集合与充要条件- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学考点双析卷》第9卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。本套试卷共140份。 本卷是四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第9卷，主要考查集合与充要条件的掌握情况。 四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第9卷 集合与充要条件 教师讲解卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集的定义即可得解. 【详解】集合，，则， 故选：. 2．命题“”是命题“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值和充要条件的定义可判断. 【详解】取，满足，即，故充分性不成立， 若，则，即，必要性成立. 所以“”是命题“”的必要不充分条件. 故选：B 3．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合并集的定义即可求解. 【详解】集合 ． 故选：D 4．有下列命题： ①如果集合A是集合B的真子集，则集合B中至少有一个元素； ②如果集合A是集合B的子集，则集合A的元素少于集合B的元素； ③如果集合A是集合B的子集，则集合A的元素不多于集合B的元素； ④如果集合A是集合B的子集，则集合A和B不可能相等. 上述错误命题的个数是 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据子集、真子集、相等集合的概念即可判断. 【详解】对于命题①，如果集合A是集合B的真子集，则集合B中至少有一个集合A中没有的元素；若集合B是空集，则集合B只有它本身一个子集，没有真子集，故命题①正确； 对于命题②，如果集合A是集合B的子集，则集合A的元素少于或等于集合B的元素，故命题②错误； 对于命题③，如果集合A是集合B的子集，则集合A的元素不多于集合B的元素，故命题③正确； 对于命题④，如果集合A是集合B的子集，则集合A和B可能相等，故命题④错误. 故选：C 5．已知集合，则集合的子集个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用列举法表示出集合，利用子集个数的公式即可得解. 【详解】集合. 则子集的个数为. 故选：. 6．设集合，若，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系得出两种情况，再分别检验即得. 【详解】由集合，因，则或， 当时，，此时，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，当时，满足．故． 故选：B． 7．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据解含绝对值不等式的解法求出集合A,再利用交集运算求解即可. 【详解】， 所以，又因为， 所以 ， 故选：D 8．已知，则“”是“”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不充要条件 【答案】C 【分析】构造函数，可判断函数为奇函数，且在上单调递增，从而有，据此可判断结果. 【详解】设函数，，定义域关于原点对称， 则， 所以函数为奇函数. 当时，由，可知其对称轴为，且开口向上， 所以函数在单调递增，于是函数在也单调递增. 又因为，所以函数在上单调递增. 由此可得，若，则有，即； 若，即，则有. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空： （1）“是有理数”是“是实数”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 【答案】 充分条件但不是必要条件 必要条件但不是充分条件 充要条件 必要条件但不是充分条件 【分析】由充分条件、必要条件、充要条件的概念逐一辨别即可求解. 【详解】（1）一方面若“是有理数”，则必定有“是实数”； 另一方面若“是实数”，则不一定有“是有理数”， 因为“可能是无理数”， 所以“是有理数”是“是实数”的充分条件但不是必要条件； （2）若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件； （3）因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件； （4）一方面设， 则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则， 这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件. 故答案为：充分条件但不是必要条件；必要条件但不是充分条件；充要条件；必要条件但不是充分条件. 10．集合的所有子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个. 【答案】 16 15 14 【分析】含有个元素的集合的子集有个，真子集有个，非空真子集有个. 【详解】集合的子集有个，真子集有个，非空真子集有. 故答案为：；；. 11．已知集合，那么集合 【答案】 【分析】联立集合与集合中的方程，求解方程组的解，进而求解. 【详解】联立集合与集合中的方程，即. 从而集合. 故答案为：. 12．若全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】先求出集合A和集合B的交集，根据全集求出交集的补集即可． 【详解】已知， 所以， 又因为全集， 则． 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13．（本小题满分12分） 设全集，集合，集合． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的概念及运算求解即可； （2）根据并集、补集的概念与运算求解即可. 【详解】（1）因为集合，集合， 所以. （2）因为集合，集合， 所以， 又因为全集 所以. 14．（本小题满分14分） 已知集合， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，根据数轴上两者的关系可求解； （2）由，根据数轴上两者的关系可求解. 【详解】（1），,    由图可知， （2）    由图可知， 15．（本小题满分14分） 已知集合． （1）求集合； （2）求证：的充要条件为； （3）若命题，命题且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2）证明见解析（3）或 【详解】试题分析：（1）解一元二次不等式得所求集合（2）先证充分性当时，，所以当时．再证必要性，分a<0，a>0，（3），当时，，当时， 则，故实数的取值范围是或 试题解析：解：（1），，所以， 所以 （2）证明：充分性:当时，， 所以当时． 必要性： 当时，又，， 当时， ，，无解，， 故时，． 所以，的充要条件为 （3） 由（2）知 当时， ，则 解得 当时，则 综上是的充分不必要条件，实数的取值范围是或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。本套试卷共140份。 本卷是四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第9卷，主要考查集合与充要条件的掌握情况。 四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第9卷 集合与充要条件 教师讲解卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．命题“”是命题“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设集合，则（   ） A． B． C． D． 4．有下列命题： ①如果集合A是集合B的真子集，则集合B中至少有一个元素； ②如果集合A是集合B的子集，则集合A的元素少于集合B的元素； ③如果集合A是集合B的子集，则集合A的元素不多于集合B的元素； ④如果集合A是集合B的子集，则集合A和B不可能相等. 上述错误命题的个数是 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知集合，则集合的子集个数是（    ） A． B． C． D． 6．设集合，若，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 7．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，则“”是“”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不充要条件 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空： （1）“是有理数”是“是实数”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 10．集合的所有子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个. 11．已知集合，那么集合 12．若全集，集合，则 ． 三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13．（本小题满分12分） 设全集，集合，集合． (1)求的值； (2)求的值． 14．（本小题满分14分） 已知集合， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 15．（本小题满分14分） 已知集合． （1）求集合； （2）求证：的充要条件为； （3）若命题，命题且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$