冀教八下期末真题百题大通关（111题5大模块题型）（提升版）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（冀教版）

冀教八下期末真题百题大通关（111题5大模块题型）（提升版） 题型汇聚 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数据的收集与整理 题型二 平面直角坐标系 题型三 函数 题型四 一次函数 题型五 四边形 题型练习 题型一 数据的收集与整理 1．（23-24八年级下·河北唐山·期末）有关部门规定，初中学生每天睡眠时间不得少于小时．某校兴趣小组想了解全校名学生每天的睡眠时间，随机抽取了名学生进行问卷调查．下列表述不正确的是（  ） A．总体：全校名学生每天的睡眠时间 B．个体：每名学生每天的睡眠时间 C．样本：随机抽取的名学生 D．样本容量： 2．（23-24八年级下·河北邢台·期末）某校进行植树活动，活动结束后统计了各班级种植树木的数量，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个数值，不含后一个数值），根据图中所提供的信息，下列说法正确的是（    ） A．共有24个班级参加植树活动 B．频数分布直方图的组距为2.5 C．有的班级种植树木的数量多于35棵 D．有3个班级都种了45棵树 3．（23-24八年级下·河北沧州·期末）嘉琪将本班某次数学成绩绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个数值，不含后一个数值），下列说法错误的是（   ） A．频数分布直方图的组距为10 B．成绩在内的人数最多 C．优秀（分）的人数是22人 D．成绩在内的人数占总人数的 4．（23-24八年级下·河北沧州·期末）为了了解八年级1000名学生一分钟跳绳次数的情况，某校抽取了一部分八年级学生进行一分钟跳绳的测试（跳绳次数都是整数），将所得数据进行整理，得到如下频数分布表： 组别 分组 频数 频率 1 4 0.04 2 3 0.03 3 45 0.45 4 5 6 0.06 6 2 0.02 (1)在这个问题中，总体是____________，样本容量是____________； (2)第四小组的频数____________，频率____________； (3)若次数在110次（含110次）以上为达标，试估计该校八年级学生一分钟跳绳次数的达标率是多少？ 5．（23-24八年级下·河北唐山·期末）为建设书香校园，某学校开展了读书月活动，想了解全校学生的日人均阅读时间（单位：小时），学校的数学兴趣小组设计了调查方案． 调查的方法：学校每班50人，从18个班中分别抽取了学号是5、15、25、35、45的学生进行调查； 调查的途径：问卷调查； 调 查 问 卷 根据每天阅读的时间共分为A、B、C、D四组，每组对应的阅读时间图表 组别 A B C D 本人阅读时间 根据自己的时间，你每天阅读时间的组别是 数据的整理与表示：不完整的频数分布表和频数分布直方图 组别 A B C D 本人阅读时间 学生人数 9 a 40 11 解决问题： (1)此次稠查样本容量是： ； (2)求a的值并补全图的频数分布直方图； (3)小红在整理数据后，想用扇形图表示数据；请帮忙计算D组对应的圆心角度数． 6．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）我县开展“讲文明、树新风”知识竞赛活动，某校组织了－－次知识竞赛，赛后发现所有参与者的成绩（总分分）均不低于分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取若干名参与者的成绩进行整理，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 分数段（成绩为分） 频数 频率 请你根据统计图表解答下列问题： (1)此次抽样调查的样本容量是______，______，______，______，______； (2)请补全参与者成绩分布直方图； (3)竞赛按照分数由高到低共设置一、二三等奖，如果有的参与者能获得一等奖，那么一等奖的最低分数线是多少？ 7．（23-24八年级下·河北张家口·期末）在校园艺术节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从“歌曲”“舞蹈”“小品”“主持”“乐器”五个选项中选择一项．现将选择情况绘制成了条形统计图和不完整的扇形统计图，其中条形统计图部分被不小心污染．请根据统计图中的相关信息，回答下列问题： (1)图1中，根据数据信息可知：参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的______倍，而统计图表现出来的直观情况却是：参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的3倍，两个结果之所以不一样，是因为______； (2)请求出全校一共有多少名学生参加“舞蹈”比赛； (3)在图2中，“小品”部分所对应的圆心角的度数为______． 8．（23-24八年级下·河北保定·期末）杭州亚运会于年月日召开，某校决定在全校范围内开展亚运知识的宣传教育活动．为了了解宣传效果，随机抽取部分学生，并在活动前、后对这些学生进行了两次跟踪测评，两次测评中所有同学的成绩没有低于分的，现在将收集的数据制成如下的频数分布直方图（每一组包含左端值，不包含右端值）和频数分布表 宣传活动后亚运知识成绩频数分布表 成绩/分 频数 (1)本次活动共抽取 名学生． (2)在频数分布直方图中，组距是 ； (3)表中的___________，宣传活动后，在抽取的学生中分数高于分的至少有 人，至多有 人． (4)小聪认为，宣传活动后成绩在分的人数为，比活动前减少了人，因此学校开展的宣传活动没有效果，请你结合统计图表，说一说小聪的看法是否正确，为什么？ 题型二 平面直角坐标系 9．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，把绕点逆时针旋转，点的对应点为点，则的坐标为 ． 12．（23-24八年级下·河北张家口·期末）若点到x轴的距离是2024，则 ． 13．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在x轴上时，求点P的坐标； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； (3)将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标． 14．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)与关于原点对称，画出； (2)是绕点顺时针旋转得到的，写出、、的坐标． 15．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，在网格中的位置如图所示，的三个顶点都在格点上． (1)若与关于原点对称，则三个顶点的坐标（_____，_____）；（_____，_____）（_____，_____）； (2)若与关于轴对称，在平面直角坐标系中画出； (3)若以点、、为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点的坐标． 16．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，． (1)平移，得到，已知点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______； (2)在图中画出，使与关于原点成中心对称； (3)与恰好关于点成中心对称，则点坐标为______；四边形的面积为______． 17．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，已知在平面内市政府所在位置的坐标为，文化宫所在位置的坐标为， (1)请你根据题目条件，画出平面直角坐标系； (2)用你建立的坐标系描述其他位置的坐标． 18．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）正方形网格中每个小正方形的边长为一个单位长度，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)点A的坐标为________________，点B的坐标为________________，点C的坐标为________________． (2)的面积为________________． (3)若点P是x轴上一动点，当点P到A、C的距离之和最小时，点P的坐标为________，最小距离为________． 19．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A、B都在格点上（网格线的交点叫做格点），且它们的坐标分别是、． (1)点B关于y轴的对称点的坐标是______； (2)若点C的坐标是，将先沿y轴向上平移4个单位长度后，再沿y轴翻折得到，画出，点的坐标是______； (3)的面积为______． 20．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于轴对称的； (2)画出向下平移个单位长度得到的； (3)在的内部有一点，其坐标为，请直接写出点经过以上变换后的对应点的坐标． 21．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，．    (1)将点B，点A都向左平移5个单位长度，分别得到对应点C和D，顺次连接A，B，C，D，画出四边形； (2)把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，在四边形内部(不包括边界)的整点M，使，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 22．（23-24八年级下·河北保定·期末）我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点与上的任意一点，如果线段的长度最短，我们就称线段为“理想距离”． (1)如图，点在线段上，点在线段上，如果为理想距离，那么的长为______； (2)有射线和线段，点在线段上，点在射线上； 如图，当，时，画出理想距离的示意图，并计算的长； 如图3，保持线段在轴上（点在点的左侧），且为个单位长度，，理想距离的长满足，直接写出的取值范围. 题型三 函数 23．（23-24八年级下·河北唐山·期末）下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（  ） A．圆的面积公式 中，是的函数 B．同一物质，物体的体积是质量的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式 中是的函数 24．（23-24八年级下·河北唐山·期末）小赵以每件5元的价格购进某商品若干件到市场销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系图象如图所示，则降价后每件商品的销售利润率为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 26．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）A、B两地相距，甲8：00由A地出发骑自行车去B地，速度为；乙9：30由A地出发开汽车也去B地，速度为．两人之间的距离与时刻t的函数关系大致如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．， B．， C．乙到达B地时两人相距 D．乙比甲提前到B地 27．（23-24八年级下·河北张家口·期末）若函数，则自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 28．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，直线l（不经过点A，B，E）与五边形的边，相交，设，，则能够大致反映y与x函数关系的部分图像是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 30．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们生产的零件数量y（个）与生产时间之间的关系如图所示． (1)根据图象填空： ①甲、乙中，前2个小时甲每小时生产零件______个，乙每小时生产零件______个；______（甲、乙）先完成40个零件的生产任务；在生产过程中______（甲、乙）因机器故障停止生产______h； ②当______时，甲、乙生产的零件个数相等． (2)谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内他每小时生产零件的个数． 题型四 一次函数 31．（23-24八年级下·河北邢台·期末）一次函数的图象过一、二、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·河北沧州·期末）已知直线上有两点，点和点，且，则下列说法正确的是（    ） A．n的值可能为 B．y随x的增大而增大 C．图象过第一、二、四象限 D．点可能在函数图象上 33．（23-24八年级下·河北唐山·期末）下列图形是以方程的解为坐标的点组成的图象的是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）甲、乙两人以相同路线前往距离单位的培训中心参加学习．图中，分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程）随时间（分）变化的函数图像，以下说法中错误的是（   ） A．乙比甲提前12分钟到达 B．甲的平均速度为15千米/小时 C．乙走了后遇到甲 D．乙出发6分钟后追上甲 35．（23-24八年级下·河北唐山·期末）关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 36．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如图6所示，设购买体育用品的原价总额为x元，甲、乙两个专卖店实际付款分别为元，元．对于结论Ⅰ，Ⅱ，判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：当时，与x之间的函数解析式为； 结论Ⅱ：当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，x的值为100或800 甲店：所有商品按原价八折出售； 乙店：一次性购买商品总额不超过200元时按原价付款；超过200元时，其中200元无优惠，超过200元的部分享受七折优惠 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ，Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 37．（23-24八年级下·河北保定·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，这个错误的的值是（    ）cm      … 0 1 2 3 … … 0.7 1.2 1.5 1.9 … A．0.7 B．1.2 C．1.5 D．1.9 38．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图平面直角坐标系中，，，点是线段上一点，直线解析式为，当随增大而减小时，点坐标可以是（    ）    A． B． C． D． 40．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）购买一种水果，所付款金额（元）与购买数量之间的函数图像由线段．和射线组成；如图所示，则一次购买这种水果，比分两次每次购买这种水果可以节省的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 41．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，若关于x的不等式组的解集为，则的值为（   ） A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数 42．（23-24八年级下·河北张家口·期末）若直线经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）一次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．关于的不等式的解集是 C．关于的方程的解是 D．关于，的方程组的解为 45．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）等腰中，，记，周长为y，定义为这个三角形的坐标，如图所示，直线将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（     ） ①对于任意等腰，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； ②对于任意等腰，其坐标可能位于区域Ⅳ中 ③若是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中； ④图中点M所对应的等腰三角形的底边比点N所对应的等腰三角形的底边要长． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 46．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 47．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，点，． （1）点A关于x轴的对称点的坐标为 ： （2）若点P为坐标轴上一点，当的周长最小时，点P的坐标为 ． 48．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）一次函数中，的几组对应值如下表，可以得到的值为 ． … … … … 49．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：，四边形为正方形，点的坐标为． （1）若直线经过点，则 ； （2）若直线被正方形的边所截得的线段长度为，则 ． 50．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，写出m的取值范围 51．（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．(其中) 52．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．在中，，，点的坐标为，点的坐标为． （1）若为直线上的一点，当时，的取值范围是 ． （2）将沿轴向左平移，平移距离为．当与直线有交点时，的取值范围为 ． 53．（23-24八年级下·河北保定·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，是轴上的两点， （1）当为等腰三角形时，点的坐标为 ． （2）求的最小值为 ． 54．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）正方形，，，…按如图所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ，点的纵坐标是 ． 55．（23-24八年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移a（）个单位长度后，与x轴交于点A，与y轴交于点B．若的面积为2，则a的值为 ． 56．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为．    （1）若入射光线与平面镜有公共点，的取值范围是 ． （2）规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，点是整点的个数是 ． 57．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，甲容器已装满水，高为20厘米的乙容器装有一定高度的水，由甲容器向乙容器注水，单位时间注水量一定，设注水时间为（分），甲容器水面高为，乙容器水面高度为，其中与成正比例，且当时，；与成一次函数关系，部分对应值如下表： （分） 3 5 8 12 (1)分别写出与与的函数关系式，并求出未注水时乙容器原有水的高度； (2)当两个容器水面高度相同时，这个高度称为平衡高度，求甲、乙两个容器的平衡高度； (3)当甲容器的水完全注入乙容器时，乙容器是否注满？是，说明理由；不是，需调整乙容器原有水的高度，求符合条件的乙容器原有水的高度． 58．（23-24八年级下·河北承德·期末）一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． (1)确定一次函数解析式，在坐标系中画出一次函数的图象； (2)结合图象解答下列问题： ①当时，的取值范围是______； ②当时，的取值范围是______； (3)若点在这个函数的图象上，求出的值，写出点的坐标； (4)这个函数的图象上有两个点：，，请比较和的大小，并说明理由． 59．（23-24八年级下·河北张家口·期末）在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案（设购票张数为x张，购票款为y元）：方案一：提供8000元赞助后，每张票的票价为50元；方案二：票价按图中的折线OAB所表示的函数关系确定． (1)若购买120张票时，按方案一购票需______元； (2)求方案二中y与x的函数关系式； (3)求购买多少张票时，方案一与方案二的购票款相同． 60．（23-24八年级下·河北邢台·期末）【阅读理解】 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点，若都按乙方式，最终移动到点若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． 【应用】 点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点其中，按甲方式移动了次． （1）当时，若点恰好落在直线求的值； （2）已知点，点，若无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上， ①若点A、点位于直线的两侧，求的取值范围； ②若点A关于直线的对称点落在坐标轴上，直接写出的值； 61．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B；直线经过两点，两直线相交于点C． (1)求的函数表达式；直接写出交点C的坐标 ； (2)在x轴上有一动点，过点T作x轴的垂线l，直线l交直线于点P、Q，当时，求t的值； (3)如图2，若在y轴上有一点，在直线l上是否存在一点E，使直线与y轴的夹角与互余，请直接写出点E的坐标 （用含t的代数式表示）． 62．（23-24八年级下·河北唐山·期末）某种机器是在油箱加满的状态下开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)机器工作时每分钟耗油量为______L； (2)求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)求机器工作半个小时后油箱中剩余的油量． 63．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图 是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，为了探究叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量（个）的变化规律．设纸杯底部到纸杯沿底边高为，杯沿高为． (1)纸杯底部到纸杯沿底边高为是 （填“常量”或“变量”）； (2)写出纸杯的总高度与纸杯数量（个）的函数关系式： （用含的式子表示）． (3)嘉琪同学经过实践探究，列出下列表格： 纸杯数量（单位∶ 个） 纸杯总高度（单位∶） ①根据表格中数据求出和的值； ②该型号纸杯有个装、个装、 个装共三种包装，均把纸杯叠放成一叠进行包装，图是某品牌饮水机的示意图，储藏柜的高度是 ，则该储藏柜能放得下 （杯口向上）这三种包装中哪些包装的纸杯 （直接写结果）． 64．（23-24八年级下·河北唐山·期末）一次函数的图象分别交两坐标轴于点和点，如图所示．在研究函数的图象和性质时，某同学把一次函数中的k、b调换位置得到一次函数．    (1)求k、b的值； (2)在图中画出的图象 （不用列表）； (3)直接写出方程组 的解为； (4)直线轴，且与直线、分别交于点、， 点M永远在点N的上方，则m的取值范围是 ． 65．（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知与成正比例， 当时，． (1)求与的函数关系式； (2)若（）中的函数图象经过第四象限内的点，已知点到轴的距离是，求点的坐标． 66．（23-24八年级下·河北张家口·期末）已知y关于x的函数． (1)若该函数是正比例函数，求k的值； (2)若． ①写出该函数图象经过的象限； ②若点，在该函数的图象上，且，比较与的大小关系． 67．（23-24八年级下·河北邢台·期末）某场地的跑道分为上坡、平地、下坡三种类型，如图，一名运动员从点O出发，沿O﹣A﹣B﹣C的路线运动，一架无人机始终在运动员的正上方进行跟踪拍摄，且无人机离水平地面的高度保持在．经观察，无人机以的速度匀速向右飞行．已知上坡路段．平地AB段距离地面的高度为，． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线BC的函数表达式，并求运动员在下坡路段（BC）的速度； (3)直接写出运动员在O﹣A﹣B﹣C路线上运动的过程中，与无人机的距离不超过的时长． 68．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）甲、乙两人相约去登山，山高300米，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)求甲的速度； (2)若乙提速后，乙登山的速度是甲登山速度的3倍． ①求线段的函数表达式（不需要写出x的取值范围）； ②在乙行进过程中，直接写出当x的值为多少时，甲、乙两人的高度差为50米． 69．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值． 输入x … 0 2 … 输出y … 2 6 16 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)当输入的x值为1时，输出的y值为__________； (2)求k，b的值． 70．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，平面直角坐标系中，直线，直线经过点. (1)求的值并说明直线必过点； (2)若直线与直线交于轴上一点，求的值并在直角坐标系中画出直线； (3)若直线与直线的交点总在点的右侧，直接写出的取值范围. 71．（23-24八年级下·河北唐山·期末）根据需要，某厂要制作如图所示的A，B两种塑料盒（单位：）共80个，购进某种塑料板材100张， 每张这样的塑料板材有两种裁剪方法： 甲：裁成4块的小正方形板； 乙：裁成8块的小长方形板． 先将x张这种板材都按甲方法裁成小正方形板，用于制作80个A，B两种塑料盒的正方形的面，每个A种塑料盒需要6块正方形的面，每个B种塑料盒需要2块正方形的面和4块长方形的面，设制作A种塑料盒y个， (1)按甲方法裁成小正块方形板_______块（用含x的式子表示），按甲方法裁成小正方形板（_______）（用含y的式子表示），求y与x的函数关系式； (2)若把剩下的板材都按乙方法裁成小长方形板，恰好做成了A，B两种塑料盒各40个，已知每张板材的进价是4元，将其按甲方法裁剪还需要1元，按乙方法裁剪还需要3元，其他成本忽略不计．A种塑料盒的销售单价定为m元，B种塑料盒的销售单价定为元，但不低于7元．m定为多少时，这批塑料盒的销售利润最大，并求出最大利润． 72．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与过点的直线交于y轴上的点B，点A，D分别为直线，与x轴的交点． (1)求点B的坐标及直线的函数表达式； (2)若过点B的直线把的面积平分，直接写出直线的表达式． 73．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图像，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方．2号机从原点处沿仰角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处． (1)求的关于的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度； (2)求的关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标； (3)通过计算说明两机距离不超过的时长是多少． [注]：（1）及（2）中不必写的取值范围 74．（23-24八年级下·河北沧州·期末）某商家计则购进A，B两种品牌的红酒进行销售，经调查，用30000元即买A品m红酒的数量是用9000元购买B品牌红酒数量的3倍，一箱A品牌红酒的进价比一箱B品牌红酒的进价多20元． (1)求A，B两种品牌红酒一箱的进价分别为多少元； (2)若该商家购进A，B两种品牌的红酒共210箱进行试销，其中A品牌红酒的数量不多于B品牌红酒数量的2倍，且不少于100件，已知A品牌红酒的售价为320元/箱，B品牌红酒的售价为280元/箱，且全部售出，设购进A品牌红酒m箱． ①求商家销售这批红酒的利润P与m之间的函数解析式，并写出所获利润最大时的进货方案； ②在①的条件下，商家决定在试销活动中每售出一箱A品牌红酒，就从所得的利润中抽取a元支援贫困山区的儿童，求该商家售完所有红酒并支援贫困山区儿童后获得的最大收益． 75．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，点是的中点． (1)求直线的解析式； (2)在轴上有一点，使得，求点的坐标． 76．（23-24八年级下·河北承德·期末）直线经过和与直线：交于点，直线，与轴，，分别交于点，，． (1)求直线解析式； (2)将直线向上平移4个单位得直线，直接写出直线的解析式； (3)①若点，关于点对称，求值； ②若直线与直线，不能围成三角形，直接写出值． 77．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）一个水库的水位在最近内持续上涨，时达到警戒水位，开始开闸放水．下表记录了该水库内水位的变化情况，其中x表示时间（单位：h），y表示水位高度（单位：m）． 0 2 4 6 8 10 12 6 7 8 9 8 7 6 (1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点； (2)开闸放水前，水位高度y是时间x的一次函数，请求出这个函数解析式并写出x的取值范围； (3)开闸放水后的函数解析式满足，据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续，预测再过水位高度为多少m． 78．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3)若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 79．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知与x成正比例，且当 时，．直线．   (1)求关于x的函数解析式，并在图中画出其图象． (2)将直线向上平移个单位长度得到直线．设图象，直线 分别与x轴交于点A，B，且O，A，B三个点中的两个点关于另一个点中心对称．当 时，求a的值． (3)若在 时，对于x的每一个值都有，直接写出m的取值范围． 80．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，矩形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，．    (1)求直线的解析式； (2)若直线与矩形有公共点．求b的取值范围； (3)直线与矩形没有公共点，直接写出k的取值范围． 81．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图1，图2，在平面直角坐标系中，点B，D的坐标分别为，，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线经过点A和点D． (1)四边形的形状是________； (2)求直线的函数解析式； (3)如图2，将直线沿y轴以每秒1个单位长度的速度向下平移，当直线经过点C时，停止移动，设平移的时间为t s． ①在平移过程中，求直线在四边形内的线段的长度保持不变的时长； ②当直线使四边形内部（不包括边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）平均分布在它的两侧时，直接写出t的取值范围． 82．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，且点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线、交于点和点，当时，求的值； (4)将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，直接写出的取值范围． 83．（23-24八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点，称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式．例如点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．    (1)设直线经过上例中的点M，N，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示x，y； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； (3)设（1）和（2）中的直线，，上分别有点A，B，C它们的纵坐标分别是a，b，c；且这三个点在一条直线上，直接写出a，b，c满足的关系式. 题型五 四边形 84．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，平铺某款圣诞帽后，其下方是正六边形，帽子顶部G为延长线的交点，则（   ） A． B． C． D． 85．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，已知，，，点为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，过点作的垂线，分别交于两点．（   ） 甲： 当时， ； 乙： 当时，．    A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 86．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，矩形纸片，，，点M、N分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在点G处，连接，交于点Q，连接．给出下列结论：①当点G落在矩形外时，；②四边形是菱形；③点P与点A重合时，；④的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 87．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 88．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点B的坐标为． （1）若直线恰好经过点B，则 ； （2）若直线将正方形分成面积相等的两部分，则 ． 89．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，矩形中，，延长交于点M，延长交于点F，过点E作，交的延长线于点N，，，则 ． 90．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在矩形中，，，为上一动点，于，于，的面积为 ；则的值为 ． 91．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积是 ，若以为边作等边，那么的度数是 92．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则点C到的距离是 ，的值为 ． 93．（23-24八年级下·河北唐山·期末）将正方形，，按如图所示方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的坐标是 ，的纵坐标是 ． 94．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在边长为1的正方形中，为边上任意一点（不与点重合），交于点，过点且垂直于的一条直线分别交于点．连接，将沿着翻折，点落在点处．的中点为，则的最小值为 ． 95．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在正方形中，分别是边，的中点，连接，，分别是，的中点，连接，若，则的长度为 ． 96．（23-24八年级下·河北保定·期末）在探索命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，嘉琪按照以下步骤用尺规作出了如图所示的四边形．步骤如下： 已知直线l及线段，点B在直线l上，点A在直线l外．如图， ①在直线l上取一点C（不与点B重合），连接； ②以点A为圆心，长为半径作弧，以点B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（与点C位于直线异侧）； ③连接交于点O，连接． (1)根据以上作图过程及所作图形，写出已知和求证．（完成填空） 已知： ， ．求证：四边形是 ． (2)请你替嘉琪写出完整的证明过程． (3)在下列结论①；②；③中，一定正确的结论为 ．（填序号） 97．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动．规定运动时间为秒，当其中一点到达终点时另一点也同时停止运动． (1) ____，____（分别用含有的式子表示）； (2)四边形可能是平行四边形吗？说明理由． (3)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． (4)当点与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 98．（23-24八年级下·河北张家口·期末）已知：如图1，中，，点D为中点．求证：．下面是两位同学两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 嘉嘉：如图2，取AC中点E，连接． 琪琪：如图3，延长CD至点E，使，连接、． 99．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，．动点M在线段上以每秒3个单位长度的速度由点A向点B运动，同时动点N在线段上以每秒1个单位长度的速度由点O向点C运动（当点M到达点B时，点N停止运动）．设运动时间为t秒． (1)当，__________； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若改变点N的运动速度，其他条件不变，直接写出当N的速度为多少时，能够使四边形成为菱形． 100．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，． (1)将点B，点A都向左平移5个单位长度，分别得到对应点C和D，顺次连接A，B，C，D，画出四边形，并判断四边形的形状； (2)把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，在四边形内部（不包括边界），是否存在整点M，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 101．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、． （1）若，则四边形的周长为 ． （2）图③，若，且，则四边形的面积为 ． 102．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在正方形中，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)把正方形改为菱形，其它条件不变（如图②），若，则________度． 103．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图在平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为，，，其中a，b满足，过点A作于点D，交y轴于点E． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． (2)求的长． (3)在平面内是否存在一点Q，使得B、E、A、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 104．（23-24八年级下·河北唐山·期末）在矩形中，，，、分别是、中点，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)当，则四边形一定是怎样的四边形，说明理由． (2)若四边形为矩形，求的值． (3)若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则的值为 ．（直接写出结果） 105．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形边长相等．与相交于点与相交于点． 课本再现（1）求证：； 知识初探（2）嘉琪说：当正方形绕点转动，且与垂直时，四边形的面积最小．你同意嘉琪的说法吗？请说明理由； 拓展探究（3）如图2，四边形中，，连接，若，请直接写出四边形的面积． 106．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，在矩形中，，，把边沿对角线所在直线平移，移动后点A，B的对应点分别为点，，连接，．    (1)连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)在（1）的基础上，若与边交于点P，过点P作，交于点M，交边于点Q，求证：； (3)当四边形的面积为60时，直接写出边平移的距离． 107．（23-24八年级下·河北沧州·期末）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的面积． 108．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图1，正方形与正方形的边、在一条直线上，，，连接，，．    (1)分别求，，的长，并判断是否为直角三角形，并说明理由． (2)求的面积，并直接写出点到的距离． (3)如图2，正方形的对角线落在正方形的边上，，，连接，．则四边形的面积是__________． 109．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，直线轴，交y轴于点，点在直线l上，将矩形绕点O按顺时针方向旋转度，得到矩形，此时直线、分别与直线l相交于点P、Q． (1)当时，点的坐标为______； (2)如图2，当点落在l上时，点P的坐标为______； (3)如图3，当矩形的顶点落在l上时， ①求的长度； ②求． 110．（23-24八年级下·河北衡水·期末）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； (2)①如图，当点在线段上，且点在菱形外部时，（）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②在①的条件下，连接，若，，直接写出的长为 ； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长度为 ． 111．（23-24八年级下·河北石家庄·期末） 【问题提出】（1）如图1，E是正方形边上一点，是等腰三角形，，若交于点，求的大小． 【知识拓展】（2）如图2，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，若交于点，探究与的数量关系． 【知识应用】（3）将图2特殊化，如图3，当时，直接写出的值． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 冀教八下期末真题百题大通关（111题5大模块题型）（提升版） 题型汇聚 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数据的收集与整理 题型二 平面直角坐标系 题型三 函数 题型四 一次函数 题型五 四边形 题型练习 题型一 数据的收集与整理 1．（23-24八年级下·河北唐山·期末）有关部门规定，初中学生每天睡眠时间不得少于小时．某校兴趣小组想了解全校名学生每天的睡眠时间，随机抽取了名学生进行问卷调查．下列表述不正确的是（  ） A．总体：全校名学生每天的睡眠时间 B．个体：每名学生每天的睡眠时间 C．样本：随机抽取的名学生 D．样本容量： 【答案】C 【知识点】总体、个体、样本、样本容量 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此即可判断求解，掌握以上概念是解题的关键． 【详解】解：、总体是全校名学生每天的睡眠时间，该选项正确，不合题意； 、个体是每名学生每天的睡眠时间，该选项正确，不合题意； 、样本是随机抽取的名学生每天的睡眠时间，该选项错误，符合题意； 、样本容量是，该选项正确，不合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·河北邢台·期末）某校进行植树活动，活动结束后统计了各班级种植树木的数量，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个数值，不含后一个数值），根据图中所提供的信息，下列说法正确的是（    ） A．共有24个班级参加植树活动 B．频数分布直方图的组距为2.5 C．有的班级种植树木的数量多于35棵 D．有3个班级都种了45棵树 【答案】A 【知识点】频数分布直方图 【分析】本题考查频数分布直方图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据直方图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而解答本题． 【详解】解：由频数分布直方图可得， 参加植树活动的班级有：（个），故选项A说法正确，符合题意； 频数分布直方图的组距为5，故选项B说法错误，不符合题意； 种植树木的数量多于35棵所占比例为：，故选项C说法错误，不符合题意； 有3个班级都种树数量都大于40棵而小于45棵，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：A． 3．（23-24八年级下·河北沧州·期末）嘉琪将本班某次数学成绩绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个数值，不含后一个数值），下列说法错误的是（   ） A．频数分布直方图的组距为10 B．成绩在内的人数最多 C．优秀（分）的人数是22人 D．成绩在内的人数占总人数的 【答案】C 【知识点】频数分布直方图 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，从直方图上获得所需信息是解题的关键． 根据从直方图上获取的信息逐项判断即可解答． 【详解】解：A．由图可知按成绩分了5组，组距是10，故A选项正确，不合题意； B．由统计图可知，成绩在90分100分之间的人数是14，是最多的，故B选项说法正确，不符合题意； C．优秀（分）的人数是，故C选项说法错误，符合题意； D．成绩在分的人数是12，占总人数的，故D选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 4．（23-24八年级下·河北沧州·期末）为了了解八年级1000名学生一分钟跳绳次数的情况，某校抽取了一部分八年级学生进行一分钟跳绳的测试（跳绳次数都是整数），将所得数据进行整理，得到如下频数分布表： 组别 分组 频数 频率 1 4 0.04 2 3 0.03 3 45 0.45 4 5 6 0.06 6 2 0.02 (1)在这个问题中，总体是____________，样本容量是____________； (2)第四小组的频数____________，频率____________； (3)若次数在110次（含110次）以上为达标，试估计该校八年级学生一分钟跳绳次数的达标率是多少？ 【答案】(1)八年级1000名学生一分钟跳绳次数的情况，100 (2)40，0.40 (3) 【知识点】根据数据描述求频率、根据数据描述求频数、频数分布表、总体、个体、样本、样本容量 【分析】本题考查频数（率）分布表，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体总体． （1）根据总体、样本容量的概念回答； （2）频率分布表中，各组频率之和为1，可得第四小组的频率，进而可得其频数； （3）用样本估计总体，先求出样本中，次数在110次（含110次）以上所占的比例，再估计总体中的达标比例． 【详解】（1）根据总体、样本容量的概念：可得总体为八年级1000名学生一分钟跳绳次数． 样本容量； 故答案为：八年级1000名学生一分钟跳绳次数，100； （2）， ， 故答案为：40，0.40； （3）分析可得：样本中，有93人达标，故达标率为，则该校该校八年级学生一分钟跳绳次数的达标率为． 5．（23-24八年级下·河北唐山·期末）为建设书香校园，某学校开展了读书月活动，想了解全校学生的日人均阅读时间（单位：小时），学校的数学兴趣小组设计了调查方案． 调查的方法：学校每班50人，从18个班中分别抽取了学号是5、15、25、35、45的学生进行调查； 调查的途径：问卷调查； 调 查 问 卷 根据每天阅读的时间共分为A、B、C、D四组，每组对应的阅读时间图表 组别 A B C D 本人阅读时间 根据自己的时间，你每天阅读时间的组别是 数据的整理与表示：不完整的频数分布表和频数分布直方图 组别 A B C D 本人阅读时间 学生人数 9 a 40 11 解决问题： (1)此次稠查样本容量是： ； (2)求a的值并补全图的频数分布直方图； (3)小红在整理数据后，想用扇形图表示数据；请帮忙计算D组对应的圆心角度数． 【答案】(1)90 (2)30，补图见解析 (3) 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、求扇形统计图的圆心角、频数分布表、频数分布直方图 【分析】本题考查了频数分布表和频数分布直方图，解题的关键是∶ （1）利用18乘以每班抽取的人数即可求解； （2）用样本容量减去其余各组人数即可求出a，然后补图即可； （3）用乘以D组所占百分比即可求解． 【详解】（1）解∶样本容量为， 故答案为∶90； （2）解∶， 补图如下∶ （3）解∶， ∴D组对应的圆心角度数为． 6．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）我县开展“讲文明、树新风”知识竞赛活动，某校组织了－－次知识竞赛，赛后发现所有参与者的成绩（总分分）均不低于分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取若干名参与者的成绩进行整理，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 分数段（成绩为分） 频数 频率 请你根据统计图表解答下列问题： (1)此次抽样调查的样本容量是______，______，______，______，______； (2)请补全参与者成绩分布直方图； (3)竞赛按照分数由高到低共设置一、二三等奖，如果有的参与者能获得一等奖，那么一等奖的最低分数线是多少？ 【答案】(1)，，，， (2)图见详解 (3)80分 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布表、频数分布直方图、根据数据填写频数、频率统计表 【分析】本题考查频数分布直方图，根据频数分布直方图、样本容量、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据频数除频率等于总人数，可得样本容量，再根据频数、频率、总人数的关系和表格数据即可求出其他数值． （2）由（1）中数据即可补全参与者成绩分布直方图． （3）由上可得分数段在和的频率分别为，，即，故可得出一等奖的最低分数线是分． 【详解】（1）解：∵分数段在的频数为，占总体频率为， ∴此次抽样调查的样本容量是人， ∵分数段在的频数占总体频率为， ∴其频数， ∵分数段在的频数为， ∴占总体频率， ∴分数段在占总体频率为， 频数， 故答案为：，，，，． （2）由（1）可得参与者成绩分布直方图，如图所示： （3）∵分数段在和的频率分别为，， ∴， ∴一等奖的最低分数线是分． 7．（23-24八年级下·河北张家口·期末）在校园艺术节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从“歌曲”“舞蹈”“小品”“主持”“乐器”五个选项中选择一项．现将选择情况绘制成了条形统计图和不完整的扇形统计图，其中条形统计图部分被不小心污染．请根据统计图中的相关信息，回答下列问题： (1)图1中，根据数据信息可知：参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的______倍，而统计图表现出来的直观情况却是：参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的3倍，两个结果之所以不一样，是因为______； (2)请求出全校一共有多少名学生参加“舞蹈”比赛； (3)在图2中，“小品”部分所对应的圆心角的度数为______． 【答案】(1)2，统计图的人数栏没有从零开始计数 (2)全校一共有64名学生参加“舞蹈”比赛 (3)86.4 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合应用，从统计图中获取相关信息是解题关键． （1）用参加“主持”比赛的人数乘以参加“乐器”比赛人数即可得到倍数关系；根据两个统计图的特点即可发现原因； （2）用参加“主持”比赛的人数除以所占的百分比求出总人数，然后再乘以舞蹈所占的百分比即可解答； （3）首先计算出参加“小品”比赛的人数，然后求出参加“小品”比赛的人数所占的百分比，即可求出“小品”部分所对应的圆心角的度数． 【详解】（1）解： 由，则参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的2倍； ∵统计图的人数栏没有从零开始计数 ∴参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的3倍，两个结果所以不一样． 故答案为：2，统计图的人数栏没有从零开始计数． （2）解：， ， ∴全校一共有64名学生参加“舞蹈”比赛． （3）解：， ， 则“小品”部分所对应的圆心角的度数为． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·河北保定·期末）杭州亚运会于年月日召开，某校决定在全校范围内开展亚运知识的宣传教育活动．为了了解宣传效果，随机抽取部分学生，并在活动前、后对这些学生进行了两次跟踪测评，两次测评中所有同学的成绩没有低于分的，现在将收集的数据制成如下的频数分布直方图（每一组包含左端值，不包含右端值）和频数分布表 宣传活动后亚运知识成绩频数分布表 成绩/分 频数 (1)本次活动共抽取 名学生． (2)在频数分布直方图中，组距是 ； (3)表中的___________，宣传活动后，在抽取的学生中分数高于分的至少有 人，至多有 人． (4)小聪认为，宣传活动后成绩在分的人数为，比活动前减少了人，因此学校开展的宣传活动没有效果，请你结合统计图表，说一说小聪的看法是否正确，为什么？ 【答案】(1)； (2)； (3)，，； (4)小聪的看法不正确，理由见解析． 【知识点】频数分布直方图、频数分布表 【分析】（）根据频数分布直方图即可求解； （）根据频数分布直方图即可求解； （）用抽取的学生总人数减去各组人数即可得到的值，进而根据频数分布表即可求出抽取的学生中分数高于分的至少和至多人数； （）求出宣传活动前后分及以上的人数及其百分比，进行比较即可判断求解； 本题考查了频数分布直方图和频数分布表，看懂统计图表是解题的关键． 【详解】（1）解：本次活动共抽取学生名， 故答案为：； （2）解：组距是， 故答案为：； （3）解：， 在抽取的学生中分数高于分的至少有人， 至多有人， 故答案为：，，； （4）解：小聪的看法不正确，理由如下： 宣传活动前分及以上的有人，所占的百分比为，宣传活动后分及以上的有人，所占的百分比为，因为，所以学校开展的宣传活动有效果，小聪的看法不正确． 题型二 平面直角坐标系 9．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查象限内点的坐标特征，解一元一次不等式组，先根据象限内点的坐标特征列出关于的不等式组，再把解集表示在数轴上，即可得到答案．解题的关键是掌握：①象限内点的坐标特征：第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：；②一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到；③不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴的取值范围是：， ∴解集表示在数轴上为： 故选：C． 10．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据方位描述确定物体的位置 【分析】此题考查的是根据方位角找出对应的图形，掌握方位角的定义是解决此题的关键． 根据方位角的定义判断即可． 【详解】解：A．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，故本选项符合题意； B．货轮A在岛屿O的南偏西方向上，故本选项不符合题意； C．货轮A在岛屿O的南偏东方向上，故本选项不符合题意； D．货轮A在岛屿O的北偏西方向上，故本选项不符合题意； 故选：A． 11．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，把绕点逆时针旋转，点的对应点为点，则的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查图形的旋转及旋转的性质，正方形的性质，点的坐标，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先由点在正方形的边上，求得，，从而得到，再根据根据旋转的性质得出，，则，结合图形，即可求解． 【详解】解：点在正方形的边上， ，， ， 绕点逆时针旋转，如图， ，， ， ， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·河北张家口·期末）若点到x轴的距离是2024，则 ． 【答案】2025或 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值成为解题的关键． 根据到x轴的距离等于纵坐标的绝对值列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵点到x轴的距离是2024， ∴，解得：或． 故答案为：2025或． 13．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在x轴上时，求点P的坐标； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； (3)将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）由点在轴上，得出纵坐标为，解得值并带入横坐标的代数式中即可得出答案． （2）由过点且与轴平行的直线上，得出、两点的横坐标相同，令的横坐标为，解得值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得出答案； （3）根据题意用含的代数式表示点的坐标，根据点的位置特征，解得m的值并带入点的坐标中，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， 把代入中得：， ∴点坐标为． （2）∵点在过点且与y轴平行的直线上， ∴点的横坐标为， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴点坐标为． （3）∵将点向右平移个单位，再向上平移个单位后得到点， ∴的坐标为，即， ∵在第三象限，且到轴的距离为， ∴点的横坐标为， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标及点的平移，掌握相关知识并熟练使用，坐标移动时的方向及求解时的符号是解答本题的关键． 14．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)与关于原点对称，画出； (2)是绕点顺时针旋转得到的，写出、、的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)；； 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查了原点对称作图及旋转作图，熟悉掌握作图方法是解题的关键． （1）根据原点对称的定义，直接作图即可； （2）根据旋转的性质作出图形，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示即为所求： （2）解：根据题意作图可得： ∴由图可得：，，． 15．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，在网格中的位置如图所示，的三个顶点都在格点上． (1)若与关于原点对称，则三个顶点的坐标（_____，_____）；（_____，_____）（_____，_____）； (2)若与关于轴对称，在平面直角坐标系中画出； (3)若以点、、为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)点的坐标为或或 【知识点】坐标与图形、全等三角形综合问题、画轴对称图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，全等三角形的判定，关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是数形结合． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可； （2）先找出关于轴对称的对应点，再依次连接即可； （3）根据全等三角形对应边相等，分和两种情况求解即可． 【详解】（1）由图可知，，，， 与关于原点对称， ，，， 故答案为：，，； （2）如图，即为所求； （3）如图，若，则点的坐标为或， 若，则点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 16．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，． (1)平移，得到，已知点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______； (2)在图中画出，使与关于原点成中心对称； (3)与恰好关于点成中心对称，则点坐标为______；四边形的面积为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，4 【知识点】坐标与图形、利用平移的性质求解、画已知图形关于某点对称的图形、画两个图形的对称中心 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，关于原点对称的点的坐标特征，中心对称的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据点A和点的坐标，得出向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到，即可解答； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征，得出的坐标，分别描出点，再依次连接即可； （3）连接相交于点M，根据图形即可得出点M的坐标，由图可知：四边形的面积，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，． ∴， 如图所示：即为所求； （3）解：连接相交于点M， 由图可知：， 四边形的面积， 故答案为：，4． 17．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，已知在平面内市政府所在位置的坐标为，文化宫所在位置的坐标为， (1)请你根据题目条件，画出平面直角坐标系； (2)用你建立的坐标系描述其他位置的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)医院，体育馆，火车站，市场 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】题考查了平面直角坐标系，解题的关键是掌握确定平面直角坐标系的方法． （1）根据市政府所在位置的坐标和文化宫所在位置的坐标，先确定原点，即可画出平面直角坐标系； （2）根据（1）中画出的平面直角坐标系，即可写出其他位置的坐标． 【详解】（1）平面直角坐标系如图 （2）医院，体育馆，火车站，市场 18．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）正方形网格中每个小正方形的边长为一个单位长度，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)点A的坐标为________________，点B的坐标为________________，点C的坐标为________________． (2)的面积为________________． (3)若点P是x轴上一动点，当点P到A、C的距离之和最小时，点P的坐标为________，最小距离为________． 【答案】(1)；；； (2)2 (3)； 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、勾股定理与网格问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】题目主要考查坐标与图形，利用网格求三角形面积，轴对称的性质及确定一次函数解析式，勾股定理解三角形，结合图形，找出最短距离是解题关键． （1）直接根据图象即可确定点的坐标； （2）利用网格求三角形面积即可； （3）作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P即为所求，利用待定系数法确定一次函数解析式，即可确定点P的坐标，再由网格及勾股定理即可得出最短距离． 【详解】（1）解：由图得：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， 故答案为：；；； （2）的面积为：， 故答案为：2； （3）作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P即为所求，如图所示： 设直线的解析式为，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 最小距离为：， 故答案为：；． 19．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A、B都在格点上（网格线的交点叫做格点），且它们的坐标分别是、． (1)点B关于y轴的对称点的坐标是______； (2)若点C的坐标是，将先沿y轴向上平移4个单位长度后，再沿y轴翻折得到，画出，点的坐标是______； (3)的面积为______． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3)4 【知识点】利用网格求三角形面积、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、平移(作图) 【分析】本题主要考查了轴对称变换、平移变换、三角形的面积等知识点，正确得出对应点位置是解本题的关键． （1）直接根据轴对称的性质写出点B关于y轴的对称点的坐标即可； （2）根据题中方式平移、翻折画出图形，写出坐标即可； （3）直接用所在矩形的面积减去周围三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：点B关于y轴的对称点的坐标是． 故答案为：． （2）解：如图即为所作，点的坐标是， ． 故答案为：． （3）解：． 故答案为：4． 20．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于轴对称的； (2)画出向下平移个单位长度得到的； (3)在的内部有一点，其坐标为，请直接写出点经过以上变换后的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、已知图形的平移，求点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是画轴对称图，平移作图，坐标与图形． （1）根据关于轴对称的两点的坐标特征分别找出点、、关于轴对称的对应点，顺次连接即可； （2）分别找出点、、向下平移后的对应点，顺次连接即可； （3）先得出点关于轴对称的对应点坐标，再根据“左减右加，上加下减”的平移规律得出的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： （3）解：点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为， 点向下平移个单位长度的点的坐标为． 21．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，．    (1)将点B，点A都向左平移5个单位长度，分别得到对应点C和D，顺次连接A，B，C，D，画出四边形； (2)把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，在四边形内部(不包括边界)的整点M，使，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、平移(作图)、坐标与图形 【分析】（1）根据平移的性质得出点C、D的坐标，再连线作图即可． （2）设的边上的高为，由题意得，解得，则满足条件的点在直线上，且在长方形内部(不包括边界)，即可得符合条件的所有点的坐标． 【详解】（1）解：∵点B，点A都向左平移5个单位长度，分别得到对应点C和D，点A，B的坐标分别为，， ∴点的坐标为，点D的坐标为， 画出四边形如图所示．      （2）设的边上的高为， 由题意得， 解得， 满足条件的点在直线上，且在长方形内部(不包括边界)， 符合条件的所有点的坐标为或或． 【点睛】本题考查作图平移变换、熟练掌握平移的知识是解答本题的关键． 22．（23-24八年级下·河北保定·期末）我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点与上的任意一点，如果线段的长度最短，我们就称线段为“理想距离”． (1)如图，点在线段上，点在线段上，如果为理想距离，那么的长为______； (2)有射线和线段，点在线段上，点在射线上； 如图，当，时，画出理想距离的示意图，并计算的长； 如图3，保持线段在轴上（点在点的左侧），且为个单位长度，，理想距离的长满足，直接写出的取值范围. 【答案】(1)； (2)见解析，；． 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、坐标与图形 【分析】（）由点在线段上，点在线段上，可得当与点重合， 点与点重合时，最小，然后利用勾股定理即可求解； （）首先过点作于点，则的长即是的长，易得是等腰直角三角形，即可求解； 当在射线的左侧时，过点作于点，则的长即是的长，当在射线的右侧时，的长即为的长，然后分别求解即可； 本题考查了新定义，勾股定理以及等腰直角三角形性质，掌握知识点的应用及利用分类讨论思想求解是解题的关键． 【详解】（1）∵点在线段上，点在线段上， ∴当点与点重合，点与点重合时，最小， ∵，， ∴， ∴理想距离， 故答案为：； （2）如图，过点作于点，则的长即是的长， ∵射线， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， 故答案为：； 如当在射线的左侧时，过点作于点，则的长即是的长， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 当在射线的右侧时，的长即为的长， ∴， ∴， ∴的取值范围为：． 题型三 函数 23．（23-24八年级下·河北唐山·期末）下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（  ） A．圆的面积公式 中，是的函数 B．同一物质，物体的体积是质量的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式 中是的函数 【答案】D 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量，据此即可判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、圆的面积公式 中，是的函数，该选项正确，不合题意； 、同一物质，物体的体积是质量的函数，该选项正确，不合题意； 、光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数，该选项正确，不合题意； 、表达式 中，给定一个的值，有两个的值与之对应，所以不是的函数，该选项错误，符合题意； 故选：． 24．（23-24八年级下·河北唐山·期末）小赵以每件5元的价格购进某商品若干件到市场销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系图象如图所示，则降价后每件商品的销售利润率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查一次函数的利润问题，先根据图象得到降价后的售价，然后利用公式计算利润率即可． 【详解】∵由图象可知件销售金额为元，件的销售金额为元， ∴降价后卖了件，销售金额为元， ∴降价后每件商品销售的价格为元， ∴降价后每件商品的销售利润率为， 故选B． 25．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、自变量的取值范围等知识点，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件成为解题的关键． 根据分式的分母不等于0、二次根式的被开方数大于等于0列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴，解得：． 故选A． 26．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）A、B两地相距，甲8：00由A地出发骑自行车去B地，速度为；乙9：30由A地出发开汽车也去B地，速度为．两人之间的距离与时刻t的函数关系大致如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．， B．， C．乙到达B地时两人相距 D．乙比甲提前到B地 【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数图象获取信息，由图可得，m对应的时间为9：30，a表示的时间是甲乙两车相遇的时间，b表示乙到达B地的时间，c表示甲到达B地的时间，据此逐一分析即可． 【详解】解：甲到达B地所需的时间：（小时），， ∴， 乙到达B地所需的时间：（小时）（分钟）， 设乙出发后x小时与甲相遇， 则， 解得：， 分钟， 即，A说法正确， ，分钟， B说法错误； （分钟）（小时） ， C选项说法错误； 乙比甲提前到B地，D说法错误， 故选：A． 27．（23-24八年级下·河北张家口·期末）若函数，则自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数大于等于零，分式分母不能为零即可解题． 【详解】解：由题可知：且， 且， 故选：D． 28．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，直线l（不经过点A，B，E）与五边形的边，相交，设，，则能够大致反映y与x函数关系的部分图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了三角形的内角和定理与三角形外角的定义与性质，熟练掌握三角形外角的定义与性质是解题的关键． 根据三角形的外角的定义与性质进行表示即可． 【详解】解：设l与，相交于点G、F， 由图可得，，， ∵，， ∴， 故选：C． 29．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 【答案】①②③ 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查动点函数问题，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键． 根据图象可得函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小逐个分析即可解答． 【详解】解：①根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了，因而， ，故①正确； ② 根据函数图象可知：从经过了3秒，P运动了，因而故②正确； ③P在段时，底边不变，高不变，因而面积不变，由图象可知，面积，故③正确； ④图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点， 的面积是，故④错误． 故答案为：①②③． 30．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们生产的零件数量y（个）与生产时间之间的关系如图所示． (1)根据图象填空： ①甲、乙中，前2个小时甲每小时生产零件______个，乙每小时生产零件______个；______（甲、乙）先完成40个零件的生产任务；在生产过程中______（甲、乙）因机器故障停止生产______h； ②当______时，甲、乙生产的零件个数相等． (2)谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内他每小时生产零件的个数． 【答案】(1)①5，2，甲，甲，2；②3或5.5 (2)甲在时生产速度最快，甲在这段时间内每小时生产零件10个 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，（1）①根据前2个小时生产总个数除以时间分别求得前2个小时甲、乙每小时生产零件即可； ② 观察图形求解即可； （2）观察图形可知，甲在时的直线斜率最大，即生产速度最快即可求解． 【详解】（1）解：①由图可得，前2个小时甲每小时生产零件为个，乙每小时生产零件为个， 由图可得，甲先完成40个零件的生产任务，在生产过程中，甲因机器故障停止生产， 故答案为：5，2，甲，甲，2； ②由图可得，当或5.5时，甲、乙生产的零件个数相等， 故答案为：3或5.5； （2）解：由图可得，甲在时生产速度最快， ∵， ∴甲在这段时间内每小时生产零件10个． 题型四 一次函数 31．（23-24八年级下·河北邢台·期末）一次函数的图象过一、二、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据题意可得，解不等式组即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象过一、二、三象限， ∴， 解得， 故选：． 32．（23-24八年级下·河北沧州·期末）已知直线上有两点，点和点，且，则下列说法正确的是（    ） A．n的值可能为 B．y随x的增大而增大 C．图象过第一、二、四象限 D．点可能在函数图象上 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，由点和点，且，可知y随x的增大而减小，可得，图象经过一、二、四象限，从而可得答案． 【详解】解：∵点和点，且， ∴y随x的增大而减小，故选项B不正确，不符合题意； ∴，即，故选项A不正确，不符合题意； 又∵常数项，故图象过第一、二、四象限，选项C正确，符合题意； ∵点在第三象限，图象不经过第三象限，故选项D不正确，不符合题意． 故选C． 33．（23-24八年级下·河北唐山·期末）下列图形是以方程的解为坐标的点组成的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系，一次函数图象与坐标轴交点，函数图象上点坐标为二元一次方程的解． 根据坐标轴上点的坐标特征求出直线与坐标轴的交点坐标，然后根据所求的坐标对各选项进行判断． 【详解】解：∵ ∴ 当时，，则直线与轴的交点坐标为， 当时，，解得，则直线与，轴的交点坐标为． 故选：C． 34．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）甲、乙两人以相同路线前往距离单位的培训中心参加学习．图中，分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程）随时间（分）变化的函数图像，以下说法中错误的是（   ） A．乙比甲提前12分钟到达 B．甲的平均速度为15千米/小时 C．乙走了后遇到甲 D．乙出发6分钟后追上甲 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查学生从函数图象中获取信息的能力，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质；观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程；由图象找出甲乙两人到达培训中心所用时间；根据平均速度路程所用时间计算甲的平均速度；乙第一次遇到甲时，所走的距离为速度乘以时间，可得乙多久遇到甲． 【详解】解：乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达，A选项说法正确，故此选项不符合题意； 根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度千米/时；B选项说法正确，故此选项不符合题意； 设乙出发x分钟后追上甲，则有：，解得，D选项说法正确，故此选项符合题意； 乙第一次遇到甲时，所走的距离为：，C选项说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 35．（23-24八年级下·河北唐山·期末）关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 【答案】A 【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点 在图象上，故选项正确； ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故选项错误； ∵， ∴的值随的增大而增大， ∵， ∴，故选项错误； 把代入得，， ∴图象与轴的交点坐标为，故选项错误； 故选：． 36．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如图6所示，设购买体育用品的原价总额为x元，甲、乙两个专卖店实际付款分别为元，元．对于结论Ⅰ，Ⅱ，判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：当时，与x之间的函数解析式为； 结论Ⅱ：当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，x的值为100或800 甲店：所有商品按原价八折出售； 乙店：一次性购买商品总额不超过200元时按原价付款；超过200元时，其中200元无优惠，超过200元的部分享受七折优惠 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ，Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 【答案】A 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】先根据题意分别写出与的关系式分别为：；当时；，当时，．由此可得结论Ⅰ正确，然后分两种情况①，②，分别求出x的值，即可判断结论Ⅱ． 本题主要考查了利用一次函数解决实际问题．正确的列出函数关系式以及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 当时，， 当时，． 故结论Ⅰ正确； 当时，； 当时，分两种情况： ①若， 则， 解得； ②若， 则， 解得． ∴当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，x的值为400或800． 故结论Ⅱ错误． 故选：A 37．（23-24八年级下·河北保定·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，这个错误的的值是（    ）cm      … 0 1 2 3 … … 0.7 1.2 1.5 1.9 … A．0.7 B．1.2 C．1.5 D．1.9 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．设过点，的函数解析式为，求出其解析式，然后验证点也在直线上，而点不在该直线上，从而判定是记录错误的值． 【详解】解： 水位是时间的一次函数，设过点，的函数解析式为， 则， 解得， 即， 当，， 当，， 点也在直线上，而点不在直线上，与题中有一个的值记录错误相符合，故记录错误的值为1.2． 故选：B． 38．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组．熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象和性质，是解题的关键． 根据图象可知，直线在直线的下方，且在x轴下方，对应的x的取值范围即为所求．直线和直线都过点，结合不等式组与函数图象，即可求出不等式的解集． 【详解】∵直线经过点和点，直线过点A，而满足不等式组的图象为如图之间所示的部分， ∴不等式的解集为． 故选：D． 39．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图平面直角坐标系中，，，点是线段上一点，直线解析式为，当随增大而减小时，点坐标可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数解析式、坐标与图形、加减消元法 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数性质，根据题意可知的纵坐标为1，设， 将，代入解析式，解出，根据直线解析式为，当随增大而减小，可得，求出m的取值范围，即可得出结论． 【详解】解：，，点是线段上一点， 的纵坐标为1， 设， 将，代入解析式， ，解得：， 直线解析式为，当随增大而减小， ， ， 解得：， 符合条件； 故选：D． 40．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）购买一种水果，所付款金额（元）与购买数量之间的函数图像由线段．和射线组成；如图所示，则一次购买这种水果，比分两次每次购买这种水果可以节省的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是数形结合．根据图像可知购买需要花费元，超出的部分每千克元，再分别求出两种购买方式的费用即可求解． 【详解】解：分两次每次购买这种水果的费用为：（元）， 一次购买这种水果时，超出的部分每千克（元）， 一次购买这种水果的费用为：（元）， （元）， 故选：C． 41．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，若关于x的不等式组的解集为，则的值为（   ） A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式组，解一元一次不等式组得不等式组解集，根据得，由函数图象得可判断的值 【详解】解：由图象得， 解不等式组得，， 所以，不等式组的解集为， 又不等式组的解集为， 所以，， ∴，即的值为负数， 故选：D 42．（23-24八年级下·河北张家口·期末）若直线经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数，k与b对函数图象的影响是解题的关键． 根据一次函数，，时图象经过第二、三、四象限，据此列出不等式组求解即可 【详解】解：∵经过第二、三、四象限． ∴． 故选A． 43．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）一次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象与性质是解题关键． 根据一次函数解析式得出，，即可判断． 【详解】解：∵一次函数解析式为：， ∴，， ∴一次函数的图像经过第一、三、四象限， 故选：B． 44．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．关于的不等式的解集是 C．关于的方程的解是 D．关于，的方程组的解为 【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，根据一次函数与方程、不等式的关系求解．掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：A：由图象得，，， ∴， ∴，故A不符合题意； B：由图象得：时， ∴关于的不等式的解集是，故B符合题意； C：由图象得：当时，， ∴关于的方程的解是，故C是不符合题意； D：由图象得：关于，的方程组的解为，故D不符合题意； 故选：B． 45．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）等腰中，，记，周长为y，定义为这个三角形的坐标，如图所示，直线将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（     ） ①对于任意等腰，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； ②对于任意等腰，其坐标可能位于区域Ⅳ中 ③若是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中； ④图中点M所对应的等腰三角形的底边比点N所对应的等腰三角形的底边要长． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 【答案】A 【知识点】不等式的性质、一次函数与几何综合、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】设，则．根据，利用不等式的性质得出，即可判断①；根据三角形任意两边之和大于第三边，得出，利用不等式的性质得到，即可判断②；③根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出，即可判断③；分别求出点、点所对应等腰三角形的底边范围，即可判断④． 【详解】解：如图，等腰三角形中，，记，周长为， 设，则， ①∵， ， ∴对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的上方，不可能位于区域I中，故结论①正确，符合题意； ②∵三角形任意两边之和大于第三边， ，即， ， ∴对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的下方，不可能位于区域IV中，故结论②错误，不符合题意； ③若三角形是等腰直角三角形，则， ， ， ， 即， ∴若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中，故结论③正确，符合题意； ④由图可知，点位于区域III中，此时， ， ， 点N位于区域Ⅱ中，此时， ， ， ∴点所对应等腰三角形的底边比点所对应等腰三角形的底边长，故结论④正确，符合题意． 故选：A． 【点睛】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，三角形三边关系定理，等腰三角形、等腰直角三角形的性质，不等式的性质，难度适中．理解三角形的坐标的意义，利用数形结合思想是解题的关键． 46．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】此题主要考查了两直线与y轴围成的图形面积问题．熟练掌握一次函数图象和性质，三角形面积公式，待定系数法求函数解析式，是解题关键． 设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D，求出，，得到，根据，与y轴围成的三角形的面积为5，得到，代入求得，代入，即得． 【详解】解：设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D， ∵中，时，；中，时，． ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 代入， 得，， 解得，． 故选：D． 47．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，点，． （1）点A关于x轴的对称点的坐标为 ： （2）若点P为坐标轴上一点，当的周长最小时，点P的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变换，轴对称的性质，待定系数法求解析式，掌握轴对称的性质及平面直角坐标系的特点，两点之间距离公式的计算方法，待定系数法求解析式是解题的关键． （1）点关于横轴对称点的特点是，横坐标不变，纵坐标变为相反数，由此即可求解； （2）分类讨论，当点P在横轴上时，当P在纵轴上时，根据两点之间距离公式分别计算出的值，再根据三角形周长公式计算出两种情况的值进行比较，确定了点P的位置，运用待定系数法求直线的解析式，令，即可求解． 【详解】解：（1）点，关于轴对称点的坐标为， （2）根据题意，作图如下，分别作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接交轴于点， ∵，， ∴， ∴，， 当点在轴点的位置时，， ∴的周长为：； 当点在轴点的位置时，， ∴的周长为：； ∵， ∴当周长最小时，点在轴的点的位置， 设过点的直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴， 故答案为：， ． 48．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）一次函数中，的几组对应值如下表，可以得到的值为 ． … … … … 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征．利用一次函数图像上点的坐标特征，可得出关于，的方程组，解之即可得出，的值，进而可得出一次函数解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】解：将点，，代入得： ， 解得：， ， 令，则，即， 故答案为：． 49．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：，四边形为正方形，点的坐标为． （1）若直线经过点，则 ； （2）若直线被正方形的边所截得的线段长度为，则 ． 【答案】 4 1或7 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了坐标与图形性质，一次函数与几何综合，勾股定理； （1）根据点A坐标可得点C坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）如图，当直线l经过时，求出，然后利用勾股定理即可求出b的值；当直线l经过时，求出，可得，然后利用勾股定理即可求出b的值． 【详解】解：（1）∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵直线经过点， ∴； （2）如图，当直线l经过时， 由题意得：， 在中，当时，， 当时，， ∴， ∵，即， ∴（负值已舍去）； 当直线l经过，时， 在中，当时，， 当时，， ∴， ∴， ∵，即， ∴（负值已舍去）； 综上，1或7； 故答案为：（1）4；（2）1或7． 50．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，写出m的取值范围 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，先求出的解析式，分情况讨论：当直线过点C时和当直线与直线平行时，即可得到符合条件的m的取值范围． 【详解】解：将点和代入， 得， 解得：， 则函数的表达式为， 过点且平行于x轴的直线为， 函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C， ， 解得，， 即． 当直线过点C时，即把代入， 得， 解得， 当时，对于x的每一个值，的值大于的值， ， 解得， 当与直线平行时，， 此时，满足条件， 且当时，不满足条件，即， 故答案为：． 51．（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．(其中) 【答案】9 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设商场获得的利润为，根据总利润等于两种服装的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，结合商场获利最大利润为4950元，进行求解即可． 【详解】解：设商场获得的利润为，由题意，得： ， 整理，得：， ∵， 当，即：时，随的增大而减小， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：（舍去）； 当时，即：时，随的增大而增大， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：； 故答案为：9． 52．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．在中，，，点的坐标为，点的坐标为． （1）若为直线上的一点，当时，的取值范围是 ． （2）将沿轴向左平移，平移距离为．当与直线有交点时，的取值范围为 ． 【答案】 / / 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、利用平移的性质求解 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，平移的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意并结合勾股定理可求出点，再求出，根据当点平移到点时，与直线有交点，此时平移距离为最小，当点平移到点时，与直线有交点，此时平移距离为最大，即可求解． 【详解】解：（1）为直线上的一点， ， 当时，， 解得：， 故答案为：； （2）点的坐标为，点的坐标为， ， ，， ， ， 在中，令，则， 解得：， ， 当点平移到点时，与直线有交点，此时平移距离为最小，的最小值为， 在中，令，则， 解得：， 当点平移到点时，与直线有交点，此时平移距离为最大，的最大值为， 的取值范围为， 故答案为：． 53．（23-24八年级下·河北保定·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，是轴上的两点， （1）当为等腰三角形时，点的坐标为 ． （2）求的最小值为 ． 【答案】 或 【知识点】一次函数与几何综合、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一次函数的性质，勾股定理： （1）分两种情况讨论：当时，点P在线段的垂直平分线上；当时，此时，即可求解； （2）作点A关于直线的对称点交y轴于点，连接交直线于一点即是点P，此时的值最小，即是线段的长，则点，即可求解 【详解】解：（1）∵点是直线上的动点， ∴， 设点P的坐标为， 当时，点P在线段的垂直平分线上， ∵， ∴， 此时点的坐标为； 当时，此时， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即轴， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （2）由题意可得直线是第一三象限的角平分线， ∴作点A关于直线的对称点交y轴于点，连接交直线于一点即是点P，此时的值最小，即是线段的长，则点， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： 54．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）正方形，，，…按如图所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ，点的纵坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点坐标的变化找出变化规律“点的坐标为，，”是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点、、、的坐标，根据点坐标的变化找出点的坐标，依此即可得出结论． 【详解】解：当时，， 点的坐标为． 为正方形， 点的坐标为，点的坐标为． 同理，可得：，，， 点的坐标为，， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为． 故答案为：，． 55．（23-24八年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移a（）个单位长度后，与x轴交于点A，与y轴交于点B．若的面积为2，则a的值为 ． 【答案】4 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数上点的坐标特征，三角形的面积，计算和的长是解本题的关键．利用平移的规律求得平移后的直线解析式，然后分别计算和时对应的值，可得和的值，根据的面积为2，列方程可得结论． 【详解】解：直线沿y轴向上平移a个单位长度后，得到直线， 当时，， ∴， ∵直线与x轴交于点A， ∴， 当时，， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：4． 56．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为．    （1）若入射光线与平面镜有公共点，的取值范围是 ． （2）规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，点是整点的个数是 ． 【答案】 7 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）先求出直线解析式，再求出直线解析式，即可求出本题答案； （2）作出点关于对称点，可知的坐标，作直线，，分别求出这两条直线与轴交点，则点坐标即在范围内，即可得到整数点的个数． 【详解】（1）解：当入射光线经过时， 则，解得， 当入射光线经过时， 则，，解得， 入射光线与平面镜有公共点， 的取值范围：； 故答案为：． （2）作出点关于对称点，则，作直线，分别交轴于，，   ， 设直线的直线解析式为， 代入得：， 解得：， 设直线的直线解析式为， 代入得：， 解得：， 反射光线与轴相交于点， 点纵坐标的取值范围为：， 点整点有：4，5，6，7，8，9，10，共7个． 故答案为：7． 57．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，甲容器已装满水，高为20厘米的乙容器装有一定高度的水，由甲容器向乙容器注水，单位时间注水量一定，设注水时间为（分），甲容器水面高为，乙容器水面高度为，其中与成正比例，且当时，；与成一次函数关系，部分对应值如下表： （分） 3 5 8 12 (1)分别写出与与的函数关系式，并求出未注水时乙容器原有水的高度； (2)当两个容器水面高度相同时，这个高度称为平衡高度，求甲、乙两个容器的平衡高度； (3)当甲容器的水完全注入乙容器时，乙容器是否注满？是，说明理由；不是，需调整乙容器原有水的高度，求符合条件的乙容器原有水的高度． 【答案】(1)，，未注水时乙容器原有水的高度为 (2)两个容器的平衡高度为 (3)不是， 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法、函数相关知识是解题的关键． （1）根据与t成正比例，与t成一次函数关系，可设出对应的函数关系式，代入已知条件，即可求出未知数，得到函数关系式，当时，求出的即为乙容器原有水的高度． （2）当时，可解出此时的t，再代入解析式，即可求得，即为两容器的平衡高度． （3）当甲容器的水完全注入乙容器时，即，可求得此时的t，将t代入的关系式，即可求得乙容器原有水的高度． 【详解】（1）解：∵与t成正比例， ∴设，当时，，代入得，解得， ∴与t的函数关系式为：． ∵与t成一次函数关系， ∴设，当时，，当时，，代入关系式， 有，解得， ∴与t的函数关系式为：． 当时，，未注水时乙容器原有水的高度为． （2）解：当时，即．解得．此时的平衡高度为． ∴两个容器的平衡高度为． （3）解：不是，理由如下： 设乙容器原有水的高度为，． 当甲容器的水完全注入乙容器时，，即，解得， 将代入中，解得． ∴符合条件的乙容器原有水的高度为． 58．（23-24八年级下·河北承德·期末）一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． (1)确定一次函数解析式，在坐标系中画出一次函数的图象； (2)结合图象解答下列问题： ①当时，的取值范围是______； ②当时，的取值范围是______； (3)若点在这个函数的图象上，求出的值，写出点的坐标； (4)这个函数的图象上有两个点：，，请比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)，图象见解析 (2)①；②． (3)， (4)，理由见解析 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、画一次函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，比较函数值大小，无理数的估算等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式，根据两点法作直线即可得到一次函数的图象； （2）根据函数图象中的信息即可得到结论； （3）把点Q的坐标代入函数解析式，解方程即可得到a的值，即可得到点Q的坐标； （4）先由无理数估算得到，再根据一次函数的增减性得到答案即可 【详解】（1）∵一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． ∴一次函数经过点， ∴ 解得， ∴一次函数解析式为 根据题意可得直线与x轴和y轴的交点分别为和， 函数图像如图所示： （2）①当时，y的取值范围是； ②当时，x的取值范围是； 故答案为：①；②； （3）把点代入得到， ， 解得， ∴ ∴点Q的坐标是； （4），理由如下： ∵， ∴， ∵中， ， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴． 59．（23-24八年级下·河北张家口·期末）在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案（设购票张数为x张，购票款为y元）：方案一：提供8000元赞助后，每张票的票价为50元；方案二：票价按图中的折线OAB所表示的函数关系确定． (1)若购买120张票时，按方案一购票需______元； (2)求方案二中y与x的函数关系式； (3)求购买多少张票时，方案一与方案二的购票款相同． 【答案】(1)元 (2) (3)买200张票时两种方案购票款相同 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】题目主要考查从函数图象获取信息及一次函数的应用，理解题意，结合函数图象求解是解题关键． （1）由题意得，方案一中的函数关系式为：，即可得； （2）分为和，利用待定系数法求函数解析式即可； （3）根据题意列方程解题即可． 【详解】（1）解：若购买120张票时， 方案一购票总价：（元）； （2）当时， 设，代入得，解得， ∴； 当时，设， 代入得，解得， ∴； （3）由此得， 解得， 所以买200张票时两种方案购票款相同． 60．（23-24八年级下·河北邢台·期末）【阅读理解】 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点，若都按乙方式，最终移动到点若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． 【应用】 点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点其中，按甲方式移动了次． （1）当时，若点恰好落在直线求的值； （2）已知点，点，若无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上， ①若点A、点位于直线的两侧，求的取值范围； ②若点A关于直线的对称点落在坐标轴上，直接写出的值； 【答案】（1）；（2）①t的取值范围是；②4或5． 【知识点】求不等式组的解集、求一次函数解析式、一次函数与几何综合、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，求一次函数的解析式，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是关键. （1）根据平移方式，求得点的坐标为代入求解即可； （2）①根据平移方式，求得点的坐标为，即，消掉m求得直线的解析式为，然后根据题意列不等式组求得的取值范围； ②画出图形根据等腰三角形的性质即可求解. 【详解】解：（1）已知,其中按甲方式移动了次，则按乙方式移动了次， 根据平移方式, 点的坐标为， 由题意得， 解得； （2）①点A按甲方式移动了次，又点从原点出发连续移动次，则点按乙方式移动了次, ∴点按甲方式移动了次后得到的点的坐标为得到点的坐标为， 由题意得,整理得， ∵点A、点位于直线的两侧， ∴或， 解得：； ②点A关于直线的对称点落在轴上，记直线交轴的交点为， 则， 又∵直线与坐标轴夹角为， ∴， ∴， 代入得； 点A关于直线的对称点落在轴上，记直线交轴的交点为， 则， 又∵直线与坐标轴夹角为， ∴， ∴， 代入得； 综上所述，的值为或． 61．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B；直线经过两点，两直线相交于点C． (1)求的函数表达式；直接写出交点C的坐标 ； (2)在x轴上有一动点，过点T作x轴的垂线l，直线l交直线于点P、Q，当时，求t的值； (3)如图2，若在y轴上有一点，在直线l上是否存在一点E，使直线与y轴的夹角与互余，请直接写出点E的坐标 （用含t的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)或； (3)或． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求得直线的解析式，再联立即可求得点的坐标； （2）用表示点、的坐标，根据列绝对值方程，求解即可； （3）先求得直线与轴的夹角与相等，分两种情况讨论，当时，求得直线的解析式，即可求解；当时，设的垂直平分线交于点，交直线于点，则点是直线与直线的交点，求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过，两点， ∴设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 与联立得， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为： （2）解：∵点，过点作轴的垂线，直线交直线、于点、， ∴，， 由题意得，即， 整理得或， 解得或； （3）∵， ∴直线与轴的夹角与相等， 当时，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 当时，设的垂直平分线交于点，交直线于点，则点是直线与直线的交点， 令，则， ∴， ∵， ∴, ∵是等腰三角形， ∴ ∴， 当时，，解得 ∴点G的坐标为， 设直线直线的解析式为， 则，解得 同理，直线的解析式为， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 故答案为；或 62．（23-24八年级下·河北唐山·期末）某种机器是在油箱加满的状态下开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)机器工作时每分钟耗油量为______L； (2)求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)求机器工作半个小时后油箱中剩余的油量． 【答案】(1) (2) (3)机器工作半个小时后油箱中剩余的油量为 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、求一次函数解析式、一次函数的性质，理解题意，读懂函数图象，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． （1）根据图象列式计算即可得到答案； （2）设，把和代入解析式，求出的值即可得到答案； （3）将代入（2）中解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可得： 机器工作的过程中每分钟耗油量为：， 故答案为：； （2）解：设关于的函解析式为：， 将点和代入得，， 解得，， ； （3）解：将代入得，， 机器工作半个小时后油箱中剩余的油量为． 63．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图 是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，为了探究叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量（个）的变化规律．设纸杯底部到纸杯沿底边高为，杯沿高为． (1)纸杯底部到纸杯沿底边高为是 （填“常量”或“变量”）； (2)写出纸杯的总高度与纸杯数量（个）的函数关系式： （用含的式子表示）． (3)嘉琪同学经过实践探究，列出下列表格： 纸杯数量（单位∶ 个） 纸杯总高度（单位∶） ①根据表格中数据求出和的值； ②该型号纸杯有个装、个装、 个装共三种包装，均把纸杯叠放成一叠进行包装，图是某品牌饮水机的示意图，储藏柜的高度是 ，则该储藏柜能放得下 （杯口向上）这三种包装中哪些包装的纸杯 （直接写结果）． 【答案】(1)常量； (2)； (3)①，；②能放得下个装和个装的纸杯． 【知识点】函数的概念、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（）根据常量和变量的定义即可求解； （）根据题意即可求解； （）①利用待定系数法即可求出和的值；分别把代入函数解析式，求出对应的总高度，再与储藏柜的高度比较即可判断求解； 本题考查了常量和变量的定义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的应用，根据题意正确求出一次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：纸杯底部到纸杯沿底边高为是常量， 故答案为：常量； （2）解：由题意可得，， 故答案为：； （3）解：①把、代入得， ， 解得， 即，； ②∵，， ∴， 当时，； 当时，； 当时，， ∵，， ∴该储藏柜能放得下个装和个装的纸杯． 64．（23-24八年级下·河北唐山·期末）一次函数的图象分别交两坐标轴于点和点，如图所示．在研究函数的图象和性质时，某同学把一次函数中的k、b调换位置得到一次函数．    (1)求k、b的值； (2)在图中画出的图象 （不用列表）； (3)直接写出方程组 的解为； (4)直线轴，且与直线、分别交于点、， 点M永远在点N的上方，则m的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4) 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一次方程的关系等知识，解题的关键是： （1）把A、B的坐标代入求解即可； （2）先求出与x、y轴的交点，然后描点画图即可； （3）利用加减消元法解方程即可； （4）直接观察函数图象即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别交两坐标轴于点和点， ∴， 解得， 故答案为：，； （2）解：由（1）知， 当时，， 当时，，解得， ∴与x轴交于，与y轴交于， 画图如下：    （3）解：由题意得， 解得， 故答案为：； （4）解：由图象可知，当时，直线在的上方， ∵直线轴，且与直线、分别交于点、，点M永远在点N的上方， ∴， 故答案为：． 65．（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知与成正比例， 当时，． (1)求与的函数关系式； (2)若（）中的函数图象经过第四象限内的点，已知点到轴的距离是，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】坐标与图形、求自变量的值或函数值、求一次函数解析式 【分析】（）设，把，代入计算即可求解； （）由点在第四象限，且点到轴的距离是，可得点的纵坐标为，再把代入函数解析式计算即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，求一次函数图象上点的坐标，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设，把，代入得， ， ∴， ∴； （2）解：∵点在第四象限，且点到轴的距离是， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， ∴， ∴点的坐标为． 66．（23-24八年级下·河北张家口·期末）已知y关于x的函数． (1)若该函数是正比例函数，求k的值； (2)若． ①写出该函数图象经过的象限； ②若点，在该函数的图象上，且，比较与的大小关系． 【答案】(1) (2)①该函数图象经过第一、三、四象限；② 【知识点】正比例函数的定义、求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了正比例函数的定义、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质． （1）根据正比例函数的定义即可求得的值； （2）①当时，，根据一次函数的系数及常数项即可判断该函数图象经过的象限；②由，可知随增大而增大，结合可得结论． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴且，即且， ∴； （2）①当时，， ∴该函数图象经过第一、三、四象限； ②∵， ∴随增大而增大， 则当时，． 67．（23-24八年级下·河北邢台·期末）某场地的跑道分为上坡、平地、下坡三种类型，如图，一名运动员从点O出发，沿O﹣A﹣B﹣C的路线运动，一架无人机始终在运动员的正上方进行跟踪拍摄，且无人机离水平地面的高度保持在．经观察，无人机以的速度匀速向右飞行．已知上坡路段．平地AB段距离地面的高度为，． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线BC的函数表达式，并求运动员在下坡路段（BC）的速度； (3)直接写出运动员在O﹣A﹣B﹣C路线上运动的过程中，与无人机的距离不超过的时长． 【答案】(1) (2)直线的解析式为，运动员下坡的速度为每分钟， (3)时长为分，即7分40秒 【知识点】用勾股定理解三角形、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查矩形，等腰直角三角形，勾股定理，一次函数等知识； （1）过点A作轴于点D，根据勾股定理即可得到结论． （2）利用作垂直构造矩形，等腰直角三角形，根据矩形，等腰直角三角形边的性质找到相等线段，从而找到坐标，设出直线的函数解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题干所给的条件确定的长度就是运动员下坡时无人机飞行的距离，根据无人机的速度，求出无人机的飞行时间即是运动员下坡的时间，根据的长度求出运动员的下坡的速度． （3）求出直线的函数解析式，根据问题的要求做减法，求出运动员在上运动的过程中，与无人机距离不超过的距离范围，根据速度求出时间即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点D， ∵平地段距离地面的高度为，． ∴ ∴点A的坐标为， （2）过点A作轴于D，过点B作轴于E，    ∵轴，轴， ∴， ∵是平坡， ∴轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， 将，代入解析式中， 解得 ∴直线的解析式为， ∵，无人机的速度以每分， ∴， ∴运动员下坡的时间的分，即1分40秒， 在中，， ∴， ∴， ∴运动员下坡的速度为每分钟， （3）∵， 设直线的解析式为， 将点代入中，解得， ∴直线的解析式为， ∵无人机的高度为， 令 ，解得， 令，即， 解得， ， ∴运动员在上运动的过程中，与无人机距离不超过的时长为分，即7分40秒， 68．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）甲、乙两人相约去登山，山高300米，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)求甲的速度； (2)若乙提速后，乙登山的速度是甲登山速度的3倍． ①求线段的函数表达式（不需要写出x的取值范围）； ②在乙行进过程中，直接写出当x的值为多少时，甲、乙两人的高度差为50米． 【答案】(1)10米/分钟 (2)①；②4或9 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，函数图像读取信息，有理数四则混合运算的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）用路程除以时间可得甲的速度为10米/分钟； （2）①求出乙提速后的速度为30米/分钟；可得；②求出；当乙在甲后面50米时，，当甲再乙后面50米时，，解方程可得答案． 【详解】（1）解： 米/分钟， 答：甲的速度为10米/分钟． （2）①，，， 则点， 设线段函数表达式为， 把，分别代入中， 得，解得， 线段函数表达式为； ②甲的速度为10米/分钟， ； 当乙在甲后面50米时， ， 解得； 当甲再乙后面50米时， ， 解得； 综上所述，在乙行进过程中，当x的值为4或9时，甲、乙两人的高度差为50米． 69．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值． 输入x … 0 2 … 输出y … 2 6 16 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)当输入的x值为1时，输出的y值为__________； (2)求k，b的值． 【答案】(1)8 (2)的值为2，b的值为6 【知识点】求一次函数解析式、代入消元法、程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，理解流程图，掌握待定系数法求解析式，解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）把代入，即可求解； （2）把，；，，分别代入中，解二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴输出的y值为8， 故答案为：8； （2）解：把，；，，分别代入中， 得， 解得， ∴的值为2，b的值为6． 70．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，平面直角坐标系中，直线，直线经过点. (1)求的值并说明直线必过点； (2)若直线与直线交于轴上一点，求的值并在直角坐标系中画出直线； (3)若直线与直线的交点总在点的右侧，直接写出的取值范围. 【答案】(1)，见解析 (2)， (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）根据一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式求解即可； （2）先求得交点坐标，进而求得k值，根据函数解析式画函数图象即可； （3）先求得直线经过点时的k中，再结合图象可求解． 【详解】（1）解：根据题意，将代入直线中，得， 解得； 将代入中，得， 故直线必过点； （2）解：由（1）知，直线， 由得，∴交点坐标为， 将代入中，得，解得， ∵直线经过点，， ∴两直线m的图象如图所示： （3）解：将代入中，得，解得， 如图， 由图可知，当时，直线与直线的交点总在点的右侧． 71．（23-24八年级下·河北唐山·期末）根据需要，某厂要制作如图所示的A，B两种塑料盒（单位：）共80个，购进某种塑料板材100张， 每张这样的塑料板材有两种裁剪方法： 甲：裁成4块的小正方形板； 乙：裁成8块的小长方形板． 先将x张这种板材都按甲方法裁成小正方形板，用于制作80个A，B两种塑料盒的正方形的面，每个A种塑料盒需要6块正方形的面，每个B种塑料盒需要2块正方形的面和4块长方形的面，设制作A种塑料盒y个， (1)按甲方法裁成小正块方形板_______块（用含x的式子表示），按甲方法裁成小正方形板（_______）（用含y的式子表示），求y与x的函数关系式； (2)若把剩下的板材都按乙方法裁成小长方形板，恰好做成了A，B两种塑料盒各40个，已知每张板材的进价是4元，将其按甲方法裁剪还需要1元，按乙方法裁剪还需要3元，其他成本忽略不计．A种塑料盒的销售单价定为m元，B种塑料盒的销售单价定为元，但不低于7元．m定为多少时，这批塑料盒的销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)，， (2)当时，w的值最大，最大值为元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意确定正确的函数关系式是解本题的关键 （1）由裁剪得到的正方形的面数等于制作80个，两种塑料盒的正方形的面，再建立函数关系式即可； （2）先确定．结合，再利用一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：按甲方法裁成小正块方形板块（用含x的式子表示）， 按甲方法裁成小正方形板（用含y的式子表示）， ∴ ∴； （2）解：总成本为（元． 由题意，． 解得． ． 销售利润：． 整理，得． ， 随的增大而增大． 当时，的值最大，最大值为（元）． 72．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与过点的直线交于y轴上的点B，点A，D分别为直线，与x轴的交点． (1)求点B的坐标及直线的函数表达式； (2)若过点B的直线把的面积平分，直接写出直线的表达式． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标,三角形的中线性质． （1）根据待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先求出点A、D的坐标，以及的中点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：在直线中，令，得，即， 设直线为，根据题意得： ， 解得：， 即直线的解析式为． （2）解：在直线中，令，解得，即， 在直线中，令，得，即， 中点的横坐标为， ∴的中点坐标为， 由题意知直线经过的中点和点， 设直线的表达式为， 代入得， 解得， ∴直线的表达式为． 73．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图像，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方．2号机从原点处沿仰角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处． (1)求的关于的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度； (2)求的关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标； (3)通过计算说明两机距离不超过的时长是多少． [注]：（1）及（2）中不必写的取值范围 【答案】(1)；号机的爬升速度为 (2)；2号机着陆点的坐标为 (3)不超过的时长为 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】此题考查了求一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数的应用， （1）由2号飞机爬升角度为，得到上的点的横纵坐标相同，，设的解析式为：，将点A坐标代入求出解析式，求出长度得到爬升速度； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，令，则，得到预计2号机着陆点的坐标为． （3）由距离不超过得到，求解即可 【详解】（1）解：号飞机爬升角度为， 上的点的横纵坐标相同． ． 设的解析式为：， ． ． 的解析式为：． 号试飞机一直保持在1号机的正下方， 它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同． 号机的爬升到处时水平方向上移动了，飞行的距离为， 又1号机的飞行速度为， 号机的爬升速度为：． （2）设的解析式为， 由题意：， 解得： 的解析式为 令，则． 预计2号机着陆点的坐标为． （3）不超过， ． 解得：． 两机距离不超过的时长为：． 74．（23-24八年级下·河北沧州·期末）某商家计则购进A，B两种品牌的红酒进行销售，经调查，用30000元即买A品m红酒的数量是用9000元购买B品牌红酒数量的3倍，一箱A品牌红酒的进价比一箱B品牌红酒的进价多20元． (1)求A，B两种品牌红酒一箱的进价分别为多少元； (2)若该商家购进A，B两种品牌的红酒共210箱进行试销，其中A品牌红酒的数量不多于B品牌红酒数量的2倍，且不少于100件，已知A品牌红酒的售价为320元/箱，B品牌红酒的售价为280元/箱，且全部售出，设购进A品牌红酒m箱． ①求商家销售这批红酒的利润P与m之间的函数解析式，并写出所获利润最大时的进货方案； ②在①的条件下，商家决定在试销活动中每售出一箱A品牌红酒，就从所得的利润中抽取a元支援贫困山区的儿童，求该商家售完所有红酒并支援贫困山区儿童后获得的最大收益． 【答案】(1)一箱A品牌红酒的进价为200元，一箱B品牌红酒的进价为180元； (2)①，当商家购进A品牌红酒140箱，B品牌红酒70箱时，所获利润最大；②当时，该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是元；当时，该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是21000元；当时，该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是元 【知识点】分式方程的经济问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设一箱B品牌红酒的进价为x元，则一箱A品牌红酒的进价为元，根据用30000元即买A品m红酒的数量是用9000元购买B品牌红酒数量的3倍，再建立分式方程求解即可； （2）①由总利润等于两种品牌红酒的利润之和列函数关系式，再利用函数的性质解决问题即可；②由总利润等于两种品牌红酒的利润之和列函数关系式，再分情况讨论即可； 【详解】（1）解：设一箱B品牌红酒的进价为x元，则一箱A品牌红酒的进价为元， 根据题意得 解得，         经检验，是原方程的解，     ∴. 答：一箱A品牌红酒的进价为200元，一箱B品牌红酒的进价为180元； （2）解：①由题意得： ，解得， ∵，W随m的增大而增大， ∴当时，W最大， 即当商家购进A品牌红酒140箱，B品牌红酒70箱时，所获利润最大 ②设该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的收益是Q元， 根据题意得，， 当时，Q随m的增大而增大， ∴时，Q最大，最大值为； 当时，； 当时，Q随m的增大而减小， ∴时，Q最大，最大值为. 答：当时，该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是元； 当时，该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是21000元； 当时，该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是元. 75．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，点是的中点． (1)求直线的解析式； (2)在轴上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的图象与坐标轴交点的特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟悉掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据直线求出点和的坐标，根据点是的中点得到的坐标，利用待定系数法运算求解即可； （2）根据三角形面积公式列式运算即可． 【详解】（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点， 则有：时，；时，； ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，代入，可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）∵，， ∴，， ∴， 设点，则， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 76．（23-24八年级下·河北承德·期末）直线经过和与直线：交于点，直线，与轴，，分别交于点，，． (1)求直线解析式； (2)将直线向上平移4个单位得直线，直接写出直线的解析式； (3)①若点，关于点对称，求值； ②若直线与直线，不能围成三角形，直接写出值． 【答案】(1)直线解析式为； (2)直线的解析式为； (3)①；②当时，直线与直线，不能围成三角形． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、一次函数的平移、点的对称性等． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移的性质即可求解； （3）①求得，，根据题意得，据此计算即可求解；②由题意知直线经过交点，联立求得点的坐标，据此求解即可． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 将和代入得， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：将直线：向上平移4个单位得直线， 则直线的解析式为； （3）解：①由题意得，， ∵点，关于点对称， ∴， 解得； ②∵直线与直线，不能围成三角形， ∴直线经过交点， 联立得， 解得， ∴当时，直线与直线，不能围成三角形． 77．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）一个水库的水位在最近内持续上涨，时达到警戒水位，开始开闸放水．下表记录了该水库内水位的变化情况，其中x表示时间（单位：h），y表示水位高度（单位：m）． 0 2 4 6 8 10 12 6 7 8 9 8 7 6 (1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点； (2)开闸放水前，水位高度y是时间x的一次函数，请求出这个函数解析式并写出x的取值范围； (3)开闸放水后的函数解析式满足，据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续，预测再过水位高度为多少m． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、画一次函数图象、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据表格数据直接描点即可； （2）利用待定系数法求解，再依据题意得到x的取值范围； （3）根据题意计算x的值，代入函数解析数求解即可． 【详解】（1）解：描点如下： （2）解：∵水库的水位在最近内持续上涨，时达到警戒水位，开始开闸放水， ∴， 设 代入和， 可得，解得， ∴ （3）解：根据题意，得， ∴， 即预测再过水位高度为． 78．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3)若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 【答案】(1)，否； (2)①；②； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（）根据速度路程时间即可求出货车行驶的平均速度，进而根据限速即可判断是否超速； （）①利用待定系数法即可求解；②利用待定系数法求出射线的函数表达式，再联立两函数表达式得到方程组，解方程组即可求解； （）当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，利用待定系数法可得，把代入得，据此即可求出激光射线与射线有交点的时长； 本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，该货车行驶的平均速度为， ∵限速， ∴该货车没有超速， 故答案为：，否； （2）解：①设射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴； ②设射线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴， 由，解得， ∴射线、射线的交点坐标为； （3）解：当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∵， ∴， ∴激光射线与射线有交点的时长为． 79．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知与x成正比例，且当 时，．直线．    (1)求关于x的函数解析式，并在图中画出其图象． (2)将直线向上平移个单位长度得到直线．设图象，直线 分别与x轴交于点A，B，且O，A，B三个点中的两个点关于另一个点中心对称．当 时，求a的值． (3)若在 时，对于x的每一个值都有，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，画图间解析 (2)或1 (3) 【知识点】一次函数与几何综合、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】（1）先用待定系数法求得函数解析式，然后再描点画出图像即可； （2）先根据平移确定平移后的解析式，然后再确定A、B两点坐标，然后再分三种情况分别根据中心对称的特点解答即可； （3）先求出时m的临界值，再求出直线与图象平行时m的临界值，然后再结合函数图像即可解答． 【详解】（1）解：∵与x成正比例， ∴设， ∵当 时，， ∴，解得， ∴，即； 画出图象如图所示：    （2）解：∵， ∴直线， ∵将直线向上平移个单位长度得到直线， ∴直线：， ∵图象，直线 分别与x轴交于点A，B， ∴， ∵三个点中的两个点关于另一个点中心对称， ∴①当点关于点B中心对称时，则，解得：； ②当点关于点A中心对称时，则，解得：； ③当点关于点O中心对称时， ∵，解得不合题意舍去， ∴此种情况不存在． 综上，a的值为或1． （3）解：当时，对于x的每一个值都有， ∴当时，令，有，即， 解得； 当直线与图象平行时，则，此时直线在图象的下方， 综上所述，在时，对于x的每一个值都有，m 的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了求函数解析式、画函数图形、函数图像的平移、中心对称、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 80．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，矩形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，．    (1)求直线的解析式； (2)若直线与矩形有公共点．求b的取值范围； (3)直线与矩形没有公共点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）由条件可求得、的坐标，利用待定系数法可求得直线的表达式； （2）结合图形，当直线平移到过、时与矩形有一个公共点，则可求得的取值范围； （3）由题意可知直线过，结合图象可知当直线过点时与矩形有一个公共点，结合图象可求得的取值范围． 【详解】（1）解：，， ，， 设直线表达式为， ，解得， 直线表达式为； （2）解：直线可以看到是由直线平移得到， 当直线过、时，直线与矩形有一个公共点，如图1，    当过点时，代入可得，解得， 当过点时，可得， 直线与矩形有公共点时，的取值范围为； （3）解：， 直线过，且， 如图2，直线绕点旋转，当直线过点时，与矩形有一个公共点，逆时针旋转到与轴重合时与矩形有公共点，    当过点时，代入可得，解得， 直线与矩形没有公共点时的取值范围为． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、直线的平移、旋转及数形结合思想等知识．在（1）中利用待定系数法是解题的关键，在（2）、（3）中确定出直线与矩形有一个公共点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 81．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图1，图2，在平面直角坐标系中，点B，D的坐标分别为，，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线经过点A和点D． (1)四边形的形状是________； (2)求直线的函数解析式； (3)如图2，将直线沿y轴以每秒1个单位长度的速度向下平移，当直线经过点C时，停止移动，设平移的时间为t s． ①在平移过程中，求直线在四边形内的线段的长度保持不变的时长； ②当直线使四边形内部（不包括边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）平均分布在它的两侧时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)矩形 (2) (3)①5s；② 【知识点】一次函数与几何综合、坐标与图形 【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、矩形的判定、函数图像的平移．对平面直角坐标系、直线解析式以及图形平移等知识的综合运用是解题的关键． （1）根据坐标可判断错四边形的形状； （2）利用给定的点D，点A的坐标，代入直线解析式即可； （3）根据平移的特点和条件进行分析计算即可． 【详解】（1）∵点B，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，A， ∴，，，， ∴四边形的形状是矩形． （2）∵四边形为矩形， ． ∵点B的坐标为， ，∴点A的坐标为． 将点D，点A分别代入， 得：，解得：， ∴直线的函数解析式为：． （3）①将直线向下平移，函数解析式为． 直线在四边形内的线段的长度先增加，经过点O时长度最大， ， ∴线段长度开始保持不变，当直线经过点B后，线段长度开始减小． 当经过点O时，，解得，当经过点B时，，解得， ∴线段长度保持不变的时长为； ②四边形内部的整点有6个，分别是，，，，，． 当经过点时，有，解得；当经过点时，有，解得， ∴t的取值范围为． 82．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，且点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线、交于点和点，当时，求的值； (4)将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3)或 (4) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）将点坐标代入求出，即可得到解析式； （2）根据解析式分别求出点、坐标和两直线的交点坐标，根据三角形面积公式计算即可； （3）当时，则，当，即，即可求解． （4）根据解析式分别求出线段和线段长，根据题意可得的取值范围． 【详解】（1）解：将代入中得：， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：在中， 当时，， 在中，当时，， ∴， ∴； 联立方程组， 解得， ∴的交点坐标为， ∴与轴所围成的三角形的面积为； （3）解：∵与交于点， 则， 当， 即， ， 则或， 解得或． 即的值为或； （4）解：∵和， ， 设直线与和分别交于点和， 在函数中，当时，， 在函数中，当时，， ， ， ∵，即线段向左平移2个单位开始有2个交点， ， ∴的范围为． 故将线段向左平移个单位，若与直线同时有公共点，的取值范围为． 83．（23-24八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点，称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式．例如点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．    (1)设直线经过上例中的点M，N，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示x，y； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； (3)设（1）和（2）中的直线，，上分别有点A，B，C它们的纵坐标分别是a，b，c；且这三个点在一条直线上，直接写出a，b，c满足的关系式. 【答案】(1)的解析式为，的解析式为 (2)①，；②直线的解析式为，画出的图象见解析 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合、利用平移的性质求解 【分析】（1）由待定系数法可求直线的解析式；由平移的性质可求直线的解析式； （2）①由题意可得：点按照甲方式移动次后得到的点的横坐标为，点按照乙方式移动次后得到的点的纵坐标为，即得结果； ②由①的结果可得直线的解析式，进而可画出函数图象； （3）由题意可得点，点，点的坐标，由待定系数法可求直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）设的解析式为， 由题意可得：， 解得：， 的解析式为， 将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为； （2）点按照甲方式移动了次，点从原点出发连续移动10次， 点按照乙方式移动了次， 点按照甲方式移动次后得到的点的横坐标为，点按照乙方式移动次后得到的点的纵坐标为， 点从原点出发连续移动10次后的坐标为， ，； ②， 直线的解析式为； 函数图象如图所示：    （3）点，，，纵坐标依次为，，， 点，点，点， 当时， 设直线的解析式为， 由题意可得：， 解得：， 直线的解析式为， 点，点，点三点始终在一条直线上， ， ， 当时，则点，点，点共线， ，，之间的关系式为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，平移的性质，掌握平移的性质和一次函数的性质是解题的关键． 题型五 四边形 84．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，平铺某款圣诞帽后，其下方是正六边形，帽子顶部G为延长线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、正多边形的外角问题 【分析】本题主要考查了正多边形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．根据正六边形可得和的度数，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵正六边形 ∴， ∴． 故选：A． 85．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，已知，，，点为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，过点作的垂线，分别交于两点．（   ） 甲： 当时， ； 乙： 当时，．    A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】B 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，由题意易得四边形为矩形，即可得，，，又由折叠可得，，当，可得，设，则，利用勾股定理可得，，即可得，得到甲错误；当时，同理可得到乙正确；据此即可求解，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， 又由折叠可得，， 当，可得， 在中，设，则， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故甲错误； 当时，如图，可得， 又由折叠可得，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故乙正确；    ∴只有乙正确， 故选：． 86．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，矩形纸片，，，点M、N分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在点G处，连接，交于点Q，连接．给出下列结论：①当点G落在矩形外时，；②四边形是菱形；③点P与点A重合时，；④的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】根据折叠和矩形的性质即可证明，即可判断①；先判断四边形是平行四边形，再根据判断四边形是菱形，即可判断②；点与点重台时设，表示出，利用勾股定理解出，进而求出即可判断③；当过点时，求出四边形面积的最小值，当与重台时，求出四边形面积的最大值，即可判断④． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠可得， ∵， ∴，故①正确； ， ， 根据折叠得， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形为菱形，故②正确，符合题意； 当点与重合时，如图所示 设，则． 在中，，即， 解得：． ， ， 又∵四边形为菱形， ， ， 故③错误，不符合题意； 当过点时，如图所示： 此时，最短，四边形的面积最小，则最小为， 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ∴，故④正确，符合题意． 故正确的是①②④， 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，翻折问题，三角形的面积，矩形、菱形及平行四边形的性质等知识点，熟练应用矩形、菱形、平行四边形的性质及翻折的性质是解题的关键． 87．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标与旋转规律问题、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案． 【详解】解：∵点的坐标为，四边形是正方形， ∴点的坐标为， ， 四边形是正方形， ， 连接，如图：    由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， 将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ，，，，，，，， 发现是8次一循环，则， ∴是第253组的最后一个点， 点的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法． 88．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点B的坐标为． （1）若直线恰好经过点B，则 ； （2）若直线将正方形分成面积相等的两部分，则 ． 【答案】 2 【知识点】正方形性质理解、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、正方形的性质等知识点，掌握将正方形分成面积相等的两部分的直线必过正方形中心成为解题的关键． （1）直接将点B的坐标为代入求得m的值即可； （2）由直线将正方形分成面积相等的两部分，则该直线过正方形中心，然后代入求得m的值即可． 【详解】解：（1）接将点B的坐标为代入得： ，解得：． 故答案为：． （2）∵直线恰好把正方形分成面积相等的两部分，     ∴直线必经过正方形的中心，     ∵点B的坐标为，     ∴正方形中心的坐标为，代入直线中，得： ，解得：． 故答案为：2． 89．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，矩形中，，延长交于点M，延长交于点F，过点E作，交的延长线于点N，，，则 ． 【答案】/ 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】设交于点K，通过四边形是矩形以及，得到是等边三角形，根据含直角三角形的性质以及勾股定理得到，，的值，进而得到的值，再利用直角三角形的性质及勾股定理得到，即可． 【详解】解：如图，设交于点K， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用直角三角形的性质． 90．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在矩形中，，，为上一动点，于，于，的面积为 ；则的值为 ． 【答案】 12 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了矩形的性质以及勾股定理、三角形面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．首先连接，在矩形中，，，可求得以及的面积，继而可得，则可求得答案． 【详解】解：连接，    ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵ ∴． 故答案为12；． 91．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积是 ，若以为边作等边，那么的度数是 【答案】 8 或 【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质求面积 【分析】根据正方形，得到，解答即可； 正方形，等边三角形，得到，，利用等腰三角形的性质，解答即可． 本题考查了正方形的性质，等边三角形额性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据正方形，得到， 故答案为：8； 当点E在正方形的外部时， ∵正方形，等边三角形， ∴，， ∴ ， ∴ ， 当点E在正方形的内部时， ∵正方形，等边三角形， ∴，， ∴ ， ∴ ， 故答案为：或． 92．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则点C到的距离是 ，的值为 ． 【答案】 6 4 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）结合四边形为矩形，图象的三角形的面积可得结论； （2）利用矩形的性质和勾股定理列方程可求． 本题考查矩形的性质和勾股定理，动点问题函数图象，根据图象分析得出的值是解题关键． 【详解】解：（1）矩形中，， ，当点在边上运动时，的值不变， ， 点为矩形中边的中点， ， ， 解得， ， 即点到的距离是6． 故答案为：6； （2）当点在上运动时，逐渐减小， ， 在中， ， ， 解得． 故答案为：4． 93．（23-24八年级下·河北唐山·期末）将正方形，，按如图所示方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的坐标是 ，的纵坐标是 ． 【答案】 ， ， 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“点的坐标为，为正整数）”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，，，的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“点的坐标为，为正整数）”，再代入，即可得出结论． 【详解】解：当时，， 点的坐标为． 四边形为正方形， 点的坐标为，点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． 为正方形， 点的坐标为，点的坐标为． 同理，可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， 点的坐标为，为正整数）， 点的坐标为，，点的坐标为，， 故答案为：，；， 94．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在边长为1的正方形中，为边上任意一点（不与点重合），交于点，过点且垂直于的一条直线分别交于点．连接，将沿着翻折，点落在点处．的中点为，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】过点P分别作的垂线，垂足分别为G、H，过点M作于T，连接，则四边形是矩形，可得，证明，得到；再证明四边形是矩形，，进而证明，得到，则，可得是等腰直角三角形，则，由折叠的性质可得，则，证明，得到，则点在直线上运动，故当时，有最小值，则，据此可得答案. 【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为G、H，过点M作于T，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当时，有最小值， ∴此时是等腰直角三角形， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形推出点的运动轨迹是解题的关键. 95．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在正方形中，分别是边，的中点，连接，，分别是，的中点，连接，若，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的中位线等知识，连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，最后利用三角形的中位线定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接并延长交于，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， 故答案为：． 96．（23-24八年级下·河北保定·期末）在探索命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，嘉琪按照以下步骤用尺规作出了如图所示的四边形．步骤如下： 已知直线l及线段，点B在直线l上，点A在直线l外．如图， ①在直线l上取一点C（不与点B重合），连接； ②以点A为圆心，长为半径作弧，以点B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（与点C位于直线异侧）； ③连接交于点O，连接． (1)根据以上作图过程及所作图形，写出已知和求证．（完成填空） 已知： ， ．求证：四边形是 ． (2)请你替嘉琪写出完整的证明过程． (3)在下列结论①；②；③中，一定正确的结论为 ．（填序号） 【答案】(1)；；平行四边形 (2)见解析 (3)①② 【知识点】作线段(尺规作图)、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，尺规作图： （1）由作法可得：，，即可解答； （2）证明，可得，从而得到，即可； （3）根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）解：已知：，．求证：四边形是平行四边形． 故答案为：；；平行四边形 （2）证明：在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴；，故①②正确； 但无法确定的大小关系， ∴无法确定和的大小关系，故③错误； 故答案为：①② 97．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动．规定运动时间为秒，当其中一点到达终点时另一点也同时停止运动． (1) ____，____（分别用含有的式子表示）； (2)四边形可能是平行四边形吗？说明理由． (3)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． (4)当点与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)，． (2)四边形不可能是平行四边形，理由见解析 (3)； (4)或3或5 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想是解决问题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间，即可求解； （2）根据平行四边形的性质进行判断即可； （3）设点到距离为，根据四边形的面积是四边形面积的2倍，可列方程，解方程即可得到答案； （4）分四种情况讨论，根据平行四边形对边相等，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点以的速度由向运动，点以的速度由向运动， ∴，， ∴， 故答案为：，． （2）四边形不可能是平行四边形， 由题意可得，，若四边形是平行四边形，则， 但是， ∴四边形不可能是平行四边形 （3）解：设点到的距离为， ∵四边形的面积是四边形面积的2倍， ∴可得：， 解得：； （4）解：若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：（不合题意，舍去）， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 综上可得：当或3或5时，点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形． 98．（23-24八年级下·河北张家口·期末）已知：如图1，中，，点D为中点．求证：．下面是两位同学两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 嘉嘉：如图2，取AC中点E，连接． 琪琪：如图3，延长CD至点E，使，连接、． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查矩形的性质、中位线的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质、中位线的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 方法一：由题意易得，然后根据垂直平分线可求得，问题可求证；方法二：由题意易证四边形是矩形，然后根据矩形的性质可进行求证． 【详解】方法一， 证明：如图，取中点E，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 证明：方法二， 如图，延长至点E，使，连接、， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∴直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 99．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，．动点M在线段上以每秒3个单位长度的速度由点A向点B运动，同时动点N在线段上以每秒1个单位长度的速度由点O向点C运动（当点M到达点B时，点N停止运动）．设运动时间为t秒． (1)当，__________； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若改变点N的运动速度，其他条件不变，直接写出当N的速度为多少时，能够使四边形成为菱形． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查勾股定理、菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质以及平面直角坐标系知识，深入理解题意是解决问题的关键． （1）根据点M的运动速度和t值即可求出结果； （2）根据题意用含t的代数式分别表示出，根据当四边形是平行四边形时列出关于t的方程解方程即可求出当t为何值时，四边形是平行四边形； （3）当四边形为菱形时，，根据勾股定理表示出，根据得到关于t的方程，解方程求出t值后表示出的长，用的长除以t值即可求出点N的速度为何值时，能够使四边形成为菱形． 【详解】（1）解：∵点M的运动速度为每秒3个单位长度，， ． 故答案为：15； （2）解：如图1， 由题意可得： ， 当四边形是平行四边形时，， 即， 解得：， 当时，四边形是平行四边形； （3）解：如图2， 当四边形为菱形时，， ，即， ， ， 解得：， ， ， 又， ∴点N的速度为每秒个单位长度时，能够使四边形成为菱形． 100．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，． (1)将点B，点A都向左平移5个单位长度，分别得到对应点C和D，顺次连接A，B，C，D，画出四边形，并判断四边形的形状； (2)把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，在四边形内部（不包括边界），是否存在整点M，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析，矩形； (2)存在，M的坐标为或或 【分析】本题考查的是平移的性质，矩形的判定，坐标与图形面积； （1）先分别画出平移后的对应点C和D，再顺次连接，结合矩形的判定可得答案； （2）先求解，再利用三角形的面积公式求解的纵坐标即可； 【详解】（1）解：画出四边形如图所示 ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； （2）解：存在， 设的边上的高为h， 由题意得，解得， ∴满足条件的点在直线上，且在矩形内部（不包括边界）， ∴符合条件的所有点M的坐标为或或； 101．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、． （1）若，则四边形的周长为 ． （2）图③，若，且，则四边形的面积为 ． 【答案】见解析；（1）①四边形的周长为；（2） 【分析】运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论； （1）运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案； （2）由（1）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】证明：如图①， 、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线，   ，， ， ， ． （1）如图②， 、、、分别是、、、的中点， ，，   ， ， 四边形的周长为16； （2）：如图③， 、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，，   ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 菱形是正方形， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 102．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在正方形中，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)把正方形改为菱形，其它条件不变（如图②），若，则________度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)60 【分析】本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形和菱形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，得到答案； （3）根据菱形的性质、仿照（2）的证明方法解答即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， ， 设与相交于点O， ， ， ； （3）解：在菱形中，，， 又， ， 则是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设与相交于点O， ， ， ， ， ， 故答案为：60 103．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图在平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为，，，其中a，b满足，过点A作于点D，交y轴于点E． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． (2)求的长． (3)在平面内是否存在一点Q，使得B、E、A、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点Q的坐标为或或 【分析】本题考查了非负数的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，角平分线的性质定理等知识， （1）对变形为，可得即可求解； （2）先证明，可得，即可求解； （3）由（2）可知，，分三种情况进行解析，①当以为平行四边形的边时，构成；②当以为平行四边形的对角线时，构成；③当以为平行四边形的对角线时，构成；分别求出点Q的坐标． 【详解】（1）解： ，即 点A坐标为，点B坐标为 （2）解：由（1）可得，． ∵，． ∴． ，． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）可知，， ①如解图①，当以为平行四边形的边时，构成， ∴轴，， ∴点Q的坐标为； ②如解图②，当以为平行四边形的对角线时，构成， ∴轴，， ∴点Q的坐标为； ③如图③，当以为平行四边形的对角线时，构成． ∴， ∵为的对角线， ∴． 过点Q作轴于点P， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或． 104．（23-24八年级下·河北唐山·期末）在矩形中，，，、分别是、中点，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)当，则四边形一定是怎样的四边形，说明理由． (2)若四边形为矩形，求的值． (3)若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则的值为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)四边形为矩形时或 (3)当时，四边形为菱形 【分析】（1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， 四边形是矩形， ∴，， ， ，分别是，中点， ，， ， ， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形； （2）解：如图1，连接， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ， ①如图1，当四边形是矩形时， ， ， ， ； ②如图2，当四边形是矩形时， ，， ， ； 综上，四边形为矩形时或； （3）解：如图3，和分别是和的中点，连接，，，与交于， 四边形为菱形， ，，， ，， 四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ，即， 当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 105．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形边长相等．与相交于点与相交于点． 课本再现（1）求证：； 知识初探（2）嘉琪说：当正方形绕点转动，且与垂直时，四边形的面积最小．你同意嘉琪的说法吗？请说明理由； 拓展探究（3）如图2，四边形中，，连接，若，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）不同意，理由见解析；（3）8 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、全等三角形的性质、旋转的性质等知识点．熟练掌握正方形性质是解题关键． （1）根据正方形性质证明即可证明结论； （2）由可得，，即四边形的面积总等于正方形面积的即可； （3）如图：过A作交延长线于F，再证明可得，，进而得到，最后根据正方形的面积为对角线积的一半即可解答． 【详解】解：（1）∵在正方形和正方形中， ∴，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：不同意，理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∴，即当正方形绕点O转动时，四边形的面积总等于正方形面积的，即为定值． （3）如图：过A作交延长线于F， ∴, ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． 106．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，在矩形中，，，把边沿对角线所在直线平移，移动后点A，B的对应点分别为点，，连接，．    (1)连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)在（1）的基础上，若与边交于点P，过点P作，交于点M，交边于点Q，求证：； (3)当四边形的面积为60时，直接写出边平移的距离． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)见解析 (3)20或30 【分析】（1）由矩形和平移的性质可证明四边形是平行四边形，再结合，可证得四边形是菱形； （2）由，结合（1）可得，四边形是平行四边形，则，，即可证得结论； （3）由矩形的性质，结合勾股定理得，过点作，则，求得，连接，由平移可知，可知，求得，分两种情况：当在线段上时，当在线段的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 在矩形中，，， 由平移可知，，， ∴，，则四边形是平行四边形， ∵，即：， ∴四边形是菱形； （2）证明：由（1）可知四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （3）在矩形中，，， 则， 过点作，则， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， 连接，由平移可知， ∴， ∴， 当在线段上时，，    当在线段的延长线上时，，    综上，边平移的距离为20或30． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定及性质，平移的性质，勾股定理，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 107．（23-24八年级下·河北沧州·期末）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)的面积为或． 【分析】（1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明即可证得结论； （2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明即可； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论． 【详解】（1）解：如图1，连接，延长交于点， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， ； 四边形是菱形， ，， ， ， ， 即； 故答案为：，； （2）解：（1）中的结论：，仍然成立，理由如下： 如图2中，连接，设与交于， 菱形，， 和都是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； ∵， ． （1）中的结论：，仍然成立； （3）解：如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， 四边形是菱形， ，平分， ，， ， ，， ， 由（2）知， ∵， ， ，， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形， ， 如图4中，当点在的延长线上时，同法可得， ， 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来． 108．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图1，正方形与正方形的边、在一条直线上，，，连接，，．    (1)分别求，，的长，并判断是否为直角三角形，并说明理由． (2)求的面积，并直接写出点到的距离． (3)如图2，正方形的对角线落在正方形的边上，，，连接，．则四边形的面积是__________． 【答案】(1)不是直角三角形，理由见解析 (2)点到的距离为； (3) 【分析】（1）利用勾股定理分别求得、和的长，再利用勾股定理的逆定理验证即可求解； （2）利用计算即可求得的面积，再利用面积法即可求解； （3）作交延长线于点，求得，根据，计算即可求解． 【详解】（1）解：不是直角三角形，理由如下， ∵正方形与正方形，，， ∴在中，， 在中，， 在中，， ∵， ∴不是直角三角形； （2）解： ， 设点到的距离为， 则， ∴， 解得：， ∴点到的距离为； （3）解：作交延长线于点，    ∵正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的混合运算，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 109．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，直线轴，交y轴于点，点在直线l上，将矩形绕点O按顺时针方向旋转度，得到矩形，此时直线、分别与直线l相交于点P、Q． (1)当时，点的坐标为______； (2)如图2，当点落在l上时，点P的坐标为______； (3)如图3，当矩形的顶点落在l上时， ①求的长度； ②求． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合、一次函数的图像与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）根据旋转的得到的坐标即可； （2）根据在，然后利用勾股定理即可解答； （3）①根据已知条件得到，设，则，在中，利用，即即可求出x的值，即可求解；②根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 由旋转的性质，可知：， ∴当时，点的坐标为． 故答案为． （2）解：在中，， ∴， ∴当点落在l上时，点P的坐标为． 故答案为． （3）解：①当四边形的顶点落在l上时， 在和中，， ∴， ∴． 设，则． 在中，， ∴，即，解得： ， ∴； ②∵， ∴． 故答案为． 110．（23-24八年级下·河北衡水·期末）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； (2)①如图，当点在线段上，且点在菱形外部时，（）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②在①的条件下，连接，若，，直接写出的长为 ； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长度为 ． 【答案】(1)， (2)①（）中的结论：，仍然成立，理由见解析② (3)或 【分析】（1）如图，连接，延长交于点，根据菱形的性质及，证是等边三角形，得，；进而证明，得；，又，从而可得，即可得； （2）①（）如图中，连接，设与交于，由菱形的性质得，，，进而证明和都是等边三角形，得，，，，又证，得，，从而利用垂线定义得， ∴；②如图．所示，根据全等三角形的性质得，又根据三角形的内角和及等腰三角形的判定得，再利用勾股定理求解即可； （3）分点在的延长线上和点在的延长线上两种情况，利用勾股定理，菱形的性质及全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：①（）中的结论：，仍然成立，理由如下： 如图中，连接，设与交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴，，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴（）中的结论：，仍然成立； ②如图.所示， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， ∵四边形是菱形， ∴平分，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（）知， ∴； 如图中，当点在的延长线上时，同法可得， ， 综上，的长度为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及性质，勾股定理，菱形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质等，熟练掌握等边三角形的判定及性质，勾股定理，菱形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 111．（23-24八年级下·河北石家庄·期末） 【问题提出】（1）如图1，E是正方形边上一点，是等腰三角形，，若交于点，求的大小． 【知识拓展】（2）如图2，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，若交于点，探究与的数量关系． 【知识应用】（3）将图2特殊化，如图3，当时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）如图：过点F作交延长线于H，证明，然后根据全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）如图：在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可解答； （3）如图：在上截取，使，连接，作于点O；由(2) 可知，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，进而完成解答． 【详解】解：（1） .理由如下： 如图1：过点F作交延长线于H， ∴， ∴’ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图：在上截取，使，连接， ∵，， ∴， ∵AE =EF， ∴， ∴. ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）如图3：在上截取，使，连接，作于点O； 由(2) 知， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，能够综合运用这些性质是解题关键． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$