专题2.2一元二次不等式（讲义）- 湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第二章不等式的第2个专题：一元二次不等式.本专题涵盖一元二次不等式知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2.2 一元二次不等式（讲义） 知识点 一元二次不等式 1.一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式，一般形式：或,其中. 2.一元二次不等式解法 （1）因式分解法：一元二次不等式通过变形，转化为不等号右边为0的形式，然后将左边分解为两个一次式的积的形式，根据“同号两数相乘为正,异号两数相乘为负”的积的符号法则，将其转化为两个一元一次不等式组来求解，这两个不等式组的并集就是原不等式的解集.一般用十字相乘法将式子进行因式分解，十字相乘法，即对于二次三项式，如果能找到两个数和，使得且，则可以将多项式分解为. （2）图像法：以下为用图像法解一元二次不等式的步骤. ①化：将不等式化成一般形式或. ②判：用判别式判断方程的根的情况. ③求：求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实数根. ④写：根据对应的二次函数的图像（如下表），写出不等式的解集. 方程，函数或不等式 解集 的图像 R R R 口诀：大于取两边，小于取中间 （3） 一元二次不等式恒成立问题 ①不等式是全体实数（或恒成立）的条件是： 当时，; 当时， ②不等式是全体实数（或恒成立）的条件是： 当时，; 当时， ③恒成立; 恒成立. 3.不等式组的解集 求不等式组的解集就是求各个不等式的解集的交集.一般借用数轴来找交集，比较直观准确. 口诀：同大取大，同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到. 1．（2023湖南对口升学）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式解法直接求解即可. 【详解】不等式，即， 解得， 所以的解集是. 故选：A 2．（2025广东职教高考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式、一元二次方程、二次函数间的关系，解不等式可求解. 【详解】不等式可化为， 因为不等式的二次项系数为，对应的方程的解为，， 所以不等式的解集为. 故选：C 3．（2025云南职教高考）不等式组的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的解法求解即可. 【详解】已知不等式组， 则，解得， 所以不等式组的解集是， 故选：D. 4．（2022河南对口单招）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式求解即可. 【详解】由题，不等式，即， 则解得. 故不等式解集为. 故选：A 5．（2025四川模拟）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由一次不等式的解得到与，再代入所求二次不等式，消去，解之即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以且，即， 则不等式可化为， 两边同时除以，得，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故选：A. 1．已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式并球交集，即可求解. 【详解】，， . 故选：B. 2．已知函数（为常数），满足，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，恒成立，可得，，两式联立即可得的值. 【详解】，则， ， 恒成立，则恒成立, , 由得 即 , 故选：A. 3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】或, 得不等式的解集是， 故选：B 4．已知不等式的解集是 ，则 的值是（   ） A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，利用韦达定理，即可求解. 【详解】因为不等式的解集是 ， 所以是方程的两个根， 所以，解得， 所以. 故选：D. 5．“”是“不等式恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的概念，一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为恒成立，则，解得. 则“”不一定可得“不等式恒成立”， “不等式恒成立”可得“”. 所以“”是“不等式恒成立”的必要不充分条件. 故选：B. 6．关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式 ，即 ， 解得，即不等式的解集为， 故选：B． 7．不等式的解集为（   ）． A．R B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】先将不等式化简，再将不等式左边的代式配方，分析即可求解. 【详解】不等式可化为， 即， 因为，所以不可能小于0 所以不等式的解集为， 故选：C. 8．不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解． 【详解】不等式对一切实数都成立， ， ， 的取值范围是． 故选：C． 9．若，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】已知， 所以，由， 可得， 因为当时，， 所以不等式的解为 或， 故答案为：． 10．已知不等式的解集是，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系确定方程的根，再由韦达定理求值即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以方程的根为和7，于是有． 故答案为：. 11．不等式组的解集用区间表示是 ． 【答案】 【分析】解不等式组，根据区间的定义表示解集即可. 【详解】不等式组可化为， 所以， 所以原不等式组的解集用区间表示是. 故答案为： 12．二次函数的部分对应值如表： x 0 1 2 3 4 y 6 0 0 6 则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】根据二次函数的部分对应值确定二次函数与轴交点和对称轴，再结合二次函数的图象性质求解不等式． 【详解】由表格可知，当和时，的值都为， 即. 根据二次函数图象的对称性可知，该二次函数图象的对称轴为. 由表格可知，当和时，， 即二次函数与轴的交点为和. 又因为当和时，，说明在对称轴附近函数值为负， 所以二次函数的图象抛物线开口向上，即， 结合函数与轴的交点坐标，得到或时，， 根据图表，所以的解集是或， 故答案为：或． 13．解不等式. 【答案】. 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】. 解得. 所以不等式的解集为. 14．已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意得到一元二次函数对应的方程的根，再根据韦达定理求解即可. （2）根据题意得到不等式，再求解不等式解出的取值范围. 【详解】（1）关于的不等式的解集为， 方程的两根为， ， 解得． （2）令对任意的恒成立， 由为开口向上的二次函数，. 即：. 实数的取值范围为． 15．设为全集，，. (1)用列举法表示集合； (2)用区间表示集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次不等式的解法化简集合，再利用集合的交集运算即可得解； （2）利用二次函数的性质化简集合，再利用集合的补集运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第二章不等式的第2个专题：一元二次不等式.本专题涵盖一元二次不等式知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2.2 一元二次不等式（讲义） 知识点 一元二次不等式 1.一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式，一般形式：或,其中. 2.一元二次不等式解法 （1）因式分解法：一元二次不等式通过变形，转化为不等号右边为0的形式，然后将左边分解为两个一次式的积的形式，根据“同号两数相乘为正,异号两数相乘为负”的积的符号法则，将其转化为两个一元一次不等式组来求解，这两个不等式组的并集就是原不等式的解集.一般用十字相乘法将式子进行因式分解，十字相乘法，即对于二次三项式，如果能找到两个数和，使得且，则可以将多项式分解为. （2）图像法：以下为用图像法解一元二次不等式的步骤. ①化：将不等式化成一般形式或. ②判：用判别式判断方程的根的情况. ③求：求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实数根. ④写：根据对应的二次函数的图像（如下表），写出不等式的解集. 方程，函数或不等式 解集 的图像 R R R 口诀：大于取两边，小于取中间 （3） 一元二次不等式恒成立问题 ①不等式是全体实数（或恒成立）的条件是： 当时，; 当时， ②不等式是全体实数（或恒成立）的条件是： 当时，; 当时， ③恒成立; 恒成立. 3.不等式组的解集 求不等式组的解集就是求各个不等式的解集的交集.一般借用数轴来找交集，比较直观准确. 口诀：同大取大，同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到. 1．（2023湖南对口升学）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2025广东职教高考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2025云南职教高考）不等式组的解集是（    ） A． B． C．或 D． 4．（2022河南对口单招）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（2025四川模拟）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知函数（为常数），满足，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．已知不等式的解集是 ，则 的值是（   ） A． B． C． D．7 5．“”是“不等式恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．不等式的解集为（   ）． A．R B． C． D．以上都不对 8．不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．若，则不等式的解集是 ． 10．已知不等式的解集是，则 ． 11．不等式组的解集用区间表示是 ． 12．二次函数的部分对应值如表： x 0 1 2 3 4 y 6 0 0 6 则不等式的解集是 ． 13．解不等式. 14．已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； 15．设为全集，，. (1)用列举法表示集合； (2)用区间表示集合. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$