集合与充要条件- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学考点双析卷》第10卷 学生练习卷（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。本套试卷共140份。 本卷是四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第10卷，主要考查集合与充要条件的掌握情况。 四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第10卷 集合与充要条件 学生练习卷 考试时间：60分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 2．若的终边不在坐标轴上，则的充要条件是（   ） A．在第一、三象限 B．在第一、四象限 C．在第一、二象限 D．在第二、三象限 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．设集合，则的子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．32 D．31 6．若，则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．0或2 D．1或2 7．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．“”是“，，成等差数列”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选择适当的一种填空． （1）是为正数的 ； （2）四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的 ； （3）四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的 ； （4）若，则是的 ． 10．集合的子集个数 ；非空真子集的个数是 . 11．设，若，则 ， . 12．已知全集，则 ， ， ， . 三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13．（本小题满分12分） 设集合，. (1)求； (2)求. 14．（本小题满分14分） 集合 (1)若A是空集，求a的取值范围． (2)若A中至多一个元素，求a的取值范围． 15．（本小题满分14分） 已知集合． (1)求证：的充要条件是； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。本套试卷共140份。 本卷是四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第10卷，主要考查集合与充要条件的掌握情况。 四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第10卷 集合与充要条件 学生练习卷 考试时间：60分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义计算. 【详解】∵，， ∴. 故选：A. 2．若的终边不在坐标轴上，则的充要条件是（   ） A．在第一、三象限 B．在第一、四象限 C．在第一、二象限 D．在第二、三象限 【答案】C 【分析】根据三角函数值在各象限的符号确定即可. 【详解】若的终边不在坐标轴上，则 在第一、二象限， 故选：C． 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的并运算即可求解. 【详解】由题意得，集合. 故选：B. 4．下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，举反例即可判断；对于②，令，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断. 【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误； ②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确； ③中，互相包含的两个集合相等，③正确； ④中，空集不是本身的真子集，④错误． 故选：B 5．设集合，则的子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．32 D．31 【答案】A 【分析】根据题意，结合子集的概念，即可求解. 【详解】因为集合中共有3个元素，故的子集的个数共个． 故选：A. 6．若，则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据集合中元素的互异性即可求解. 【详解】因为， 当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，集合为，成立； 当，或（舍去），则集合为，成立； 综上，的值为0或2． 故选：C. 7．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求集合,再利用集合的交集运算易得答案. 【详解】解：因为,解得或,所以集合或， 所以． 故选：D． 8．“”是“，，成等差数列”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若，则，，一定成等差数列，故充分性成立； 若，，成等差数列，则也成立，故必要性成立； 故“”是“，，成等差数列”的充分必要条件. 故选：C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选择适当的一种填空． （1）是为正数的 ； （2）四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的 ； （3）四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的 ； （4）若，则是的 ． 【答案】 充分而不必要条件 必要而不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件 【分析】根据充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件的定义判断可得答案. 【详解】（1），．因此应填“充分而不必要条件”； （2）四边形是矩形四边形的两对角线相等，反之不成立．因此应填“必要而不充分条件”； （3）四边形的一组对边平行且相等四边形的两组对边分别平行，它们实际上都在描述四边形是平行四边形．因此应填“充要条件”； （4）时，，．因此应填“既不充分又不必要条件”． 故答案为：充分而不必要条件；必要而不充分条件；充要条件；既不充分又不必要条件. 10．集合的子集个数 ；非空真子集的个数是 . 【答案】 16 14 【分析】由集合中的元素有4个，把n＝4代入集合的真子集的公式24中，即可计算出集合的子集的个数，去掉空集与集合即可得到非空真子集的个数． 【详解】由集合中的元素有4个，∴子集个数为24=16个，非空真子集的个数：24﹣2＝14， 故答案为：16    14 【点睛】解得本题的关键是掌握当集合中元素有n个时，非空真子集的个数为2n﹣2．同时注意子集与真子集的区别：子集包含本身，而真子集不包含本身． 11．设，若，则 ， . 【答案】 【分析】根据题意，结合交集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为， 又， 所以是方程组的解， 所以，解得. 故答案为：；. 12．已知全集，则 ， ， ， . 【答案】 【分析】利用集合交集、并集和补集的运算即可解得. 【详解】全集， ，， ，， ， 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13．（本小题满分12分） 设集合，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）首先求出集合B，再根据集合的并集的定义求解. （2）首先求出集合A的补集，再根据集合的并集求解. 【详解】（1）. 集合，， . （2）或，或. 14．（本小题满分14分） 集合 (1)若A是空集，求a的取值范围． (2)若A中至多一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可知方程无解，可知且，即可解得； （2）由题可得方程至多一个实数根，易知符合题意，当时需满足，即可求得a的取值范围． 【详解】（1）由A是空集可知方程无解， 若，则方程必有解，不合题意； 若，由方程无解可得， 解得； 即a的取值范围为. （2）由A中至多一个元素可知方程至多一个实数根， 若，则方程有一解，符合题意； 若，则方程至多一个实数根， 即可得，解得； 综上可得，a的取值范围为或 15．（本小题满分14分） 已知集合． (1)求证：的充要条件是； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】（1）根据一元二次不等式求解集合，然后由充分性和必要性求解， （2）将充分不必要转化为真子集的关系，分类求解集合，然后由集合间的关系列不等式求解. 【详解】（1）充分性：当时， ，故，充分性成立， 必要性：由题意可知， 当时，，又，故，解得； 当时，，又，故，矛盾； 故，因此必要性成立； （2）由题知，，故由（1）可知， 当时，有或，解得； 当时，有或，解得． 综上，实数a的取值范围是或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$