专题05 用空间向量研究直线、平面的位置关系（4知识点+五大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题05 用空间向量研究直线、平面的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 知识点02：平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: （1）设向量：设平面的法向量为 （2）选向量：选取两不共线向量 （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组：解方程组 （5）赋非零值：取其中一个为非零值（常取) （6）得结论：得到平面的一个法向量. 知识点03：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 知识点04：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【题型01：空间中直线的方向向量】 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 2．（24-25高二上·湖南·月考）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方向向量的定义计算即可. 【详解】由方向向量得，又因为， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二上·山西·月考）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 二、填空题 4．（24-25高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是 . 【答案】(时，均可) 【分析】求出向量符合题意，所有与共线的非零向量均可. 【详解】点，点在直线上， 则直线的一个方向向量为， 时，也都是直线的方向向量. 故答案为：（时，均可） 【题型02：平面的法向量及其求法】 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面的一个法向量为，由法向量的求法可得满足的关系式，即可判断． 【详解】设平面的一个法向量为， ∵， ∴，则， 对比各选项，可知ABD不符合，C符合． 故选：C． 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各个选项进行逐一验证可得答案. 【详解】对于A， ，则 ， 则此点在平面 内，故正确； 对于B， ，则 ， 则此点不在平面 内吗，故错误； 对于C， ，则 ， 则此点不在平面 内，故错误； 对于D， ，则 ， 则此点在不平面 内，故错误. 故选：A. 3．（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 二、填空题 4．（24-25高二上·北京房山·期末）在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一，只需满足即可） 【分析】求出平面的一个法向量的坐标，根据可得出、所满足的关系式，即可得解. 【详解】设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 因为在平面内，则平面，且， ， 故满足条件的一个点的坐标为. 故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）. 三、解答题 5．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【答案】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为(答案不唯一) 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即为直线的一个方向向量，表示即可求出平面的一个法向量. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 6．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【答案】（答案不唯一）. 【分析】首先根据面面垂直的性质可得平面，进而结合等边三角形的性质可得，再建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，从而利用，即可得到答案. 【详解】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以. 综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：    由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为（答案不唯一）. 【题型03：利用空间向量解决平行问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆铜梁·月考）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意可得，结合空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 因为平面，则， 所以，，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知，分别是平面，的法向量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】∵，∴ ∴，即 ∴，解得，∴，故C正确. 故选：C. 3．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面的法向量和直线的方向向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得． 【详解】由为平面的一个法向量，为直线的方向向量，若，则，即充分性成立； 由为平面的一个法向量，为直线的方向向量，若，则或，即必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 二、解答题 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 5．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合，即可证得平面. 【详解】以为原点，分别以所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，， 又因为分别为和的中点，可得， 又由向量为平面的一个法向量，且, 由此可得，又因为直线平面，所以平面. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 【题型04：利用空间向量解决垂直问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．l与斜交 【答案】B 【分析】由两个向量的坐标的关系，可得，判断出直线l与平面的位置关系． 【详解】因为直线l的方向向量为，平面的法向量为， 可得因为，所以， 所以 故选：B. 2．（24-25高二上·北京·月考）已知，分别是平面，的法向量，且，则t的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】两平面垂直等价于两平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为0可得结果. 【详解】∵，∴， ∴，解得. 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，，根据空间向量共线的坐标表示可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为是直线的方向向量，是平面的法向量，且， 则，则，所以，，解得，， 因此，. 故选：D. 4．（2024高二·全国·专题练习）已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），有下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用空间向量法分别判断即可得到答案. 【详解】因为不重合，对①，平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确； 对②，平面垂直等价于平面的法向量垂直，故②正确； 对③，若，故③错误； 对④，或，故④错误． 故选：B． 二、解答题 5．（23-24高二上·广东广州·月考）如图，在正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)求证：平面 【答案】(1)见解析； (2)见解析. 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究空间位置关系即可. 【详解】（1） 如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则，所以， 有； （2）由（1）知，设平面的一个法向量为， 则， 令，即， 又，显然， 故平面. 6．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明、，即可得证. 【详解】如图以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以，则，即， ，则，即， 又，平面， 所以平面． 7．（24-25高二上·山东菏泽·月考）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 【题型05：利用空间向量解决平行、垂直问题中的探索性问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，若分别为棱和上任意一点（不与端点重合），是否存在使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】不存在，理由见解析 【分析】设正方体的棱长为3，求出点、、和的坐标，求出和，求出，求出和，判断是否存在使得. 【详解】设正方体的棱长为3， 则， 则， 则， 则，所以或， 当时，与重合，时，与重合， 故不存在使得. 2．（24-25高二上·广东佛山·月考）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．请用向量方法解决以下问题： (1)证明：直线平面； (2)是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，1. 【分析】（1）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）设点的坐标为，求出平面的法向量，若假设存在，由，即可求解. 【详解】（1）在棱长为2的正方体中，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则， ， 于是， 即，而平面， 所以直线平面. （2）由（1）知，设平面的法向量为， 则，取，得， 假定存在点，使直线平面，设点的坐标为， 则，由，得，解得， 而平面，则平面， 所以存在点，使直线平面，此时. 3．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）面面垂直得到线面垂直，再由线线垂直证明线面垂直； （2）取AD中点，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，设，使得平面，用空间向量建立等量关系，求得的值. 【详解】（1）∵面面，面面， ，面， ∴面， ∵面， ∴， 又，，面，面 ∴面， （2）取中点为，连结， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵面面，面面， 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令. 则 假设存在点使得面， 设，， 又，，，， 有∴ ∵面，为的法向量， ∴，即，得 综上，存在点，即当时，点即为所求. 4．（2024高二·全国·专题练习）如图，直三棱柱中，，，M为棱AB的中点，是的中点. (1)证明：平面； (2)棱AC上是否存在点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用线线平行来证明线面平行即可； （2）利用空间向量坐标运算，把点在面内转化为点与面内另一点的直线向量与法向量垂直，从而利用数量积为0来求解. 【详解】（1） 证明：连接，，由于，，故， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）如图，取中点，连接MQ，由于平面，， 因此平面，又因为，所以， 故MB，MC，MQ两两垂直，以为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，. ，， 设平面的法向量为， 则，即，可取，则， 设，则， 若点在平面内，则， 因此，解得， 故棱AC上存在点，使得点在平面内，此时. 5．（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【分析】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论. （2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论. 【详解】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 6．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的坐标，求得坐标，即可判断. 【详解】由题意得，则，所以为直线的一个方向向量. 故选：B 2．（23-24高二上·贵州贵阳·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由线面平行得直线的方向向量与平面的法向量数量积为. 【详解】由得，， 则. 故选：A.    3．（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若∥，则 B．若∥β，则 C．若⊥，则 D．若∥β，则 【答案】B 【分析】通过分析不同位置情况下的向量的乘积，即可得出结论. 【详解】由题意， 选项A，若共线，，A错误； 选项B，若垂直，则，B正确； 选项C，若共线，，C错误； 选项D，若共线，，D错误． 故选：B． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知在直三棱柱中，，，则平面的一个单位法向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面的法向量为，根据法向量定义列方程可得一个法向量，结合单位向量定义求结论. 【详解】设平面的法向量为， 由已知，又，， 故，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 又为平面的一个单位法向量， 所以或. 故选：D. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，若平面经过点，且是平面的一个法向量.若点为平面内的一点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量定义以及向量垂直的坐标表示可得，联立解方程组即可得结果. 【详解】易知， 依题意，即， 联立，解得， 所以点. 故选：B 6．（23-24高二上·山东·月考）已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据得到，再分类讨论根据求解即可. 【详解】因为，，所以，解得. 当时，， 因为，所以，解得，. 当时，， 因为，所以，解得，. 综上：或. 故选：A 7．（24-25高二上·广东茂名·期中）在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设，求出，利用求出的值，即得比值. 【详解】设，则，， 因平面的一个法向量为，则，即，解得， 故，故=． 故选：B. 8．（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据叉乘公式直接代入计算即可. 【详解】由题意得： ， 则向量即为平面的法向量， 故选：A． 9．（24-25高二上·山东·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，，，若线段与平面交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求解平面法向量得，即可根据共线得，进而根据垂直关系即可求解. 【详解】，，设平面的法向量为， 由，可知，且， 令，则， 所以，为平面的一个法向量， 因为在线段上， 设， 所以， 由可得： 所以，，即，所以， 故选：B. 二、多选题 10．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）已知m，n是两条不同直线，方向向量分别是，；，，是三个不同平面，法向量分别是，，，下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABC 【分析】根据题意，由方向向量以及法向量的定义，逐一分析判断空间线面的位置关系，即可得到结果. 【详解】对于A，若，，可知平面，同时垂直于平面， 但是无法确定平面与平面的位置关系，故A错误； 对于B，若，，可知，，则或，故B错误； 对于C，若，，可知或，或， 但是无法确定m，n的位置关系，故C错误； 对于D，若，，可知，垂直于同一直线的两个平面平行，故D正确； 故选：ABC. 11．（23-24高二下·江苏南京·期中）平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（    ） A．直线AB的一个方向向量为 B．线段AB的长度为3 C．平面α的法向量中 D．向量与向量夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】根据方向向量、向量模长、法向量，向量的数量积运算可逐一判断． 【详解】因为平面经过三点，，， 则，则，故直线的一个方向向量为，故A正确； 线段的长度为，故B错； 又向量是平面的法向量，， 则，解得，则，故C正确； 又,1,， 则向量与向量夹角的余弦值为，故D正确． 故选：ACD． 12．（24-25高二上·安徽安庆·月考）如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（    ）．    A．与不可能平行 B．与始终异面 C．与平面可能垂直 D．与始终垂直 【答案】AD 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】构建如图示的空间直角坐标系，若正方体棱长为1，    则，，，，， 则， 因为点在线段上，令，，则 由∥得. ∴且，故， 而，，， 所以，即，故D正确； 显然在由相交线和所成的平面上， 且与该平面有交点， 故在上移动过程中可能与相交，B错误； 若且，则，不存在这样的值，A正确； 若面，则，显然不存在这样的值，故C错误． 故选：AD 三、解答题 13．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证； （2）先求出平面的法向量，由和平面即可推得平面. 【详解】（1）    如图建立空间直角坐标系， 则， 则，           由，     可得，得证. （2）设平面的法向量为，因，    则，令，可得，                因，故得，         又平面，所以，平面. 14．（23-24高二下·江苏·课后作业）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据正方体的结构特征，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明线线平行，由面面平行的判定定理证明平面平面. 【详解】证明:　如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则有，，， ， ， ， 于是， ，，， 显然有，，所以，， 由，平面，平面，平面， 同理平面， 平面，， 所以平面平面 15．（24-25高二上·四川绵阳·月考）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【详解】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 16．（24-25高二上·全国·假期作业）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    【答案】证明见解析． 【分析】以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得和，结合，即可证得平面； 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    可得，，，则． 设点的坐标为，因为，所以， 即，，， 所以点的坐标为，即． 因为，所以，则． 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 17．（2024高二·全国·专题练习）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．    (1)证明：； (2)若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论； 【答案】(1)证明见解析 (2)点在平面内，证明见解析 【分析】（1）连接、交于，连接，以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，求出，计算出即可. （2）求出、、，即可得到，从而得到、、、四点共面，即可得证. 【详解】（1）连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则， 所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，    则，，， 则，，则， 所以. （2）由（1）知，， ，， 又，得， ，所以， 所以、、、四点共面，即点在平面内． 18．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·月考）如图，在三棱柱中，侧面底面，，，且，为的中点.在上是否存在一点，使得平面？若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置. 【答案】存在，E为BC1的中点 【分析】根据长度关系以及面面垂直可得线线垂直，进而根据空间直角坐标系，由向量法即可求解 【详解】连接，因为，且为的中点，所以， 又平面平面，交线为，且平面， 所以平面. 连接，由，得， 以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可知，，，，所以， 所以、、、、， 则，， 设平面的法向量为,则有即， 令，得，所以. 设，， 由得，所以， 所以，所以, 由平面，得，即得. 所以存在这样的点，且为的中点. 19．（23-24高二上·四川雅安·期中）如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，在的延长线上，且 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据共线求证， （2）根据法向量与直线的方向向量垂直即可求解. 【详解】（1）证明：以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ． 设平面的法向量为， 则取，则，得， 平面． （2）存在点，使得平面，在的延长线上，且． 由题意得， 设，则， 平面，得． 20．（23-24高二下·福建漳州·期末）如图所示的几何体中，平面平面为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点满足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）通过求证，由线面平行的判定定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【详解】（1）四边形是平行四边形， . 平面平面 平面. （2）取的中点为. 平面平面平面，平面平面, 平面. 以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴建立空间直角坐标系，则轴在平面内,    ， ，， . 设平面的法向量为 即 令，则. ， . 又平面的法向量为平面， ∴. ∴在线段上存在点，使平面，且的值是. 21．（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据题意，先由线面垂直的判定定理得到平面，从而得到面面垂直； （2）根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后结合法向量与空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：在中，因， 所以，所以，又， 且，平面，所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）假设存在点，使得平面平面. 取中点为，连接，则， 因为平面平面， 平面平面， 所以平面. 如图所示建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，则， 设是平面的法向量，则，取. 设，其中. 则 连接，因平面平面，平面平面，故取与同向的单位向量. 设是平面的法向量， 则，取. 由平面平面，知，有，解得. 故在侧棱上存在点，使得平面平面. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 用空间向量研究直线、平面的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 知识点02：平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: （1）设向量：设平面的法向量为 （2）选向量：选取两不共线向量 （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组：解方程组 （5）赋非零值：取其中一个为非零值（常取) （6）得结论：得到平面的一个法向量. 知识点03：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 知识点04：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【题型01：空间中直线的方向向量】 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 2．（24-25高二上·湖南·月考）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西·月考）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 4．（24-25高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是 . 【题型02：平面的法向量及其求法】 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高二上·北京房山·期末）在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 三、解答题 5．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 6．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【题型03：利用空间向量解决平行问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆铜梁·月考）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（   ） A． B．5 C． D．1 2．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知，分别是平面，的法向量，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、解答题 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 5．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【题型04：利用空间向量解决垂直问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．l与斜交 2．（24-25高二上·北京·月考）已知，分别是平面，的法向量，且，则t的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024高二·全国·专题练习）已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），有下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、解答题 5．（23-24高二上·广东广州·月考）如图，在正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)求证：平面 6．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 7．（24-25高二上·山东菏泽·月考）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【题型05：利用空间向量解决平行、垂直问题中的探索性问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，若分别为棱和上任意一点（不与端点重合），是否存在使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 2．（24-25高二上·广东佛山·月考）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．请用向量方法解决以下问题： (1)证明：直线平面； (2)是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 3．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 4．（2024高二·全国·专题练习）如图，直三棱柱中，，，M为棱AB的中点，是的中点. (1)证明：平面； (2)棱AC上是否存在点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 5．（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 6．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二上·贵州贵阳·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若∥，则 B．若∥β，则 C．若⊥，则 D．若∥β，则 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知在直三棱柱中，，，则平面的一个单位法向量（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，若平面经过点，且是平面的一个法向量.若点为平面内的一点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东·月考）已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（    ） A．或 B．或 C． D． 7．（24-25高二上·广东茂名·期中）在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（    ）    A． B． C． D．1 8．（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·山东·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，，，若线段与平面交于点，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）已知m，n是两条不同直线，方向向量分别是，；，，是三个不同平面，法向量分别是，，，下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．（23-24高二下·江苏南京·期中）平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（    ） A．直线AB的一个方向向量为 B．线段AB的长度为3 C．平面α的法向量中 D．向量与向量夹角的余弦值为 12．（24-25高二上·安徽安庆·月考）如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（    ）．    A．与不可能平行 B．与始终异面 C．与平面可能垂直 D．与始终垂直 三、解答题 13．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 14．（23-24高二下·江苏·课后作业）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面. 15．（24-25高二上·四川绵阳·月考）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 16．（24-25高二上·全国·假期作业）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    17．（2024高二·全国·专题练习）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．    (1)证明：； (2)若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论； 18．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·月考）如图，在三棱柱中，侧面底面，，，且，为的中点.在上是否存在一点，使得平面？若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置. 19．（23-24高二上·四川雅安·期中）如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 20．（23-24高二下·福建漳州·期末）如图所示的几何体中，平面平面为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点满足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 21．（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$