专题04 第8章 成对数据统计分析（考点串讲，4大考点&8大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020）

沪教版（2020）高二数学下学期·期末大串讲 专题04 第8章 成对数据统计分析 （4考点&8题型） 沪教版2020 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 清单01 相关系数 （1）样本相关系数 现实生活中的数据，由于度量对象和单位的不同等，数值会有大有小，为了去除这些因素的影响，统计学里一般用来衡量与的线性相关性强弱，我们称为变量和变量的样本相关系数. （2）相关系数的性质 ①当时，称成对样本数据正相关;当时，成对样本数据负相关；当时，成对样本数据间没有线性相关关系. ②样本相关系数的取值范围为 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强; 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 清单02 一元线性回归模型 回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征； 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估计,其中称为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，为截距. 其中 清单03 决定系数 （1）残差平方和 残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差. （2）决定系数 决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力. ，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差. （3）决定系数与相关系数的联系与区别 ①相关系数反映两个变量的相关关系的强弱及正相关或负相关，决定系数反映回归模型的拟合效果. ②在含有一个解释变量的线性模型中，决定系数的数值是相关系数的平方，其变化范围为，而相关系数的变化范围为. ③当相关系数接近于1时，说明两变量的相关性较强，当接近于0时，说明两变量的相关性较弱；而当接近于1时，说明经验回归方程的拟合效果较好. 清单04 独立性检验 (1)独立性检验定义: 利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验． (2)独立性检验公式： 其中（注意使用公式时分子的平方不要忽略了） 【考点题型一】判断正负相关 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）某公司近年来科研费用（单位：万元）与公司所获的利润（单位：万元）之间有如下的统计数据： 2 3 4 5 18 27 32 35 (1)请画出上表数据的散点图； (2)观察散点图，判断与是否具有线性相关关系. 【详解】（1）散点图如下： （2）由图知，所有数据点接近直线排列，因此认为与具有线性相关关系. ， ，， 所以， 所以与的线性相关程度比较高. 【考点题型二】样本相关系数的计算 【例2】（24-25高三·上海·课堂例题）下图是我国2014-2020年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. 由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请求出相关系数，并用相关系数的大小说明与相关性的强弱. 参考数据：，，. 【详解】由折线图中数据和参考数据得， (1)若用一元线性回归模型，求关于的经验回归方程； 【详解】（1）由题意可知， ， ∴关于的线性回归方程是； 【考点题型三】样本相关指数计算 【例3】（2024·重庆涪陵·模拟预测）为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2021年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数. 温度/℃ 21 23 24 27 29 30 死亡数/株 6 11 20 27 57 77 经计算，，，，， ，，，其中，分别为试验数据中的温度和死亡株数，. 则， ∴用比拟合效果更好； (2)若用非线性回归模型求得关于的非线性经验回归方程，且相关指数为. （ⅰ）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好； （2）①用指数回归模型拟合与的关系，相关指数， 线性回归模型拟合与的关系，相关指数， 故预测温度为时该紫甘薯死亡株数约为192株. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该批紫甘薯的死亡株数（结果取整数）. ②中，令， 则， 【详解】， 所以样本点中心为，代入回归方程得:，解得， 所以回归方程为，当时，， 所以残差为:. 故答案为：. 【考点题型四】残差有关计算 【例4】（24-25高三上·上海·单元测试）两个线性相关变量与的统计数据如表： 9 9.5 10 10.5 11 11 10 8 6 5 其回归直线方程是，则相对应于点的残差为 ． 【详解】（1）依题意，，， 所以线性回归方程必过样本中心点. 【考点题型五】一元线性回归模型 【例5】（24-25高三上·上海·课后作业）据不完全统计，某厂的生产原料耗费x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）如下：变量x、y为线性相关关系． x 2 4 6 8 y 20 35 61 80 (1)求线性回归方程必过的点； ， 所以线性回归方程为． (2)求线性回归方程； （2）依题意，，， ， (3)若实际销售额要求不少于121.1百万元，则原材料耗费至少要多少百万元？ （3）由（2）得，，解得， 所以原材料耗费至少要12百万元． 附：①； ②； 【详解】（1）令，则， ， ， 故. 【考点题型六】非线性回归模型 【例6】（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）某企业前8个月月底的盈利金额（万元）与月份之间的关系如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 (1)用模拟与的关系，求出回归方程； 故， 故10月开始超过. (2)根据（1）的结果计算，在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元？ （2）令， 故答案为：. 【考点题型七】独立性检验的基本思想 【例7】（24-25高三·上海·课堂例题）下表是甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的列联表，则的值为 ．（精确到0.001） 不及格（人） 及格（人） 合计（人） 甲班 12 33 45 乙班 9 36 45 合计 21 69 90 【详解】 【详解】（1）由已知得，解得， 补全表中所缺数据如下： 不使用手机 使用手机 合计 学习成绩优秀人数 28 12 40 学习成绩不优秀人数 14 26 40 合计 42 38 80 【考点题型八】独立性检验解决实际问题 【例8】（24-25高三·上海·课堂例题）某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对校内80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍． 不使用手机（人） 使用手机（人） 合计（人） 学习成绩优秀人数 12 学习成绩不优秀人数 26 合计 (1)求表中、的值，并补全表中所缺数据； (2)运用独立性检验思想，判断是否有把握认为中学生使用手机对学习有影响？ （2）根据题意计算， 所以有把握认为中学生使用手机对学习有影响． 故答案为： 1．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知变量和的经验回归直线方程为，则时的观测值为6.5，此时残差为 （注：观测值减去预测值称为残差）. 【答案】 【详解】当时，， 所以时的残差为. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以回归方程为， 所以预测生长期是30天时，植物高度约为厘米. 故答案为：. 1．（2025·上海杨浦·二模）植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 【答案】 由， 由小概率值的独立性检验，零假设不成立， 即认为该学校15至16周岁的30名男生的身高是否偏高与体重是否超重有关，这个判断犯错误的概率不超过0.05. 2．（23-24高二下·上海·期末）某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽取30名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，取显著性水平为，我们可以认为该学校15至16周岁的30名男生的身高是否偏高与体重是否超重 .（填入有关或无关） 身高 体重 超重 不超重 总计 偏高 12 3 15 不偏高 5 10 15 总计 17 13 30 【答案】有关 【详解】零假设为假设该学校15至16周岁的30名男生的身高是否偏高与体重是否超重无关， 3．（24-25高三·上海·随堂练习）春节期间，由于高速免费，车流量逐步增加，某高速口统计了5天中的车流量与空气质量指数的关系，所得数据如下表所示： 车流量x（万辆） 12 12.5 13 13.5 14 空气质量指数y 74 76 78 77 80 (1)在下列网格纸中绘制出散点图； 则． (2)观察散点图的趋势，如果能看成线性关系，请在图中画出一条直线来近似地表示这种关系，并计算车流量与空气质量指数的相关系数． （2）可以看成线性关系，如图所示， 计算得：， ； ， ； $$