ） （结果精确到，参考数据：） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 用“*”定义新运算:对于任意实数都有，如，那么_____． 10. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______． 11. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______． 12. 如图，在矩形中，，，是边的中点，是射线上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是___________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，与关于直线对称，反比例函数（，）的图象与A'B交于点C．若，则k的值为________． 三、非选择题 14. 阅读材料，并回答问题： 小明在学习分式运算过程中，计算的解答过程如下： 解：① ＝② ＝(x﹣2)﹣(x+2)③ ＝x﹣2﹣x﹣2 ④ ＝﹣4 ⑤ 问题：(1)上述计算过程中，从　 　步开始出现了错误(填序号)； (2)发生错误的原因是：　 　； (3)在下面的空白处，写出正确的解答过程： 15. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准2022年版》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了______名学生； （2）补全上面的条形统计图和扇形统计图； （3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 16. 滑雪是冬季运动爱好者的喜爱项目之一，滑雪者从山坡滑下，其滑行距离（单位：）是滑行时间（单位：）的二次函数．滑雪爱好者小聪从山坡滑下，同学小敏帮他测得一些数据，记录于下表． 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 4.5 14 38.5 48 （1）在上表t，的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点、连线的方法，画出函数的大致图象，并观察判断哪一对是错误的？ （2）根据（1）中结果，求出关于的函数表达式；并求出当滑行时间为时，小聪在山坡上滑行的距离是多少？ 17. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，请写出x与y之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）请画出上述函数的大致图象； （3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小丽解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： ， 即. ∵降价要确保盈利， ∴.解得． （2）上述表达式的图象是抛物线的一部分，函数的大致图象如图1： （3）∵， ∴当时，y有最大值，. 所以，当降价2.5元时，每星期的利润 最大，最大利润为6125． 老师看了小丽的解题过程，说小马第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）（3）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）（3）中正确的答案，或说明错误原因． 18. 如图，是圆O的直径，D、E为圆O上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交圆O于点F，连接、、． （1）求证：； （2）设交于点G，若，，E是弧的中点，求的值 19. 在数学实践活动课上，“创新”小组准备探索三角尺中的数学． 【操作】 （1）成员们发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角．如图，一副三角尺所拼的图案中，_____； 【发现】 （2）如图，将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，直角边分别重合，将含的三角板绕点逆时针旋转至如图位置处，若此时，求的值． 【拓展】 新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图，是的内半角． （3）将两块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图，将三角板绕顶点以度秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线构成内半角时，求的值． 20. 【理解概念】 分别经过两个不相似的直角三角形的直角顶点的两条直线，把这两个直角三角形分别分成两个小三角形，当一个直角三角形中的一个小三角形与另一个直角三角形中的一个小三角形相似时，另外两个小三角形也相似，则称这样的两条直线叫做这两个直角三角形的相似分割线． 【巩固新知】 （1）已知：如图、，在和中，，，． 求证：、分别是和的相似分割线； 若，，，，求的长． 【拓展提高】 （2）如图，为的直径，点、在上，、分别是和的相似分割线，且． 若点是的黄金分割点，则点是否也是的黄金分割点？说明理由； 若，．当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市2025年初中学业水平考试阶段性测试 数学试卷 说明：1．答题前，请将姓名、考生号、考点、考场号和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共8页．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答单项选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、由得，，故本选项不符合题意； B、由得，，故本选项不符合题意； C、由得，，故本选项符合题意； D、由得，，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积． 2. 如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分别解出两个不等式,再确定不等式组的解集,然后在数轴上表示即可. 【详解】解：解第一个不等式得：x＞-1； 解第二个不等式得：x≤1， 在数轴上表示， 故选B. 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组,以及在数轴上表示解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时 “≥” ,“≤” 要用实心圆点表示; “ <“ >” 要用空心圆点表示. 3. 如图，在中，，且分别交，于点D，E，若，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质与判定及平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴； 故选D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心为点，号“”与号“”的相似比为．点在号“”上，则点在号“”上的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质计算，即可解答． 【详解】解：号“”与号“”的相似比为，点， 点在号“”上的对应点的坐标为，即， 故选：A． 5. 在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表 …… …… …… …… 其中的值（　　） A. 21 B. 12 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题关键．由表格可知，二次函数对称轴为直线，进而得到与的值相同，即可求出的值． 【详解】解：由表格可知，二次函数对称轴为直线， 与是关于对称轴的对称点，值相同， ， 故选：C． 6. 如图，是的弦，，，则的直径等于（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】作直径，连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质解答． 【详解】解：作直径，连接， 由圆周角定理得，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键． 7. 已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点，判断各选项所给的射线是角的平分线即可． 【详解】解：A.以B为端点的射线不是的平分线，故此选项不符合题意； B. 交点O到三角形的三个顶点距离相等，故此选项不符合题意； C.射线BO不是的平分线，，故此选项不符合题意； D.两条射线均为角的平分线，交点O到△ABC三边距离相等，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，明确三角形的内心是三角形角平分线的交点是解答本题的关键． 8. 如表是小林填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图 相关数据 根据以上信息，可求出孔子像的高度约为（ ） （结果精确到，参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．根据三角函数的概念，在中，求得的值，根据题意得到的值，在中，求得的值，从而得出的值． 【详解】解：在中，， ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 用“*”定义新运算:对于任意实数都有，如，那么_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据新定义运算，将，代入求值即可． 【详解】解：根据题意可得： 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算法则，是解题的关键． 10. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据“每一横行、两条斜对角线上的数字之和都是15”求出图中①和②表示的数，再根据“每一竖行上的数字之和都是15”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，由题意，图中①表示的数是， 图中②表示的数是， 则， 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确求出图中①和②所表示的数是解题关键． 11. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据AB=AC，∠B=72°求出∠A的度数，再根据CD是∠CAB的角平分线得到∠A=∠ACD，即AD=CD，再根据大角对大边得到AD>BD，最后利用黄金分割公式计算求解即可. 【详解】解：∵AB=AC，∠B=72° ∴∠ACB=∠B=72° ∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36° ∵CD是∠CAB的角平分线 ∴∠ACD=∠BCD= ∴∠A=∠ACD ∴AD=CD 在△ABC与△CBD中 ∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B ∴△ABC∽△CBD ∴ 在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36° ∴∠CDB=72° ∴∠CDB=∠B=72° ∴AD=CD=BC ∴ 即 ∴D点为AB的黄金分割点 在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36° ∴CD>BD（大角对大边） ∴AD>BD ∵D是AB的黄金分割点，AD>BD ∴ ∴ 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，黄金分割点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 12. 如图，在矩形中，，，是边的中点，是射线上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，由四边形是矩形得，而，，所以，求得，由折叠得，因为，所以，求得的最小值是4，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，，，是边的中点， ∴，， ∴， ∵将沿所在直线折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是4， 故答案为：4． 13. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，与关于直线对称，反比例函数（，）的图象与A'B交于点C．若，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定．过点B作轴，根据题意得出，，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，D三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可． 【详解】解：如图，过点B作轴， ，，， ，， ，， ，， ，， 与关于直线对称， ，， ， ，B，D三点共线， ， ， ， ， 将其代入，得：， 故答案为：． 三、非选择题 14. 阅读材料，并回答问题： 小明在学习分式运算过程中，计算的解答过程如下： 解：① ＝② ＝(x﹣2)﹣(x+2)③ ＝x﹣2﹣x﹣2 ④ ＝﹣4 ⑤ 问题：(1)上述计算过程中，从　 　步开始出现了错误(填序号)； (2)发生错误的原因是：　 　； (3)在下面的空白处，写出正确的解答过程： 【答案】（1）③； （2）不能去分母； （3）正确解答过程为： 解： 【解析】 【分析】观察小明的运算过程，找出错误的步骤，改正即可． 【详解】（1）上述计算过程中，从③步开始出现了错误（填序号）； 故答案为③； （2）发生错误的原因是：不能去分母； 故答案为不能去分母； （3）略 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准2022年版》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了______名学生； （2）补全上面的条形统计图和扇形统计图； （3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20 （2） 补全图形如下： （3） 【解析】 【分析】（1）利用组人数除以所占的百分比求出总数即可； （2）总数乘以组的百分比，求出组人数，进而求出组女生人数，总数乘以组的百分比，求出组的人数，进而求出组男生人数，1减去其它项所占的百分比，求出D项所占的百分比即可，再补全图形即可； （3）利用列表法求出概率即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴一共调查了20人； 【小问2详解】 解：∴组人数为：（人）， ∴组女生有：（人）； 由扇形统计图可知：组的百分比为， ∴组人数为：（人）， ∴组男生有：（人）； 【小问3详解】 解：用表示名男生，用表示两名女生，列表如下： A B C D E A B C D E 共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种， ∴所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键． 16. 滑雪是冬季运动爱好者的喜爱项目之一，滑雪者从山坡滑下，其滑行距离（单位：）是滑行时间（单位：）的二次函数．滑雪爱好者小聪从山坡滑下，同学小敏帮他测得一些数据，记录于下表． 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 4.5 14 38.5 48 （1）在上表t，的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点、连线的方法，画出函数的大致图象，并观察判断哪一对是错误的？ （2）根据（1）中结果，求出关于的函数表达式；并求出当滑行时间为时，小聪在山坡上滑行的距离是多少？ 【答案】 （1）描点，连线，如图所示． 数据（3，38.5）是错误的； （2）；102米． 【解析】 【分析】（1）描点，连线，画出函数图象， （2）由图象可得出与的关系可近似看成二次函数，根据点的坐标利用待定系数法可以求出二次函数关系式，并将6代入二次函数关系式即可得到滑行的距离． 【详解】解：（1）根据图像可知，数据（3，38.5）是错误的； （2）设关于的函数表达式为 显然当时，． 将、两点坐标代入 ， 有解得 关于的函数表达式为 当时， 即小聪在山坡上滑行的距离是102米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式是解题的关键． 17. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，请写出x与y之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）请画出上述函数的大致图象； （3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小丽解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： ， 即. ∵降价要确保盈利， ∴.解得． （2）上述表达式的图象是抛物线的一部分，函数的大致图象如图1： （3）∵， ∴当时，y有最大值，. 所以，当降价2.5元时，每星期的利润 最大，最大利润为6125． 老师看了小丽的解题过程，说小马第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）（3）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）（3）中正确的答案，或说明错误原因． 【答案】（1）自变量x的取值范围是，且x为整数 （2） 如图: （3）当降价元或3元时，利润最大为元 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）． （1）根据题意即可得到结论； （2）根据函数解析式得到相关数据，画出图象即可； （3）根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：， 即， ∵降价要确保盈利， ∴． 解得，且x为整数； 【小问2详解】 解：函数不能为实线，是图象中，当时，对应的20个有限点 【小问3详解】 解：若x只取正整数，则x就不能取2.5，结果就不是6125元， 显然，只有当或3时， y有最大值，y最大值元， 答：当降价元或3元时，利润最大为元． 18. 如图，是圆O的直径，D、E为圆O上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交圆O于点F，连接、、． （1）求证：； （2）设交于点G，若，，E是弧的中点，求的值 【答案】（1）如图，连接 因为是的直径 所以，即 又 所以垂直平分 所以； （2）18 【解析】 【分析】（1）连接，利用垂直平分，可得； （2）连接，利用三角函数求出，再结合，可计算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接 因为， 所以 因为 所以 所以 所以 所以 在中，， 所以 所以 因为是弧的中点，是的直径 所以 所以 因为是弧的中点， 所以 所以 所以 所以． 19. 在数学实践活动课上，“创新”小组准备探索三角尺中的数学． 【操作】 （1）成员们发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角．如图，一副三角尺所拼的图案中，_____； 【发现】 （2）如图，将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，直角边分别重合，将含的三角板绕点逆时针旋转至如图位置处，若此时，求的值． 【拓展】 新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图，是的内半角． （3）将两块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图，将三角板绕顶点以度秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线构成内半角时，求的值． 【答案】（）；（）；（）当射线、、、构成内半角时，的值为或或或． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角板的有关计算，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角板特征和角度和差即可求解； （）由题意可得，则，，所以，然后解出即可； （）分是的内半角，是的半角，是的内半角，是的内半角四种情况分析即可． 【详解】解：（）∵，，， ∴， 故答案为： （）由题意可得：， 则，， ∵， ∴， 解得：； （）如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：，， ∴，， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 如图所示，此时是的半角， 由旋转性质可得：，， ∴，， ∴是的内半角， ∴，即， 解得：； 如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：，， ∴，， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：，， ∴，， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 综上所述：当射线、、、构成内半角时，的值为或或或． 20. 【理解概念】 分别经过两个不相似的直角三角形的直角顶点的两条直线，把这两个直角三角形分别分成两个小三角形，当一个直角三角形中的一个小三角形与另一个直角三角形中的一个小三角形相似时，另外两个小三角形也相似，则称这样的两条直线叫做这两个直角三角形的相似分割线． 【巩固新知】 （1）已知：如图、，在和中，，，． 求证：、分别是和的相似分割线； 若，，，，求的长． 【拓展提高】 （2）如图，为的直径，点、在上，、分别是和的相似分割线，且． 若点是的黄金分割点，则点是否也是的黄金分割点？说明理由； 若，．当时，直接写出的长． 【答案】 （1），， ， 如图所示，，， ， ，， ， ， 、分别是和的相似分割线； ； （2）点是黄金分割点，理由如下： 、分别是和的相似分割线，且， ，， ， 得， 为黄金分割点， ， ， 点是的黄金分割点． ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割比，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的相似分割线的定义进行证明即可；由，，得，，设，即可表示出，，利用勾股定理可求得的长，结合，列等式求解即可． （2）由相似分割线的定理可得，，得到，，两式相处可得，结合黄金分割点的定义即可得解．易证，作交于，证明，分别求出，即可得到结论． 【详解】解：（1）①略 设， 由①得，， ，， 即，， ，， ，， ，解得， 即． （2）略 为的直径，点、在上， ， ， ， 若点在的上方，则，与相矛盾，故点在的下方，如图所示， ， ， 如图，作交于， ， ， ，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $