浙江省高一下期末真题百题大通关（108题17题型）（基础版）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（浙江专用）

高一下期末真题百题大通关（108题17题型）（基础版） 题型汇聚 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 向量的数量积 题型二 平面向量基本定理 题型三 平面向量数乘运算的坐标表示 题型四 平面向量数量积的坐标表示 题型五 平面向量的应用 题型六 数系的扩充和复数的概念 题型七 复数的几何意义 题型八 复数的四则运算 题型九 基本立体图形 题型十 立体图形的直观图 题型十一 简单几何体的表面积与体积 题型十二 空间点、直线、平面之间的位置关系 题型十三 空间直线、平面的垂直 题型十四 随机抽样 题型十五 用样本估计总体 题型十六 随机事件与概率 题型十七 事件的相互独立性 题型练习 题型一 向量的数量积 1．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）已知向量，满足，，． (1)求向量与的夹角； (2)求． 4．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知平面向量，满足，且与的夹角为. (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值. 题型二 平面向量基本定理 5．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在梯形ABCD中，∥，且（），若则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·浙江金华·期末）已知是夹角为的两个单位向量，. (1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围； (2)若垂直，求实数的值； (3)求的最小值. 7．（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点. (1)用，表示； (2)求线段的长. 题型三 平面向量数乘运算的坐标表示 8．（23-24高一下·浙江台州·期末）已知，若，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．-6 9．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知向量，若∥，则（    ） A．2 B． C． D．3 10．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知向量，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 11．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形，，，则（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 题型四 平面向量数量积的坐标表示 13．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知向量，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 14．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知向量，，若与垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知向量 ，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标是 ． 18．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知，为单位向量. (1)若，求的最大值； (2)若，求与夹角的余弦值. 19．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点， (1)求及向量与夹角的大小； (2)若，求实数t的值. 题型五 平面向量的应用 20．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·浙江杭州·期末）在中，角对应的边分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·浙江湖州·期末）湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB约192m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D共线）处测得建筑物顶A、大厦顶C的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A处测得大厦顶C的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD约为（    ） A．284m B．286m C．288m D．290m 24．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一下·浙江温州·期末）在中，角所对的边为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．（为的外接圆半径） 26．（22-23高一下·浙江杭州·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ） A．若A＞B，则 B．若，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 27．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若的面积为，且，求． 题型六 数系的扩充和复数的概念 28．（23-24高一下·浙江台州·期末）已知复数，则的实部为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 29．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数 . 题型七 复数的几何意义 30．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 32．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数的实部与虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B．2 C． D．1 34．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）下列说法正确的是（    ） A．复数的模为 B．复数的虚部为﹣1 C．若，则 D．若复数满足，则 35．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知复数（i为虚数单位），则 . 题型八 复数的四则运算 36．（23-24高一下·浙江杭州·期末）若，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 37．（23-24高一下·浙江丽水·期末）若复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·浙江金华·期末）复数，则（    ） A．5 B． C． D．32 40．（23-24高一下·浙江温州·期末）复数（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 42．（23-24高一下·浙江台州·期末）在复平面内，满足下列条件的复数所对应的点与点在同一个圆上的是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知,则（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B． C．复平面内对应的点位于第二象限 D． 45．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数，则（    ） A．为纯虚数 B．复数在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线 46．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）若复数满足（为虚数单位），则 ． 47．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知是关于x的实系数方程的一个根，则实数p的值为 ． 48（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为 . 49．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则实数 ． 50．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知复数z满足，则 . 题型九 基本立体图形 51．（23-24高一下·浙江宁波·期末）四棱锥至多有几个面是直角三角形？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 52．（23-24高一下·浙江宁波·期末）将直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（    ） A．圆柱 B．圆台 C．圆锥 D．棱柱 53．（22-23高一下·浙江衢州·期末）用一个平面去截一个正方体，所得截面形状可能为：（    ） ①三角形②四边形③五边形④六边形⑤圆 A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤ 54．（22-23高一下·浙江宁波·期末）杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为.若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为 .    题型十 立体图形的直观图 55．（23-24高一下·浙江台州·期末）用斜二测画法画水平放置的边长为1的正方形，所得直观图的周长为（    ） A．4 B．3 C． D．2 56．（23-24高一下·浙江温州·期末）如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则（    ）    A． B． C． D． 57．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形的直观图，所得图形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 题型十一 简单几何体的表面积与体积 58．（23-24高一下·浙江金华·期末）某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 59．（23-24高一下·浙江宁波·期末）将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱锥形状的铁锭，若铁锭的底面边长为，则铁锭的高为（    ） A． B． C． D． 60．（23-24高一下·浙江温州·期末）在三棱锥中，两两垂直，，. (1)求三棱锥的表面积； (2)求P到平面的距离. 题型十二 空间点、直线、平面之间的位置关系 61．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）如图，下列几何关系表达正确的是（    ）    A．，，m，n共面 B．，，m，n共面 C．，，m，n异面 D．，，m，n异面 62．（22-23高一下·浙江杭州·期中）在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（    ） A．0 B． C． D． 63．（22-23高一下·浙江宁波·期末）设是一条直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 64．（22-23高一下·浙江温州·期末）直线a，b互相平行的一个充分条件是（    ） A．a，b都平行于同一个平面 B．a，b与同一个平面所成角相等 C．a，b都垂直于同一个平面 D．a平行于b所在平面 65．（23-24高一下·浙江温州·期末）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列是真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 66．（21-22高一下·浙江温州·期末）设是两条不同的直线， 是两个不同的平面， 且满足， 则下列命题正确的是（    ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 67．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）在平行四边形中，已知，（如图1），将沿BD折起到的位置（如图2），使得平面平面，则直线SB与直线CD所成角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 68．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知长方体的一条对角线与经过同一个顶点的三个面所成的角分别为，若 ，则（    ） A． B． C． D． 69．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAB是正三角形，平面PAB，M，N分别为AB，PC的中点． (1)证明：平面PAD； (2)求四棱锥的体积． 题型十三 空间直线、平面的垂直 70．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 71．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 72．（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 73．（23-24高一下·浙江台州·期末）已知正四棱台，下底面边长为，侧面与下底面所成二面角的大小为，则该正四棱台的体积可能为 （写出一个即可） 74．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2． (1)求该圆台的体积； (2)求该圆台母线与下底面所成角的余弦值． 75．（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，已知在正三棱柱中，为棱的中点，. (1)证明：面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型十四 随机抽样 76．（22-23高一下·浙江台州·期末）某校高一年级共有男生420人，女生380人，为了解学生身高状况，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出40人，组建一个合唱团，则男生应该抽取 人． 77．（23-24高一下·浙江宁波·期末）总体由编号为01， 02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字（即65）开始由左到右依次选取两个数字（作为个体的编号）：如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第6个个体的编号为 7816     6527     0802    6314     0704     4369    9728     1198 3204     9234     4935    8200     3623     4869    6938     7481 题型十五 用样本估计总体 78．（23-24高一下·浙江金华·期末）数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为（    ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 79．（23-24高一下·浙江丽水·期末）若数据的方差为，则数据的方差为（    ） A． B． C． D． 80．（23-24高一下·浙江温州·期末）数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x的分位数为2.5，则x可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 81．（23-24高一下·浙江湖州·期末）如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（    ） A．众数<中位数<平均数 B．众数<平均数<中位数 C．中位数<平均数<众数 D．中位数<众数<平均数 82．（23-24高一下·浙江衢州·期末）将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 83．（23-24高一下·浙江宁波·期末）某射击初学者在连续6次射击练习中所得到的环数：，该组数据的平均数与中位数相等，则（    ） A． B． C． D．以上答案均有可能 84．（23-24高一下·浙江台州·期末）在下列四组数中，方差最大的一组是（    ） ①； ②； ③； ④. A．① B．② C．③ D．④ 85．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）已知数据的平均数为10，方差为1，数据的平均数为5，方差为3，将两组数据合在一起组成一个容量为10的新样本，则新样本的方差为（    ） A．4.2 B．4.8 C．7.8 D．9.2 86．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在如图所示的两种分布形态中（    ） A．（1）中的中位数大于平均数 B．（1）中的众数大于平均数 C．（2）中的众数小于中位数 D．（2）中的平均数小于中位数 87．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）十名工人某天生产同一批零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，16，17，17，16，14，12，则这组数据的极差、众数、第一四分位数分别是（    ） A．3，17，12 B．5，16，14 C．7，17，14 D．7，17，13 88．（23-24高一下·浙江宁波·期末）慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m，n，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 89．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）气象台预报嘉兴市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（    ） A．该组数据的极差为6 B．该组数据的众数为26 C．该组数据的中位数为25.5 D．该组数据的第70百分位数为26 90．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知一组样本数据的标准差，其平均数，则下列数据的标准差与不相等的是（    ） A． B． C． D． 91．（23-24高一下·浙江杭州·期末）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为 . 92．（23-24高一下·浙江台州·期末）某学校有高二学生600人，其中男生360人，女生240人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本（观测数据单位：），若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是 . 93．（23-24高一下·浙江温州·期末）如图，小明统计了他爸爸9月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次.小明按每次通话时间长短进行分组（每组为左闭右开的区间），画出了频率分布直方图. (1)通话时长在区间，内的次数分别为多少？ (2)若小明爸爸通话时间的众数是第百分位数，求的值. 题型十六 随机事件与概率 94．（23-24高一下·浙江宁波·期末）两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（    ） A． B． C． D． 95．（23-24高一下·浙江台州·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子1次，记“出现点数之和为偶数”，“出现点数之积为偶数”，则（    ） A． B． C． D． 96．（23-24高一下·浙江宁波·期末）若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是（    ） A． B． C． D． 97．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数都为奇数”的概率是 ． 98．（23-24高一下·浙江温州·期末）设样本空间含有等可能的样本点，，则 ． 99．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.    (1)求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1） (2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率. 题型十七 事件的相互独立性 100．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中，，则（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C互为对立 D．事件A与事件C相互独立 101．（23-24高一下·浙江台州·期末）设是样本空间中三个概率大于0的随机事件，则下列选项错误的是（    ） A．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B．事件相互独立与互斥不能同时成立 C．若成立，则事件与相互独立 D．若成立，则事件一定两两独立 102．（23-24高一下·浙江金华·期末）对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若与互斥，则 C．若，则 D．若与相互独立，则 103．（23-24高一下·浙江宁波·期末）下列命题正确的是（    ） A．若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件 B．若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人 C．设一组数据的平均数为x，方差为：，若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据，则新数据的平均数为2x，方差为 D．设A和B是两个概率大于0的随机事件，若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 104．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知事件发生的概率分别为，，则（    ） A．一定有 B． C．若与互斥，则 D．若与相互独立，则 105．（23-24高一下·浙江宁波·期末）下列描述正确的是（    ） A．若事件，相互独立，，，则 B．若三个事件，，两两独立，则满足 C．若，，则事件，相互独立与，互斥一定不能同时成立 D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 106．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）已知，，且与相互独立， ． 107．（23-24高一下·浙江台州·期末）某商店在“五一”期间举办促销活动，设立了抽奖环节，在一个不透明的抽奖箱里放置6个大小质地完全相同的三种颜色的球，其中1个白球，2个红球，3个黑球.凡在本店累计消费满百元的顾客，可以持购物凭证参与一次抽奖活动.抽奖采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，若取到两球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到两球异色，则称为不中奖.一次抽奖结束后，取出的球放回抽奖箱，供下一位顾客抽奖. (1)若一位顾客参与一次抽奖活动，求这位顾客中奖的概率； (2)现有甲､乙两位顾客各参与一次抽奖活动，求两人中至少有一人中奖的概率. 108．（22-23高一下·浙江台州·期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为了弘扬奥林匹克和亚运精神，某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下期末真题百题大通关（108题17题型）（基础版） 题型汇聚 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 向量的数量积 题型二 平面向量基本定理 题型三 平面向量数乘运算的坐标表示 题型四 平面向量数量积的坐标表示 题型五 平面向量的应用 题型六 数系的扩充和复数的概念 题型七 复数的几何意义 题型八 复数的四则运算 题型九 基本立体图形 题型十 立体图形的直观图 题型十一 简单几何体的表面积与体积 题型十二 空间点、直线、平面之间的位置关系 题型十三 空间直线、平面的垂直 题型十四 随机抽样 题型十五 用样本估计总体 题型十六 随机事件与概率 题型十七 事件的相互独立性 题型练习 题型一 向量的数量积 1．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量、相反向量、平面向量共线定理证明线平行问题、垂直关系的向量表示 【分析】利用单位向量的定义求解即可. 【详解】单位向量的模长相等，则，故D正确； 且两者并不一定是相同或相反向量，故A错误；两者不一定共线，故B错误；两者不一定垂直，故C错误. 故选：D. 2．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义求出，结合投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 3．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）已知向量，满足，，． (1)求向量与的夹角； (2)求． 【答案】(1) (2)3 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】（1）根据向量夹角的计算公式计算即得； （2）利用向量的模的定义，运用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）由， 因，故有，； （2）． 4．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知平面向量，满足，且与的夹角为. (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值. 【答案】(1)3； (2) 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）根据数量积的定义代入计算即可得出结果； （2）由向量夹角的计算公式代入（1）中结论即可. 【详解】（1）由可得； 即可得. （2）易知； 所以. 即可得与夹角的余弦值为. 题型二 平面向量基本定理 5．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在梯形ABCD中，∥，且（），若则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示，再对照可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 因为不共线， 所以，所以， 故选：D 6．（23-24高一下·浙江金华·期末）已知是夹角为的两个单位向量，. (1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围； (2)若垂直，求实数的值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【知识点】基底的概念及辨析、已知数量积求模、利用向量垂直求参数 【分析】（1）根据向量不平行，的系数比值不相等可解； （2）根据，结合数量积运算性质即可得解； （3）将向量模转化为数量积，根据二次函数性质可得. 【详解】（1）因为可以作为一组基底，所以不平行， 又不共线，所以，即， 所以，实数的取值范围为. （2）因为垂直，所以， 即， 又， 所以，解得. （3）因为， 所以，当时，取得最小值3， 所以的最小值为. 7．（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点. (1)用，表示； (2)求线段的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】（1）根据向量的线性运算直接可得解； （2）根据转化法可得向量的模. 【详解】（1）由已知， 且为的中点， 则四边形为平行四边形，为等边三角形， 即， 又为的中点， 则， 即； （2）由已知，，三点共线， 则， 又因为，，三点共线，则有，解得， 故有， 所以. 题型三 平面向量数乘运算的坐标表示 8．（23-24高一下·浙江台州·期末）已知，若，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．-6 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据条件，利用向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：A. 9．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知向量，若∥，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解. 【详解】因为， 若∥，则，即. 故选：C. 10．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知向量，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量平行列出方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得或3，经检验，均满足要求. 故选：C 11．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相等向量、用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由两点的坐标求得，由平行四边形的性质有，求值即可. 【详解】由，，有， 平行四边形中，有，即， 故选：D. 12．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标判断向量是否共线、向量垂直的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算判断AB；利用共线向量的坐标表示判断C；利用垂直关系的坐标表示判断D作答. 【详解】向量，， 对于A，，，A错误； 对于B，，，B错误； 对于C，由于，即与不共线，C错误； 对于D，，因此，D正确. 故选：D 题型四 平面向量数量积的坐标表示 13．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知向量，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】直接使用向量数量积的坐标表示即可. 【详解】. 故选：D. 14．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知向量，，若与垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】由，则求解． 【详解】解：因为与垂直，所以， 则， 得， 故选：A 15．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标判断向量是否共线、数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】对于AC：根据数量积的坐标运算结合垂直关系分析判断；对于B：根据向量平行的坐标表示分析判断；对于D：根据向量加法的坐标运算分析判断. 【详解】因为，， 对于选项AC：因为，可知不相互垂直，故AC错误； 对于选项B：因为，可知不相互平行，故B错误； 对于选项D：因为，故D正确； 故选：D. 16．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知向量 ，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】根据题意可得，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A. 17．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】直接根据投影向量的坐标公式计算即可. 【详解】在方向上的投影向量为. 故答案为： 18．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知，为单位向量. (1)若，求的最大值； (2)若，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】零向量与单位向量、数量积的运算律、数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）利用三角不等式求解；（2）利用数量积的定义和坐标表示求解. 【详解】（1）由于，且当时. 所以的最大值是. （2）由已知有，故. 所以与夹角的余弦值是. 19．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点， (1)求及向量与夹角的大小； (2)若，求实数t的值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）先求出，然后可求出，利用向量的夹角公式可求出向量与夹角； （2）求出的坐标，再利用向量平行的条件列方程求解即可. 【详解】（1）因为O为坐标原点，， 所以，， 所以， ， 因为，所以， 即向量与夹角的大小为； （2）因为， 所以， 因为，， 所以，解得. 题型五 平面向量的应用 20．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】直接根据正弦定理即可求解. 【详解】由. 故选：A 21．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算可得. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 即， 又，所以，所以. 故选：A 22．（23-24高一下·浙江杭州·期末）在中，角对应的边分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】先根据内角和求B的值，然后再根据正弦定理求a的值. 【详解】由题意得, 由正弦定理得 ,则 , 故选:B. 23．（23-24高一下·浙江湖州·期末）湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB约192m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D共线）处测得建筑物顶A、大厦顶C的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A处测得大厦顶C的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD约为（    ） A．284m B．286m C．288m D．290m 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】先求出，然后在中用正弦定理求出，最后求出. 【详解】因为是等腰直角三角形，所以， 在中，，， 所以，由正弦定理可知：， 在中，. 故选：C 24．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】先利用正弦定理与余弦定理的边角变换，结合三角函数的恒等变换求得，再求得角的范围，结合正弦定理边角变换与倍角公式即可得解. 【详解】已知，由正弦定理得，得， 由余弦定理，则，即， 由正弦定理得， 因为，则 所以，即. 因为为锐角三角形，，则， 又在上单调递增，所以，则， 因为为锐角三角形，，解得， 所以. 故选：B. 25．（23-24高一下·浙江温州·期末）在中，角所对的边为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．（为的外接圆半径） 【答案】BCD 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】对于A，给出作为反例即可；对于B，直接利用三角形的内角和为即可；对于C，使用余弦定理即可；对于D，使用面积公式和正弦定理即可. 【详解】对于A，由于当时，，从而，，故A错误； 对于B，由于三角形的内角和为，所以，故B正确； 对于C，若，由于，故. 所以，这就得到. 从而 ， 再由得到，即，故C正确； 对于D，有，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对正弦定理和余弦定理的运用. 26．（22-23高一下·浙江杭州·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ） A．若A＞B，则 B．若，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】ACD 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由余弦函数的单调性即可判断A,由正弦定理即可判断B,由余弦值的性质即可判断C,由边角互化即可判断D. 【详解】对于A，所以函数在上单调递减，所以，故A正确； 对于B，由正弦定理可得：，∴， 此时无解，故B错误； 对于C，∵，为三角形的内角， ∴，可知A，B，C均为锐角，故为锐角三角形，故C正确； 对于D：∵，所以由正弦定理可得，又, 因此， ∴，∴，b＝a或，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故D正确． 故选：ACD． 27．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若的面积为，且，求． 【答案】(1) (2)，或， 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再进行三角恒等变形即可求解. （2）结合已知条件面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】（1）由，根据正弦定理得 ， ， ，又 所以，解得， 所以，因为为三角形的内角，所以． （2）由，，解得， 由余弦定理得，解得， 所以，或，． 题型六 数系的扩充和复数的概念 28．（23-24高一下·浙江台州·期末）已知复数，则的实部为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】利用复数实部的定义可求解. 【详解】复数的实部为. 故选：B. 29．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数 . 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据实部为且虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，解得. 故答案为： 题型七 复数的几何意义 30．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算 【分析】根据共轭复数的定义可以求得. 【详解】由共轭复数的定义可得，复数的共轭复数为， 故选：B. 31．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【分析】确定复数在复平面内对应的点，即可判定象限. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B 32．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数的实部与虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据相等条件求参数、求复数的实部与虚部、求复数的模 【分析】由实部与虚部概念可得，代入计算可求出结果. 【详解】易知的实部为，虚部为， 由题意可知， 则. 故选：B 33．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【知识点】求复数的模 【分析】根据复数模长公式计算. 【详解】由复数得，. 故选：A 34．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）下列说法正确的是（    ） A．复数的模为 B．复数的虚部为﹣1 C．若，则 D．若复数满足，则 【答案】AB 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模 【分析】根据复数模长公式和虚部的定义可以判断A、B选项，虚数不能比较大小，可判断C选项，举反例即可判断D选项. 【详解】对于A选项，，故A正确， 对于B选项，的虚部为，故B正确， 对于C选项，因为，均为虚数，虚数不能比较大小，故C错误， 对于D选项，令 ，则，故D错误， 故选：AB. 35．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知复数（i为虚数单位），则 . 【答案】 【知识点】求复数的模 【分析】利用复数模的定义计算作答. 【详解】复数，所以. 故答案为： 题型八 复数的四则运算 36．（23-24高一下·浙江杭州·期末）若，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】利用复数的除法运算求出复数,再根据虚部的概念进行选择. 【详解】由. 所以复数的虚部为：2. 故选：D 37．（23-24高一下·浙江丽水·期末）若复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】利用复数的乘除法运算直接化简即可. 【详解】， 故选：C 38．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知复数（是虚数单位，），则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算 【分析】由复数的运算得，即可求解． 【详解】解：， 得， 得， 故选：A 39．（23-24高一下·浙江金华·期末）复数，则（    ） A．5 B． C． D．32 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的运算化简得出复数，再结合复数的模长公式计算即可. 【详解】因为, 所以. 故选：B. 40．（23-24高一下·浙江温州·期末）复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算 【分析】由复数的乘除法运算法则求解即可. 【详解】. 故选：C. 41．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出，即可得对应点的坐标得答案． 【详解】∵， ∴，则 ∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D． 42．（23-24高一下·浙江台州·期末）在复平面内，满足下列条件的复数所对应的点与点在同一个圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】由复数几何意义，计算它们的模，得这4个点在以原点为圆心，为半径的圆上.，根据各个选项提供的条件进行判断. 【详解】因为， 所以， 因此这4个点在以原点为圆心，为半径的圆上.所以； 对于A，，故A错误； 对于B，故B正确； 对于C，设，故C正确； 对于D， 解得，所以，故D错误； 故选：BC. 43．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知,则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的乘法和加法运算就可以得到结果并作出判断. 【详解】由，所以A正确； 由，所以B，D错误； 由，所以C正确； 故选：AC. 44．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B． C．复平面内对应的点位于第二象限 D． 【答案】BD 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的定义，几何意义及复数的运算分别判断各选项. 【详解】A选项：由，可得的虚部为，A选项错误； B选项：由，可得，则，B选项正确； C选项：由，则， 对应的点为，在坐标轴上，C选项错误； D选项：，， 所以，D选项正确； 故选：BD. 45．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数，则（    ） A．为纯虚数 B．复数在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】借助复数的加减、乘除运算法则，复数的几何意义与共轭复数的定义逐项判断即可得. 【详解】对于A：，故为纯虚数，故A正确； 对于B：，其在复平面内对应的点在轴正半轴上，故B错误； 对于C：， ，故，故C错误； 对于D：令，，则由， 可得，即， 故复数在复平面内对应的点的轨迹为轴，故D正确. 故选：AD. 46．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）若复数满足（为虚数单位），则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：. 47．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知是关于x的实系数方程的一个根，则实数p的值为 ． 【答案】12 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】根据题意分析可知也是方程的一个根，利用韦达定理运算求解即可. 【详解】因为是关于x的实系数方程的一个根， 则也是关于x的实系数方程的一个根， 由韦达定理可得，解得. 故答案为：12. 48（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为 . 【答案】 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、复数的坐标表示 【分析】由复数的除法求得，由共轭复数的定义可得出复数，再由几何意义求在复平面内对应的点的坐标. 【详解】由，得， 则，在复平面内对应的点的坐标为. 故答案为：. 49．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则实数 ． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】求出，根据纯虚数概念求解即可． 【详解】， 若为纯虚数，则，解得． 故答案为：． 50．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知复数z满足，则 . 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法和复数模的计算公式即可得到答案. 【详解】， 则. 故答案为：. 题型九 基本立体图形 51．（23-24高一下·浙江宁波·期末）四棱锥至多有几个面是直角三角形？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】在正方体中考虑一个四棱锥，即可得到四个面均为直角三角形. 【详解】在正方体中，取四棱锥， 其四个侧面均为直角三角形，又四棱锥仅有四个三角形面，所以四棱锥至多有四个面是直角三角形. 故选：C. 52．（23-24高一下·浙江宁波·期末）将直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（    ） A．圆柱 B．圆台 C．圆锥 D．棱柱 【答案】C 【知识点】由平面图形旋转得旋转体 【分析】根据圆锥的几何特征，可得答案． 【详解】将直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体是圆锥， 故选：C. 53．（22-23高一下·浙江衢州·期末）用一个平面去截一个正方体，所得截面形状可能为：（    ） ①三角形②四边形③五边形④六边形⑤圆 A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】C 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】由正方体的结构特征，作出截面即可判断. 【详解】用一个平面去截一个正方体，分别是所在棱的中点，所得截面形状可能为三角形、四边形、五边形、六边形， 如图所示：      故选：C. 54．（22-23高一下·浙江宁波·期末）杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为.若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为 .    【答案】 【知识点】弧长的有关计算、圆锥中截面的有关计算、圆台的结构特征辨析 【分析】计算出侧面展开图分别为30和12，圆心角为的扇形的两个圆锥的高，相减即可得解. 【详解】一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，设该圆锥的底面半径为，高为， 所以，可得，因此，该圆锥的高为， 侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，设该圆锥的底面半径为，高为， 所以，可得，因此，该圆锥的高为， 因此，若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为. 故答案为：. 题型十 立体图形的直观图 55．（23-24高一下·浙江台州·期末）用斜二测画法画水平放置的边长为1的正方形，所得直观图的周长为（    ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】画出直观图，结合斜二测画法线段关系得到直观图中相关的线段长度，即可得解. 【详解】如图平面正方形的边长为， 则直观图如下所示： 则，，， 所以直观图的周长为. 故选：B 56．（23-24高一下·浙江温州·期末）如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】计算得出，，然后还原直观图得到，结合勾股定理计算即可. 【详解】因为，， 所以，所以，即， 因为，所以，， 所以， 还原直观图得到，如图所示：    此时，所以. 故选：D. 57．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形的直观图，所得图形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜二测画法辨析、斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积. 【详解】斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形的直观图如图所示， 根据斜二测画法的原则可知，，，， 所以直观图的面积为. 故选：C. 题型十一 简单几何体的表面积与体积 58．（23-24高一下·浙江金华·期末）某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆锥表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据已知条件首先求出圆锥的母线长，再利用公式求侧面积即可. 【详解】如图所示，设球与圆锥底面相切于点，与母线相切于点， 根据已知得， 设母线长，则在直角△中， 因为，所以 即，化简得， 解得，或(舍去)， 所以圆锥的侧面积为：. 故选：C. 59．（23-24高一下·浙江宁波·期末）将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱锥形状的铁锭，若铁锭的底面边长为，则铁锭的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】根据条件，利用球的体积公式及棱锥的体积公式，建立等量关系，即可求出结果. 【详解】设铁锭的高为，因为铁球熔化前后体积不变， 由，得到，解得， 故选：A. 60．（23-24高一下·浙江温州·期末）在三棱锥中，两两垂直，，. (1)求三棱锥的表面积； (2)求P到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】求点面距离、锥体体积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】（1）根据勾股定理求出三角形的三条边长，结合余弦定理、平方关系以及得出，再结合三角形面积公式即可求解； （2）由等体积法列方程即可求解. 【详解】（1） 因为两两垂直，，， 所以， 所以， 从而三棱锥的表面积为； （2）设点P到平面的距离为， 由（1）得三角形的面积为， 由等体积法有，，即， 解得，所以点P到平面的距离为. 题型十二 空间点、直线、平面之间的位置关系 61．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）如图，下列几何关系表达正确的是（    ）    A．，，m，n共面 B．，，m，n共面 C．，，m，n异面 D．，，m，n异面 【答案】D 【知识点】异面直线的概念及辨析、判断图形中的线面关系 【分析】根据点线面的位置关系，正确应用数学符号即可判断. 【详解】因是直线，是点，故它们与平面的关系应该是 ， 而且从虚线看，m，n异面，故A, B，C均错误；故答案为D. 故选：D. 62．（22-23高一下·浙江杭州·期中）在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】根据题意分析可得异面直线DE与AC所成角为（或的补角），在中利用余弦定理运算求解. 【详解】取的中点，连接， 因为//，且，则为平行四边形，可得//， 又因为分别为的中点，则//， 所以//， 故异面直线DE与AC所成角为（或的补角）， 设正方体的棱长为2，则， 在中，由余弦定理， 所以异面直线DE与AC所成角的余弦值是. 故选：D. 63．（22-23高一下·浙江宁波·期末）设是一条直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中点线面的位置关系逐一判断即可. 【详解】若，，则或、相交，故A错误； 若，，则与的位置关系都有可能，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则或，故D错误； 故选：C. 64．（22-23高一下·浙江温州·期末）直线a，b互相平行的一个充分条件是（    ） A．a，b都平行于同一个平面 B．a，b与同一个平面所成角相等 C．a，b都垂直于同一个平面 D．a平行于b所在平面 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】根据各选项中的条件判断直线a，b的位置关系，可得出正确的答案. 【详解】对于A：若a，b都平行于同一个平面，则a，b平行、相交或异面，故A错误； 对于B：若a，b为圆锥的两条母线，它们与底面所成角相等，但它们是相交直线，即a，b与同一个平面所成角相等，不能得出直线a，b互相平行，故B错误； 对于C：若a，b都垂直于同一个平面，则a，b互相平行，故C正确； 对于D：若a平行于b所在平面，则a，b平行或异面，故D错误； 故选：C 65．（23-24高一下·浙江温州·期末）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列是真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【知识点】线面平行的性质、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据线面关系可判断A；举反例可判断BD；利用线面平行、线面垂直的性质定理可判断C. 【详解】对于A，若，，则，或相交，或异面，故A错误； 对于B，如下图，，，，则不一定垂直，故B错误； 对于C，因为，过做平面，与平面交于直线，所以， 因为，，所以，，故C正确； 对于D，如图，，，，，则不平行，故D错误. 故选：C. 66．（21-22高一下·浙江温州·期末）设是两条不同的直线， 是两个不同的平面， 且满足， 则下列命题正确的是（    ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 【答案】B 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】通过举反例可判断ACD，由面面垂直判定定理可判断B. 【详解】在正方体中，记平面ABCD为，平面为， （1）当记为n，直线为m，时，可知A错误；（2）当记为n，直线为m，时，可知C错误；（3）记AC为m，为n时，可知D错误；由面面垂直判定定理可知B正确. 故选：B 67．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）在平行四边形中，已知，（如图1），将沿BD折起到的位置（如图2），使得平面平面，则直线SB与直线CD所成角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】分别取的中点,推理得到直线SB与直线CD所成角即直线与直线所成角或其补角，通过设边长，求出的三边长即可求得. 【详解】 如图，分别取的中点,依次连接. 因平面平面，平面平面, ，平面, 故平面， 又,则平面，因平面,故. 因,故直线SB与直线CD所成角即直线与直线所成角或其补角. 设，则,故, 因则,在中，因,故, 即直线SB与直线CD的所成角为. 故选：B. 68．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知长方体的一条对角线与经过同一个顶点的三个面所成的角分别为，若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求线面角 【分析】结合长方体的性质和线面成角的定义计算可得，从而可求. 【详解】设长方体的棱长为，体对角线为AD， 由长方体可得体对角线长， 由平面，可得平面所成的角为，所以， 同理可得平面所成的角为，所以， 可得平面所成的角为，所以， 所以， 由，因为，所以， 又，代入可得， 又因为，所以. 故选：B. 69．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAB是正三角形，平面PAB，M，N分别为AB，PC的中点． (1)证明：平面PAD； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）做辅助线构造平行四边形，从而证明线线平行，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）连接，证明垂直于底面，从而确定为锥体的高，再利用体积公式求体积即可. 【详解】（1）证明：如图，取PD的重点Q，连接AQ，QN， 因为在中，Q，N分别为的PD，PC中点，所以，且， 因为在正方形中，M分别为AB的中点，所以，且, 所以四边形是平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为平面，平面，所以, 又因为侧面是正三角形，M为AB的中点，所以，且， 又因为平面，，所以平面， 所以四棱锥P﹣ABCD的体积是. 题型十三 空间直线、平面的垂直 70．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断面面平行、判断线面是否垂直 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一分析求解． 【详解】若，则与可能平行也可能异面，A选项错误； 若，则与可能平行也可能相交，B选项错误； 若，则可能与平行，可能与相交，也可能在内，C选项错误； 垂直于同一平面的两条直线互相平行，D选项正确. 故选：D. 71．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、证明面面垂直、空间垂直的转化 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，可由平行和垂直的性质和判定证明. 【详解】A选项，若，则或，A错误； B选项，若，不能推出，B错误； C选项，若，则不能推出，C错误； D选项，因为，所以， 又，由面面垂直的判定定理，可得，D正确. 故选：D 72．（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直、证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果. 【详解】对于A，依题意有平面，平面，所以平面平面，A选项正确； 对于B，平面，平面，则有， 是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，则有， ，平面，所以平面，B选项正确； 对于C，平面，平面，，又于， ，平面，所以平面， 平面，则，又于， 平面，，所以平面，C选项正确； 对于D，平面平面，平面，于， 若平面平面，则必有平面， 而平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 又平面，则必有， 由于垂直于圆所在的平面，，则， 而于，则为中点， 因为是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，，于， 则不是中点（否则会得到，但这与矛盾）， 不成立，所以平面平面的结论不正确，即D选项错误. 故选：D. 73．（23-24高一下·浙江台州·期末）已知正四棱台，下底面边长为，侧面与下底面所成二面角的大小为，则该正四棱台的体积可能为 （写出一个即可） 【答案】（介于区间内都可以，答案不唯一）. 【知识点】锥体体积的有关计算、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】根据二面角的平面角的大小计算出高，然后利用柱体、锥体和台体之间的关系求解. 【详解】如下图，延长棱台母线交于点，过作平面ABCD于G，连接S，G与AB中点F， 则. 又，所以，. 又棱台的高度不确定，所以. 故答案为：（介于区间内都可以，答案不唯一）. 74．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2． (1)求该圆台的体积； (2)求该圆台母线与下底面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】台体体积的有关计算、求线面角 【分析】（1）根据题意利用台体的体积公式运算求解； （2）借助于轴截面，分析可知该圆台母线与下底面所成角的大小为，结合题中数据分析求解. 【详解】（1）由题意可知：该圆台的体积. （2）借助于轴截面，如图所示， 其中分别为上、下底面圆的圆心，则与上、下底面均垂直， 过作，垂足为，可知∥， 则与上、下底面均垂直，则该圆台母线与下底面所成角的大小为， 由题意可知：，，可得， 则，所以该圆台母线与下底面所成角的余弦值为. 75．（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，已知在正三棱柱中，为棱的中点，. (1)证明：面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求点面距离、求线面角 【分析】（1）法一：作出辅助线，构造平行四边形，得到线线平行，进而得到面面平行，证明出线面平行；法二：作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）法一：证明出线面垂直，得到，设，求出其他各边长，得到，利用等体积法得到点到平面的距离，进而得到直线与平面所成角的正弦值；法二：作出辅助线，证明出线面垂直，得到即直线与平面所成线面角的平面角，设，求出各边长，得到线面角的正弦值. 【详解】（1）法一：取中点，连接 因为，，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面 因为平行且等于，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面 又因为平面，平面且. 所以平面平面. 因为平面，所以平面 法二：连接，记与的交点为，连接. 在中，，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面，所以平面. （2）法一：为等边三角形，为中点，故⊥， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，， 所以平面， 又因为平面，所以. 设，则，， 由勾股定理得， 故； 设点到平面的距离为， 其中， 又. 所以. 法二：设，取的中点，连接，交于点，连接. 因为，所以 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为， 所以≌，所以， 故，故， 又因为，平面，所以平面. 所以即直线与平面所成线面角的平面角， 有勾股定理得， 故， 所以. 题型十四 随机抽样 76．（22-23高一下·浙江台州·期末）某校高一年级共有男生420人，女生380人，为了解学生身高状况，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出40人，组建一个合唱团，则男生应该抽取 人． 【答案】21 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】由分层抽样定义按比例计算可得. 【详解】设男生就抽取人，则，解得． 故答案为：21. 77．（23-24高一下·浙江宁波·期末）总体由编号为01， 02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字（即65）开始由左到右依次选取两个数字（作为个体的编号）：如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第6个个体的编号为 7816     6527     0802    6314     0704     4369    9728     1198 3204     9234     4935    8200     3623     4869    6938     7481 【答案】11 【知识点】随机数表法 【分析】按照随机数表根据规则要求依次选取即可求解. 【详解】按照规则要求，所选编号依次为：08，02，14，07，04，11， 所以第6个个体编号为：11. 故答案为：11. 题型十五 用样本估计总体 78．（23-24高一下·浙江金华·期末）数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为（    ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】C 【知识点】计算几个数的中位数 【分析】根据中位数的求解方法可得 【详解】这组数据是按从小到大的顺序排列的，且共有10个数据， 又最中间两个数的平均数为， 该组数据的中位数为 故选：C 79．（23-24高一下·浙江丽水·期末）若数据的方差为，则数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】根据方差的性质计算可得. 【详解】根据数据的方差， 则数据的方差为. 故选：D. 80．（23-24高一下·浙江温州·期末）数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x的分位数为2.5，则x可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】按照百分位数计算公式，逐项计算即可求解. 【详解】对于A，因为，所以若， 则1，1，2，2，3，3，5，5，7，7的分位数为，故A正确； 对于B，因为，所以若， 则1，1，2，3，3，3，5，5，7，7的分位数为，故B错误；     对于C，因为，所以若， 则1，1，2，3，3，4，5，5，7，7的分位数为，故C错误；     对于D，因为，所以若， 则1，1，2，3，3，5，5，5，7，7的分位数为，故D错误. 故选：A. 81．（23-24高一下·浙江湖州·期末）如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（    ） A．众数<中位数<平均数 B．众数<平均数<中位数 C．中位数<平均数<众数 D．中位数<众数<平均数 【答案】A 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数 【分析】根据给定条件，利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可. 【详解】由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个小矩形下底边中点值， 显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数<中位数， 由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数， 所以众数<中位数<平均数. 故选：A 82．（23-24高一下·浙江衢州·期末）将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】C 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解. 【详解】， 又该组数据的分位数为22， 则，解得. 故选：C 83．（23-24高一下·浙江宁波·期末）某射击初学者在连续6次射击练习中所得到的环数：，该组数据的平均数与中位数相等，则（    ） A． B． C． D．以上答案均有可能 【答案】D 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数 【分析】表示出数据的平均数，由中位数的定义分类讨论求解. 【详解】这组数据的平均数为， 若中位数为，则有，解得； 若中位数为，则有，解得； 若中位数为，则有，解得. 故选：D. 84．（23-24高一下·浙江台州·期末）在下列四组数中，方差最大的一组是（    ） ①； ②； ③； ④. A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】只需按照样本数据的方差公式进行计算即可. 【详解】易知四组数据的平均数均为4； 对选项A，方差； 对选项B，方差; 对选项C，方差; 对选项D，方差. 故选：D. 85．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）已知数据的平均数为10，方差为1，数据的平均数为5，方差为3，将两组数据合在一起组成一个容量为10的新样本，则新样本的方差为（    ） A．4.2 B．4.8 C．7.8 D．9.2 【答案】C 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】利用分层抽样的平均数与方差公式即可得解. 【详解】因为数据的平均数为10，方差为1， 数据的平均数为5，方差为3， 所以新样本的平均数为：， 方差为：. 故选：C. 86．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在如图所示的两种分布形态中（    ） A．（1）中的中位数大于平均数 B．（1）中的众数大于平均数 C．（2）中的众数小于中位数 D．（2）中的平均数小于中位数 【答案】D 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数 【分析】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势，判断即可得出结论 【详解】众数是最高的矩形的中点横坐标，因此（1）中的众数在第二列矩形的中点处， （1）中的数据第二、三列较多，且右侧拖尾， 所以平均数大于中位数，即在（1）中，众数<中位数<平均数； 同理在（2）中，平均数<中位数<众数. 故选：D. 87．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）十名工人某天生产同一批零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，16，17，17，16，14，12，则这组数据的极差、众数、第一四分位数分别是（    ） A．3，17，12 B．5，16，14 C．7，17，14 D．7，17，13 【答案】C 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】根据题意，由极差，众数以及第一四分位数的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】将数据从小到大排序可得， 则极差为，众数为， 且，则第一四分位数为. 故选：C 88．（23-24高一下·浙江宁波·期末）慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m，n，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据题意得到，进而求得数据的平均数为，结合方差的公式，要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要最小，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，数据的中位数为，可得，所以， 所以这6个月的月慢走里程的平均数为， 要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要最小， 又由， 故当标准差最小时，. 故选：C 89．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）气象台预报嘉兴市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（    ） A．该组数据的极差为6 B．该组数据的众数为26 C．该组数据的中位数为25.5 D．该组数据的第70百分位数为26 【答案】ABD 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】根据极差、众数、中位数和百分位数的定义求解即可. 【详解】将这组数据按照从小到大的顺排列得， 则该组数据的极差为，故A正确； 该组数据的众数为，故B正确； 该组数据的中位数为26，故C错误； 因为， 所以该组数据的第70百分位数为第个数据，即，故D正确. 故选：ABD. 90．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知一组样本数据的标准差，其平均数，则下列数据的标准差与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时加减同一数对方差的影响、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】根据方差（标准差）的性质及方差公式一一判断即可. 【详解】因为的标准差，其平均数， 则， 对于A：数据的标准差为，故A符合题意； 对于B：数据的标准差为，故B不符合题意； 对于C：因为 ， 又数据的平均数为， 设数据的标准差为， 则的方差， 所以，则，故C符合题意； 对于D：数据的标准差为，故D符合题意； 故选：ACD 91．（23-24高一下·浙江杭州·期末）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为 . 【答案】37 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数据的极差、方差、标准差、估计总体的方差、标准差 【分析】按男女生比例抽取样本，结合相应公式计算均值和方差即可． 【详解】由题意知， 总样本的平均数为， 总样本的方差为. 故答案为：37 92．（23-24高一下·浙江台州·期末）某学校有高二学生600人，其中男生360人，女生240人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本（观测数据单位：），若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是 . 【答案】168 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数 【分析】根据分层抽样求各层人数，结合平均数公式分析求解. 【详解】由题意可知：男、女生所占的频率分别为、， 则抽取的男、女生人数分别为、， 所以总样本的平均数. 故答案为：168. 93．（23-24高一下·浙江温州·期末）如图，小明统计了他爸爸9月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次.小明按每次通话时间长短进行分组（每组为左闭右开的区间），画出了频率分布直方图. (1)通话时长在区间，内的次数分别为多少？ (2)若小明爸爸通话时间的众数是第百分位数，求的值. 【答案】(1)9；12 (2)15 【知识点】根据频率分布直方图计算众数、总体百分位数的估计、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率直方图的性质求出值，利用在区间，的频率求得通话时长在区间，内的次数；（2）由众数结合百分位的定义求解即可. 【详解】（1）由频率直方图的性质可得，解得：， 所以通话时长在区间内的次数为次； 通话时长在区间内的次数为次； （2）由图可得通话时长众数为，所以，则小明爸爸通话时间的众数是第15百分位数，即 题型十六 随机事件与概率 94．（23-24高一下·浙江宁波·期末）两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】由古典概型的计算公式即可求解. 【详解】两名男生，一名女生记为 两名男生，一名女生排成一排可能为：，故总可能数， 女生站在中间的可能为：，故可能数， 则女生站在中间的概率. 故选：A. 95．（23-24高一下·浙江台州·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子1次，记“出现点数之和为偶数”，“出现点数之积为偶数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】事件的运算及其含义、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意利用列表法结合古典概型求，结合概率的性质逐项分析判断. 【详解】由题意可知：基本事件的总数为， 对于事件A，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 2 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 3 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 4 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 5 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 6 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 可知，则； 对于事件B，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 2 √ √ √ √ √ √ 3 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 4 √ √ √ √ √ √ 5 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 6 √ √ √ √ √ √ 可知，则； 对于事件，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 2 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 3 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 4 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 5 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 6 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 可知，则； 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：C. 96．（23-24高一下·浙江宁波·期末）若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】列举出点数之和不小于8的情况数，结合两次点数共有36种情况，求出概率. 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛两次，两次点数共有36种情况， 其中点数之和为8的情况如下：， 点数之和为9的情况如下：， 点数之和为10的情况如下：， 点数之和为11的情况如下：， 点数之和为12的情况如下：， 故点数之和不小于8的情况共有种， 则点数之和不小于8的概率为. 故选：C 97．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数都为奇数”的概率是 ． 【答案】/ 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】记“两枚骰子的点数都为奇数”为事件， 抛掷两枚质地均匀的骰子，所以可能结果有个， 其中事件包含的基本事件有：，，，，，， ，，共个， 所以. 故答案为： 98．（23-24高一下·浙江温州·期末）设样本空间含有等可能的样本点，，则 ． 【答案】2 【知识点】事件的运算及其含义、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意利用列举法求，代入即可得结果. 【详解】因为样本空间，， 则，可知， 则， 所以. 故答案为：2. 99．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.    (1)求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1） (2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率. 【答案】(1)，，众数为70，中位数为. (2) 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、根据频率分布直方图计算众数 【分析】（1）由频率和为1列方程可求出的值，根据平均数的定义可求出，由众数的定义可求得众数，先判断中位数的位置，再列方程求解即可； （2）利用列举法结合古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得， ， 众数为70， 因为前2组的频率和为，前3组的频率和为， 所以中位数在第3组，设中位数为，则 ，解得， 所以中位数为. （2）记3名男生分别为，记2名女生分别为，则所有抽签的情况有： 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签，共有10种情况， 其中中签者中男生比女生多的有：未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签，共7种， 所以中签者中男生比女生多的概率为. 题型十七 事件的相互独立性 100．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中，，则（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C互为对立 D．事件A与事件C相互独立 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件和对立事件，事件相互独立的定义逐一判断即可得解. 【详解】对于A，，所以与事件B可以同时发生，故A错； 对于B， , ,所以事件A与事件B相互独立，故B正确； 对于C ， ,所以事件A与事件C不对立，故C错误； 对于D，由图可知，所以，所以，所以事件A与事件C不相互独立，故D错误； 故选：B. 101．（23-24高一下·浙江台州·期末）设是样本空间中三个概率大于0的随机事件，则下列选项错误的是（    ） A．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B．事件相互独立与互斥不能同时成立 C．若成立，则事件与相互独立 D．若成立，则事件一定两两独立 【答案】D 【知识点】独立事件的判断、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】利用互斥事件与对立事件的概念可判断A；利用互斥事件的概念及独立事件的概念可判断BCD. 【详解】对于A，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A正确； 对于B，因为，若事件相互独立，则， 故事件不互斥，若事件互斥，则，故事件不独立， 所以事件相互独立与互斥不能同时成立，故B正确； 对于C，若成立，则事件与相互独立，故C正确； 对于D，若成立，不一定能得出， ，，则事件不一定两两独立，故D错误. 故选：D. 102．（23-24高一下·浙江金华·期末）对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若与互斥，则 C．若，则 D．若与相互独立，则 【答案】BD 【知识点】概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】由互斥事件的定义，代入计算即可判断AB，由，则，即可判断C，由相互独立事件的定义，即可判断D 【详解】因为，， 若与互斥，则，，故A错误，B正确； 若，则，所以，故C错误； 若与相互独立，则，故D正确； 故选：BD 103．（23-24高一下·浙江宁波·期末）下列命题正确的是（    ） A．若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件 B．若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人 C．设一组数据的平均数为x，方差为：，若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据，则新数据的平均数为2x，方差为 D．设A和B是两个概率大于0的随机事件，若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 【答案】ACD 【知识点】独立事件的判断、互斥事件与对立事件关系的辨析、各数据同时乘除同一数对方差的影响、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】对于A，根据对立事件的定义分析判断，对于B，根据分层抽样的定义结合题意求解判断，对于C，根据平均数和方差的性质分析判断，对于D，根据独立事件和互斥事件的定义分析判断. 【详解】对于A，若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件，所以A正确， 对于B，由题意可知女运动员应抽取人，所以B错误， 对于C，一组数据的平均数为x，方差为， 若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据， 则新数据的平均数为2x，方差为，所以C正确， 对于D，因为A和B是两个概率大于0的随机事件，A和B相互独立， 所以，所以A和B一定不互斥，所以D正确， 故选：ACD 104．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知事件发生的概率分别为，，则（    ） A．一定有 B． C．若与互斥，则 D．若与相互独立，则 【答案】BD 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】对于A，举例判断，对于B，利用和事件与交事件的概率公式结合已知分析判断，对于C，根据互斥事件的定义结合对立事件的概率公式分析判断，对于D，根据独立事件与和事件的概率公式分析判断. 【详解】对于A，盒子中有大小相同的12个球，其中红球有3个，白球有4个，黑球有5个，从盒子中任意摸出一个球，记事件为摸到红球，事件为摸到白球， 则满足，，但不成立，所以A错误， 对于B，， 因为，且，，， 所以，所以， 所以，即， 所以，所以B正确， 对于C，因为与互斥，所以，所以，所以C错误， 对于D，因为与相互独立，，， 所以， 所以，所以D正确， 故选：BD 105．（23-24高一下·浙江宁波·期末）下列描述正确的是（    ） A．若事件，相互独立，，，则 B．若三个事件，，两两独立，则满足 C．若，，则事件，相互独立与，互斥一定不能同时成立 D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 【答案】ACD 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据独立事件的概念及乘法公式直接可判断. 【详解】A选项：由，，则，，又事件，相互独立，则，A选项正确； B选项：若三个事件，，两两独立，由独立事件的乘法公式，，，无法确定，B选项错误； C选项：，，若事件，相互独立则，若事件，互斥，则，C选项正确； D选项：设任意事件发生的概率为，必然事件事件发生的概率为，不可能事件发生的概率为，则，，D选项正确； 故选：ACD. 106．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）已知，，且与相互独立， ． 【答案】/ 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】由和事件的概率公式与独立事件的概率公式结合已知条件求解即可. 【详解】因为与相互独立，所以， 因为，，， 所以， ，解得， 故答案为： 107．（23-24高一下·浙江台州·期末）某商店在“五一”期间举办促销活动，设立了抽奖环节，在一个不透明的抽奖箱里放置6个大小质地完全相同的三种颜色的球，其中1个白球，2个红球，3个黑球.凡在本店累计消费满百元的顾客，可以持购物凭证参与一次抽奖活动.抽奖采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，若取到两球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到两球异色，则称为不中奖.一次抽奖结束后，取出的球放回抽奖箱，供下一位顾客抽奖. (1)若一位顾客参与一次抽奖活动，求这位顾客中奖的概率； (2)现有甲､乙两位顾客各参与一次抽奖活动，求两人中至少有一人中奖的概率. 【答案】(1) (2). 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）列举法应用古典概型公式计算即可； （2）应用对立事件结合概率乘积公式计算即得. 【详解】（1）将白球编号为1，红球编号为2，3，黑球编号为. 记“取到两球同色”， ， ， ， 因此， （2）记“甲顾客中奖”，“乙顾客中奖”，相互独立， 则. 108．（22-23高一下·浙江台州·期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为了弘扬奥林匹克和亚运精神，某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 【答案】(1)，74分 (2) 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据频率和为1求的值，再根据平均数公式运算求解； （2）根据独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得每组的频率依次为， 则，解得， 设平均成绩的估计值为， 则（分）， 所以这100名学生的平均成绩估计值为74分. （2）每个学生成绩不低于80分的概率为0.4. 3名学生中恰有2人成绩不低于80分的概率； 3名学生中恰有3人成绩不低于80分的概率； 3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$