专题02 第6章 计数原理（考点串讲，5大考点&15大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020）

沪教版（2020）高二数学下学期·期末大串讲 专题02 第6章 计数原理 （5考点&15题型） 沪教版2020 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 两个计数原理综合  考点透视 清单02 排列数计算  清单03 组合数的计算和性质  考点透视 清单04 二项式定理  清单05 二项式系数（和）  题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 或：（，）. （1）性质1： （2）性质2： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 二项展开式： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ②各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 现将元素往三个集合中放， 有两种放法，放在集合中或者不放在集合中；同，有两种放法. 对于，分两种情况：放在集合中或者不放在集合中. 当放在中时，可以不放在集合与集合中，也可以放在其中一个集合，但不能同时放在集合中，共3种放法；当不放在集合中时，必须放在集合或集合中，共两种放法，故对于，共5种放法. 同，有5种放法，同，有5种放法， 由分步乘法计数原理得，共有种. 【考点题型一】两个计数原理综合 【例1】（24-25高一上·福建莆田·期中）已知集合，且，则集合所有可能的情况有 种. 【答案】500 【详解】设初始状态为： 中元素：，中元素：，为空集. 即，即， 故答案为：5 【考点题型二】排列数，组合数（组合数性质）计算 【例2】（24-25高二下·上海青浦·期中）已知是大于等于3的正整数，且，则的值为 ． 【答案】5 【详解】由得且， 农场主站在中间，且2名女生相邻有种方法， 所以2名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为. 故答案为：528. 【考点题型三】相邻与不相邻问题 【例3】（24-25高二下·上海·期中）某学校组织学生参加劳动实践活动， 其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动， 体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为 ． (用数字作答) 【答案】 【详解】由题意，农场主站在中间有种方法， 故有种分配方法. 故答案为：240 【考点题型四】分组与分配问题 【例4】.（24-25高二下·上海·期中）将5名篮球新秀分配给4支篮球队，要求每支篮球队至少分配到1名新秀，那么不同的分配方法有 种（用数字作答） 【答案】240 【详解】将5名篮球新秀分为4组，再和4支篮球队进行全排列， 若1在百位，则这样的四位数有：个. 根据分类加法计数原理，满足条件的四位数共有：个. （2）用6个数字可以组成个，其中：1在各位的有个，6在千位的有个，1在个位且6在千位的有个，所以满足条件的四位数有：个. 【考点题型五】数字排列问题 【例5】（24-25高二上·上海·假期作业）用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字1不排在个位和千位 (2)数字1不在个位，数字6不在千位． 【详解】（1）第一类：组成的四位数不包含1，这样的四位数有：个； 第二类：组成的四位数包含1，若1在十位，则这样的四位数有：个； 若用四种颜色涂色，则区域1，6，区域2，4，区域3，5中有一组不同色，则有3种情况， 先从四种颜色中取两种涂同色区，有种涂法，剩余两种涂在不同区域，有2种涂法，共有种涂法； 故总的涂色方案有种，故答案为：96． 【考点题型六】涂色问题 【例6】（2025·湖南郴州·三模）如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有 种不同的涂色方案． 【答案】96 【详解】若仅用三种颜色涂色，则区域1，6同色，区域2，4同色，区域3，5同色，共有种涂法； 第二空，先将3女分配到3个乡村，有种， 再将4男分成3组，有种，将有男性甲的一组分配到A乡村有1种，然后将剩余两组分配到其他两个乡村，有种分法， 所以共有种分配方式. 【考点题型七】隔板法 【例7】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）某单位4男3女参加乡村振兴工作，这7人将被派驻到A，B，C 3个乡村进行乡村振兴工作(每个乡村至少派驻1人)．若只考虑3个乡村的名额分配，则有 种不同的名额分配方式；若每个乡村至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A乡村，则有 种不同的派驻方式．(用数字填写答案) 【答案】 15； 72. 【详解】第一空，隔板法，将7个名额排成一排，在除去两端的6个空位中选择2个空位插入隔板，共有种分配方式； . 故选：A. 【考点题型八】二项式定理展开及其逆应用 【例8】（24-25高二下·江苏镇江·期中）的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【答案】A 【详解】由二项式定理得 由，8，三数成等比数列，则 第四项． 故答案为：. 【考点题型九】二项展开式第项 【例9】（24-25高二·全国·课堂例题）设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，8，三数成等比数列，则展开式中的第四项为 ． 【答案】 【详解】当时，可得，二项式系数之和， 所以二项式的展开式的通项为 ， 所以． 【考点题型十】二项式系数（和） 【例10】（24-25高三·上海·随堂练习）已知的二项式展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则展开式中第3项为 ． 【答案】135x 【详解】令，得各项系数之和为，由已知得，所以， 令，得，所以项的系数为． 故答案为：． 【考点题型十一】指定项系数（有理项） 【例11】（2025·上海宝山·二模）的二项展开式中，项的系数为 . 【答案】 【详解】由题意得二项式的展开式的通项公式为 令可得， 令可得， 所以 【考点题型十二】系数和 【例12】（24-25高二下·上海宝山·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为， 令，则第3项的系数为； （2）设第项的系数最大，展开式的通项为， 则 即解得． 因为，所以，所以展开式中的系数最大的项为 【考点题型十三】系数最大（小）项 【例13】（24-25高二下·山西·期中）已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大． (1)求展开式中第3项的系数； (2)求该展开式中系数最大的项． 【详解】（1）只有第4项的二项式系数最大，故的展开式共7项，由题意， 故展开式的通项为， 故含的项的系数为. 故答案为： 【考点题型十四】三项（两个二项式相乘）展开式系数问题 【例14】（2025·湖南长沙·二模）的展开式中含的项的系数为 ； 【详解】因， 所以含的项为， 又由， 所以除以的余数为，所以再过天后是星期三. 故答案为：三 【考点题型十五】二项式定理应用 【例15】（22-23高二下·上海青浦·期中）星期一小明在参加数学期中考试，那么再过天后是星期 （填一、二、三、四、五、六、日） 【答案】 【详解】由题意，可得. 结合分步乘法计数原理可得，不同参赛方案总数是. 1．（24-25高二下·吉林·期中）学校运动会，高二年级某班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、100米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，则不同参赛方案总数是（   ） A．20 B．24 C．30 D．36 【答案】D 【详解】先将四位同学按照分成三组，有种情况， 然后分配到三个项目，有种情况， 故答案为：24. 1．（24-25高二下·上海徐汇·期中）5名篮球队员排成一排，若甲必须站在排头，有 种不同的排法. 【答案】 【详解】因为甲已经站在排头，所以其余4人进行全排列，有种排法， 所以甲必须站在排头，有种24不同的排法. 令，得. 所以常数项为. 故答案为：135. 2．（2025·上海松江·二模）的二项展开式中的常数项为 . 【答案】135 【详解】由题，二项展开式的通项为 . 令，得， 故答案为：. 3．（22-23高二下·上海长宁·期末）已知，则 . 【答案】 【详解】， 等式两边求导得：， 故共有种排法； （3）先排5名男生，有种排法， 然后在5名男生排列的6个空中选2个空插入2名女生，有种排法， 故共有种排法； 4．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期中）5名男生，2名女生，站成一排照相. (1)共有多少种排法？ (2)两名女生不排在队伍两头的排法有多少种？ (3)两名女生不相邻的排法有多少种？ 【详解】（1）由题意有； （2）中间5个位置先排2名女生，有种排法， 然后其余5个位置排剩下的5人，有种排法， . （3）当时，，， 当时，，解得， 于是， 所以，，…，中的最大值为. 5．（24-25高二下·上海普陀·期中）设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求，，…，中的最大值． 【详解】（1）取，得，因此， 所以. （2）当时，由（1）知， 取，得，所以 $$