衔接点03 列方程解应用题-2025年小升初数学无忧衔接（苏科版2024）

衔接点03. 列方程解应用题 学习要求……………………………………………………………………………………………………………..1 知识衔接……………………………………………………………………………………………………………..2 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..3 题型1、找等量关系与列方程 3 题型2、数学文化问题 6 题型3、行程问题 8 题型4、工程问题 13 题型5、年龄问题 16 题型6、数字与日历问题 19 题型7、牛吃草问题 22 题型8、销售问题 25 题型9、分段计费问题 30 基础通关 35 拓展培优 45 小学阶段 初中阶段 小学阶段主要学习简单的列方程解应用题，培养的核心数学素养是学生的运算能力和简单的方程思想。 初中阶段在列方程解应用题方面增加了新的概念，还有了大的延伸，分析数量关系的范围有所扩大（增加了配套、方案等）；解题方面主要要求学生上升到思维习惯的转变、思想方法的转变。培养的核心数学素养是学生的数学运算、数学建模（方程思想）能力、逻辑推理思维和创新思维等。 衔接指引 为了让学生后续方程的学习，可以引导学生思维方式从算术思维逐步向代数思维转变，无疑是中小学数学教学衔接的重要内容。小学解方程，都按四则运算的各部分之间的关系来解，现在（初中）都是按等式的性质解方程。可以肯定的说，用等式的性质解方程，是解方程的正途。加强这一方面的教学，目的就是要有利于学生初中阶段能更好的学习稍复杂的列方程解应用题。 1．列方程解应用题 （1）列方程解应用题的优点。 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题一般步骤。 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点诠释： （1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的关系，找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2．常见的数量关系 1）公式形数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长 2）约定型数量关系 利息问题、利润问题、质量分数问题、比例尺问题、折扣等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量 现价÷原价＝折数 3．分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。 题型1、找等量关系与列方程 【解题技巧】与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。 例1．（24-25六年级上·北京海淀·期末）星光小学篮球队、足球队和田径队的队员人数之间的关系，如下图所示。根据图中信息，同学们列出了四个等量关系，其中正确的（    ）。 ①足球队人数篮球队人数；②足球队人数田径队人数 ③篮球队人数田径队人数；④篮球队人数田径队人数 A．只有①② B．只有③④ C．只有②③④ D．有①②③④ 例2．（23-24六年级上·山东菏泽·期中）看图列式（或方程）。 数量关系式：     方程： 变式1．（2024六年级下·辽宁·专题练习）超市里茄子、芹菜和黄瓜三种蔬菜单价的关系如下图，下面等量关系错误的是（    ）。 A．芹菜单价×3＝黄瓜单价 B．茄子单价－0.8元＝芹菜单价 C．（黄瓜单价－0.8元）÷3＝茄子单价 D．（茄子单价－0.8元）×3＝黄瓜单价 变式2．（2024·云南西双版纳·小升初真题）“妈妈买来600g蓝莓，买来的杨梅比蓝莓多，买来杨梅多少g？”关于下列等量关系正确的是（    ）。 A．蓝莓的重量×＝杨梅的重量 B．蓝莓的重量×（1＋）＝杨梅的重量 C．蓝莓的重量÷＝杨梅的重量 D．蓝莓的重量÷（1－）＝杨梅的重量 变式3．（23-24六年级上·浙江绍兴·期末）动车速度是每小时行230千米，比高速列车速度的多38千米，高速列车每小时行多少千米？（用方程解答） （1）根据题目信息，请你把下面的线段图补画完整。 高速列车： 动车： （2）等量关系： （3）根据等量关系列方程解答。 题型2、数学文化问题 【解题技巧】数学文化类问题主要根据题干中译释找到等量关系解题即可。 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 例1．（24-25六年级下·湖北·期中）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 例2．（2025·河北沧州·一模）《孙子算经》中有一道题，翻译为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？小明在解此题时，设有辆车，列出方程：．小明列此方程的等量关系依据是（   ） A．车辆数量不变 B．乘车的总人数不变 C．每辆车乘车的人数不变 D．剩余的车辆数不变 变式1．（24-25七年级下·山西临汾·期中）《九章算术》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思：用绳子量井深，把绳三折来量，并外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 变式2．（2025·吉林长春·模拟预测）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？解：设甲原来有元，则所列方程为： ． 变式3．（2025·江西·模拟预测）《九章算法比类大全》是明代吴敬撰写的算书，书中载有一首“数学诗”：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，顶尖共有几盏灯？”（注：从塔的底层开始，每层的灯数是上一层灯数的2倍，直到顶层为止）根据诗中大意，则最中间层灯的盏数为 ． 题型3、行程问题 【解题技巧】行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间； Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间； Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 例1．（23-24六年级下·吉林长春·期末）聪聪和慧慧两家相距1500米，他们相约8：50各自从家向对方家的方向出发，9：02在途中相遇。聪聪的速度为65米/分，慧慧的速度是( )米/分。 例2．（2025·四川·小升初模拟）市实验小学学生步行到郊外旅行。六（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，六（2）班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 （1）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？（2）六（1）班出发多长时间，两队相距2千米？ 例3．（24-25六年级下·浙江·期中）一条河中有甲、乙两船，现同时从地顺流航行，乙船到地时接到通知要立即返回到地执行任务，甲船继续颠流航行。已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5千米/时，水流速度为2.5千米/时，、两地间距离为10千米，如果乙船由地经地再到达地共用4小时，请问： （1）甲船顺流航行的速度为多少？（2）乙船从地到达地时甲船驶离地有多远？（提示：有两种情况） 变式1．（2024·浙江杭州·小升初模拟）甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回。在离B地180米处与甲相遇。A、B两地相距（    ）米。 A．900 B．720 C．540 D．1080 变式2．（23-24六年级下·贵州六盘水·期中）一艘轮船所带的燃料最多可支持航行6小时。轮船去时顺风，每小时航行36千米；返回时逆风，每小时航行的路程是去时的。这艘轮船最多航行( )千米就需要返回。 变式3．（2024·河南郑州·小升初真题）如图，甲、乙两人沿着边长为70米的正方形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边 （AB、BC、CD或DA）上。 变式4．（2024·四川绵阳·小升初真题）一列货车从甲地开往乙地，如果按原速度行驶，将不能准时到达乙地，如果把车速提高，可以比原定时间早一小时到达；如果以原速度行驶206千米后，再将速度提高，则可提前40分钟到达，那么甲乙两地间的距离是多少千米？ 题型4、工程问题 【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。 例1．（2024·河南鹤壁·小升初真题）工程队修一段公路，原计划每天修3.2千米，15天完成，实际每天修4千米，可以几天可以修完？ 例2．（2024·四川绵阳·小升初真题）一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍，上午在乙工地工作的人数是甲工地的，下午这批工人中的在乙工地工作，其余的工人在甲工地工作。一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天。这批工人有( )人。（假设上午、下午工作时间相同，每个工人的工作效率相同） 例3．（24-25六年级下·安徽合肥·开学考试）深度相同且都注满水的甲、乙两蓄水池，各有一个排水管，放完甲池中的水需要3小时，放完乙水池的水需要5小时，同时打开两个水池的排水管，经过一段时间后，关闭排水管，甲水池水面高度为乙水池的，从开始排水到关闭水管，共用了多少小时？ 变式1．（24-25六年级下·陕西西安·开学考试）政府决定修建一条海洋隧道，其中一段隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工，甲工程队独立工作20天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作5天，这25天共掘进425米。已知甲工程队平均每天比乙工程队多掘进5米。求甲、乙两个工程队平均每天分别掘进多少米？ 变式2．（23-24六年级下·四川内江·期末）一位工人加工一批零件，如果每小时加工42件，就比计划提前2小时完成；如果每小时加工36件，就比计划推迟3小时完成。这批件一共有多少件？（用方程解答） 变式3．（2024·河南郑州·小升初真题）修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天可以修完这条路？ 题型5、年龄问题 【解题技巧】“年龄差不变”是隐藏在年龄问题中的已知条件，每个年龄问题都是与年龄差发生关系，找出年龄差是解题的关键。 例1．（2023·四川成都·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和70岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，现在三人的年龄各是多少岁？ 例2．（2022·陕西西安·小升初真题）马丁一家人坐火车回家乡。车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄。马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的1.2倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日。”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 变式1．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）父亲对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁；当你像我这么大时，我就79岁啦。”现在父亲的年龄是( )岁。 变式2．（2024六年级下·江苏·专题练习）父亲的年龄是女儿现在的年龄时，女儿刚4岁，当父亲79岁时，女儿的年龄恰好是父亲现在的年龄，则父亲现在的年龄是( )岁。 变式3．（2025六年级下·广东·专题练习）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁。当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁。现在哥哥的年龄是几岁？ 题型6、数字与日历问题 【解题技巧】已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 例1．（2024·河南郑州·小升初真题）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位和个位上的数交换位置后，新数比原数大18，则原数的个位数与十位数的和为（    ）。 A．8 B．10 C．12 D．21 例2．（24-25六年级下·重庆渝中·期末）如图，是某月的月历。 （1）带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ （2）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由。 （3）在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 变式1．（2024·广东江门·七年级期中）我国古代的“九宫格”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有不同的数，每一行每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图，给出了“九宫格”的一部分，则阴影部分的数值是______． 变式2．（2024·北京模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则______． 变式3．（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： 图1                                                      图2 （1）请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； （2）圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由。 题型7、牛吃草问题 【解题技巧】解题关键在于理解草的生长和消耗之间的平衡关系，通过设定和计算，找出不变的量（如原有的草量和每天新长的草量），进而解决问题。这类问题不仅考验数学计算能力，也锻炼了逻辑思维和问题解决能力。 例1．（2024·湖南岳阳·小升初真题）牧场上的青草每天匀速生长。这片牧草可供24头牛吃6周或20头牛吃10周。那么，可供19头牛吃( )周。 例2．（2022·河南郑州·小升初真题）某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始后平均每分钟有10人来排队等候检票。一个检票口每分钟平均能让25人检票进站。如果只开一个检票口，那么检票开始8分钟后就可以无人排队；如果开两个检票口，那么开始检票 分钟后就暂时无人排队了。 例3．（2024六年级·广东·培优）有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干，若用5台抽水机40小时可以抽完，若用10台抽水机15小时可以抽完。现在用14台抽水机，多少小时可以把水抽完（    ）。 A．10小时 B．9小时 C．8小时 D．7小时 变式1．（2024六年级下·浙江·培优）甲、乙两个水池同时以相同的速度向外排水（匀速），甲池3小时可以排完，乙池2小时可以排完。开始排水 小时后，甲池的水量是乙池的8倍。 变式2．（2024六年级·重庆·培优）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走35级台阶，女孩每分钟走22级台阶。男孩用了3分钟到达楼上，女孩用了4分钟到达楼上。这个自动扶梯共有 级台阶露在外面。 题型8、销售问题 【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 例1．（24-25六年级下·江苏南通·期中）某超市需要购进甲、乙两种商品共160件。其进价和售价如下表，该超市计划售完这批商品获利1200元。（1）售出一件甲商品获利（    ）元；售出一件乙商品获利（    ）元。 （2）甲、乙两种商品应分别购进多少件？ 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 例2．（2024·河北邢台·小升初真题）王阿姨自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装，为了缓解压力，王阿姨决定打折促销。若每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元，每件衣服的标价是多少元？要保证不亏，最多能打几折？ 例3．（23-24六年级下·河南郑州·期末）甲、乙两个超市在元旦期间分别推出如下促销方式： 甲超市 乙超市 全场商品一律优惠15%。 购物不超过200元，不优惠； 购物超过200元而不超过500元，一律九折； 购物超过500元，其中的500元优惠10%，超过的部分打七五折。 已知两家超市相同商品的标价都一样。 （1）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实际付款相同？ （2）李叔叔在乙超市购物实际付款480元。试问李叔叔的选择划算吗？试着说明你的理由。 变式1．（2024·四川绵阳·小升初真题）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件。”商店经理算了下，若减价5%，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的成本是多少元？ 变式2．（2024·河南周口·小升初真题）某市两超市在元旦期间分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠； 乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样。 （1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ （2）某顾客在乙超市购物实付款482元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由。 变式3．（2025·浙江杭州·小升初模拟）随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场，一水果经销商购进了A，B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲，乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表： A种水果/箱 B种水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 有两种配货方案（整箱配货）： 方案一：甲，乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱； 方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店几箱，乙店几箱？B种水果甲店几箱，乙店几箱？ （1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元；（2）请你将方案二补充完整，写出所有结果，并将你填写的方案二与方案一做比较，得出哪一种方案盈利较多。 题型9、分段计费问题 【解题技巧】此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等 例1．（2024六年级下·广东·专题练习）某保险公司的医疗保险方案针对住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表。某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费是多少元？ 住院医疗费（元） 报销率（%） 不超过500元的部分 0 超过500不超过1000元的部分 60 超过1000不超过3000元的部分 70 …… 例2．（2025六年级下·广东·专题练习）重庆市电价阶梯式收费标准如下表。 分档 用户年用电量（千瓦时） 电费价格（元/千瓦时） 第一档 0～2400（含） 0.52 第二档 2401～4800（含） 0.57 第三档 4801以上 0.82 （1）李阿姨家七月和八月的阶梯电量使用情况如图。李阿姨家八月应付电费多少元？ （2）2023年5月13日，重庆市发展改革委印发了《关于建立居民分时电价机制的通知》，2023年6月1日起，“一户一表”城乡居民用户和居民充电设施用户自愿选择是否执行（分时电价如图）。已经有阶梯电价为什么还要建立分时电价呢？ 变式1．（24-25六年级下·江苏·课后作业）欣欣的妈妈旅游前准备给手机充足话费。电信公司新推出两种不同的电话卡“知心宝”与“畅聊行”，通话时间与收费情况如图。 （1）“知心宝”每分钟收费（    ）元，欣欣的妈妈用“知心宝”通话100分钟，应付话费（    ）元。 （2）图中的a等于（    ），如果欣欣的妈妈用“畅聊行”通话100分钟，应付话费（    ）元。 （3）这两种电话卡，通话多少分钟时应付的话费相同？ （4）你推荐欣欣的妈妈购买哪种电话卡？写出你的推荐理由。 变式2．（2025六年级下·重庆·培优）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择。某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见表（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/时）。 TAXI（出租车）起步价：14元 超公里费：不足3公里按3公里计，超过3公里2.4元/公里 滴滴快车 起步价：12元 里程费：2.5元/公里 时长费：0.4元/分钟 神州专车 起步价：10元 里程费：2.8元/公里 时长费：0.5元/分钟 （1）如果乘坐这三种网约车的里程数都是10公里，他们的费用分别是多少元？ （2）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （3）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车从甲地到丙地，结果到达目的地时收费相同，求甲、丙两地间的里程数。 1．（24-25六年级上·北京·期末）以下等量关系中，不能在如图中找到的是（    ）。 A．松树的棵数×＝桦树的棵数 B．柏树的棵数÷＝桦树的棵数 C．松树的棵数×＝柏树的棵数 D．柏树的棵数÷÷＝200棵 2.（24-25六年级上·吉林长春·期末）一家商店以进价提高40%的价格标价一种商品，然后以八折优惠卖出，结果每件商品仍获利15元。这种商品的进价是多少元？（    ） A．150元 B．125元 C．175元 D．100元 3．（23-24六年级下·贵州六盘水·期中）某手工工厂加工一批手工画，每天加工20幅，15天可以完成任务。实际4天加工了100幅，照这样的工作效率，多少天可以完成这批任务？用比例解答，设x天可以完成任务，下面比例式正确的是（    ）。 A．（20×15）∶x＝100∶4 B．100∶4＝x∶（20×15） C．100∶4＝15∶x D．100∶4＝20∶x 4．（2024·河南周口·小升初真题）甲组有33个人，乙组有27个人，从乙组调若干人到甲组后，甲组的人数恰好是乙组的3倍，变化后乙组有（    ）个人。 A．10 B．15 C．18 D．20 5．（2024·浙江温州·小升初真题）下面不能用方程表示的是（    ）。 A．B．C．D． 6．（2024·湖南岳阳·小升初真题）某班男女生之比为3∶2，如果发给男生2支铅笔，女生3支铅笔，一共发了108支铅笔，该班有（    ）名学生。 A．54 B．45 C．48 D．42 7．（24-25七年级下·河北保定·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设井深为尺，所列方程为 B．设绳子的长为尺，所列方程为 C．绳子的长是32尺 D．井深8尺 8．（2024·四川成都·小升初真题）某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个，应分配( )人生产螺栓，( )人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套。（每个螺栓配两个螺帽） 9．（2024·河南周口·小升初真题）一列火车现在以120千米/时的速度从A地前往B地，原来的速度是现在速度的，现在全程所用时间比原来少用4小时，则A，B两地的全程为 ( )千米。 10．（2024·山东德州·小升初真题）张叔叔运送了250件瓷器，规定完整运一个到目的地可以得到运送费20元，损坏一个赔偿100元，运完这批瓷器张叔叔共得到运费4160元，张叔叔在运输过程中，完整运送了( )件瓷器，损坏了( )件瓷器。 11．（2025六年级·广东·培优）甲、乙两人共存款100元。如果甲取出，乙取出，两人存款还剩60元。甲、乙二人原来各有存款多少元？ 12．（2025六年级下·江苏·培优）12月30日光明小学组织了“迎元旦知识竞赛”，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答。如表记录了三位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 （1）这次竞赛中答对一题得（    ）分；（2）参赛学生小红得分为70分，求她答对了几道题？ （3）参赛学生小明说他的得分为60分，你认为可能吗？请说明理由。 13．（24-25六年级下·江苏宿迁·期中）小张和小李沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是2000米，小张骑自行车、小李步行，当小张从原路回到学校时，小李刚好到达图书馆。图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离学校的距离与所经过的时间之间的关系，请根据图像回答下面的问题：（1）（    ）离学校的距离与经过的时间成正比例；（2）小张在图书馆查阅资料的时间为（    ）分钟，小李的速度是（    ）米/分；（3）经过多少分钟，小张和小李迎面相遇？ 14．（2024·山东德州·小升初真题）滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式。 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟。 （1）李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ （2）6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 15．（2024·福建·七年级期中）某社区超市第一次用6000元购进一批甲乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，两件商品的进价和售价如下图所示： (1)超市购进的这批货中甲乙两种商品各有多少件？ (2)该超市第二次分别以第一次同样的进价购进第二批甲乙两种商品，其中乙商品的件数是第一批乙商品件数的3倍，甲商品件数不变，甲商品按照原售价销售，乙商品在原价的基础上打折销售，第二批商品全部售出后获得的总利润比第一批获得的总利润多720元，求第二批乙商品在原价基础上打几折销售？ 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 1．（2024·山东·七年级期中）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表： 行驶里程 计费方法 不超过3公里 起步价8元 超过3公里且不超过7公里的部分 每公里按标准租费收费 超过7公里且不超过25公里的部分 每公里再加收标准租费的50% 超过25公里且不超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的75% 超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的100% 说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算； 行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里． 若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（       ） A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里 2．（2024·河南·七年级期中）将连续的奇数1、3、5、7、9、11等，按一定规律排成如图：图中的T字框框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（       ） A．34 B．62 C．118 D．158 3．（2023·四川成都·小升初真题）由3千克甲糖和2千克乙糖配成的什锦糖，比由2千克甲糖和3千克乙糖配成的什锦糖，每千克贵5元，那么每千克甲糖比每千克乙糖贵( )元。 4．（2024·浙江金华·小升初真题）光明小学少先队辅导员王老师和章老师带领94名少先队员代表参观纪念馆，需乘车出行。了解到租车公司有以下两种车：大车限乘36人，小车限乘24人。租车后，辅导员和少先队员正好坐满位置（租了两种类型的车）。他们租了( )辆大车，( )辆小车。 5．（2024·四川成都·小升初真题）甲、乙两管同时打开，10分钟就能注满水池。现在先打开甲管，9分钟后再打开乙管，再过4分钟就注满了水池。已知甲管比乙管每分钟多注入立方米的水，那么这个水池的容积是( )立方米。 6．（24-25六年级上·四川达州·期中）甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行。相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1千米，如果第一次相遇到第二次相遇时间相隔1小时20分，则河水的流速为每小时 千米。 7．（2024·四川绵阳·小升初真题）浓度为20%、18%、16%的三种盐水，混合后得到100克18.8%的盐水，如果18%的盐水比16%的盐水多30克，问每种盐水多少克？ 8．（24-25六年级上·广东江门·期中）2022年的某一天，光明学校的两位老师杨老师和刘老师进行体能训练。跑道为一个椭圆形状，他们同时从同地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，刘老师的速度是杨老师的三分之二，杨老师跑第二圈时速度比第一圈提高了三分之一，刘老师跑第二圈时速度提高了五分之一，已知杨老师、刘老师第二次相遇点距第一次190米，那么你知道这条椭圆形跑道长多少米吗？ 9．（23-24六年级上·福建莆田·期末）周末，小希一家自驾从莆田经过福州去太姥山旅游。 （1）小希一家从莆田出发，以100千米/时的速度，行驶了1小时，到达福州市，这时已行的路程比未行路程的少20千米。如果以同样的速度继续前行再行多少小时能到达太姥山？（2）到达太姥山，景区广场有个用鹅卵石铺成的心形图案，小希和弟弟从A点开始沿着这心形的边相背而行，在距离B点12米处的C点相遇，相遇时弟弟走的路程是小希的，这个心形鹅卵石道的周长是多少米？ 10．（2024·四川·小升初模拟）市实验小学学生步行到郊外旅行。六（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，六（2）班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 （1）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？（2）六（1）班出发多长时间，两队相距2千米？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点03. 列方程解应用题 学习要求……………………………………………………………………………………………………………..1 知识衔接……………………………………………………………………………………………………………..2 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..3 题型1、找等量关系与列方程 3 题型2、数学文化问题 6 题型3、行程问题 8 题型4、工程问题 13 题型5、年龄问题 16 题型6、数字与日历问题 19 题型7、牛吃草问题 22 题型8、销售问题 25 题型9、分段计费问题 30 基础通关 35 拓展培优 45 小学阶段 初中阶段 小学阶段主要学习简单的列方程解应用题，培养的核心数学素养是学生的运算能力和简单的方程思想。 初中阶段在列方程解应用题方面增加了新的概念，还有了大的延伸，分析数量关系的范围有所扩大（增加了配套、方案等）；解题方面主要要求学生上升到思维习惯的转变、思想方法的转变。培养的核心数学素养是学生的数学运算、数学建模（方程思想）能力、逻辑推理思维和创新思维等。 衔接指引 为了让学生后续方程的学习，可以引导学生思维方式从算术思维逐步向代数思维转变，无疑是中小学数学教学衔接的重要内容。小学解方程，都按四则运算的各部分之间的关系来解，现在（初中）都是按等式的性质解方程。可以肯定的说，用等式的性质解方程，是解方程的正途。加强这一方面的教学，目的就是要有利于学生初中阶段能更好的学习稍复杂的列方程解应用题。 1．列方程解应用题 （1）列方程解应用题的优点。 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题一般步骤。 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点诠释： （1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的关系，找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2．常见的数量关系 1）公式形数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长 2）约定型数量关系 利息问题、利润问题、质量分数问题、比例尺问题、折扣等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量 现价÷原价＝折数 3．分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。 题型1、找等量关系与列方程 【解题技巧】与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。 例1．（24-25六年级上·北京海淀·期末）星光小学篮球队、足球队和田径队的队员人数之间的关系，如下图所示。根据图中信息，同学们列出了四个等量关系，其中正确的（    ）。 ①足球队人数篮球队人数；②足球队人数田径队人数 ③篮球队人数田径队人数；④篮球队人数田径队人数 A．只有①② B．只有③④ C．只有②③④ D．有①②③④ 【答案】C 【详解】①＝，田径队人数是篮球队人数的，足球队人数田径队人数，原等量关系错误； ②足球队人数田径队人数，等量关系正确； ③篮球队人数田径队人数，等量关系正确； ④篮球队人数田径队人数，等量关系正确。 其中正确的只有②③④。故答案为：C 例2．（23-24六年级上·山东菏泽·期中）看图列式（或方程）。 数量关系式：     方程： 【答案】 男生人数×（1—）＝女生人数 （1—）＝30 【详解】（1—）＝30 解：＝30 ＝30÷ ＝30× ＝40 男生有40人。 填空如下： 数量关系式：男生人数×（1—）＝女生人数 方程：（1—）＝30 变式1．（2024六年级下·辽宁·专题练习）超市里茄子、芹菜和黄瓜三种蔬菜单价的关系如下图，下面等量关系错误的是（    ）。 A．芹菜单价×3＝黄瓜单价 B．茄子单价－0.8元＝芹菜单价 C．（黄瓜单价－0.8元）÷3＝茄子单价 D．（茄子单价－0.8元）×3＝黄瓜单价 【答案】C 【详解】A．黄瓜的单价＝芹菜的单价×3，等量关系正确； B．芹菜的单价＝茄子的单价－0.8元，等量关系正确； C．黄瓜的单价÷3＝茄子的单价－0.8元，等量关系错误； D．黄瓜的单价＝（茄子的单价－0.8元）×3，等量关系正确。故答案为：C 变式2．（2024·云南西双版纳·小升初真题）“妈妈买来600g蓝莓，买来的杨梅比蓝莓多，买来杨梅多少g？”关于下列等量关系正确的是（    ）。 A．蓝莓的重量×＝杨梅的重量 B．蓝莓的重量×（1＋）＝杨梅的重量 C．蓝莓的重量÷＝杨梅的重量 D．蓝莓的重量÷（1－）＝杨梅的重量 【答案】B 【详解】根据题意可得出等量关系： 蓝莓的重量×＝杨梅比蓝莓多的重量；蓝莓的重量×（1＋）＝杨梅的重量； 所以，四个选项中等量关系正确的是：蓝莓的重量×（1＋）＝杨梅的重量。故答案为：B 变式3．（23-24六年级上·浙江绍兴·期末）动车速度是每小时行230千米，比高速列车速度的多38千米，高速列车每小时行多少千米？（用方程解答） （1）根据题目信息，请你把下面的线段图补画完整。 高速列车： 动车： （2）等量关系： （3）根据等量关系列方程解答。 【答案】（1）见详解（2）高速列车的速度×＋38＝动车的速度（3）320千米/时 【详解】（1）据分析作图如下： （2）等量关系：高速列车的速度×＋38＝动车的速度 （3）解：设高速列车每小时行千米。 答：高速列车每小时行320千米。 题型2、数学文化问题 【解题技巧】数学文化类问题主要根据题干中译释找到等量关系解题即可。 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 例1．（24-25六年级下·湖北·期中）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设快马x天可追上慢马，由题意得故选：C． 例2．（2025·河北沧州·一模）《孙子算经》中有一道题，翻译为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？小明在解此题时，设有辆车，列出方程：．小明列此方程的等量关系依据是（   ） A．车辆数量不变 B．乘车的总人数不变 C．每辆车乘车的人数不变 D．剩余的车辆数不变 【答案】B 【详解】解：设有辆车，根据“若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车”可得乘车的总人数为； 根据“若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘”可得乘车的总人数为． 再根据乘车的总人数不变列出方程．故选：B． 变式1．（24-25七年级下·山西临汾·期中）《九章算术》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思：用绳子量井深，把绳三折来量，并外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设井深为尺，根据题意，得．故选：D 变式2．（2025·吉林长春·模拟预测）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？解：设甲原来有元，则所列方程为： ． 【答案】 【详解】解：设甲有钱x枚，则乙有钱枚， 由题意得：，即．故答案为：． 变式3．（2025·江西·模拟预测）《九章算法比类大全》是明代吴敬撰写的算书，书中载有一首“数学诗”：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，顶尖共有几盏灯？”（注：从塔的底层开始，每层的灯数是上一层灯数的2倍，直到顶层为止）根据诗中大意，则最中间层灯的盏数为 ． 【答案】24 【详解】解：设顶层的灯有x盏，由题意，得．解得． ∴塔的顶层有3盏灯．故最中间层灯的盏数为24．故答案为：24． 题型3、行程问题 【解题技巧】行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间； Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间； Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 例1．（23-24六年级下·吉林长春·期末）聪聪和慧慧两家相距1500米，他们相约8：50各自从家向对方家的方向出发，9：02在途中相遇。聪聪的速度为65米/分，慧慧的速度是( )米/分。 【答案】60 【详解】解：设慧慧的速度是x米/分。 9：02－8：50＝12（分） 12x＋65×12＝1500 12x＋780＝1500 12x＋780－780＝1500－780 12x＝720 12x÷12＝720÷12 x＝60 因此，慧慧的速度是60米/分。 例2．（2025·四川·小升初模拟）市实验小学学生步行到郊外旅行。六（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，六（2）班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 （1）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？ （2）六（1）班出发多长时间，两队相距2千米？ 【答案】（1）24千米（2）六（1）班出发0.5小时、2小时、4小时，两队相距2千米。 【详解】（1）解：设后队出发x小时后追赶上前队， 6x＝4＋4x 6x－4x＝4＋4x－4x 2x＝4 2x÷2＝4÷2 x＝2 12×2＝24（千米） 答：后队追上前队的时间内，联络员走的路程是24千米。 （2）分三种情况 ①后队未出发前队出发走了2千米，用的时间是2÷4＝0.5（小时） 即六（1）班出发0.5小时，两队相距2千米； ②后队出发还未追及上前队，设后队需y小时两队相距2千米 （6－4）y＝2 2y＝2 2y÷2＝2÷2 y＝1 1＋1＝2（小时） 即六（1）班出发2小时，两队再次相距2千米； ③后队与前队相遇之后，设前队再需z小时，两队相距2千米， （6－4）z＝2 2z＝2 2z÷2＝2÷2 z＝1 1＋2＋1＝4（小时） 即六（1）班出发4小时，两队第三次相距2千米。 答：六（1）班出发0.5小时、2小时、4小时，两队相距2千米。 【点睛】本题考查追及问题，速度差×追及时间＝路程差，以及分情况讨论问题的解题方法。 例3．（24-25六年级下·浙江·期中）一条河中有甲、乙两船，现同时从地顺流航行，乙船到地时接到通知要立即返回到地执行任务，甲船继续颠流航行。已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5千米/时，水流速度为2.5千米/时，、两地间距离为10千米，如果乙船由地经地再到达地共用4小时，请问： （1）甲船顺流航行的速度为多少？ （2）乙船从地到达地时甲船驶离地有多远？（温馨提示：有两种情况） 【答案】（1）10千米/时（2）20km或km； 【详解】（1）7.5＋2.5＝10（千米/时） 答：甲船顺流航行的速度为10千米/时。 （2）设设乙船由B地返航到C地用x小时。 当C地在AB两地之间： （7.5＋2.5）×（4－x）－（7.5－2.5）x＝10 40－10x－5x＝10 15x＝30 x＝2 （7.5＋2.5）×2 ＝10×2 ＝20（km） 当C地在BA的延长线上时： （7.5－2.5）x－（4－x）（7.5＋2.5）＝10 5x－40＋10x＝10 15x＝50 x＝ （7.5＋2.5）× ＝10× ＝ （km） 答：乙船从地到达地时甲船驶离地有20km或km。 变式1．（2024·浙江杭州·小升初模拟）甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回。在离B地180米处与甲相遇。A、B两地相距（    ）米。 A．900 B．720 C．540 D．1080 【答案】A 【详解】解：设两人x分钟后相遇。 （90－60）x＝180×2 30x＝180×2 30x÷30＝180×2÷30 x＝12 12×（90＋60）÷2 ＝12×150÷2 ＝1800÷2 ＝900（米） 故答案为：A 变式2．（23-24六年级下·贵州六盘水·期中）一艘轮船所带的燃料最多可支持航行6小时。轮船去时顺风，每小时航行36千米；返回时逆风，每小时航行的路程是去时的。这艘轮船最多航行( )千米就需要返回。 【答案】86.4 【详解】36×＝24（千米/时） 解：设最多航行x小时就需要返航，则返航的时间是（6－x）小时。 36x＝24×（6－x） 36x＝144－24x 36x＋24x＝144 60x＝144 x＝144÷60 x＝2.4 2.4×36＝86.4（千米） 一艘轮船所带的燃料最多可支持航行6小时。轮船去时顺风，每小时航行36千米；返回时逆风，每小时航行的路程是去时的。这艘轮船最多航行86.4千米就需要返回。 变式3．（2024·河南郑州·小升初真题）如图，甲、乙两人沿着边长为70米的正方形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边 （AB、BC、CD或DA）上。 【答案】DA 【详解】解：设乙第一次追上甲用了x分钟。 72x＝65x＋70×3 72x－65x＝65x＋210－65x 7x＝210 7x÷7＝210÷7 x＝30 65×30＝1950（米） （米） 1950÷280＝6（圈）……270（米） AB的距离是70米，AB与BC的和是（米），AB、BC与CD的和是（米） 所以，乙第一次追上甲是在DA边上。 变式4．（2024·四川绵阳·小升初真题）一列货车从甲地开往乙地，如果按原速度行驶，将不能准时到达乙地，如果把车速提高，可以比原定时间早一小时到达；如果以原速度行驶206千米后，再将速度提高，则可提前40分钟到达，那么甲乙两地间的距离是多少千米？ 【答案】463.5千米 【详解】把车速提高，速度变为原来的：1＋＝ 用的时间变为原来的： 原来行驶的时间是：1÷（1－）＝1÷＝1×6＝6（小时） 40分钟＝小时 解：设原来的车速是每小时千米。 77.25×6＝463.5（千米） 答：甲乙两地间的距离是463.5千米。 题型4、工程问题 【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。 例1．（2024·河南鹤壁·小升初真题）工程队修一段公路，原计划每天修3.2千米，15天完成，实际每天修4千米，可以几天可以修完？ 【答案】12天 【详解】解：设实际天可以修完。 答：实际12天可以修完。 例2．（2024·四川绵阳·小升初真题）一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍，上午在乙工地工作的人数是甲工地的，下午这批工人中的在乙工地工作，其余的工人在甲工地工作。一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天。这批工人有( )人。（假设上午、下午工作时间相同，每个工人的工作效率相同） 【答案】36 【详解】假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1。 解：设这批工人有人。 ＋（1－）＝（＋＋4×2）×1.5 ＋＝（＋＋8）×1.5 ＝（＋8）×1.5 ＝×1.5＋8×1.5 ＝＋12 －＝12 ＝12 ＝12÷ ＝12×3 ＝36 这批工人共有36人。 例3．（24-25六年级下·安徽合肥·开学考试）深度相同且都注满水的甲、乙两蓄水池，各有一个排水管，放完甲池中的水需要3小时，放完乙水池的水需要5小时，同时打开两个水池的排水管，经过一段时间后，关闭排水管，甲水池水面高度为乙水池的，从开始排水到关闭水管，共用了多少小时？ 【答案】2.5小时 【详解】解：设从开始排水到关闭水管已用了x小时， 1－x＝（1－x） 1－x＝－x 1－x＋x＝－x＋x 1＝＋x 1－＝＋x－ x＝ x÷＝÷ x＝× x＝2.5 答：从开始排水到关闭水管共用了2.5小时。 变式1．（24-25六年级下·陕西西安·开学考试）政府决定修建一条海洋隧道，其中一段隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工，甲工程队独立工作20天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作5天，这25天共掘进425米。已知甲工程队平均每天比乙工程队多掘进5米。求甲、乙两个工程队平均每天分别掘进多少米？ 【答案】甲工程队15米；乙工程队10米 【详解】解：设乙工程队平均每天掘进米，则甲工程队平均每天掘进米。 10＋5＝15（米） 答：甲工程队平均每天分别掘进15米，乙工程队平均每天分别掘进10米。 变式2．（23-24六年级下·四川内江·期末）一位工人加工一批零件，如果每小时加工42件，就比计划提前2小时完成；如果每小时加工36件，就比计划推迟3小时完成。这批件一共有多少件？（用方程解答） 【答案】1260件 【详解】解：设计划用x小时加工完这批零件。 42（x－2）＝36（x＋3） 42x－84＝36x＋108 6x＝192 x＝192÷6 x＝32 42×（32－2）＝42×30＝1260（件） 答：这批多件一共有1260件。 变式3．（2024·河南郑州·小升初真题）修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天可以修完这条路？ 【答案】20天 【详解】甲、乙两队合作的工作效率为：1÷12＝ 解：设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为－x。 8x＋（－x）×3＝ 8x＋－3x＝ 5x＋＝ 5x＋－＝－ 5x＝－ 5x＝ ×5x＝× x＝ 1÷（－）＝1÷（－）＝1÷＝1×20＝20（天） 答：乙队20天可以修完这条路。 题型5、年龄问题 【解题技巧】“年龄差不变”是隐藏在年龄问题中的已知条件，每个年龄问题都是与年龄差发生关系，找出年龄差是解题的关键。 例1．（2023·四川成都·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和70岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，现在三人的年龄各是多少岁？ 【答案】妹妹12岁、哥哥16岁、爸爸42岁 【详解】解：设当妹妹9岁时，哥哥x岁，爸爸3x岁。 3×13＝39（岁） 9＋13＋39＝61（岁） （70－61）÷3＝9÷3＝3（岁） 妹妹：9＋3＝12（岁） 哥哥：13＋3＝16（岁） 爸爸：39＋3＝42（岁） 答：现在妹妹12岁，哥哥16岁，爸爸42岁。 例2．（2022·陕西西安·小升初真题）马丁一家人坐火车回家乡。车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄。马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的1.2倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日。”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 【答案】30岁 【详解】解：设马丁的女儿岁，则儿子岁，马丁妻子岁，马丁岁。 马丁的年龄：（岁） 答：马丁30岁。 变式1．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）父亲对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁；当你像我这么大时，我就79岁啦。”现在父亲的年龄是( )岁。 【答案】54 【详解】设父亲与儿子的年龄差为x岁，则儿子现在的年龄为（x＋4）岁，父亲现在的年龄为（79－x）岁。 x＋4＋x＝79－x 2x＋4＝79－x 2x＋4－4＋x＝79－x＋x－4 3x＝75 3x÷3＝75÷3 x＝25 则父亲现在的年龄为：79－25＝54（岁） 父亲对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁；当你像我这么大时，我就79岁啦。”现在父亲的年龄是54岁。 变式2．（2024六年级下·江苏·专题练习）父亲的年龄是女儿现在的年龄时，女儿刚4岁，当父亲79岁时，女儿的年龄恰好是父亲现在的年龄，则父亲现在的年龄是( )岁。 【答案】54 分析： 【详解】解：设女儿现在的年龄是x岁。 x＋2（x－4）＝79 x＋2x－8＝79 3x＝87 x＝29 29－4＋29＝54（岁） 变式3．（2025六年级下·广东·专题练习）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁。当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁。现在哥哥的年龄是几岁？ 【答案】14岁 【详解】解：设哥哥年龄是x岁，那么爸爸是3x岁。 3x－x＝34－2×（x－9） 2x＝34－2x＋18 4x＝52 x＝52÷4 x＝13 哥哥与妹妹年龄差为：13－9＝4（岁） 此时爸爸年龄为：13×3＝39（岁） 爸爸与哥哥的年龄差为：39－13＝26（岁） 64－26＋4＝38＋4＝42（岁）现在哥哥年龄：42÷3＝14（岁） 答：现在哥哥14岁。 题型6、数字与日历问题 【解题技巧】已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 例1．（2024·河南郑州·小升初真题）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位和个位上的数交换位置后，新数比原数大18，则原数的个位数与十位数的和为（    ）。 A．8 B．10 C．12 D．21 【答案】B 【详解】解：设个位数字为x。 10x＋x－（10×x＋x）＝18 x＋x－（x＋x）＝18 x－x－（x－x）＝18 x－x＝18 3x＝18 3x÷3＝18÷3 x＝6 6×＝4 6＋4＝10 所以原数的个位数与十位数的和为10。故答案为：B 例2．（24-25六年级下·重庆渝中·期末）如图，是某月的月历。 （1）带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ （2）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由。 （3）在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 【答案】（1）5倍（2）都成立；理由见详解（3）不能 【详解】（1）9＋15＋16＋17＋23＝80 80÷16＝5 答：带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍。 （2）假设中间数为x。 （x－1）＋x＋（x＋1）＋（x－7）＋（x＋7） ＝ x－1＋ x ＋ x＋1＋ x－7＋ x＋7 ＝5x 5x÷x＝5 答：这个结论对于任何一个月的月历都成立。 （3）解：设中间数为x。 5x＝100 5x÷5＝100÷5 x＝20 答：在该月历上，20是最后一列上的数，不能成为十字框中间的数。 变式1．（2024·广东江门·七年级期中）我国古代的“九宫格”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有不同的数，每一行每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图，给出了“九宫格”的一部分，则阴影部分的数值是______． 【答案】9 【详解】解：由题意可得： 解得： 所以这三个数的和为： 所以阴影部分的数值为： 故答案为：9 变式2．（2024·北京模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则______． 【答案】6 【分析】根据“格子乘法”可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k，解方程可得． 【详解】解：根据题意可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k 解得k=6故答案为：6． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据“格子乘法”分析图示，列出方程是关键． 变式3．（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： 图1                                                      图2 （1）请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； （2）圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由。 【答案】（1）见详解（2）圈出的五个数的和不能为130，因为根据观察得知的规律，五个数的和是中间数的5倍，则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130。 【详解】（1）解：设中间的数为。 画图如下： （2） 答：圈出的五个数的和不能为130，因为根据观察得知的规律，五个数的和是中间数的5倍，则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130。 题型7、牛吃草问题 【解题技巧】解题关键在于理解草的生长和消耗之间的平衡关系，通过设定和计算，找出不变的量（如原有的草量和每天新长的草量），进而解决问题。这类问题不仅考验数学计算能力，也锻炼了逻辑思维和问题解决能力。 例1．（2024·湖南岳阳·小升初真题）牧场上的青草每天匀速生长。这片牧草可供24头牛吃6周或20头牛吃10周。那么，可供19头牛吃( )周。 【答案】12 【详解】求每周新长草量（20×10－24×6）÷（10－6）＝（200－144）÷4＝56÷4＝14（份） 求牧场原有的草量24×6－14×6＝144－84＝60（份） 计算可供19头牛吃的周数 解：设可供19头牛吃x周。 19x＝60＋14x 19x－14x＝60＋14x－14x 5x÷5＝60÷5 5x×＝60× x＝12 可供19头牛吃12周。 例2．（2022·河南郑州·小升初真题）某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始后平均每分钟有10人来排队等候检票。一个检票口每分钟平均能让25人检票进站。如果只开一个检票口，那么检票开始8分钟后就可以无人排队；如果开两个检票口，那么开始检票 分钟后就暂时无人排队了。 【答案】3 【详解】原来有：25×8－10×8＝200－80＝120（人） 设开两个窗口后x分钟后就暂时无人排队了，则得方程： （25×2）x－10x＝120 解：50x－10x＝120 40x＝120 x＝120÷40 x＝3 所以开始检票3分钟后就暂时无人排队了。 例3．（2024六年级·广东·培优）有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干，若用5台抽水机40小时可以抽完，若用10台抽水机15小时可以抽完。现在用14台抽水机，多少小时可以把水抽完（    ）。 A．10小时 B．9小时 C．8小时 D．7小时 【答案】A 【详解】由分析得：假设1台抽水机1小时抽水量为“1”， 5台抽水机40小时抽水量＝5×40×1＝200 10台抽水机15小时＝10×15×1＝150 泉水每小时新涌出的量：（200－150）÷（40－15）＝50÷25＝2 池中原有水量：200－40×2＝200－80＝120 解：设14台抽水机x小时可以把水抽完。 14x＝120＋2x 12x＝120 x＝10 故答案为：A。 变式1．（2024六年级下·浙江·培优）甲、乙两个水池同时以相同的速度向外排水（匀速），甲池3小时可以排完，乙池2小时可以排完。开始排水 小时后，甲池的水量是乙池的8倍。 【答案】/ 【详解】假设甲、乙两水池的排水速度都为1， 解：设开始排水x小时后，甲池的水量是乙池的8倍。 1×3－1×x＝（1×2－1×x）×8 3－x＝（2－x）×8 3－x＝16－8x 3－x＋8x＝16－8x＋8x 3＋7x＝16 3＋7x－3＝16－3 7x＝13 7x÷7＝13÷7 x＝ 开始排水小时后，甲池的水量是乙池的8倍。 变式2．（2024六年级·重庆·培优）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走35级台阶，女孩每分钟走22级台阶。男孩用了3分钟到达楼上，女孩用了4分钟到达楼上。这个自动扶梯共有 级台阶露在外面。 【答案】156 【详解】解：设扶梯每分钟走x个台阶。 3x＋3×35＝4x＋4×22 3x＋105＝4x＋88 3x＋105－3x＝4x＋88－3x 105＝x＋88 105－88＝x＋88－88 17＝x x＝17 3×17＋3×35 ＝51＋105 ＝156（级） 这个自动扶梯共有156级台阶露在外面。 题型8、销售问题 【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 例1．（24-25六年级下·江苏南通·期中）某超市需要购进甲、乙两种商品共160件。其进价和售价如下表，该超市计划售完这批商品获利1200元。（1）售出一件甲商品获利（    ）元；售出一件乙商品获利（    ）元。 （2）甲、乙两种商品应分别购进多少件？ 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 【答案】（1）5；10 （2）甲80件；乙80件 【详解】（1）20－15＝5（元） 45－35＝10（元） 售出一件甲商品获利（5）元；售出一件乙商品获利（10）元。 （2）解：设乙种商品购进件，则甲种商品购进（160－）件。 10＋5（160－）＝1200 10＋800－5＝1200 5＋800＝1200 5＝1200－800 5＝400 ＝400÷5 ＝80 甲：160－80＝80（件） 答：甲、乙两种商品应分别购进80件。 例2．（2024·河北邢台·小升初真题）王阿姨自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装，为了缓解压力，王阿姨决定打折促销。若每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元，每件衣服的标价是多少元？要保证不亏，最多能打几折？ 【答案】标价200元；六折 【详解】（1）解：设每件衣服的标价是元。 50%＋20＝80%－40 80%－50%＝20＋40 0.3＝60 ＝60÷0.3 ＝200 （2）200×50%＋20 ＝200×0.5＋20 ＝100＋20 ＝120（元） 120÷200×100% ＝0.6×100% ＝60% 60%＝六折 答：每件衣服的标价是200元，要保证不亏，最多能打六折。 例3．（23-24六年级下·河南郑州·期末）甲、乙两个超市在元旦期间分别推出如下促销方式： 甲超市 乙超市 全场商品一律优惠15%。 购物不超过200元，不优惠； 购物超过200元而不超过500元，一律九折； 购物超过500元，其中的500元优惠10%，超过的部分打七五折。 已知两家超市相同商品的标价都一样。 （1）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实际付款相同？ （2）李叔叔在乙超市购物实际付款480元。试问李叔叔的选择划算吗？试着说明你的理由。 【答案】（1）750元（2）不划算；理由见详解 【详解】（1）解：设当购物总额是元时，甲乙两家超市实际付款相同。 （1－15%）＝500×（1－10%）＋（－500）×75% （1－0.15）＝500×（1－0.1）＋（－500）×0.75 0.85＝500×0.9＋0.75－500×0.75 0.85＝450＋0.75－375 0.85－0.75＝450－375 0.1＝75 ＝75÷0.1 ＝750 答：当购物总额是750元时，甲乙两家超市实际付款相同。 （2）500×（1－10%）＝500×（1－0.1）＝500×0.9＝450（元） 480－450＝30（元） 30÷75%＝30÷0.75＝40（元） 原价：500＋40＝540（元） 甲超市：540×（1－15%）＝540×（1－0.15）＝540×0.85＝459（元） 459＜480，选择不划算。 答：李叔叔的选择不划算。理由：根据在乙超市购买需480元，求出商品的原价，进而求出在甲超市购买需459元，比在乙超市购买便宜，所以在乙超市购买不划算。 变式1．（2024·四川绵阳·小升初真题）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件。”商店经理算了下，若减价5%，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的成本是多少元？ 【答案】70元 【详解】减价：100×5%＝100×0.05＝5（元） 多订购的件数：5÷1×4＝20（件） 降价后共订购：80＋20＝100（件） 解：设原来每件商品的利润为元。 （－5）×100－80＝100 100－500－80＝100 20－500＝100 20＝100＋500 20＝600 ＝600÷20 ＝30 100－30＝70（元） 答：这种商品的成本是70元。 变式2．（2024·河南周口·小升初真题）某市两超市在元旦期间分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠； 乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样。 （1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ （2）某顾客在乙超市购物实付款482元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由。 【答案】（1）甲超市352元；乙超市360元（2）不划算 【详解】（1）一次性购物总额是400元时： 甲超市实付款：400×88%＝400×0.88＝352（元） 乙超市实付款：400×90%＝400×0.9＝360（元） 答：甲超市实付款是352元，乙超市实付款是360元。 （2）500×90%＝500×0.9＝450（元） 在乙超市购物实付款482元，482＞450，所以该顾客购物实际金额超过500元。 解：设该顾客原购物总金额为元。 500×（1－10%）＋（－500）×80%＝482 500×0.9＋（－500）×0.8＝482 450＋0.8－400＝482 50＋0.8＝482 0.8＝482－50 0.8＝432 ＝432÷0.8 ＝540 若顾客在甲超市购物，则实际付款金额为：540×88%＝540×0.88＝475.2（元） 475.2元＜482元答：该顾客的选择不划算。 变式3．（2025·浙江杭州·小升初模拟）随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场，一水果经销商购进了A，B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲，乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表： A种水果/箱 B种水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 有两种配货方案（整箱配货）： 方案一：甲，乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱； 方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店几箱，乙店几箱？B种水果甲店几箱，乙店几箱？ （1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元； （2）请你将方案二补充完整，写出所有结果，并将你填写的方案二与方案一做比较，得出哪一种方案盈利较多。 【答案】（1）250元；（2）方案一盈利较多 【详解】（1）5×11＋5×9＋5×17＋5×13＝5×（11＋9＋17＋13）＝5×50＝250（元） 答：经销商能盈利250元。 （2）设甲店A种水果x箱，B种水果y箱；则则乙店A种水果有（10－x）箱，B种水果有（10－y）箱。 11x＋17y＝9（10－x）＋13（10－y） 11x＋17y＝90－9x＋130－13y 11x＋9x＋17y＋13y＝90＋130 20x＋30y＝220 2x＋3y＝22 因为整箱配货可得三种方案：①x＝8，y＝2；②x＝5，y＝4；③x＝2，y＝6； 三种方案盈利分别为： ①当x＝8，y＝2时，两店盈利为： （11×8＋17×2）×2＝122×2＝244（元） ②当x＝5，y＝4时，两店盈利为： （11×5＋17×4）×2＝123×2＝246（元） ③当x＝2，y＝6时，两店盈利为： （11×2＋17×6）×2＝124×2＝248（元） 250元＞248元＞246元＞244元。 答：方案一盈利较多。 题型9、分段计费问题 【解题技巧】此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等 例1．（2024六年级下·广东·专题练习）某保险公司的医疗保险方案针对住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表。某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费是多少元？ 住院医疗费（元） 报销率（%） 不超过500元的部分 0 超过500不超过1000元的部分 60 超过1000不超过3000元的部分 70 …… 【答案】2000元 【详解】解：设住院医疗费是x元。 答：此人住院的医疗费是2000元。 例2．（2025六年级下·广东·专题练习）重庆市电价阶梯式收费标准如下表。 分档 用户年用电量（千瓦时） 电费价格（元/千瓦时） 第一档 0～2400（含） 0.52 第二档 2401～4800（含） 0.57 第三档 4801以上 0.82 （1）李阿姨家七月和八月的阶梯电量使用情况如图。李阿姨家八月应付电费多少元？ （2）2023年5月13日，重庆市发展改革委印发了《关于建立居民分时电价机制的通知》，2023年6月1日起，“一户一表”城乡居民用户和居民充电设施用户自愿选择是否执行（分时电价如图）。已经有阶梯电价为什么还要建立分时电价呢？ 【答案】（1）881.58元；（2）见解答 【详解】（1）2400×0.52＋（4800－2400）×0.57＋（5034－4800）×0.82＝1248＋1368＋191.88＝2807.88（元） 2400×0.52＋（3590－2400）×0.57＝1248＋678.3＝1926.3（元） 2807.88－1926.3＝881.58（元） 答：李阿姨家八月应付电费881.58元。 （2）答：重庆市有阶梯电价还要建立分时电价的原因如下（答案不唯一，合理即可）： 阶梯电价主要是鼓励总体节约用电； 而分时电价更强调“错峰用电”，通过调高高峰时段电价、降低低谷时段电价，引导居民将用电需求尽可能转移到低谷时段，从而减轻电网高峰负荷、提高用电效率。配合使用能够更好地促进节约、均衡用电。 变式1．（24-25六年级下·江苏·课后作业）欣欣的妈妈旅游前准备给手机充足话费。电信公司新推出两种不同的电话卡“知心宝”与“畅聊行”，通话时间与收费情况如图。 （1）“知心宝”每分钟收费（    ）元，欣欣的妈妈用“知心宝”通话100分钟，应付话费（    ）元。 （2）图中的a等于（    ），如果欣欣的妈妈用“畅聊行”通话100分钟，应付话费（    ）元。 （3）这两种电话卡，通话多少分钟时应付的话费相同？ （4）你推荐欣欣的妈妈购买哪种电话卡？写出你的推荐理由。 【答案】（1）0.5；50（2）20；44（3）40分钟或160分钟（4）“畅聊行”；见详解 【详解】（1）30÷60＝0.5（元） 0.5×100＝50（元） “知心宝”每分钟收费（0.5）元，欣欣的妈妈用“知心宝”通话100分钟，应付话费（50）元。 （2）a表示：0.5×40＝20（元） （26－20）÷（70－60）＝6÷10＝0.6（元） 20＋0.6×（100－60）＝20＋0.6×40＝20＋24＝44（元） 图中的a等于（20），如果欣欣的妈妈用“畅聊行”通话100分钟，应付话费（44）元。 （3）第一种情况：从图中可知，40分钟时应付的话费相同。 第二种情况：解：设通话分钟时应付的话费相同。 20＋（－60）×0.6＝0.5 20＋0.6－36＝0.5 0.6－16＝0.5 0.6－0.5＝16 0.1＝16 ＝16÷0.1 ＝160 答：这两种电话卡，通话40分钟或160分钟时应付的话费相同。 （4）我建议欣欣妈妈购买“畅聊行”电话卡。因为旅游时通话时间会比较长，相对来说“畅聊行”在通话40～60分钟内便宜一些。（答案不唯一） 变式2．（2025六年级下·重庆·培优）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择。某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见表（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/时）。 TAXI（出租车）起步价：14元 超公里费：不足3公里按3公里计，超过3公里2.4元/公里 滴滴快车 起步价：12元 里程费：2.5元/公里 时长费：0.4元/分钟 神州专车 起步价：10元 里程费：2.8元/公里 时长费：0.5元/分钟 （1）如果乘坐这三种网约车的里程数都是10公里，他们的费用分别是多少元？ （2）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （3）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车从甲地到丙地，结果到达目的地时收费相同，求甲、丙两地间的里程数。 【答案】（1）他们的费用分别是30.8元，43元，45.5元（2）甲、乙两地间的里程数为12千米 （3）甲、丙两地间的里程数为5千米或30千米。 【详解】（1）乘坐TAXI（出租车）的费用为14＋2.4×（10－3）＝30.8（元）； 乘坐滴滴快车的费用为12＋2.5×10＋0.460＝43（元）； 乘坐神州专车的费用为10＋2.8×10＋0.560＝45.5（元）。 答：他们的费用分别是30.8元，43元，45.5元； （2）设甲、乙两地间的里程数为x千米， 根据题意得：12＋2.5x＋0.4×60×[14＋2.4（x－3）]＝13.6，解得：x＝12 答：甲、乙两地间的里程数为12千米； （3）设甲、丙两地间的里程数为y千米， 当0＜y≤8时，12＋2.5y＋0.4×60×（10＋2.8y＋0.5×60×）×0.8＋5.3，解得：y＝5 当y＞8时，12＋2.5y＋0.4×60×6.5＝（10＋2.8y＋0.5×60×）×0.8＋5.3，解得：y＝30 答：甲、丙两地间的里程数为5千米或30千米。 1．（24-25六年级上·北京·期末）以下等量关系中，不能在如图中找到的是（    ）。 A．松树的棵数×＝桦树的棵数 B．柏树的棵数÷＝桦树的棵数 C．松树的棵数×＝柏树的棵数 D．柏树的棵数÷÷＝200棵 【答案】C 【详解】由分析可知：桦树的棵数＝松树的棵数×，A选项正确； 柏树的棵数＝桦树的棵数×，则柏树的棵数÷＝桦树的棵数，B选项正确； 松树的棵数××＝柏树的棵数，则柏树的棵数÷÷＝松树的棵数，所以C选项是错误的，D选项正确。 故答案为：C 2.（24-25六年级上·吉林长春·期末）一家商店以进价提高40%的价格标价一种商品，然后以八折优惠卖出，结果每件商品仍获利15元。这种商品的进价是多少元？（    ） A．150元 B．125元 C．175元 D．100元 【答案】B 【详解】解：设这种商品的进价为元。 （1＋40%）×80%－＝15 1.4×0.8－＝15 1.12－＝15 0.12＝15 ＝15÷0.12 ＝125 这种商品的进价是125元。故答案为：B 3．（23-24六年级下·贵州六盘水·期中）某手工工厂加工一批手工画，每天加工20幅，15天可以完成任务。实际4天加工了100幅，照这样的工作效率，多少天可以完成这批任务？用比例解答，设x天可以完成任务，下面比例式正确的是（    ）。 A．（20×15）∶x＝100∶4 B．100∶4＝x∶（20×15） C．100∶4＝15∶x D．100∶4＝20∶x 【答案】A 【详解】解：设x天可以完成任务。 （20×15）∶x＝100∶4 300∶x＝100∶4 100x＝300×4 100x＝1200 100x÷100＝1200÷100 x＝12 用比例解答，设x天可以完成任务，下面比例式正确的是（20×15）∶x＝100∶4。故答案为：A 4．（2024·河南周口·小升初真题）甲组有33个人，乙组有27个人，从乙组调若干人到甲组后，甲组的人数恰好是乙组的3倍，变化后乙组有（    ）个人。 A．10 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【详解】解：设从乙组调人到甲组。 3×（27－x）＝33＋x 3×27－3x＝33＋x 81－3x＝33＋x 81－33＝3x＋x 4x＝48 x＝12 27－12＝15 则变化后乙组有15个人。故答案为：B 5．（2024·浙江温州·小升初真题）下面不能用方程表示的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．合格产品是个，则不合格产品是个，等量关系为：合格产品＋不合格产品＝80个，列方程为； B．等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，圆柱的体积是立方厘米，所以圆锥的体积是立方厘米，等量关系为：圆锥的体积＋圆柱的体积＝80立方厘米，列方程为：； C．3小段线段表示元，则一小段线段表示元，等量关系为：一小段线段＋3小段线段＝80元，列方程为：； D．白色三角形与阴影三角形等高，白色三角形的底边是阴影三角形底边的3倍，白色三角形的面积是平方厘米，则阴影三角形的面积是平方厘米，等量关系为：阴影三角形的面积＋白色三角形面积＝80平方厘米，所以。故答案为：A 6．（2024·湖南岳阳·小升初真题）某班男女生之比为3∶2，如果发给男生2支铅笔，女生3支铅笔，一共发了108支铅笔，该班有（    ）名学生。 A．54 B．45 C．48 D．42 【答案】B 【详解】设该班男生有3x名，女生有2x名。 2×3x＋3×2x＝108 6x＋6x＝108 12x＝108 x＝108÷12 x＝9 3x＝3×9＝27（名） 2x＝2×9＝18（名） 27＋18＝45（名） 所以该班有45名学生。故答案为：B 7．（24-25七年级下·河北保定·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设井深为尺，所列方程为 B．设绳子的长为尺，所列方程为 C．绳子的长是32尺 D．井深8尺 【答案】D 【详解】解：设井深尺，根据题意得，故选项A错误，不符合题意； 解得：，井深8尺，故选项D正确，符合题意； ，绳子的长是尺，故选项C错误，不符合题意； 设绳子的长为尺，根据题意得，故选项B错误，不符合题意；故选：D． 8．（2024·四川成都·小升初真题）某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个，应分配( )人生产螺栓，( )人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套。（每个螺栓配两个螺帽） 【答案】 15 45 【详解】设：应分配x人生产螺栓，（60－x）人生产螺帽。 螺帽：60－15＝45（人） 则应分配15人生产螺栓，45人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套。 9．（2024·河南周口·小升初真题）一列火车现在以120千米/时的速度从A地前往B地，原来的速度是现在速度的，现在全程所用时间比原来少用4小时，则A，B两地的全程为 ( )千米。 【答案】960 【详解】解：设原来用了x小时，则现在用了（x－4）小时。 120×（x－4）＝120×x 120x－480＝80x 120x－80x＝480 40x＝480 40x÷40＝480÷40 x＝12 12×（120×） ＝12×80 ＝960（千米） 一列火车现在以120千米/时的速度从A地前往B地，原来的速度是现在速度的，现在全程所用时间比原来少用4小时，则A，B两地的全程为960千米。 10．（2024·山东德州·小升初真题）张叔叔运送了250件瓷器，规定完整运一个到目的地可以得到运送费20元，损坏一个赔偿100元，运完这批瓷器张叔叔共得到运费4160元，张叔叔在运输过程中，完整运送了( )件瓷器，损坏了( )件瓷器。 【答案】 243 7 【详解】解：设损坏了件瓷器，则完整运送了（250－）件瓷器。 20×（250－）－100＝4160 20×250－20－100＝4160 5000－（20＋100）＝4160 5000－120＝4160 120＝5000－4160 120＝840 ＝840÷120 ＝7 250－7＝243（件） 完整运送了243件瓷器，损坏了7件瓷器。 11．（2025六年级·广东·培优）甲、乙两人共存款100元。如果甲取出，乙取出，两人存款还剩60元。甲、乙二人原来各有存款多少元？ 【答案】甲原来有40元存款，乙原来有60元存款。 【详解】解：设甲原来有x元，则： 3x＋4（100－x）＝360 30x＋400－4x＝360 400－x＝360 x＝400－360 x＝40 乙：100－40＝60（元） 答：甲原来有40元存款，乙原来有60元存款。 12．（2025六年级下·江苏·培优）12月30日光明小学组织了“迎元旦知识竞赛”，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答。如表记录了三位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 （1）这次竞赛中答对一题得（    ）分；（2）参赛学生小红得分为70分，求她答对了几道题？ （3）参赛学生小明说他的得分为60分，你认为可能吗？请说明理由。 【答案】（1）5（2）15（3）不可能 【详解】（1）根据题意得：这次竞赛中答对一题得100÷20＝5（分）。故答案为：5； （2）这次竞赛中答错一题得94－19×5＝－1（分）， 设小红答对了x道题，则答错了（20－x）道题， 根据题意得：5x－（20－x）＝70解得：x＝15 答：小红答对了15道题； （3）不可能，理由如下：假设小明的得分能是60分，设小明答对了y道题，则答错了（20－y）道题， 根据题意得得：5y－（20－y）＝60，解得：y， 又∵y需为整数，∴y不符合题意，舍去，∴假设不成立， 答：小明的得分不可能是60分。 13．（24-25六年级下·江苏宿迁·期中）小张和小李沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是2000米，小张骑自行车、小李步行，当小张从原路回到学校时，小李刚好到达图书馆。图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离学校的距离与所经过的时间之间的关系，请根据图像回答下面的问题： （1）（    ）离学校的距离与经过的时间成正比例； （2）小张在图书馆查阅资料的时间为（    ）分钟，小李的速度是（    ）米/分； （3）经过多少分钟，小张和小李迎面相遇？ 【答案】（1）小李（2）10；100（3）16分钟 【详解】（1）观察可知，小李离学校的距离与经过时间的图像是一条过原点的直线，所以小李离学校的距离与经过的时间成正比例。 （2）15－5＝10（分钟） 2000÷20＝100（米/分） 所以小张在图书馆查阅资料的时间为5分钟，小李的速度是100米/分。 （3）解：经过x分钟两人迎面相遇。 100x＋（2000÷5）×（x－15）＝2000 100x＋400×（x－15）＝2000 100x＋400x－400×15＝2000 500x－6000＝2000 500x－6000＋6000＝2000＋6000 500x＝8000 500x÷500＝8000÷500 x＝16 答：经过16分钟小张和小李迎面相遇。 14．（2024·山东德州·小升初真题）滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式。 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟。 （1）李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ （2）6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 【答案】（1）14.95元（2）4.3千米 【详解】（1）6.5－2.3＝4.2（千米） 4.2千米≈5千米 6＋5×1.55＋（11－7）×0.3 ＝6＋7.75＋4×0.3 ＝13.75＋1.2 ＝14.95（元） 答：李叔叔需要支付14.95元。 （2）设李叔叔本次里程最长x千米。 6＋（x－2.3）×2.4＝10.8 6＋（x－2.3）×2.4－6＝10.8－6 （x－2.3）×2.4＝4.8 （x－2.3）×2.4÷2.4＝4.8÷2.4 x－2.3＝2 x－2.3＋2.3＝2＋2.3 x＝4.3 答：李叔叔本次里程最长4.3千米。 15．（2024·福建·七年级期中）某社区超市第一次用6000元购进一批甲乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，两件商品的进价和售价如下图所示： (1)超市购进的这批货中甲乙两种商品各有多少件？ (2)该超市第二次分别以第一次同样的进价购进第二批甲乙两种商品，其中乙商品的件数是第一批乙商品件数的3倍，甲商品件数不变，甲商品按照原售价销售，乙商品在原价的基础上打折销售，第二批商品全部售出后获得的总利润比第一批获得的总利润多720元，求第二批乙商品在原价基础上打几折销售？ 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 【答案】(1)甲种商品150件，乙种商品90件；(2)9折． 【解析】（1）解：设第一次购进乙种商品m件，则购进甲种商品（2m﹣30）件， 依题意，得：30m+22×（2m﹣30）＝6000， 解得：m＝90，∴2m﹣30＝150， 答：超市购进的这批货中甲种商品150件，乙种商品90件． （2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售， 由（1）可知，第一次两种商品全部卖完可获得利润为： （29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）． 依题意得：（29﹣22）×150+（40×﹣30）×90×3＝1950+720，解得：y＝9． 答：第二次乙种商品是按原价打9折销售． 1．（2024·山东·七年级期中）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表： 行驶里程 计费方法 不超过3公里 起步价8元 超过3公里且不超过7公里的部分 每公里按标准租费收费 超过7公里且不超过25公里的部分 每公里再加收标准租费的50% 超过25公里且不超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的75% 超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的100% 说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算； 行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里． 若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（       ） A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里 【答案】C 【详解】解：设行驶里程为x公里，乘车费用为26元． 若，根据题意得，不成立． 若，根据题意得．解得（舍）． 若，根据题意得．解得． 若，根据题意得． 解得（舍）． 若时，根据题意得． 解得（舍）． ∴若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为11公里．故选：C． 2．（2024·河南·七年级期中）将连续的奇数1、3、5、7、9、11等，按一定规律排成如图：图中的T字框框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（       ） A．34 B．62 C．118 D．158 【答案】A 【详解】由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1， 则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10， ∴T字框内四个数的和为：2n﹣3+2n﹣1+2n+1+2n﹣1+10＝8n+6．故T字框内四个数的和为：8n+6． A、由题意，令框住的四个数的和为34，则有：8n+6＝34，解得n＝3.5．不满足整数的条件．故框住的四个数的和不能等于34，故本选项符合题意； B、由题意，令框住的四个数的和为62，则有：8n+6＝62，解得n＝7．满足整数的条件．故本选项不符合题意； C、由题意，令框住的四个数的和为118，则有：8n+6＝118，解得n＝14．满足整数的条件．故本选项不符合题意； D、由题意，令框住的四个数的和为158，则有：8n+6＝158，解得n＝19．满足整数的条件．故本选项不符合题意；故选：A． 3．（2023·四川成都·小升初真题）由3千克甲糖和2千克乙糖配成的什锦糖，比由2千克甲糖和3千克乙糖配成的什锦糖，每千克贵5元，那么每千克甲糖比每千克乙糖贵( )元。 【答案】25 【详解】甲糖的单价是记作甲，乙糖的单价记作B。 （3×A＋2×B）÷（3＋2）－（2×A＋3×B）÷（2＋3）＝5 （3×A＋2×B）×－（2×A＋3×B）×＝5（利用分数除法，除以一个数不为0相当于乘这个数的倒数） [3A＋2B－（2A＋3B）]＝5（乘法的分配率） [3A＋2B－2A－3B]＝5 [A－B]＝5 A－B＝5÷（等式的基本性质2） A－B＝25 每千克甲糖比每千克乙糖贵25元。 4．（2024·浙江金华·小升初真题）光明小学少先队辅导员王老师和章老师带领94名少先队员代表参观纪念馆，需乘车出行。了解到租车公司有以下两种车：大车限乘36人，小车限乘24人。租车后，辅导员和少先队员正好坐满位置（租了两种类型的车）。他们租了( )辆大车，( )辆小车。 【答案】 2 1 【详解】94＋2＝96（人） 解：设租了x辆大车，租了y辆小车。 36x＋24y＝96 36x÷12＋24y÷12＝96÷12 3x＋2y＝8 当x＝1时， 3×1＋2y＝8 3＋2y＝8 2y＝8－3 2y＝5 2y÷2＝5÷2 y＝2.5 因为x和y都必须是整数，所以不符合条件，舍去； 当x＝2时， 3×2＋2y＝8 6＋2y＝8 2y＝8－6 2y＝2 2y÷2＝2÷2 y＝1 因为x和y都是整数，所以符合条件，即租了2辆大车，1辆小车。 光明小学少先队辅导员王老师和章老师带领94名少先队员代表参观纪念馆，需乘车出行。了解到租车公司有以下两种车：大车限乘36人，小车限乘24人。租车后，辅导员和少先队员正好坐满位置（租了两种类型的车）。他们租了2辆大车，1辆小车。 5．（2024·四川成都·小升初真题）甲、乙两管同时打开，10分钟就能注满水池。现在先打开甲管，9分钟后再打开乙管，再过4分钟就注满了水池。已知甲管比乙管每分钟多注入立方米的水，那么这个水池的容积是( )立方米。 【答案】8.4 【详解】设乙管每分钟注水为x立方米，甲管每分钟的注水为（x＋0.28）立方米。 10×（x＋x＋0.28）＝9（x＋0.28）＋4×（x＋x＋0.28） 10×（2x＋0.28）＝9x＋9×0.28＋4×（2x＋0.28） 10×2x＋10×0.28＝9x＋2.52＋4×2x＋4×0.28 20x＋2.8＝9x＋8x＋2.52＋1.12 20x＋2.8＝17x＋3.64 20x－17x ＝3.64－2.8 3x＝0.84 x＝0.84÷3 x＝0.28 则甲管每分钟的注水：0.28＋0.28＝0.56（立方米） 池水的体积：10×（0.28＋0.56）＝10×0.84＝8.4（立方米） 则这个水池的容积是8.4立方米。 6．（24-25六年级上·四川达州·期中）甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行。相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1千米，如果第一次相遇到第二次相遇时间相隔1小时20分，则河水的流速为每小时 千米。 【答案】 【详解】1小时20分＝小时 ×＝（小时） 解：设甲船的速度为，乙船的速度为，河水的流速为。 [（＋）－（－）]×＝1 [（＋）－（－）]×＝1 [＋－＋]×＝1 ×＝1 ＝1÷ ＝1× ＝ ＝÷4 ＝× ＝ 所以，河水的流速为每小时千米。 7．（2024·四川绵阳·小升初真题）浓度为20%、18%、16%的三种盐水，混合后得到100克18.8%的盐水，如果18%的盐水比16%的盐水多30克，问每种盐水多少克？ 【答案】50克；40克；10克 【详解】假设20%的盐水为A，18%的盐水为B，16%的盐水为C， 设C盐水有x克，则B盐水有（x＋30）克， A盐水有：100－x－（x＋30）＝（70－2x）克 根据“盐质量的总量不变”，列方程得： 20%×（70－2x）＋18%（x＋30）＋16%×x＝100×18.8% 0.2×（70－2x）＋0.18（x＋30）＋0.16×x＝100×0.188 14－0.4x＋0.18x＋5.4＋0.16x＝18.8 19.4－0.06x＝18.8 19.4－0.06x＋0.06x＝18.8＋0.06x 18.8＋0.06x＝19.4 18.8＋0.06x－18.8＝19.4－18.8 0.06x＝0.6 x＝10 则B盐水：10＋30＝40（克） A盐水：100－10－40＝50（克） 答：20%盐水用了50克，18%盐水用了40克，16%盐水用了10克。 8．（24-25六年级上·广东江门·期中）2022年的某一天，光明学校的两位老师杨老师和刘老师进行体能训练。跑道为一个椭圆形状，他们同时从同地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，刘老师的速度是杨老师的三分之二，杨老师跑第二圈时速度比第一圈提高了三分之一，刘老师跑第二圈时速度提高了五分之一，已知杨老师、刘老师第二次相遇点距第一次190米，那么你知道这条椭圆形跑道长多少米吗？ 【答案】400米 【详解】解：设跑道长是x米，杨老师跑第一圈的速度是a，则刘老师跑第一圈的速度是a。 杨老师跑第二圈时的速度：（1＋）a＝a 刘老师跑第二圈的速度：a×（1＋）＝a×＝a 杨老师跑第一圈所用时间： 刘老师跑第一圈所用时间：x÷a＝x×＝ 刘老师比杨老师多用时间：x÷a－＝x×－＝－＝ 第一次相遇点按杨老师前进方向距出发点：x÷（a＋a）×a＝x÷a×a＝x××a＝x（米） 杨老师、刘老师第二次相遇时共同跑的路程： x－×a＝x－x＝x（米） 第二次相遇按刘老师前进方向距出发点： x ÷（a＋a）×a＝x ÷×a＝x ××a＝x（米） x－x＝190 x－x＝190 x＝190 x×＝190× x＝400 答：这条椭圆形跑道长400米。 9．（23-24六年级上·福建莆田·期末）周末，小希一家自驾从莆田经过福州去太姥山旅游。 （1）小希一家从莆田出发，以100千米/时的速度，行驶了1小时，到达福州市，这时已行的路程比未行路程的少20千米。如果以同样的速度继续前行再行多少小时能到达太姥山？（2）到达太姥山，景区广场有个用鹅卵石铺成的心形图案，小希和弟弟从A点开始沿着这心形的边相背而行，在距离B点12米处的C点相遇，相遇时弟弟走的路程是小希的，这个心形鹅卵石道的周长是多少米？ 【答案】（1）2.1小时；（2）168米 【分析】（1）根据题意：已行驶路程＋20米＝未行驶路程的，则未行驶的路程为：（100×1＋20）÷，据此求出未行驶的路程，再根据时间＝路程÷速度即可。 （2）设小希走了x米，则弟弟走了x米，由题意知小希和弟弟在距离B点12米处的C点相遇，即心形鹅卵石道的周长的一半－弟弟走的路程＝12米，据此列出方程，再解方程即可求出小希走的路程，进而求出弟弟走的路程，小希走的路程和弟弟走的路程相加即可求出周长。 【详解】（1）（100×1＋20）÷ ＝（100＋20）÷ ＝120÷ ＝120× ＝210（米） 210÷100＝2.1（小时） 答：如果以同样的速度继续前行再行2.1小时能到达太姥山。 （2）解：设小希走了x米，则弟弟走了x米， （x＋x）÷2－x＝12 x÷2－x＝12 x×－x＝12 x－x＝12 x＝12 x÷＝12÷ x＝12×8 x＝96 96＋96× ＝96＋72 ＝168（米） 答：这个心形鹅卵石道的周长是168米。 10．（2024·四川·小升初模拟）市实验小学学生步行到郊外旅行。六（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，六（2）班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 （1）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？（2）六（1）班出发多长时间，两队相距2千米？ 【答案】（1）24千米（2）六（1）班出发0.5小时、2小时、4小时，两队相距2千米。 【详解】（1）解：设后队出发x小时后追赶上前队， 6x＝4＋4x 6x－4x＝4＋4x－4x 2x＝4 2x÷2＝4÷2 x＝2 12×2＝24（千米） 答：后队追上前队的时间内，联络员走的路程是24千米。 （2）分三种情况 ①后队未出发前队出发走了2千米，用的时间是2÷4＝0.5（小时） 即六（1）班出发0.5小时，两队相距2千米； ②后队出发还未追及上前队，设后队需y小时两队相距2千米 （6－4）y＝2 2y＝2 2y÷2＝2÷2 y＝1 1＋1＝2（小时） 即六（1）班出发2小时，两队再次相距2千米； ③后队与前队相遇之后，设前队再需z小时，两队相距2千米， （6－4）z＝2 2z＝2 2z÷2＝2÷2 z＝1 1＋2＋1＝4（小时） 即六（1）班出发4小时，两队第三次相距2千米。 答：六（1）班出发0.5小时、2小时、4小时，两队相距2千米。 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$