专题04 全等三角形（考点清单，13个考点清单+7种题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版五四制）

专题04 全等三角形（考点清单，13个考点清单+7种题型解读） 【清单01】全等形的概念（重点） 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 【清单02】全等三角形的概念和表示方法（重点） 1.全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 2. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点归纳： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 3. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【清单03】全等三角形的性质（重点） 　 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 要点归纳：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【清单04】三角形全等的基本事实：边边边（重点） 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点归纳：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 【清单05】三角形全等的基本事实：边角边（重点） 1. 全等三角形判定——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点归纳：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【清单06】三角形全等的基本事实：角边角（重点） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点归纳：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 【清单07】三角形全等的推论：角角边（重点） 1.全等三角形判定——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点归纳：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【清单08】直角三角形全等的判定方法：HL（重点） 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点归纳： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【清单09】常见全等三角形的基本图形 1、截长补短 有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 2、倍长中线 图一 图二 图三 3、过端点向中线作垂线 4. 一线三等角 模型 三垂直全等模型 图一 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 图二 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 5、手拉手 图一 图二 图三 图四 图五 图六 图七 手拉手模型的定义： 定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。 特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手） 3、 如右图：手拉手模型的重要结论： 结论1：（SAS） BC=(左手拉左手等于右手拉右手) 结论2：（利用三角形全等及顶角相等 的等腰三角形底角相等） 结论3：AO平分O（利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明） 【清单10】作已知角的平分线（重点） 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）画射线OC. 射线OC即为所求. 【清单11】角的平分线的性质（重点） 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点归纳： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 【清单12】证明几何命题的一般步骤（难点） (1)按题意画出图形. (2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论 (3)在“证明”中写出推理过程 在解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写人证明中.辅助线通常画成虚线 【清单13】角的平分线的判定（重点） 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点归纳： 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 【考点题型一】全等三角形的判定 1．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，已知，，添加以下条件中，不能使的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，四边形中，，E是的中点，平分． (1)判断、、之间的数量关系，并证明； (2)若，，求和的面积之和． 【考点题型二】全等三角形的性质及其应用 5．（21-22八年级上·福建厦门·期末）如图，已知与，四点在同一条直线上，其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为15，平分．若M，N分别是上的动点，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，．若，，则度数为 ． 8．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，已知，，求证． 【考点题型三】角的平分线及尺规作图 9.（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，平分，在上取一点，作，已知的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 10．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）已知，如图，中，，，点D、E分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（　　）    A．45° B．48° C．60° D．66° 11．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则 ． 12．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 【考点题型四】延长垂线段构造全等 13．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，是的平分线，，垂足为D．求证：．    14．（2023上·全国·八年级课堂例题）如图，在中，平分交于点于点．探究，之间的数量关系．    15．（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，在中，平分交的延长线于点．求证：．    【考点题型五】截长补短构造全等 16．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 17．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，和分别平分和，和相交于P． （1）的度数为 ； （2）若，则线段的长为 ． 18．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    19．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形中，，，于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交的延长线于点，点在上，连接，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，交于点，连接，且，当，时，求的长． 【考点题型六】作垂线构造全等 20．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，射线为的平分线，点M，N分别是边，上的两个定点，且，点P在上，满足的点P的个数有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 21．（22-23八年级上·北京海淀·期末）如图，点D在的平分线上，P为上的一点，，点Q是射线上的一点，并且满足，则的度数为 ．    22．（21-22八年级上·山东日照·期末）如图，在四边形中，，点E是的中点，平分．求证：是的平分线．    【考点题型七】倍长中线构造全等 23．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，D为的中点，若，．则可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 24．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）已知的两边，长分别为3和5，边上的中线的取值范围为 ． 25．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 26．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形（考点清单，13个考点清单+7种题型解读） 【清单01】全等形的概念（重点） 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 【清单02】全等三角形的概念和表示方法（重点） 1.全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 2. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点归纳： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 3. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【清单03】全等三角形的性质（重点） 　 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 要点归纳：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【清单04】三角形全等的基本事实：边边边（重点） 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点归纳：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 【清单05】三角形全等的基本事实：边角边（重点） 1. 全等三角形判定——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点归纳：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【清单06】三角形全等的基本事实：角边角（重点） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点归纳：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 【清单07】三角形全等的推论：角角边（重点） 1.全等三角形判定——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点归纳：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【清单08】直角三角形全等的判定方法：HL（重点） 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点归纳： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【清单09】常见全等三角形的基本图形 1、截长补短 有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 2、倍长中线 图一 图二 图三 3、过端点向中线作垂线 4. 一线三等角 模型 三垂直全等模型 图一 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 图二 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 5、手拉手 图一 图二 图三 图四 图五 图六 图七 手拉手模型的定义： 定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。 特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手） 3、 如右图：手拉手模型的重要结论： 结论1：（SAS） BC=(左手拉左手等于右手拉右手) 结论2：（利用三角形全等及顶角相等 的等腰三角形底角相等） 结论3：AO平分O（利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明） 【清单10】作已知角的平分线（重点） 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）画射线OC. 射线OC即为所求. 【清单11】角的平分线的性质（重点） 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点归纳： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 【清单12】证明几何命题的一般步骤（难点） (1)按题意画出图形. (2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论 (3)在“证明”中写出推理过程 在解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写人证明中.辅助线通常画成虚线 【清单13】角的平分线的判定（重点） 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点归纳： 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 【考点题型一】全等三角形的判定 1．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，已知，，添加以下条件中，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法一一判断即可； 【详解】解：A．根据，可以推出，故本选项不符合题意； B．根据，可以推出，故本选项不符合题意； C．根据，不能判定三角形全等，故本选项符合题意； D．根据，可以推出，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 【答案】 【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为． 【详解】解：∵， ∴， 若，则 在和中 ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定，关键是根据证明与全等解答． 根据等式的性质得出，再根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】证明：如图， ， ，即， 在和中， ， ． 4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，四边形中，，E是的中点，平分． (1)判断、、之间的数量关系，并证明； (2)若，，求和的面积之和． 【答案】(1)，证明见解析 (2)20 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． （）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据证明得出，继续证明得到，即可得出结论； （2）根据，求出梯形与的面积即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下： 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴和的面积之和梯形的面积的面积 ， ， ． 【考点题型二】全等三角形的性质及其应用 5．（21-22八年级上·福建厦门·期末）如图，已知与，四点在同一条直线上，其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，证明可得，进而由三角形外角性质可得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为15，平分．若M，N分别是上的动点，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键． 如图，在截取，使得，连接，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，如图，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 【详解】解：如图，在截取，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为6， 故选：D． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，．若，，则度数为 ． 【答案】125 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．先根据平行线的性质得到，然后证明得到，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：125． 8．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，已知，，求证． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直接利用“”证明全等，再根据全等三角形的性质即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【考点题型三】角的平分线及尺规作图 9.（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，平分，在上取一点，作，已知的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，先求解，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵的面积为，， ∴， ∴， 过P点作于H，如图，   平分，， ， 点E是射线上的动点， 的最小值为， 故选：C． 10．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）已知，如图，中，，，点D、E分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（　　）    A．45° B．48° C．60° D．66° 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质定理证得，，进而得出，从而判定平分，再利用外角的性质求出即可． 【详解】解：作于点F，于点H，于点G，    ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是根据已知添加适当的辅助线． 11．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，掌握角平分线性质和判定是解题的关键．根据角平分线的性质即可求得点E到的距离相等，再利用角平分线的判定即可得到是的角平分线，进而得到的度数． 【详解】解：过点E分别作，，，垂足分别为H，F，G， ∵的平分线与的平分线相交于点E， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线作图，以及角平分线性质，根据角平分线上的点到两边的距离相等，作出与的角平分线，角平分线交点，即为所求点I． 【详解】解：所作点I如下图所示： 【考点题型四】延长垂线段构造全等 13．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，是的平分线，，垂足为D．求证：．    【答案】详见解析 【分析】延长交于点F，是的角平分线且，得到，则，由三角形外角的性质得到，即可得到结论． 【详解】证明：如图所示，延长交于点F．    ∵， ∴． ∵是的平分线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键． 14．（2023上·全国·八年级课堂例题）如图，在中，平分交于点于点．探究，之间的数量关系．    【答案】． 【分析】延长交于点，利用证明，推出，据此即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点．    平分， ． ， ． 在和中，， ． ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，在中，平分交的延长线于点．求证：．    【答案】见解析 【分析】延长，交于点，证，，得出，，及，则． 【详解】解：延长，交于点，      ∵， ，， ∵， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键． 【考点题型五】截长补短构造全等 16．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】在上截取，连接，由可证得，于是可得，由可证得，于是可得，进而可求得的长． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 周长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，等式的性质，解一元一次方程等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，和分别平分和，和相交于P． （1）的度数为 ； （2）若，则线段的长为 ． 【答案】 /度 8 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．在上截取，得出是解题的关键． （1）利用，角平分线的定义即可解答； （2）先利用“边角边”证明，进而得出，再通过角之间的等量变换，利用“角边角”证明，进而得出线段之间的关系即可解答． 【详解】（1）， ， 和分别平分和， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：8． 18．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【详解】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 19．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形中，，，于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交的延长线于点，点在上，连接，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，交于点，连接，且，当，时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2 【分析】（1）过点B作于点Q，根据AAS证明△得，再证明四边形是矩形得BQ=CG，从而得出结论； (2) 在GF上截取GH=GE，连接AH，证明AH=FH，GE=GH即可； (3) 过点A作于点P，在FC上截取，连接，证明得，可证明AC是EH的垂直平分线，再证明和△得可求出，从而可得结论． 【详解】解：（1）证明：过点B作于点Q，如图1 ∵ 又， ∴△ ∴四边形是矩形 ； （2）在GF上截取GH=GE，连接AH，如图2， 又 （3）过点A作于点P，在FC上截取，连接，如图3， 由（1）、（2）知，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴∠ ∵ ∴∠ ∴ ∵ ∴∠ ∴ ∴AC是EH的垂直平分线， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴∠ ∴∠ ∵∠， ∴∠ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵∠ ∴，即 ∴ ∵，即 ∴ 在和中， ∴△ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【考点题型六】作垂线构造全等 20．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，射线为的平分线，点M，N分别是边，上的两个定点，且，点P在上，满足的点P的个数有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】B 【分析】过点P作，，根据角平分线的性质及全等三角形的判定即可得出结果． 【详解】解：过点P作，，如图所示： ∵射线为的平分线， ∴， 当DM=EN时， 此时 ∴满足条件的点P只有1个， 故选：B． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 21．（22-23八年级上·北京海淀·期末）如图，点D在的平分线上，P为上的一点，，点Q是射线上的一点，并且满足，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，分类讨论；过点D作于H，于N，则由角平分线的性质定理得；分两种情况考虑：点Q在点H的右侧时，证明，则有；点在点H左侧时，同理可求，进而求得结果，最后综合两种情况即可． 【详解】解；如图，过点D作于H，于N，    ∵平分， ∴， 当点Q在点H的右侧时， 在和中， ， ∴， ∴， 当点在点H左侧时，同理可求， ∴， 综上所述：的度数为或， 故答案为：或． 22．（21-22八年级上·山东日照·期末）如图，在四边形中，，点E是的中点，平分．求证：是的平分线．    【答案】见解析 【分析】过点E作于点H，反向延长交的延长线于点G，过点E作于点F，证明，可得，根据角平分线的性质定理可得，从而得到，再由角平分线的性质的逆定理，即可求解． 【详解】证明：过点E作于点H，反向延长交的延长线于点G，过点E作于点F，    ∵， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 又， ∴是的平分线． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【考点题型七】倍长中线构造全等 23．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，D为的中点，若，．则可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长至，使，连接，由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，    则， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故选：D． 24．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）已知的两边，长分别为3和5，边上的中线的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系，根据延长，取，连接证明得到，再利用三角形三边关系得到，即可解题． 【详解】解：延长，取，连接，如下图所示： ， 为边上的中线， ， ， ， ， ，， ， 即， ， ． 故答案为：． 25．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 26．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】(1)已作；对顶角相等；； (2) (3)6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； （2）由（1）得：，且，， ， 在中，， ； （3）延长交的延长线于F， ∵是的中线 ∴ ，， ， 在和中， ， ，， 又且 ， ， ， ． 即：的长是6 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$