专题1不等式的基本性质及区间（讲义）- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块2不等式的第1个专题：不等式的基本性质及区间。本专题涵盖比较实数大小的方法、不等式的基本性质、区间的概念及使用等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 不等式的基本性质及区间（讲义） 知识点1 不等式的性质及比较两个实数的大小的方法 （1） ①对称性：a＞b⇔b＜a； ②传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c； ③可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； ④可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； ⑤可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)； ⑥可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)； ⑦倒数法则：. （2）两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b. 一、单选题 1．（24-25高三下·四川自贡·二模）下列说法正解的是（   ） A．若则 B．若则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高三上·四川·二模）已知非零实数x，y，z满足，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． 3．（23-24高三上·四川·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知实数满足，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（14-15高三·四川泸州·一模）设a、b、c均为实数，且，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如果，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，都是实数，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 5．若，，则m与n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．若 ，，则正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知，则与的大小关系为 . 9．如果，，那么，，从小到大的顺序是 . 10．比较大小：若，，则的大小关系为 ． 知识点2 区间 （1）区间的概念 ：设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} 一、单选题 1．（22-23高三·云南·职教高考）设，则=（    ） A． B． C． D． 2．（19-20高三·浙江宁波·二模）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（17-18高三下·浙江温州·三模）函数有意义，则的取值范围是 ．（答案用区间表示） 4．（22-23高三下·浙江宁波·模拟预测）不等式组的解集用区间表示是 ． 5．（21-22高三·辽宁抚顺·模拟预测）设，，则 . 一、单选题 1．已知不等式，则其解集为（    ） A． B． C． D． 2．用区间表示集合，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．商务专业学生在策划促销活动时，设商品原价为元，现折扣为（），折后价为元，已知且要求折后价满足，，则的取值范围用区间表示为（     ） A． B． C． D． 4．医护专业在配置某种药剂，已知药剂浓度满足，则的取值范围用区间表示为（     ） A． B． C． D． 5．电工在检测电路时，发现某段电路的电阻（单位：）满足不等式，则的取值范围用区间表示为（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，若且，则x所在的区间是（    ） A． B． C． D． 9．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．若，则不等式的解集是 ． 13．某跨国公司的季度利润（单位：百万美元）与季度销售额（单位：百万美元）满足关系，且公司要求季度利润在到百万美元之间（包含两端值），同时考虑到市场波动，销售额需满足不等式，则季度销售额的取值区间是 . 14．设全集为 ，集合 ，则 15．已知集合，集合，则 （用区间表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块2不等式的第1个专题：不等式的基本性质及区间。本专题涵盖比较实数大小的方法、不等式的基本性质、区间的概念及使用等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 不等式的基本性质及区间（讲义） 知识点1 不等式的性质及比较两个实数的大小的方法 （1） ①对称性：a＞b⇔b＜a； ②传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c； ③可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； ④可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； ⑤可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)； ⑥可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)； ⑦倒数法则：. （2）两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b. 一、单选题 1．（24-25高三下·四川自贡·二模）下列说法正解的是（   ） A．若则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得解. 【详解】选项，若则，成立； 选项B，若，当，时，此时，故错误； 选项C，当时，没有意义，故错误； 选项D，若，，所以，则，故错误； 故选：． 2．（23-24高三上·四川·二模）已知非零实数x，y，z满足，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质易得答案. 【详解】因为, A:,所以,所以,故错误, B:,故正确, C:当时,,故错误, D:当时,,故错误. 故选:B． 3．（23-24高三上·四川·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用作差法比较大小即可. 【详解】已知，， 则， 所以， 故选：A. 4．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知实数满足，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性可得，再由作商法结合对数的换底公式比较大小即可. 【详解】因为， 且均为增函数， 由，得， 设， 则， 则， 由于在上为增函数，所以， 所以，则， 由于在上为增函数，所以， 可得． 故选：A. 5．（14-15高三·四川泸州·一模）设a、b、c均为实数，且，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式，找出各选项的反例判断正误即可. 【详解】选项A：若，则，故错误. 选项B：由不等式的性质可知，正确. 选项C：当时，，故错误. 选项D：若，但，故错误. 故选：B 一、单选题 1．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合幂函数的单调性，根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增，若，可以推出“”，所以“”是“”的充分条件. 反过来，若“”， 由函数在上单调递增可以推出“”，所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．如果，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，利用作差比较法，即可比较大小. 【详解】因为，所以，, 所以，所以，故选项A错误； 所以，所以，故选项B错误； 所以，所以，故选项C错误； 所以，所以，故选项D正确； 故选：D. 3．已知，，都是实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，利用作差法，即可判断求解. 【详解】因为，，都是实数，且， 若，则，故选项A错误； 若时，，故选项B错误； 当时，无意义，故选项C错误； 若，则，故，即， 故选项D正确； 故选：D. 4．已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】根据题意，利用作差法，即可判断求解. 【详解】因为， 所以， 即. 故选：B． 5．若，，则m与n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差比较法比较大小即可. 【详解】，， ， 则； 故选：D. 6．若 ，，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，可判断A错误；利用不等式的性质及中间量1，可判断B错误；利用作商法及指数函数的单调性，可判断C错误；利用对数函数的单调性、不等式的性质和换底公式，可判断D正确. 【详解】对A选项，因为，所以，又，所以，故错误； 对B选项，因为，，所以， ，， 此时，故错误； 对C选项，因为，，所以，. 所以，即，故错误； 对D选项，因为，，所以， 即，故，D正确. 故选：D 7．若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质判断即可. 【详解】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A. 二、填空题 8．已知，则与的大小关系为 . 【答案】 【分析】利用作商比较法比较代数式大小即可. 【详解】∵，又， ∴ ，， ∴ ，即 又，； ∴； 故答案为：. 9．如果，，那么，，从小到大的顺序是 . 【答案】 【分析】根据作商比较大小和不等式的性质即可求解. 【详解】因为，， 所以三个式子很明显都是负数， 作商有，即，且，所以； 同理，所以，由不等式的传递性可知， 综上：， 故答案为： 10．比较大小：若，，则的大小关系为 ． 【答案】＞ 【分析】由作差法判断即可. 【详解】因为，， 所以，即. 故答案为：>. 知识点2 区间 （1）区间的概念 ：设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} 一、单选题 1．（22-23高三·云南·职教高考）设，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由交集的定义求出，再由补集的定义即可求解求. 【详解】因为，. 所以. ，所以或， 即. 故选：B. 2．（19-20高三·浙江宁波·二模）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集和补集的运算和定义即可解得 【详解】由题，， 则， 则， 故选：D 二、填空题 3．（17-18高三下·浙江温州·三模）函数有意义，则的取值范围是 ．（答案用区间表示） 【答案】 【分析】根据二次根式的性质及分母不为零，列出不等式组即可得解. 【详解】要使函数有意义， 则，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 4．（22-23高三下·浙江宁波·模拟预测）不等式组的解集用区间表示是 ． 【答案】 【分析】解不等式组，根据区间的定义表示解集即可. 【详解】不等式组可化为， 所以， 所以原不等式组的解集用区间表示是. 故答案为： 5．（21-22高三·辽宁抚顺·模拟预测）设，，则 . 【答案】 【分析】根据区间的交集运算求解即可. 【详解】因为. 所以. 故答案为：. 一、单选题 1．已知不等式，则其解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式， 得且， 由，得或， 解得或， 由，得， 即，解得， 由或或， 所以的解集为， 故选：A. 2．用区间表示集合，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由区间的定义即可求解. 【详解】集合用区间表示为. 故选：B. 3．商务专业学生在策划促销活动时，设商品原价为元，现折扣为（），折后价为元，已知且要求折后价满足，，则的取值范围用区间表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，解不等式即可得出结果. 【详解】因为，，且，所以. 先解，得，即；再解，得，即 ​. 所以的取值范围是. 故选：A 4．医护专业在配置某种药剂，已知药剂浓度满足，则的取值范围用区间表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】解不等式，移项得，即， 两边同时除以，不等号变向得， 用区间表示为. 故选：A. 5．电工在检测电路时，发现某段电路的电阻（单位：）满足不等式，则的取值范围用区间表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，解不等式，再用区间表示即可. 【详解】由题意，解不等式，移项得，即， 两边同时除以，得，用区间表示为. 故选：A. 6．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的概念运算，再由区间表示出来即可. 【详解】已知集合， 则，区间表示为， 故选：D. 7．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间的定义及集合之间的包含关系即可得解. 【详解】∵，∴集合是集合的子集， 又∵，，所以， 故选：. 8．已知，若且，则x所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间的表示方法表示即可. 【详解】且用区间表示为， 因为，所以. 故选：C. 9．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合补集的运算即可求解. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故选：A. 10．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质，结合区间的运算即可得解. 【详解】因为，所以， 又，则，即. 故选：C. 11．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可知，阴影部分为，再由补的定义求解，最后用区间的形式表示集合即可. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为， 因为，，所以， 所以. 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：C. 二、填空题 12．若，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】已知， 所以，由， 可得， 因为当时，， 所以不等式的解为 或， 故答案为：． 13．某跨国公司的季度利润（单位：百万美元）与季度销售额（单位：百万美元）满足关系，且公司要求季度利润在到百万美元之间（包含两端值），同时考虑到市场波动，销售额需满足不等式，则季度销售额的取值区间是 . 【答案】 【分析】根据题意解不等式组即可得解. 【详解】由题意可知，即， 解得， 又因为，即，解得， 所以销售额的取值范围为，即销售额的取值区间是， 故答案为：. 14．设全集为 ，集合 ，则 【答案】 . 【分析】根据区间的补集运算易得答案. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 15．已知集合，集合，则 （用区间表示） 【答案】 【分析】根据集合与区间的关系来求解. 【详解】由题意，，所以. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$