专题2.1 不等式的基本性质、区间（讲义）- 湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第二章不等式的第1个专题：不等式的基本性质、区间.本专题涵盖不等式的基本性质、区间等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2.1 不等式的基本性质、区间（讲义） 知识点1 不等式的基本性质 1.实数的大小比较 作差法：对于任意实数a，b，都有. 2.不等式的基本性质 性质 文字语言 符号语言 对称性 如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a 传递性 如果a>b，b>c；那么a>c 加法性 不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变 乘法性 不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的数，不等号方向不变 不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的数，不等号方向改变 同向不等式可加性 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d 同向正值不等式可乘性 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd 正值不等式可乘方 如果a>b>0，那么a的n次幂大于b的n次幂（n为正数），a的n次幂小于b的n次幂（n为负数） 1．（2021湖南对口升学）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质得到A是正确的，对于选项BCD可代入特殊值举出反例. 【详解】A.根据不等式的性质可知，A正确； B.若，，，可知B不正确； C.若，，，故C不正确； D. 若，，，故D不正确. 故选：A. 2．（2024湖南模拟）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可得解. 【详解】当，时，没有意义，故选项错误； 当时，，故选项错误； 因为，则，故选项正确； 当，时，，，故选项错误； 故选：. 3．（2022湖南一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质判断选项即可. 【详解】A:若，当时，不等号方向改变，，所以A选项错误， B:若，当，时，不等号方向改变，，所以B选项错误， C:若，则，则，所以C选项正确， D:若，不等式两边减一个相同的数，不等号方向不变，所以，所以D选项错误. 故选:C. 4．（2023湖南二模）下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质解答. 【详解】A、已知若则成立，若则，故A选项不正确； B、若则成立，若或，则不成立，故B选项不正确； C、，不等号两边同时加上任意数都满足，故C正确； D、，则成立，若，则，故D选项不正确. 故选:C. 5．（2025湖南株洲模拟）设，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质结合举反例逐个分析即可. 【详解】已知， 则，故A错误，，故B错误， ，故C正确， 若，则，故D错误， 故选：C. 1．下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】选项A.当时，该选项错误. 选项B.当时，该选项错误. 选项C.当时，该选项错误. 选项D.因为，所以，该选项正确. 故选：D. 2．若为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质结合充分不必要条件的概念即可求解. 【详解】由不等式的基本性质可得，“”则“”， 当时，，而，故“”不一定得到“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．设为实数，且，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质结合举反例逐项分析即可. 【详解】设为实数，由， 若，，满足，故A错误， 若，，满足，故B错误， 因为，所以成立，故C正确， 若，则，满足，故D错误， 故选：C. 4．已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性得到的关系，再根据不等式的性质判断选项即可. 【详解】因为在上单调递增， 已知，则. 选项A，当时，，该选项错误. 选项B，当时，，该选项错误. 选项C，当时，，该选项错误. 选项D，因为，所以，该选项正确. 故选：D. 5．下列不等式与等价的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例排除ABC；利用立方差公式，结合配方法与等价的定义判断D，从而得解. 【详解】对于ABC，当，满足，但，故ABC错误； 对于D，， 因为，当且仅当时，等号成立， 当时，，则，故； 当时，，则，故，即， 所以与等价. 故选：D. 6．已知，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据作差比较法即可求解. 【详解】由题意得，，， 则，. 因为，所以. 故选：A. 7．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质判断即可； 【详解】因为，所以，故选项A正确，选项B不正确； 选项C，设，满足，但，故错误； 选项D，设，此时，故错误； 故选：A 8．下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，即可求解. 【详解】对于A：若，则，故错误； 对于B：若，但，则，故错误； 对于C：因为，则， 所以，故错误； 对于D：因为，则， 又因为，所以，故正确. 故选：D. 9．已知，则 ．（用“＞”或“＜”填空） 【答案】 【分析】由作差法比较代数式大小即可. 【详解】， ． 故答案为：. 10．如果，则（用“”或“”填空）： （1） ；（2） ； （3） ；（4） 1. 【答案】 【分析】（1）（3）利用不等式的性质直接求解； （2）（4）利用不等式的性质，结合作差法比较大小； 【详解】（1） ， ； （2） ， ，， ， ； （3） ， ，又 ，， ； （4） ， ， ， . 故答案为：；；；. 11．若，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由不等式的基本性质即可得解. 【详解】因为，所以， 又，故，即， 故的取值范围为. 故答案为：. 12．比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】利用作差比较法进行比较即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13．已知，求 的取值范围. 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质即可确定 的取值范围. 【详解】已知， 则， 所以， 即. 14．已知，判断代数式和的大小． 【答案】. 【分析】根据作差法比较大小即可得解. 【详解】， 所以. 15．比较下列各组中两个实数或代数式的大小： (1)和. (2)和. (3)和. (4)和. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】（1）， ； （2）， ； （3）， ； （4）， . 知识点2 区间 1.定义：数轴上两点间的一切实数组成的集合称为区间，其中这两个点称为区间的端点. 2.区间的分类和表示 区间 集合表示 区间符号表示 开区间 闭区间 半开半闭区间 左闭右开区间 左开右闭区间 ] 无限区间 ]或 或 或 注意：（1）实数R可以用表示，符号读作“无穷大”. （2）区间是实数集及其子集的另一种表示形式，区间的左端点必须小于右端点，而且区间只能 表示连续的数集. 1．（2025对口单招）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由补集运算和区间的定义即可求解. 【详解】因为，所以． 故选：B. 2．（2024河北对口升学）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别解出一元一次不等式，再取交集即可. 【详解】不等式组，解得，即， 所以不等式组的解集为. 故选：D. 3．（2024山东济职教高考）不等式的解集用区间记法为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据区间的定义及表示可得解. 【详解】不等式的解集用区间表示为：. 故选：D 4．（2023宁夏职教高考）集合用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间的概念表示出来即可. 【详解】根据区间的概念可知，集合用区间表示为. 故选：C. 5．（2022黑龙江对口单招）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解含绝对值的不等式即可得解. 【详解】不等式可转化为，解得或， 所以解集为， 故选：. 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的并集定义计算即可. 【详解】已知 故 . 故选：C 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求集合，然后利用交集的运算可求. 【详解】因为，则， 又集合，则 ； 故选：C. 3．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含绝对值的不等式的解法，集合运算的区间表示即可求解. 【详解】由题意得，，解得， 所以，又， 则. 故选：A. 4．用区间表示集合，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由区间的定义即可求解. 【详解】集合用区间表示为. 故选：B. 5．已知全集为，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间的运算规则求解即可. 【详解】已知全集为，集合， 则，则 ， 故选：A. 6．设全集，则的补集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合补集的运算即可解得. 【详解】由题，全集， 则. 故选：B 7．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的解集可得集合，由补集的运算求出，由交集的运算求出． 【详解】由得或，则或， ， , 故选：B． 8．设，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据即可求解. 【详解】因为，，， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 9．已知集合，集合，则 （用区间表示）． 【答案】 【分析】根据集合的补运算结合区间的表示即可求解。 【详解】因为，集合，所以.   故答案为：. 10．已知全集为R，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据补集的概念运算，并用区间表示即可. 【详解】已知全集为R，集合， 则 故答案为：． 11．全集，，则 ． 【答案】 【分析】根据补集的运算计算即可. 【详解】因为全集，， 所以. 故答案为：. 12．不等式组的解集为 （用区间表示）. 【答案】 【分析】由一元一次不等式的解法即可求解. 【详解】解不等式可得，解不等式可得， 所以不等式组的解集为. 故答案为：. 13．用区间表示下列集合． (1)； (2)不等式的解集． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据集合的区间表示即可求解. （2）根据一元一次不等式的解法结合集合的区间表示即可求解. 【详解】（1）由区间的定义可得，. （2）由得，所以不等式的所有解组成的集合可表示为． 14．已知集合，集合.求.（画数轴） 【答案】答案见解析 【分析】利用集合的运算及区间的表示可求. 【详解】集合，集合. 则， 则， 15．解不等式组，其解集分别用数轴和区间表示 【答案】；数轴见解析 【分析】根据题意，结合一元一次不等式组的解法，及区间的表示，即可求解. 【详解】因为，即， 所以，即，解得， 即不等式组的解集为，用数轴表示如图， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第二章不等式的第1个专题：不等式的基本性质、区间.本专题涵盖不等式的基本性质、区间等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2.1 不等式的基本性质、区间（讲义） 知识点1 不等式的基本性质 1.实数的大小比较 作差法：对于任意实数a，b，都有. 2.不等式的基本性质 性质 文字语言 符号语言 对称性 如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a 传递性 如果a>b，b>c；那么a>c 加法性 不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变 乘法性 不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的数，不等号方向不变 不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的数，不等号方向改变 同向不等式可加性 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d 同向正值不等式可乘性 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd 正值不等式可乘方 如果a>b>0，那么a的n次幂大于b的n次幂（n为正数），a的n次幂小于b的n次幂（n为负数） 1．（2021湖南对口升学）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024湖南模拟）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022湖南一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2023湖南二模）下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 5．（2025湖南株洲模拟）设，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 1．下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．若为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设为实数，且，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．下列不等式与等价的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 7．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 8．下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．已知，则 ．（用“＞”或“＜”填空） 10．如果，则（用“”或“”填空）： （1） ；（2） ； （3） ；（4） 1. 11．若，，则的取值范围为 . 12．比较大小： ．（填“”或“”） 13．已知，求 的取值范围. 14．已知，判断代数式和的大小． 15．比较下列各组中两个实数或代数式的大小： (1)和. (2)和. (3)和. (4)和. 知识点2 区间 1.定义：数轴上两点间的一切实数组成的集合称为区间，其中这两个点称为区间的端点. 2.区间的分类和表示 区间 集合表示 区间符号表示 开区间 闭区间 半开半闭区间 左闭右开区间 左开右闭区间 ] 无限区间 ]或 或 或 注意：（1）实数R可以用表示，符号读作“无穷大”. （2）区间是实数集及其子集的另一种表示形式，区间的左端点必须小于右端点，而且区间只能 表示连续的数集. 1．（2025对口单招）设集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024河北对口升学）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2024山东职教高考）不等式的解集用区间记法为（    ） A． B． C． D． 4．（2023宁夏职教高考）集合用区间表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2022黑龙江对口单招）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．用区间表示集合，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知全集为，集合，则（    ） A． B． C． D． 6．设全集，则的补集是（   ） A． B． C． D． 7．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．设，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，集合，则 （用区间表示）． 10．已知全集为R，集合，则 ． 11．全集，，则 ． 12．不等式组的解集为 （用区间表示）. 13．用区间表示下列集合． (1)； (2)不等式的解集． 14．已知集合，集合.求.（画数轴） 15．解不等式组，其解集分别用数轴和区间表示 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$