期末复习易错题（26个考点60题）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版）

期末复习易错题（26个考点60题） 一．二次根式有意义的条件（共1小题） 1．已知|a﹣2007|a，则a﹣20072的值是　 　 ． 二．二次根式的性质与化简（共4小题） 2．把x根号外的因数移到根号内，结果是（　　） A． B． C． D． 3．若2＜a＜3，则等于（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1 4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（　　） A．2a﹣b+1 B．a﹣2b+1 C．﹣a+2b﹣1 D．2a+b﹣1 5．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如：|1|＝1． 解决问题： 化简下列各式： （1）； （2）． 三．二次根式的乘除法（共1小题） 6．计算：的结果为 　 　 ． 四．分母有理化（共2小题） 7．已知：a，b，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 8．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ．以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：． （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：． 五．二次根式的加减法（共2小题） 9．（易错题）已知x，则x的值是（　　） A． B． C．± D．不能确定 10．已知xy＝3，那么的值是 　 　 ． 六．二次根式的化简求值（共1小题） 11．如果f（x）并且f（）表示当x时的值，即f（），f（）表示当x时的值，即f（），那么f（）+f（）+f（）+f（）的值是（　　） A．n B．n C．n D．n 七．函数自变量的取值范围（共1小题） 12．函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 八．函数的图象（共3小题） 13．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A． B． C． D． 14．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 15．快车与慢车分别从甲乙两地同时出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示． （1）甲乙两地之间的路程为 　 　 km；快车的速度为 　 　 km/h；慢车的速度为 　 　 km/h； （2）出发 　 　 h，快慢两车距各自出发地的路程相等； （3）快慢两车出发 　 　 h相距150km． 九．动点问题的函数图象（共1小题） 16．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则矩形MNPQ的面积是　 　 ． 一十．一次函数的图象（共1小题） 17．在同一坐标系中，函数y＝﹣ax与y的图象大致是（　　） A．B． C．D． 一十一．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 18．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线yx+2上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较 一十二．一次函数与一元一次不等式（共3小题） 19．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　） A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2 20．如图，一次函数y＝kx﹣2k（k＜0）的图象经过点P（1，1），当0＜kx﹣2k≤x时，x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．0＜x≤1 D．1≤x＜2 21．如图，函数y＝ax﹣1的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2的解集是 　 　 ． 一十三．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题） 22．如图，一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 一十四．一次函数的应用（共9小题） 23．A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法： ①乙晚出发1小时； ②乙出发3小时后追上甲； ③甲的速度是4千米/小时； ④乙先到达B地． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 24．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（　　） A．甲的速度随时间的增加而增大 B．乙的平均速度比甲的平均速度大 C．在起跑后第180秒时，两人相遇 D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面 25．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），若光线AB满足的函数关系式为：，则b的值是（　　） A．2 B． C． D．1 26．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省　 　 元． 27．为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地 车型 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 （1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式． （3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 28．新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2． 若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案： 方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金； 方案二：降价10%，没有其他赠送． （1）请写出售价y（元/米2）与楼层x（1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式； （2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算． 29．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米． （1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）； （2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小 ①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）； ②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？ 30．某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 31．综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是x cm，单层部分的长度是y cm，得到如下数据： 双层部分长度x（cm） 2 6 10 14 a 单层部分长度y（cm） 116 108 100 92 70 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2：3 素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为53.5cm；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为38cm，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的． 任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，以y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量x、y是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出a值并确定x的取值范围． 任务2 设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式． 任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度． 一十五．一次函数综合题（共4小题） 32．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C． （1）求m和b的值； （2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动．设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 33．已知：如图，一次函数yx﹣3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC． （1）直线CD的函数表达式为 　 　 ；点D的坐标 　 　 ；（直接写出结果） （2）点P为线段DE上的一个动点，连接BP． ①若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，试求点P的坐标； ②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC． （1）求OC的长； （2）若点E在x轴上，且△BED的面积为10，求点E的坐标； （3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 35．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的另一直线与x轴交于点B（6，0）． （1）求直线BC的解析式； （2）若点G是直线BC上一动点，过点G作x轴的垂线交x轴于点M，与直线y＝2x+6交于点H，且满足，求点G的横坐标； （3）若点G是线段BC上一动点，点N在x轴上，且满足∠OGN＝45°，OG＝GN，直接写出点G和点N的坐标． 一十六．等腰三角形的性质（共1小题） 36．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 　 　 ． 一十七．勾股定理（共6小题） 37．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 38．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 39．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（　　） A．2： B．4：3 C．： D．7：4 41．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1＝30，S2＝40，则S3＝　 　 ． 42．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s． （1）出发2s后，求MN的长； （2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，△MNB是等腰三角形？ （3）当点M在边CA上运动时，求能使△BCM成为等腰三角形的t的值． 一十八．勾股定理的证明（共3小题） 43．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 44．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的长为（　　） A．4 B． C． D． 45．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．30 一十九．勾股定理的逆定理（共1小题） 46．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长． 二十．三角形中位线定理（共2小题） 47．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 48．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是（　　） A．28 B．32 C．18 D．25 二十一．平行四边形的判定与性质（共1小题） 49．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝　 　 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 二十二．菱形的性质（共1小题） 50．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6 D． 二十三．菱形的判定与性质（共1小题） 51．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长． 二十四．矩形的性质（共3小题） 52．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 53．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 54．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 　 　 ． 二十五．矩形的判定（共1小题） 55．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 二十六．正方形的性质（共5小题） 56．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A． cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2 57．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A．2 B． C． D． 58．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（　　） A．1 B． C． D．2 59．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　 　 ． 60．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直角三角板EFG的直角顶点E在线段AC上，EF、EG与BC、CD边相交于M、N． （1）如图1，若E点与O点重合，求证：EM＝EN； （2）如图2，若E点不与O点重合： ①EM还等于EN吗？说明理由； ②试找出MC、CN、EC三者之间的等量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习易错题（26个考点60题） 一．二次根式有意义的条件（共1小题） 1．已知|a﹣2007|a，则a﹣20072的值是　2008　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵|a﹣2007|a，∴a≥2008． ∴a﹣2007a， 2007， 两边同平方，得a﹣2008＝20072， ∴a﹣20072＝2008． 二．二次根式的性质与化简（共4小题） 2．把x根号外的因数移到根号内，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由x可知x＜0， 所以x， 故选：C． 3．若2＜a＜3，则等于（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1 【答案】C 【解答】解：∵2＜a＜3， ∴ ＝a﹣2﹣（3﹣a） ＝a﹣2﹣3+a ＝2a﹣5． 故选：C． 4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（　　） A．2a﹣b+1 B．a﹣2b+1 C．﹣a+2b﹣1 D．2a+b﹣1 【答案】C 【解答】解：观察实数a，b在数轴上的位置可知： a+1＞0，a﹣b＜0，1﹣b＜0，a+b＞0， ∴ ＝|a+1|+|a﹣b|+2|1﹣b|﹣|a+b| ＝a+1+b﹣a+2（b﹣1）﹣（a+b） ＝a+1+b﹣a+2b﹣2﹣a﹣b ＝﹣a+2b﹣1． 故选：C． 5．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如：|1|＝1． 解决问题： 化简下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）2；（2）2． 【解答】解：（1） ＝2； （2） 2． 三．二次根式的乘除法（共1小题） 6．计算：的结果为 　1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝3， ， ＝1， 故答案为：1． 四．分母有理化（共2小题） 7．已知：a，b，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 【答案】C 【解答】解：分母有理化，可得a＝2，b＝2， ∴a﹣b＝（2）﹣（2）＝2，故A选项错误； a+b＝（2）+（2）＝4，故B选项错误； ab＝（2）×（2）＝4﹣3＝1，故C选项正确； ∵a2＝（2）2＝4+43＝7+4，b2＝（2）2＝4﹣43＝7﹣4， ∴a2≠b2，故D选项错误； 故选：C． 8．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ．以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：． （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式； （2）原式 11 ＝31 五．二次根式的加减法（共2小题） 9．（易错题）已知x，则x的值是（　　） A． B． C．± D．不能确定 【答案】C 【解答】解：∵（x）2＝（x）2﹣4＝6﹣4＝2， ∴x±．故选C． 10．已知xy＝3，那么的值是 　±2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵xy＝3， ∴x、y同号， ∴原式＝xy， 当x＞0，y＞0时，原式2； 当x＜0，y＜0时，原式（）＝﹣2． ∴原式＝±2． 六．二次根式的化简求值（共1小题） 11．如果f（x）并且f（）表示当x时的值，即f（），f（）表示当x时的值，即f（），那么f（）+f（）+f（）+f（）的值是（　　） A．n B．n C．n D．n 【答案】A 【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1， 所以，原式（n﹣1）＝n． 故选：A． 七．函数自变量的取值范围（共1小题） 12．函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 【答案】C 【解答】解：依题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故选：C． 八．函数的图象（共3小题） 13．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意； B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意； C．此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意； D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意． 故选：C． 14．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：从图中可以看出，OE上升最快，EF上升较慢，FG上升较快， 所以容器的底部容积最小，中间容积最大，上面容积较大， 故选：B． 15．快车与慢车分别从甲乙两地同时出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示． （1）甲乙两地之间的路程为 　420　 km；快车的速度为 　140　 km/h；慢车的速度为 　70　 km/h； （2）出发 　　 h，快慢两车距各自出发地的路程相等； （3）快慢两车出发 　h或h或　 h相距150km． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图可知：甲乙两地之间的路程为420km； 快车的速度为：140km/h； 由题意得：快车7小时到达甲地，则慢车6小时到达甲地， 则慢车的速度为：70km/h； 故答案为：420，140，70； （2）∵快车速度为：140km/h， ∴A点坐标为：（3，420）， ∴B点坐标为（4，420）， 由图可知：快车返程时，两车距各自出发地的路程相等， 设出发x小时，两车距各自出发地的路程相等， 70x＝2×420﹣140（x﹣1）， 70x＝980﹣140x， 解得：x， 答：出发小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等； 故答案为：； （3）第一种情形第一次没有相遇前，相距150km， 则140x+70x+150＝420， 解得：x， 第二种情形应是相遇后而快车没到乙地前140x+70x﹣420＝150， 解得：x， 第三种情形是快车从乙往甲返回：70x﹣140（x﹣4）＝150， 解得：x， 综上所述：快慢两车出发h或h或h相距150km． 故答案为：h或h或． 九．动点问题的函数图象（共1小题） 16．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则矩形MNPQ的面积是　20　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图象可知，x＝4时，点R到达P，x＝9时，点R到Q点，则PN＝4，QP＝5 ∴矩形MNPQ的面积是20． 一十．一次函数的图象（共1小题） 17．在同一坐标系中，函数y＝﹣ax与y的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：若正比例函数y＝﹣ax的图象从左往右下降，则﹣a＜0， 此时，一次函数y 的图象与y轴交于负半轴，故A选项正确，B选项错误； 若正比例函数y＝﹣ax的图象从左往右上升，则﹣a＞0， 此时，一次函数y 的图象与y轴交于正半轴，且从左往右上升，故C选项错误；而D选项不合题意． 故选：A． 一十一．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 18．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线yx+2上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较 【答案】A 【解答】解：∵k0， ∴y随x的增大而减小． ∵﹣4＜2， ∴y1＞y2． 故选：A． 一十二．一次函数与一元一次不等式（共3小题） 19．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　） A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2 【答案】B 【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5）， 则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2， 故选：B． 20．如图，一次函数y＝kx﹣2k（k＜0）的图象经过点P（1，1），当0＜kx﹣2k≤x时，x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．0＜x≤1 D．1≤x＜2 【答案】D 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2k（k＜0）的图象经过点P（1，1）， ∴1＝k﹣2k，解得k＝﹣1， ∴一次函数为y＝﹣x+2， 令y＝0，则﹣x+2＝0，解得x＝2， 由图象可知，当0＜kx﹣2k≤x时，x的取值范围是1≤x＜2， 故选：D． 21．如图，函数y＝ax﹣1的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2的解集是 　x＞1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方法一∵把（1，2）代入y＝ax﹣1得：2＝a﹣1， 解得：a＝3， ∴y＝3x﹣1＞2， 解得：x＞1， 方法二：根据图象可知：y＝ax﹣1＞2的x的范围是x＞1， 即不等式ax﹣1＞2的解集是x＞1， 故答案为：x＞1． 一十三．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题） 22．如图，一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵由图象可知：一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2的交点P的坐标是（﹣2，3）， ∴方程组的解是， 故选：A． 一十四．一次函数的应用（共9小题） 23．A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法： ①乙晚出发1小时； ②乙出发3小时后追上甲； ③甲的速度是4千米/小时； ④乙先到达B地． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确； 乙出发3﹣1＝2小时后追上甲，故②错误； 甲的速度为：12÷3＝4（千米/小时），故③正确； 乙的速度为：12÷（3﹣1）＝6（千米/小时）， 则甲到达B地用的时间为：20÷4＝5（小时）， 乙到达B地用的时间为：20÷6（小时）， 1+3， ∴乙先到达B地，故④正确； 正确的有3个． 故选：C． 24．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（　　） A．甲的速度随时间的增加而增大 B．乙的平均速度比甲的平均速度大 C．在起跑后第180秒时，两人相遇 D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面 【答案】D 【解答】解：A、∵线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，∴甲的速度是没有变化的，故选项错误； B、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选项错误； C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故选项错误； D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴乙是在甲的前面，故选项正确． 故选：D． 25．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），若光线AB满足的函数关系式为：，则b的值是（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【解答】解：延长AB，交x轴于点D，过点B作EF⊥y轴． ∵EF∥x轴， ∴∠EBC＝∠BCO，∠FBD＝∠BDO， ∵∠ABE＝∠EBC， ∴∠BCO＝∠ABE， ∵∠FBD＝∠ABE， ∴∠BDO＝∠ABE， ∴∠BCO＝∠BDO． 在Rt△BCO与Rt△BDO中， ， ∴Rt△BCO≌Rt△BDO（AAS）， ∴OD＝OC， ∴点D的坐标为（1，0）． 将坐标D（1，0）代入， 得0b， ∴b． 故选：C． 26．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省　2　 元． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由线段OA的图象可知，当0＜x＜2时，y＝10x， 1千克苹果的价钱为：y＝10， 设射线AB的解析式为y＝kx+b（x≥2）， 把（2，20），（4，36）代入得：， 解得：， ∴y＝8x+4， 当x＝3时，y＝8×3+4＝28． 当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时，所花钱为：10×3＝30（元）， 30﹣28＝2（元）． 则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元． 27．为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地 车型 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 （1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式． （3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得： 解得：． ∴大货车用8辆，小货车用7辆． （2）y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400．（3≤x≤8，且x为整数）． （3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100， 解得：x≥5， 又∵3≤x≤8， ∴5≤x≤8且为整数， ∵y＝100x+9400， k＝100＞0，y随x的增大而增大， ∴当x＝5时，y最小， 最小值为y＝100×5+9400＝9900（元）． 答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元． 28．新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2． 若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案： 方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金； 方案二：降价10%，没有其他赠送． （1）请写出售价y（元/米2）与楼层x（1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式； （2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当1≤x≤8且x为整数时，每平方米的售价应为： y＝4000﹣（8﹣x）×30＝30x+3760 （元/平方米）， 当9≤x≤23且x为整数时，每平方米的售价应为： y＝4000+（x﹣8）×50＝50x+3600（元/平方米）． ∴y， （2）第十六层楼房的每平方米的价格为：50×16+3600＝4400（元/平方米）， 按照方案一所交房款为：W1＝4400×120×（1﹣8%）﹣a＝485760﹣a（元）， 按照方案二所交房款为：W2＝4400×120×（1﹣10%）＝475200（元）， 当W1＞W2时，即485760﹣a＞475200， 解得：0＜a＜10560， 当W1＝W2时，即485760﹣a＝475200， 解得：a＝10560 当W1＜W2时，即485760﹣a＜475200， 解得：a＞10560， ∴当0＜a＜10560时，方案二合算；当a＞10560时，方案一合算．当a＝10560时，方案一与方案二一样． 29．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米． （1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）； （2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小 ①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）； ②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得：y＝4x大+210； （2）①当x大＝6时，y＝4×6+210＝234， ∴y＝3x小+234； ②依题意，得3x小+234≤260， 解得：， ∵x小为自然数， ∴x小最大为8，即最多能放入8个小球． 30．某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元， 由题意得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， 50﹣20＝30， 答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元； （2）设购买A种商品a件，则购买B商品（40﹣a）件， 由题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴a＝14、15、16、17、18， ∴商店共有5种进货方案； （3）设销售A、B两种商品共获利y元， 由题意得：y＝（80﹣50﹣m）a+（45﹣30）（40﹣a）， ＝（15﹣m）a+600， ①当10＜m＜15时，15﹣m＞0，y随a的增大而增大， ∴当a＝18时，获利最大，即买18件A商品，22件B商品， ②当m＝15时，15﹣m＝0， y与a的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同， ③当15＜m＜20时，15﹣m＜0，y随a的增大而减小， ∴当a＝14时，获利最大，即买14件A商品，26件B商品． 31．综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是x cm，单层部分的长度是y cm，得到如下数据： 双层部分长度x（cm） 2 6 10 14 a 单层部分长度y（cm） 116 108 100 92 70 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2：3 素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为53.5cm；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为38cm，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的． 任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，以y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量x、y是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出a值并确定x的取值范围． 任务2 设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式． 任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度． 【答案】任务1：描点并作图见解答；是，y＝﹣2x+120（0≤x≤60），25； 任务2：hx+180（0≤x≤60）； 任务3：cm． 【解答】解：任务1：描点并作图如图所示： 根据图象可知，变量x、y满足一次函数关系． 设y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 将x＝2，y＝116和x＝10，y＝100代入y＝kx+b， 得，解得， ∴y＝﹣2x+120． 将x＝a和y＝70代入y＝﹣2x+120， 得﹣2a+120＝70，解得a＝25； 当背带都为单层部分时，x＝0； 当背带都为双层部分时，y＝0，即﹣2x+120＝0，解得x＝60， ∴x的取值范围是0≤x≤60． 任务2：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， ∴总长度为﹣2x+120+x＝﹣x+120， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得， ∴hx+180（0≤x≤60）． 任务3：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即x＝60，y＝0． ∵背包提在手上，且背包的悬挂点距地面高度为53.5cm， ∴手到地面的距离为（53.5）cm，即83.5cm． 设小明爸爸的身高为h cm． ∵臂展和身高一样，且肩宽为38cm， ∴小明爸爸一条胳膊的长度为cm， ∴h83.5＝h，解得h＝172， 根据任务2，得172x+180，解得x， ∴此时双层部分的长度为cm． 一十五．一次函数综合题（共4小题） 32．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C． （1）求m和b的值； （2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动．设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4， ∴点C（2，4）， ∵直线yx+b过点C， 4b，b＝5； （2）①由题意得：PD＝t， y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0， x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， yx+5中，当y＝0时，x+5＝0， x＝10， ∴D（10，0）， ∴AD＝10+2＝12，即0≤t≤12， ∵△ACP的面积为10， ∴•4＝10， t＝7， 则t的值7秒； ②存在，分三种情况： i）当AC＝CP时，如图1，过C作CE⊥AD于E， ∴PE＝AE＝4， ∴PD＝12﹣8＝4， 即t＝4； ii）当AC＝AP时，如图2， AC＝AP1＝AP24， ∴DP1＝t＝12﹣4， DP2＝t＝12+4； iii）当AP＝PC时，如图3， ∵OA＝OB＝2 ∴∠BAO＝45° ∴∠CAP＝∠ACP＝45° ∴∠APC＝90° ∴AP＝PC＝4 ∴PD＝12﹣4＝8，即t＝8； 综上，当t＝4秒或（12﹣4）秒或（12+4）秒或8秒时，△ACP为等腰三角形． 33．已知：如图，一次函数yx﹣3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC． （1）直线CD的函数表达式为 　yx+3　 ；点D的坐标 　（﹣4，﹣6）　 ；（直接写出结果） （2）点P为线段DE上的一个动点，连接BP． ①若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，试求点P的坐标； ②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵一次函数yx﹣3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B， ∴A（4，0），B（0，﹣3）， ∴OA＝4， ∵E与B关于x轴对称，OA＝3OC． ∴E（0，3），OC， ∴C（，0）． 把点C和点E的坐标代入一次函数y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线CD的解析式为：yx+3； 令x+3x﹣3，解得x＝﹣4， ∴y（﹣4）﹣3＝﹣6， ∴点D的坐标为（﹣4，﹣6）． 故答案为：yx+3；（﹣4，﹣6）； （2）①如图1，过点D作DF⊥x轴于点F，连接BC， ∴DF＝6， ∵OA＝4，OC， ∴AC， ∴S△ACD•AC•DF6＝16． ∵A（4，0），B（0，﹣3），D（﹣4，﹣6）， ∴点B是线段AD的中点， ∴S△DBC＝S△ACB． 当点P在线段CD上时，则有S△BDPS△ACD， ∵S△BDP（xP﹣xD）•BE， ∴（xP+4）•616，解得xP， ∴P（，）． 当点P在线段CE上时，设直线BP与x轴交于点Q，如图2，此时有S△ABQS△ACD， ∵S△ABQ•AQ•BO， ∴AQ•3＝7，解得AQ， ∴OQ4， ∴Q（，0）． ∴直线BQ的解析式为：yx﹣3， 令x+3x﹣3，解得x， ∴P（，1）． 综上所述，若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，点P的坐标为（，）或（，1）． ②存在，理由如下： 将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上时，需要分三种情况： 当点D落在x轴负半轴上D1处，如图3， 由折叠可知，∠DBP＝∠D1BP，BD＝BD1， 由题意可知，OB＝3，OA＝4，则AB＝5， ∴BD＝AB＝5， ∴BD1＝5， ∴OD1＝4， ∴△ABO≌△D1BO（SSS）， ∴∠OAB＝∠OD1B， ∵∠DBD1＝∠OAB+∠OD1B， ∴∠OD1B＝∠D1BP， ∴BP∥x轴， ∴点P的纵坐标为﹣3， ∴P（，﹣3）． 当点D落在y轴上D2处，如图4，过点P作PG⊥AD于点G，作PH⊥y轴于点H，过点D作DM⊥y轴于点M， 由折叠可知，BP平分∠DBD2， ∴PG＝PH， ∵S△BDE＝S△BPD+S△BPE， ∴•BE•DM•BD•PG•BE•PH，即6×45•PG6•PH， 解得PG＝PH； ∴P（，）． 当点D落在x轴正半轴上D3处，如图5，此时点A和点D3重合，不符合题意，舍去． 综上所述，存在点P，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上，此时点P的坐标为：（，﹣3）或（，）． 34．如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC． （1）求OC的长； （2）若点E在x轴上，且△BED的面积为10，求点E的坐标； （3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4；令y＝0，得x＝8；所以直线与两轴交点分别为A（8，0），B（0，4）． ∵CD垂直平分AB； ∴CA＝CB． 设C（m，0），在Rt△OBC中，根据勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，即： t2+42＝（8﹣t）2 解得：t＝3； ∴OC＝|3﹣0|＝3． （2）设点E（m，0），则EA＝|8﹣m|； ∵D为AB的中点； ∴； A、E在x轴上，OB⊥AE，； 再依题意：； 解得：m＝﹣2或18． ∴点E坐标为：（﹣2，0），（18，0）． （3）P在y轴上，设P（0，p）．分别以B、C、P为等腰三角形的顶点，分三种情况： ①B为顶点，BP＝BC，由（1）得BC＝8﹣3＝5； ∴|p﹣4|＝5，解得：P＝﹣1或9． ②C为顶点，BC＝PC， 又∵∠BOC＝∠POC＝90°，OC＝OC， ∴△BOC≌△POC（HL）． ∴PO＝BO＝4，即p＝﹣4． ③P为顶点，PB＝PC，在Rt△OPC中，根据勾股定理得： OP2+OC2＝PC2，即： p2+32＝（4﹣p）2． 解得：． 综上：满足条件的P点坐标为：（0，），（0，﹣4），（0，﹣1），（0，9）． 35．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的另一直线与x轴交于点B（6，0）． （1）求直线BC的解析式； （2）若点G是直线BC上一动点，过点G作x轴的垂线交x轴于点M，与直线y＝2x+6交于点H，且满足，求点G的横坐标； （3）若点G是线段BC上一动点，点N在x轴上，且满足∠OGN＝45°，OG＝GN，直接写出点G和点N的坐标． 【答案】（1）直线BC的解析式为y＝﹣x+6； （2）点G的横坐标为或． （3）G（6﹣3，3），N ． 【解答】解：（1）由y＝2x+6得：C（0，6）， 设直线BC的解析式为 y＝kx+b（k≠0）： ∵点B（6，0），C（0，6） ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6； （2）设 M（m，0），则G（m，﹣m+6），H（m，2m+6）， ①点G在第一象限时，GH＝2m+6﹣（﹣m+6）＝3m，GM＝﹣m+6， ∵， ∴， 解得； ②点G在第二象限时，GH＝﹣m+6﹣（2m+6）＝﹣3m，GM＝﹣m+6， ∵GM， ∴﹣3m， 解得， ③点G在第四象限时，舍去， 综上，点G的横坐标为或． （3）如图，过点G作GP⊥x轴于点P， ∵∠OGN＝45°，OG＝GN， ∴∠GON＝∠ONG＝67.5°，OP＝PN， ∵B（6，0），C（0，6）， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝45°， ∴∠OGB＝67.5°＝∠GON， ∴OB＝BG＝6， ∵GP⊥x轴，∠OBC＝45°， ∴△BGP是等腰直角三角形， ∴BP＝GP＝3， ∴OP＝6﹣3， ∴ON＝2OP＝12﹣6， ∴G（6﹣3，3），N ． 一十六．等腰三角形的性质（共1小题） 36．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 　20　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0， 解得x＝4，y＝8， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8， ∵4+4＝8， ∴不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8， 能组成三角形，周长＝4+8+8＝20， 所以，三角形的周长为20． 故答案为：20． 一十七．勾股定理（共6小题） 37．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线， ∴AC＝2AE＝8，DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C， ∵BD＝CD， ∴BD＝AD， ∴∠B＝∠BAD， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°， ∴2∠BAD+2∠DAC＝180°， ∴∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠BAC＝90°， 在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10， ∴AB6， 故选：D． 38．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形， ∴S1＝S△ACG﹣S5b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6a2﹣S6， ∴S1+S3（a2+b2）﹣S5﹣S6， ∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6c2﹣S5﹣S6， ∵c2＝a2+b2， ∴S1+S3＝S2+S4， 故选：C． 39．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解答】解：由折叠可得，A'C＝AC＝3， ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC4， ∵A'B+A'C≥BC， ∴A'B≥BC﹣A'C＝4﹣3＝1， ∴A'B的最小值为1， 故选：B． 40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（　　） A．2： B．4：3 C．： D．7：4 【答案】A 【解答】解：如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N， 由题可得，∠BCG＝45°，CP⊥CG， ∴∠BCP＝45°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACP＝45°，即CP平分∠ACB， 又∵PM⊥BC，PN⊥AC， ∴PM＝PN， ∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1＝4，S2＝7， ∴正方形BCFG的面积＝7﹣4＝3， ∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3， ∴AC：BC＝2：， ∴， 即S△ACP：S△BCP等于2：． 故选：A． 41．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1＝30，S2＝40，则S3＝　70　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设直角三角形三边分别为a、b、c，如图所示： 则S1π（）2，S2π（）2，S3π（）2． 因为a2+b2＝c2，所以． 即S1+S2＝S3． 所以S3＝70． 42．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s． （1）出发2s后，求MN的长； （2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，△MNB是等腰三角形？ （3）当点M在边CA上运动时，求能使△BCM成为等腰三角形的t的值． 【答案】（1）MN的长为4cm． （2）出发s后△MNB是等腰三角形． （3）当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形． 【解答】解：（1）当t＝2时，AN＝2t＝4cm，BM＝2t＝8cm． ∵AB＝16cm， ∴BN＝AB﹣AN＝16﹣4＝12（cm）， 在Rt△BPQ中，由勾股定理可得， MN4（cm）， 即MN的长为4cm． （2）由题意可知AN＝2t，BM＝4t， 又∵AB＝16cm， ∴BN＝AB﹣AN＝（16﹣2t）cm， 当△MNB为等腰三角形时，则有BM＝BN， ∴16﹣2t＝4t，解得t， ∴出发s后△MNB是等腰三角形． （3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC＝20cm， 当点M在AC上运动时，AM＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t， ∴CM＝AC﹣AM＝20﹣（32﹣4t）＝4t﹣12， ∵△BCM为等腰三角形， ∴有BM＝BC，CM＝BC和CM＝BM三种情况： ①当BM＝BC＝12时，如图，过B作BE⊥AC，则CECM＝2t﹣6， 在Rt△ABC中，可求得BE； 在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，即122＝（）2+（2t﹣6）2， 解得t＝6.6或t＝﹣0.6（舍去）， ②当CM＝BC＝12时，则4t﹣12＝12，解得t＝6， ③当CM＝BM时，则∠C＝∠MBC， ∵∠C+∠A＝90°＝∠CBM+∠MBA， ∴∠A＝∠MBA， ∴MB＝MA， ∴CM＝AM＝10，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5， 综上可知，当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形． 一十八．勾股定理的证明（共3小题） 43．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n， ∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①， ∵（m+n）2＝21， ∴m2+n2+2mn＝21②， ①+②得2（m2+n2）＝26， ∴大正方形的面积为：m2+n2＝13， 故选：B． 44．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意，EF＝HG＝FG＝2，AD∥BC，BG⊥HC，DH⊥HG，∠ADE＝∠GBP， ∴∠ADG＝∠GPC． ∵点P为BC的中点， ∴PB＝PG＝PC． ∴∠BGP＝∠GBP，∠GPC＝2∠GBP． ∴∠GPC﹣∠ADE＝2∠GBP﹣∠ADE，即∠GDH＝∠GBP． ∴△GDH∽△CBG． ∴，即． 设AE＝BF＝HD＝x， ∴． ∴x＝1或x＝1（舍去）． 故选：C． 45．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m， 因为S1+S2+S3＝60， 所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60， 即3S2＝60， 解得S2＝20． 故选：C． 一十九．勾股定理的逆定理（共1小题） 46．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）是． 理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2+NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x， ①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2， 即（18﹣x）2＝x2+36， 解得x＝8； ②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2． 即x2＝36+（18﹣x）2， 解得x＝10， 综上所述，BN＝8或10． 二十．三角形中位线定理（共2小题） 47．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【解答】解：如图，∵∠AFC＝90°，E是AC的中点， ∴Rt△ACF中，EFAC5， ∴DE＝1+5＝6； ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝12， 故选：B． 48．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是（　　） A．28 B．32 C．18 D．25 【答案】D 【解答】解：延长线段BN交AC于E． ∵AN平分∠BAC， ∴∠BAN＝∠EAN，AN＝AN，∠ANB＝∠ANE＝90°， ∴△ABN≌△AEN， ∴AE＝AB＝6，BN＝NE， 又∵M是△ABC的边BC的中点， ∴CE＝2MN＝2×1.5＝3， ∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝6+10+6+3＝25， 故选：D． 二十一．平行四边形的判定与性质（共1小题） 49．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝　秒或8秒　 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 当5＜t时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm， ∴10﹣t＝30﹣4t， 解得：t； 当t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm， ∴10﹣t＝4t﹣30， 解得：t＝8． 综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形． 故答案为：秒或8秒． 二十二．菱形的性质（共1小题） 50．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6 D． 【答案】D 【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠MAE＝30°， ∴AM＝2ME， ∵MD＝MB， ∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE， 点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小， ∵菱形ABCD的边长为6， ∴DE3， ∴2DE＝6． ∴MA+MB+MD的最小值是6． 故选：D． 二十三．菱形的判定与性质（共1小题） 51．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）AC的长为10． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴△FAE≌△CDE（AAS）， ∴AF＝CD， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝BDBC， ∴四边形ADBF是菱形； （2）解：∵四边形ADBF是菱形， ∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积， ∵点D是BC的中点， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40， ∴AB•AC＝40， ∴8•AC＝40， ∴AC＝10， ∴AC的长为10． 二十四．矩形的性质（共3小题） 52．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，AC10， ∴AO＝DOAC＝5， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12AO×EODO×EF， ∴125×EO5×EF， ∴5（EO+EF）＝24， ∴EO+EF， 故选：C． 53．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 【答案】D 【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°， ∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a； ①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2+AP2＝1+a2， 在Rt△MPC中，由勾股定理得： CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26， 又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20， ∴2a2﹣8a+26＝20， ∴（a﹣3）（a﹣1）＝0， 解得：a＝3或a＝1， ∴P（3，3）或（3，1）； ②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2+AP2＝1+a2， ∵CM2＝OM2+OC2＝20， 在Rt△MCP中，由勾股定理得： CM2+MP2＝CP2， ∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9， 解得：a． ∴P（3，）． 综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）． 故选：D． 54．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 　9或18　 ． 【答案】9或18． 【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1）， ∵∠CED′＝90°， 根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′90°＝45°， ∵∠D＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AD＝18； （2）当∠ED′A＝90°时，如图（2）， 根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E， △CD'E为直角三角形， 即∠CD′E＝90°， ∴∠AD′E+∠CD′E＝180°， ∴A、D′、C在同一直线上， 根据勾股定理得AC30， ∴CD′＝30﹣18＝12， 设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x， 在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2， 即x2+144＝（24﹣x）2， 解得x＝9， 即DE＝9； 综上所述：DE的长为9或18； 故答案为：9或18． 二十五．矩形的判定（共1小题） 55．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点， ∴ADAB， ∵点E是AC的中点，点F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，EFAB， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴AF与DE互相平分； （2）解：当AFBC时，四边形ADFE为矩形， 理由：∵线段DE为△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵AFBC， ∴AF＝DE， 由（1）得：四边形ADFE是平行四边形， ∴四边形ADFE为矩形． 二十六．正方形的性质（共5小题） 56．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A． cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2 【答案】B 【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为4， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（n﹣1）． 故选：B． 57．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS）， ∴AE＝AF； ∵AM平分∠EAF， ∴∠EAM＝∠FAM， 在△AEM和△AFM中， ， ∴△AEM≌△AFM（SAS）， ∴EM＝FM； ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°， 设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x， 在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32， 解得x． 故选：D． 58．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠FBC＝∠DCE＝90°，CD＝BC＝3， Rt△DCE中，∠CDE＝30°， ∴CEDE， 设CE＝x，则DE＝2x， 根据勾股定理得：DC2+CE2＝DE2， 即32+x2＝（2x）2， 解得：x＝±（负值舍去）， ∴CE， ∵DE⊥CF， ∴∠DOC＝90°， ∴∠DCO＝60°， ∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°＝∠CDE， ∵∠DCE＝∠CBF，CD＝BC， ∴△DCE≌△CBF（ASA）， ∴BF＝CE． 故选：C． 59．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　①②③　 ． 【答案】①②③． 【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF，故①正确； ∴矩形DEFG为正方形； ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确； ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴∠ACG＝90°， ∴AC⊥CG，故③正确； 当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故④错误， 综上所述：①②③． 故答案为：①②③． 60．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直角三角板EFG的直角顶点E在线段AC上，EF、EG与BC、CD边相交于M、N． （1）如图1，若E点与O点重合，求证：EM＝EN； （2）如图2，若E点不与O点重合： ①EM还等于EN吗？说明理由； ②试找出MC、CN、EC三者之间的等量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在正方形ABCD中，OA＝OB＝OC＝OD，且∠OBC＝∠OCD，∠BOC＝90°， ∵∠FOG＝90°， ∴∠BOM＝∠BOC﹣∠MOC＝90°﹣∠MOC，∠CON＝∠FOG﹣∠MOC＝90°﹣∠MOC， ∴∠BOM＝∠CON， 在△OBM和△OCN中， ， ∴△OBM≌△OCN（ASA）， ∴EM＝EN； （2） 过E作EH⊥BC，EG′⊥CD， 由正方形ABCD可知，AC平分∠BCD， ∴EH＝EG′， ∵∠HEG＝360°﹣∠EHC﹣∠EG′C﹣∠HCG′＝90°， ∴∠MEH＝∠NEG′，而∠EHM＝∠EG′N＝90°， ∴△EMH≌△ENG′， ∴EM＝EN； （3）由△EMH≌△ENG′可知，MH＝NG′，而EG′＝HC， ∴MC+NC＝MH+HC+NC＝NG′+EG+NC＝EG′+CG′＝2CG′， ∵CG′EC， ∴MC+NCEC． 答：（1）EM＝EN，（2）EM＝EN，（3）MC+NCEC． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$