专题2 一元二次不等式（讲义）- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块2 不等式的第2个专题：一元二次不等式。本专题涵盖一元二次不等式的定义、“三个二次”之间的关系、一元二次不等式的解法等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 一元二次不等式（讲义） 知识点1 一元二次不等式的解法 （1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． （2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 一、单选题 1．（24-25高三下·四川·职教高考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·四川·职教高考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·四川·模拟预测）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高三下·四川·三模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·四川·一模）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（    ） A．或 B． C． D． 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．一元二次不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．下列不等式中，解集为的是（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，则集合的真子集有（    ） A．7个 B．8个 C．15个 D．16个 9．设，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的图像如下图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C．或 D．或 知识点2 含参数的一元二次不等式 (1)解含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏； (2)二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式． 一、单选题 1．（24-25高三上·四川·一模）若关于x的不等式的解集为，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三·四川·一模）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高三·四川·二模）已知，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高三·四川·二模）不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 5．（24-25高三下·浙江·三模）已知函数的图像与轴相交于，两点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知一元二次不等式的解集是，则（   ） A．， B． C．， D． 2．已知不等式的解集为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．若不等式的解集为，则函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   4．不等式的解集与的解集相同，则（   ） A． B． C． D． 5．若不等式的解集为，则等于（    ） A．2 B． C．4 D． 6．已知关于x的不等式的解集为， ①； ②不等式的解集为； ③； ④的解集为． 则上述说法中正确的序号是（   ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．③④ 7．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．不等式的解集是，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 9．设，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 10．若不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点3 “三个二次”之间的关系及一元二次不等式恒成立问题 (1)“三个二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) {x|x≠－} ax2＋bx＋c＜0 R (a＞0)的解集 (x1，x2) ∅ ∅ (2)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． (3)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方． (4)一元二次不等式恒成立的条件 ①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是： a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)． ②ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)． 一、单选题 1．（20-21高三下·四川·三模）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川·一模）若关于x的不等式的解集为，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·浙江·模拟预测）已知函数（为常数），满足，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·江苏·三模）正数满足，若对任意正数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（17-18高三下·浙江温州·三模）已知，且对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D．以上情况均有可能 一、单选题 1．若函数的定义域是，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 2．已知不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 3．如图所示，二次函数的图像与x轴有两个交点，坐标分别是，那么不等式的解集是（    ） A． B． C． D．R 4．已知方程的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 6．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．不等式的解集是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．二次函数的图像与x轴无交点，则（    ） A． B． C． D． 10．已知方程的两根分别为2和3，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块2不等式的第2个专题：一元二次不等式。本专题涵盖一元二次不等式的定义、“三个二次”之间的关系、一元二次不等式的解法等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 一元二次不等式（讲义） 知识点1 一元二次不等式的解法 （1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． （2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 一、单选题 1．（24-25高三下·四川·职教高考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的基本解法求解即可. 【详解】由可得， 解得或， 则不等式的解集为. 故选：D. 2．（23-24高三下·四川·职教高考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求出. 【详解】由不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 3．（24-25高三下·四川·模拟预测）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先将不等式化为，再根据一元二次不等式以及绝对值的概念求解即可. 【详解】不等式可化为，即， 解得不等式解集为. 故选：B. 4．（24-25高三下·四川·三模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的基本解法求解. 【详解】不等式可化为， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 5．（24-25高三上·四川·一模）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解, 【详解】原不等式可化为，解得， 故原不等式的解集为． 故选：A． 一、单选题 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式解法求解即可. 【详解】不等式，可化为，解得， 故不等式的解集是. 故选：D. 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】由恒成立， 则不等式，解得， 所以解集为， 故选：. 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可化为， 即，解得， ∴不等式的解集是. 故选：B. 4．函数的定义域为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶次根式的被开方数大于等于求解即可. 【详解】要使函数成立，则， 即，解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据具体函数的定义域结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为函数， 所以，即， 即或， 所以函数的定义域为. 故选：C. 6．一元二次不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】一元二次不等式可化为，解得， 即不等式解集为. 故选：B. 7．下列不等式中，解集为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式易得答案. 【详解】A:,故A选项错误, B:,故B选项错误, C:,故C选项正确, D:,故D选项错误. 故选:C. 8．已知集合，则集合的真子集有（    ） A．7个 B．8个 C．15个 D．16个 【答案】A 【分析】先求出集合,再求出它的真子集个数. 【详解】因为,得,故集合的元素有1,2,3, 故真子集有. 故选:A. 9．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意,对于,求出的解集,进而对集合与之间的关系进行判断即可. 【详解】解： 将集合与表示在数轴上如图所示,可知. 故选：B    10．已知函数的图像如下图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】函数在x轴上方的图像对应的x的范围就是不等式的解集，据此可求解. 【详解】由题知， 函数在x轴上方的图像对应的x的范围就是不等式的解集， 即或. 故选：C 知识点2 含参数的一元二次不等式 (1)解含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏； (2)二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式． 一、单选题 1．（24-25高三上·四川·一模）若关于x的不等式的解集为，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的解集为，可知，对恒成立，再令和，进行分类讨论即可. 【详解】∵关于x的不等式的解集为， ∴，对恒成立， ①时，，原不等式可化为，解集为R成立， ②时，， 解得， 综上，，即实数k的取值范围为． 故选：A． 2．（21-22高三·四川·一模）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解集先求解a和b的关系，再代入即可求解. 【详解】由的解集为， 可知且，即， 令， 即 解得，， ∵， ∴的解集为． 故选：A. 3．（21-22高三·四川·二模）已知，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系，求解不等式的解集即可. 【详解】不等式可化为， 令可得或， 由于， 所以不等式的解集为. 故选：A 4．（23-24高三·四川·二模）不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】将每个选项依次验证排除即可. 【详解】A：若不等式的解集为或,则， 且为方程的两个根， 由根与系数的关系可得，解得，合题意，故A选项正确. B：若不等式的解集为， 则，解得，与矛盾，不合题意，故B选项错误. C：若不等式的解集为，则，不合题意，故C选项错误. D：若不等式的解集为，则，不合题意，故D选项错误. 故选:A. 5．（24-25高三下·浙江·三模）已知函数的图像与轴相交于，两点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数与一元二次不等式的关系即可得解. 【详解】因为函数的图像与轴相交于，两点， 所以， 即所求不等式即为，又， 不等式可化为，即解集为. 故选：B. 一、单选题 1．已知一元二次不等式的解集是，则（   ） A．， B． C．， D． 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程与一元二次不等式的关系确定a的正负，再根据一元二次方程中根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为一元二次不等式的解集是， 所以且和1是方程的两个根， 所以，解得， 故选：D. 2．已知不等式的解集为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先根据解集，判断出是原式的零点，再代入求解即可知道、的值. 【详解】依题意和是不等式对应的方程的根， 将代入方程得，解得， 再把代入不等式为，可化为 解得，所以，. 故选：C. 3．若不等式的解集为，则函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由不等式的解集为，可知函数图象开口向下，同时，和为函数图象与x轴交点，即可判断. 【详解】因为不等式的解集为，所以， 同时和为方程的两个根， 所以函数图象为开口向下的抛物线，且与轴的交点为、. 故选项图象错误，选项图象正确. 故选：B. 4．不等式的解集与的解集相同，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出不等式的解集，再根据解集以及韦达定理求解. 【详解】不等式的解集为，解得. 则或是的解. 则，解得. 故选：C. 5．若不等式的解集为，则等于（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式的解与一元二次方程的关系，结合韦达定理求出的值即可. 【详解】已知不等式的解集为， 则一元二次方程的根为， 则有， 即，所以， 故选：D. 6．已知关于x的不等式的解集为， ①； ②不等式的解集为； ③； ④的解集为． 则上述说法中正确的序号是（   ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集的特征可知，①正确；利用一元二次不等式，一元二次方程之间的关系，可得，，代入可判断②④正确，③错误. 【详解】由于不等式的解集为， 根据一元二次不等式的解集的特征可知，①正确； 由题可得，一元二次方程的解为和3， 由韦达定理，得，，得，， 由于，即，由得，即，②正确； ，③错误； ，由得，即 其解集为，④正确． 故选：C 7．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象结合一元二次方程的根即可求解. 【详解】由二次函数的图像知， 方程的两根为，且， 不等式的解集是. 故选：A. 8．不等式的解集是，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从“不等式的解集是”这一条件分别求出a、b，再解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以不等式可化为，即， 得到，. 因此为，可化为， 解得，所以该不等式的解集为. 故选：A. 9．设，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式、一元二次方程和二次函数间的关系，求解不等式即可. 【详解】由于，故不等式可化为， 此时不等式的二次项系数为，其对应的一元二次方程的两根为，且， 所以不等式的解集为. 故选：C 10．若不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解含参数的一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为不等式的解集不是空集， 则需方程有两个不同的实数根， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 知识点3 “三个二次”之间的关系及一元二次不等式恒成立问题 (1)“三个二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) {x|x≠－} ax2＋bx＋c＜0 R (a＞0)的解集 (x1，x2) ∅ ∅ (2)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． (3)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方． (4)一元二次不等式恒成立的条件 ①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是： a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)． ②ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)． 一、单选题 1．（20-21高三下·四川·三模）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的恒成立的概念，即可求解. 【详解】当时，恒成立，满足题意； 当时，须满足，解得； 当时，无条件使得不等式对一切实数都成立； 综上所述，的取值范围为. 故选:C. 2．（24-25高三上·四川·一模）若关于x的不等式的解集为，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的解集为，可知，对恒成立，再令和，进行分类讨论即可. 【详解】∵关于x的不等式的解集为， ∴，对恒成立， ①时，，原不等式可化为，解集为R成立， ②时，， 解得， 综上，，即实数k的取值范围为． 故选：A． 3．（24-25高三下·浙江·模拟预测）已知函数（为常数），满足，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，恒成立，可得，，两式联立即可得的值. 【详解】，则， ， 恒成立，则恒成立, , 由得 即 , 故选：A. 4．（24-25高三下·江苏·三模）正数满足，若对任意正数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据基本不等式求出的最小值，再求解一元二次不等式. 【详解】， 当且仅当等号成立. 因为对任意正数恒成立， 所以，即，解得. 则实数的取值范围是. 故选：A. 5．（17-18高三下·浙江温州·三模）已知，且对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D．以上情况均有可能 【答案】A 【分析】根据得出即，求出二次函数对称轴，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为，对任意恒成立， 所以，解得， 又函数的对称轴为，图像为开口向上的抛物线， 所以点到对称轴的距离越远，函数值越大， 显然，所以， 故选：. 一、单选题 1．若函数的定义域是，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数定义域的定义将问题转化为在上恒成立，从而得解. 【详解】因为的定义域是， 所以在上恒成立， 当时，不等式可化为，显然在上不恒成立； 当时，则，解得； 综上，，即. 故选：D. 2．已知不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分和两种情况讨论即可求解. 【详解】若，则转化为，解得，故不符合题意； 若，则由不等式恒成立，得，解得； 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 3．如图所示，二次函数的图像与x轴有两个交点，坐标分别是，那么不等式的解集是（    ） A． B． C． D．R 【答案】A 【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】由题意可得，函数的图象与x轴的交点为. 由图可得，则不等式的解集为. 故选：A. 4．已知方程的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合一元二次方程的解与一元二次不等式的解集之间的关系，即可求解. 【详解】因为方程的解集为， 所以不等式的解为或， 即不等式的解集为. 故选：C. 5．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】将题目转化为不等式恒成立问题，分情况讨论解一元二次不等式解的情况即可解得. 【详解】的解集为, 即恒成立， 当时，即，不符合题意， 当时，则’解得 综上所述实数的取值范围是. 故选：B 6．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过分离参数，由不等式在指定区间内有解，转化为求一元二次函数的最小值的问题，再通过分析函数在指定区间的单调性即可求解. 【详解】设，开口向上，对称轴为直线， 所以要使不等式在区间内有解，只要即可， 而在单调递减，在单调递增，所以， 即，得， 所以实数a的取值范围为， 故选：D 7．不等式的解集是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式的解集为空集，即对应的一元二次方程无实数根，再利用判别式求解即可, 【详解】不等式的解集是空集， 则对应的一元二次方程无实数根， 即，解得， 故的取值范围是. 故选：C. 8．已知函数，若，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论. 【详解】因为，， 则恒成立， 当时，则，解得，不符合题意； 当时，要使恒成立， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 9．二次函数的图像与x轴无交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数与轴无交点，判别式小于零可求. 【详解】解：二次函数的图像与x轴无交点，即， ，，解得； 故选：. 10．已知方程的两根分别为2和3，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程，一元二次不等式及二次函数的关系即可得解. 【详解】方程的两根分别为2和3， 则函数与轴的交点坐标为，，图像为开口向上的抛物线， 所以不等式的解集为， 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$